thi vao lop 10 Lam son (mon toan chung)

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
chuyên Lam Sơn
Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề
Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2011
Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

=
x
x
x
x
xx
x
1.Rút gọn biểu thức A (với x
0
,x

1
)
2. Chứng minh rằng A

3
2
Câu 2(2 điểm)
Cho parabol (P):
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y= mx m +2 (với m là tham số)
1. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 : (2 điểm)
1. Giải hệ phơng trình :







=+
=+
19
25
12
32

yx
yx
2. Giải phơng trình
26
9
3
2
=

+
x
x
x
Câu 4: (3 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (
BCAC ,
). Trên nửa mặt
phẳng có bờ là đờng thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy
điểm I (I

A). Đờng thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đờng tròn đờng kính
IC cắt IK tại P.
1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn đó.
b)Tam giác ABP là tam giác vuông.
2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có
diện tích lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dơng thỏa mãn a+b+c = 2. Tính giá trị lớn nhất
của biểu thức: P=
bca
ca

abc
bc
cab
ab
222 +
+
+
+
+
Hết
(cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Chữ ký của giám thị số 1: chữ ký của giám thị số 2
Đề CHíNH THứC
Đáp án
Câu1 : Rỳt gn biểu thức A
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

=
x
x
x
x
xx
x
A=
3
32
1
23
)3)(1(
1115
+

+

+
+
+

x
x
x
x
xx
x
=
)3)(1(

)1)(32()3)(23(1115
+
++++
xx
xxxxx
A=
)3)(1(
332262931115
+
++++
xx
xxxxxxx
=
)3)(1(
527
+

xx
xx
=
=
+

)3)(1(
)52)(1(
xx
xx
A=
)3(
)52(

+

x
x
2- vi A

3
2
ta cú
)3(
)52(
+

x
x

3
2
nờn

3
2
-
)3(
)52(
+

x
x

0

)3.(3
)52.(3)3(2
+
+
x
xx

0

)3.(3
15662
+
++
x
xx

0

)3.(3
17
+x
x

0 l ỳng vỡ x
0

nờn 17
x

0

v 3.(
x
+3) > 0
vy A

3
2
c chng minh
Câu 2:
1. Cho parabol (P):
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y= mx - m +2 (với m là tham số)
a.Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4
b.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Gii :
a) to giao im ca parabol (P):
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y= mx m +2
l nghim ca h

+=
=
2.
2
1
2
mxmy
xy
phng trỡnh honh giao im l :

2.
2
1
2
+= mxmx

vi (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4 thay vo ta cú :
8 = 4m - m +2

3m = 6

m = 2 vy khi m = 2 thỡ (d) cắt (P ) tại điểm có hoành
độ x=4
Hoặc: Điểm có hoành độ x = 4 nằm trên Parabol (P) y =
2
1
2
x

nên điểm đó có tung độ là
y =
2
1
.4 8
2
=
Để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4 thì đờng thẳng (d) phải đi qua điểm (4; 8)
=> 8 = m.4 - m + 2 => 3m = 6 => m = 2.
b) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi v ch khi h





+=
=
2.
2
1
2
mxmy
xy
hay pt
2.
2
1
2
+= mxmx

x
2
-2mx +2m - 4 = 0 cú 2 nghim phõn bit


> 0 m

= 4m
2
-4(2m - 4 )
= 4m
2
-8m + 16
= (2m)
2
2.2m.2+ 4+12
= ( 2m 2)
2
+ 12 > 0 vi mi giỏ tr ca m .
Vy với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 :
1/ Giải hệ phơng trình
2 3
12
5 2
19
x y
x y

+ =




+ =


Điều kiện x, y 0. t a =
y
1
v b =
x
1
ta cú h



=+
=+
1925
1232
ab
ab





=+

=+
57615
2464
ab
ab





=
=+
3311
1232
b
ab





=
=+
3
1232
b
ab

=
=
3
2
b
a

y
1
=2

y =
2
1

v
x
1
= 3

x =
3
1

vy nghim ca h

=
=
2
1
3
1
y
x
2. Giải phơng trình :
2
3
6 2
9
x
x
x
+ =

Điều kiện :
2
3
9 0
3
x
x
x

>

> =>

<

Cách 1 :
2
3
6 2
9
x
x
x
+ =

<=>
2 2
9 3 6 2 9x x x x + =
. Đặt t =
2
9x
, t > 0
Phơng trình <=>
2 2
2 2
6 2
3 6 2
3
9

9
t
xt x t
x
t
x t
x t


+ =
=

<=>
+

=



=

(do t >0 nên x >0)
Thay (1) vào (2) ta đợc phơng trình :
2
2
2 2 2 2 4 3 2
2
6 2 72
9 9 72 9 54 81 6 9
3 6 9

t t
t t t t t t t t
t t t

= <=> = <=> = + +
ữ
ữ
+ + +

<=>
4 3 2
6 54 54 81 0t t t t+ + + =
<=>
( )
( )
2
2
3 12 3 0t t t + + =
Do t > 0 =>
2
12 3 0t t+ + >
=>
( )
2
2
3 0 3 9 3 3 2( / )t t x x t m = => = => = => =
Vậy phơng trình có một nghiệm
Cách 2 :
Xét x < -3 : VT =
2

