Chuyên đề phép chia hết

Chuyên đề 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI
Tiết 13: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Đònh nghóa: Cho hai số tự nhiên a và b (b
0≠
).

.a b q a b= ⇔ ⇔M
a là bội của b
⇔
b là ước của a.
2) Tính chất: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu
a b b c a c⇒M M Mvà
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a
M
m và b
M
m thì
a b m a b m+ −M Mvà
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia
hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia
hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu
,a m b n ab mn⇒M M M

Hệ Quả: Nếu
n n
a b a b⇒M M
Nếu
, ,( , ) 1a m a n m n a mn= ⇒M M M
B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng:
a)
ab ba+
chia hết cho 11.
b)
ab ba−
Chia hết cho 9 với a > b.
Giải:
a) Ta có
ab ba+
= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
M
11
Vậy
ab ba+

M
11.
b) Ta có :
ab ba−
= (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b)
M
9
Chú ý : Nếu
11 11ab cd abcd+ ⇒M M

Ví dụ 2: Tìm n
∈
N để:
a) n + 4
M
n b) 3n + 7
M
n
Giải:
a) n + 4
M
n , n
M
n => 4
M
n => n
∈
Ư(4) =
{ }
1; 2;4
b) 3n + 7
M
n; 3n
M
n => 7
M
n => n
∈
Ư(7) =
{ }

1;7

C/ BÀI TẬP:
1) Cho
deg 7. deg 7abc Cmr abc− M M
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính
hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
- 1 -
3) Cho số
27abcM
Chứng minh rằng số
27bca M
Giải:
: deg 1000 deg 1001 ( deg )
7.143 ( deg )
abc abc abc abc
abc abc
= + = − −
= − −
1)Tacó
Mà : 7.143
7abcM
và
deg 7. deg 7abc abc− M MVậy
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:
ab
.( 0 < a
≤
9, 0
≤

b
≤
9, a,b
∈
N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số:
abba

1000 100 10
1001 110 7.11.13 11.10 11
: 11
abba a b b a
a b a b
abba
= + + +
= + = + M
MVậy
3)
27abcM
0 27
1000 0 27
999 0 27
27.37 27
27 ( 27.37 27)
abc
a bc
a a bc
a bca
bca Do a
⇒

⇒ +
⇒ + +
⇒ +
⇒
M
M
M
M
M M
Tiết 14: LUYỆN TẬP
1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự
nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp
thì không chia hết cho 10.
3) Tìm n
∈
N để:
a) 27 – 5n
M
n b) n + 6
M
n + 2
c) 2n + 3
M
n – 2 d) 3n + 1
M
11 – 2n
4) Cmr nếu
11 deg 11ab cd eg thì abc+ + M M
5) Cho

deg 37. deg 37abc Cmr abc+ M M
6) Cho 10
k
– 1
M
19 với k > 1 CMR: 10
2k
– 1
M
19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu
2 67ab cd abcd= ⇒ M
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)
M
3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3
M
3
- 2 -
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4
còn 7 không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên
liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.

Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2)
M
10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5
M
10.

3) a) 27 – 5n
M
n ; 5n
M
n => 27
M
n => n
∈
Ư(27) =
{ }
1;3;9;27
nhưng 5n < 27 nên n < 6
Vậy n
∈

{ }
1;3
b) n + 6
M
n + 2 => n + 2 + 4
M
n + 2, mà n +2

M
n + 2 => 4
M
n + 2 => n + 2
{ }
1; 2;4∈
=> n
{ }
0;2∈
c) 2n + 3
M
n – 2 => 2(n – 2) + 7
M
n -2 => 7
M
n - 2 => n – 2
{ }
1;7∈
=> n
{ }
3;9
∈
d
*
) 3n + 1
M
11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n)
M
11 – 2n => 35
M

11 – 2n
=> 11 – 2n
{ }
1;5;7;35∈
nhưng vì n < 6 nên n
{ }
5;3;2∈
4) : deg 10000 100 9999 99 ( )
9999 11; 99 11;( ) 11
Ta abc ab cd eg ab cd ab cd eg
Do ab cd eg
= + + = + + + +
+ +
M M M
có

Vậy :
deg 11abc M

5) : deg 1000 deg 999 ( deg)
27.37 ( deg)
27.37 37; ( deg) 37; : deg 37
Ta abc abc abc abc
abc abc
Do abc abc abc
= + = + +
= + +
+
M M M
có

Vậy
6) Ta có: 10
2k
– 1 = 10
2k
– 10
k
+ 10
k
-1 = 10
k
(10
k
– 1) + (10
k
– 1)
Do 10
k
- 1
M
19 nên 10
k
(10
k
– 1) + (10
k
– 1)
M
19
Vây 10

2k
– 1
M
19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chẵn => n = 2k (k
∈
N).
Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho
2.
Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k
∈
N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.
b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)
- 3 -
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết
cho 2 nên A chia hết cho 2.
+ Trường hợp: n = 3k (k
∈
N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.
(1)
Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1)
chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4)
chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.

Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có
100abcd ab cd= +
Mà:
2ab cd=
Suy ra:
2 200 201 3.67 67abcd cdcd cd cd cd cd= = + = = M
Vậy:
67abcd M

Tiết 15: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT
A/ LÝ THUYẾT:
1 2 1 0
0 0
1 0 1 0
2 1 0 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
:
2 2, 5 5
4 4, 25 25
8 8, 125 125
3 3
9 9
n
n n
n n
a a a a
A a A a
A a a A a a

A a a a A a a a
A a a a a a
A a a a a a
−
−
−
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ + + + + +
⇔ + + + + +
M M M M
M M M M
M M M M
M M
M M
n
Gọi A = a Tacó
B/ Ví du:
- 4 -
Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27. biết rằng hai chữ số ở
giữa của nó là 97.
Giải: Gọi n là số phải tìm. Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận cùng bằng 0
hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số n =
*975 *970n =Hoặc số
.
Khi: n =
*975
M
9 => (* + 9 + 7 + 5)

M
9 => * = 6. Thử lại 6975 không chia hết cho 27.
Khi: n =
*970
M
9 => (* + 9 + 7 + 0)
M
9 => * = 2. Thử lại 2970 chia hết cho 27.
Vây số 2970 là số phải tìm.
Ví dụ 2: Cho số tự nhiên
ab
bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) CMR: b chia hết cho a.
b) Giả sử b = ka (k
∈
N) CM: k là ước của 10.
Giải: a) Theo đề bài ta có:
ab
= 3ab
=> 10a + b = 3ab (1)
=> 10a + b
M
a
=> b
M
a
b) Do b = ka nên k < 10. Thay b = ka vào (1), ta có:
10a + ka = 3a.ka
=> a(10 + k) = 3ak. a
=> 10 + k = 3ak

=> 10 + k
M
k
=> 10
M
k Vậy k là ước của 10.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n
∈
N thì số 9
2n
– 1 chia hết cho cả 2 và 5.
Giải: Có: 9
2n
– 1 = (9
2
)
n
– 1 = 81
n
- 1 = ….1 - 1 = …0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
C/ BÀI TẬP:
1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số
275x
chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số
9 4xy
chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải: 1) a/

275x
M
5
{ }
0;5x⇔ ∈
;
275x
M
25
{ }
0x⇔ ∈
;
275x
M
125
{ }
0x⇔ ∈
b/
{ }
9 4 2 , 0;1; 2; ;9xy x y⇔ ∈M
;
{ } { }
9 4 4 0;1;2; ;9 , 0, 2, 4,6,8xy x y⇔ ∈ ∈M

{ } { } { } { }
9 4 8 0;2;4;6;8 ; 2;6 ; 0;4;8xy x y y⇔ ∈ ∈ ∈ ∈M hoặc x 1;3;5;7;9
Tiết 16: LUYỆN TẬP
1) Cho n
∈
N, chứng minh rằng:

a/ 5
n
– 1
M
4
b/ n
2
+ n + 1 không chia hết cho 4.
c/ 10
n
- 1
M
9
d/ 10
n
+ 8
M
9
2) Chứng minh rằng:
a/ 10
28
+ 8
M
72
b/ 8
8
+ 2
20

M

17
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n
2
+ n + 6 không chia hết cho 5.
- 5 -
4) CMR: a/ 942
60
– 351
37
chia hết cho 5.
b/ 99
5
- 98
4
+ 97
3
- 96
2
chia hết cho 2 và 5.
Giải:
1) a/ + Với n = 0, ta có: 5
0
– 1 = 1 – 1 = 0
M
4
+ Với n = 1, ta có: 5
1
-1 = 5 – 1 = 4
M
4.

+ Với n > 1, ta có: 5
n
= …5 nên 5
n
– 1 = …5 – 1 = … 4
M
4
Vậy với n
∈
N, 5
n
– 1
M
4 .
b/ Ta có n
2
+ n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do
đó n
2
+ n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.
c/ Ta có 10
n
- 1 = 100…0 – 1 = 99… 9
M
9
n chữ số 0 n chữ số 9
d/ Ta có: 10
n
+ 8 = 100…0 + 8 = 100…08
M

9
n chữ số 0 n-1 chữ số 0
2) a/ Ta có: 10
28
+ 8 = 100…0 + 8 = 100……08
M
9 (1)
28 chữ số 0 27 chữ số 0
Số 10
28
+ 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 10
28
+ 8 chia hết cho 72.
b/ 8
8
+ 2
20
= (2
3
)
8
+ 2
20
= 2
24
+ 2
20
= 2
20

(2
4
+ 1) = 2
20
. 17
M
17
vây 8
8
+ 2
20
chia hết cho 17.
3) Với mọi số tự nhiên n thì n
2
+ n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
nên tận cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n
2
+ n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết
cho 5.
4) a/ 942
60
– 351
37
= 942
4.15
– 351
37
= ….6
15
- …1 = …6 - …1 = …5

M
5
b/ 99
5
- 98
4
+ 97
3
- 96
2
= …9 - …6 + ….3 - … 6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
- 6 -