3
0
9
x
x
x
+ <

=> Phơng trình vô nghiệm
Xét x > 3
Ta có :
2
2 2
3 3
2 (1)
9 9
x x
x
x x
+

(theo cô si)
Mặt khác
( ) ( )
2 2
2
2 4 2
2 2
3
18 0 2.18 9 6 18

9 9
x x
x x x
x x
=> => =>

(2)
y
P
A
B
x
K
C
I
O
O'
Từ (1) và (2) =>
2
3
2. 18 6 2
9
x
x
x
+ =

Phơng trình có nghiệm khi dấu = ở (1) và (2) xảy ra =>
2
2

3
3 2
9
18
x
x
x
x
x

=

=> =



=

Vậy phơng trình có nghiệm : x =
3 2
Câu 5 : Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P =
2 2 2
ab bc ca
ab c bc a ac b
+ +
+ + +
Vì a + b+ c = 2 =>2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c
2
+ ab = (ca+ c

2
)+( bc + ab)
= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b)

2c+ab = (c+a)(c+b)
Vì a ; b ; c > 0 nên
0
1
>
+ ca
và
0
1
>
+ cb
áp dụng BĐTCosi ta có
+
+ ca
1
cb +
1

2.
))((
1
cbca ++
dấu (=) khi
=
+ ca
1

cb +
1


a + c = b + c

a = b
hay
)
11
(
2
1
))((
1
bcac
bcac
+
+
+

++


( )

+
+
+

++
=
+
bc
ab
ac
ab
bcac
ab
abc
ab
2
1
)(2
(1)
Chứng minh tơng tự ;






+
+
+

+
ca
bc
ba
cb
abc
bc
2
1
2
(2) dấu = khi b = c







+
+
+

+
ab
ca
bc
ca
cab
ac

2
1
2
(3) dấu = khi a = c
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có

: P=
bca
ca
abc
bc
cab
ab
222 +
+
+
+
+
2
1

(
bc
ab
ac
ab
+
+
+
+

ac
cb
ab
cb
+
+
+
+
bc
ac
ab
ac
+
+
+
)


P
2
1







+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+ ba
ac
ba
cb
bc
ac
cb
ab
ac
cb
ac
ab
()()(
=
2
1

+
+
+
+
+
+
+
+
ba
abc
cb
cba
ac
bca ).().().(

P=
bca
ca
abc
bc
cab
ab
222 +
+
+
+
+
( )
12.
2

1
2
1
==++ cba

min P = 1 khi a = b = c =
3
2
Câu 3 : 1- Gii h phng trỡnh :







=+
=+
19
25
12
32
yx
yx
2-Giải phơng trình
26
9
3
2
=

+
x
x
x
iu kin x >3 hoc
x <-3
ta thy x = 0 khụng phi l nghim ca pt nờn
x
x
26
9
3
1
2
=

+

1
26
9
3
2
=

x
x

1

21272
9
3
22
+=

x
xx
Câu 4: 1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn đó.
Xột ng trũn tõm O ng kớnh IC ta cú P

(O)
Nờn
CPI

= 90
0
do ú
CPK

= 90
0
( k bự vi
CPK

= 90
0
)
theo bi ra ta cú By

AB m K

By ; C

AB
CBK

= 90
0


CPK

+
CBK

= 180
0
m
CBK

v
CPK

l hai gúc i ca t giỏc CPKB vy CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn m
CBK

= 90
0

nờn KC l ng kớnh
b)Tam giác ABP là tam giác vuông.
Xột ( O ;
2
IC
) ta cú
PICCAP


=
( ni tp cựng chn cung PC ) (1)
Xột ( O

;
2
KC
) ta cú
CBPCKP

=
( ni tp cựng chn cung PC ) (2)
Theo bi ra thỡ IC

KC ti C nờn
KCI

= 1V nờn
IKCPIC

+
= 1V (3) thay (1) ; (2) vo
(3) ta cú
CAP

+
CBP

= 1V vy Tam giác ABP là tam giác vuông.ti P
2. Tìm vị trí của C để tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất.
Ta có tứ giác ABKI có

A +

B=90
0
=> ABKI l hỡnh thang vuụng nhn AI v BK l
hai ỏy v AB l ng cao
( Hoặc: Ta cú t giỏc ABKI cú AI//BK ( cựng

AB) v
B

= 1V nờn ABKI l hỡnh
thang vuụng nhn AI v BK l hai ỏy v AB l ng cao )
Vậy Diện tích tứ giác ABKI S
ABKI
=
2
AI BI

AB
+
, do A, B, I cố định
Có AB, AI không đổi => diện tích tứ giác ABKI lớn nhất <=> BK lớn nhất.
Đặt AI = a, AB = b và AC = x.
Ta có ACI đồng dạng với BKC (gg) =>
AC AI
BK B C
=
=>
x a
BK b x
=

=> BK =
2
2
2
1
2 4
b
x b
x bx
a a

+
ữ
+

=

=> BK lớn nhất khi
2
b
x =
, tức là C là trung điểm của
đoạn AB.
Có thể giải nh sau- Ta cú t giỏc ABKI cú AI//BK ( cựng

AB) v
B

= 1V nờn
ABKI l hỡnh thang vuụng nhn AI v BK l hai ỏy v AB l ng cao
S
ABKI
=
2
1
(AI+ BK) . AB m A ; B ; I c inh nờn AI ; AB khụng i nờn S
ABKI
t
GTLN khi BK t GTLN

BK =AI Khi đó (O) v (O) bng nhau nờn CI = CK

CIK cõn CP v ng cao nờn PI = PK
m PC // BK ( cựng vuụng gúc AB) nờn PC l ng trung bỡnh ca hỡnh thang ABKI
nờn C l trung im ca AB