Chuyên đề TIẾP TUYẾN (bản 1.0)...

Chuyờn KHO ST HM S

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O T Toỏn THPT Phong in

Trang 1
Ch 4:

TIP TUYN CA TH HM S

I
-
Lí THUY
T
:

Cho h
m s


( )y f x=
, cú

th

(C).
1. Ti

p
tuy
n
c
a


th

(C) t
i


i
m

(
)
0 0 0
; ( )M x y Cẻ
:


/
0 0 0
( )( ) - = -y y f x x x
(*)
Lu ý:

+

i
m

(
)
0 0 0
; ( )M x y Cẻ
c gi l tip im
.

+

ng thng bt k


i qua
(
)
0 0 0
;M x y
c
ú h

s



gúc

k
, c
ú ph

ng trỡnh:
0 0
( )
- = -y y k x x

+ Nh

v
y
,
h s gúc ca tip tuyn
c
a
(C) t
i

(
)
0 0 0
; ( )M x y Cẻ

cú h

s

gúc

(
)
/
0
k f x=
. Hay honh tip im l nghim ca phng trỡnh:
(
)
/
k f x=

Rừ rng, ti
p
tuy
n
c
a
(C)
hon ton xỏc nh
n
u
bi
t

h s gúc
c
a
ti
p
tuy

n

hoc

honh tip
im
.
2.
i
u kin tip xỳc
:
Cho hai hm s


( ), (C)
y f x=
v

( ), (C')
y g x=
.

(C) v
(C) ti
p
xỳc nhau
khi ch khi
h

ph

ng trỡnh sau cú nghi
m
:

/ /
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=
ỡ
ớ
=
ợ

c bit:


ng
th
ng

y kx m
= +
l
ti
p
tuy
n

v
i

( ), (C)
y f x=
khi ch

khi h

sau c
ú nghi
m
:

/
( )

( )
f x kx m
f x k
= +
ỡ
ớ
=
ợ

II
-
LUY
N TP

:

Dng
1:
Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C):
( )y f x=
ti tip im.

Phng
phỏp:
Bc 1: Xỏc nh tip im
(
)
0 0 0
; ( )M x y Cẻ
. Tớnh h s gúc
(
)
/
0
k f x=
.

B
c 2: p dng:
/
0 0 0
( )( ) - = -y y f x x x

Bi tp 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C):

-
=
+
1
2
x
y
x
ti giao im ca (C) v trc tung.

Bi gi
i
:
TX:
{ }
\ 2D R= -
.

V
y phng trỡnh tip tuyn l:

Gii phng trỡnh:

-
= =
+
1
0 1.
2
x

x
x

Vậy giao điểm của (C) và Oy là: M(1;0)

Ta cú:
(
)
/
/
2
1 3
2
2
x
y
x
x
-
ổ ử
= =
ỗ ữ
+
ố ứ
+

Lỳc ú, h s gúc ca tip tuyn l
/
1
(1)

3
k y= =

x
y
O
(C)
M
O

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 2
(
)
1 1 1
: 1
3 3 3
y x y xD = - Û = -

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến với
4 2
( ) : 6 C y x x= - - +

, biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
1
: 1
6
y xD = -
.
Bài gi
ải:

TXĐ:
D R=
.
Ta có:
/ 3
4 2
y x x= - -
.
Do ti
ếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
: 1
6
y xD = -
nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng
6

Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

3
3
2
2
4 2 6
2 3 0
1
( 1)(2 2 3) 0
2 2 3 0
1

v« nghiÖm
x x
x x
x
x x x
x x
x
- - = -
Û + - =
=
é
Û - + + = Û
ê
+ + =
ë
Þ =

Suy ra tiếp điểm
(1;4)

.
Vậy phương trình tiếp tuyến:
6( 1) 4 6 10 hay y x y x= - - + = - +
.
Bài tập 1: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
+
=
-
(C).


a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 4 1d y x= - +
.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam
giác vuông cân.

c) Vi
ết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác
cho chu vi nhỏ nhất.

d)
Ch
ứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua tâm đối xứng.

Bài giải:

TXĐ:
{ }
\ 1D R=
. Ta có:
(
)
/
2
4
1
y
x
-
=
-

Tiệm cận đứng:
1
x =
. Ti
ệm cận ngang:
2y =
. Suy ra tâm đối xứng
(1;2)I
.
Gọi
(

)
0 0
;
o
M x y
là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

(
)
(
)
0
0
2
0
0
2 2
4
:
1
1
x
y x x
x
x
+
-
D = - +
-
-

a)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 4 1d y x= - +
nên hệ số góc tiếp tuyến bằng
4.
-


Xét phương tr
ình:
(
)
0 0
2
0 0
0
0 2
4
4
2 6
1
x y
x y
x
= Þ =
é
-
= - Û
ê

= Þ =
-
ë

* V
ới
(
)
0;2M
: Tiếp tuyến có phương trình
: 4 2y xD = - +

Chuyờn KHO ST HM S

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O T Toỏn THPT Phong in

Trang 3
* Vi
(
)
2;6M
: Tip tuyn cú phng trỡnh
: 4 14y xD = - +

b)

Cỏch 1:
Vỡ tip tuyn to vi hai trc to mt tam giỏc vuụng cõn nờn h s gúc ca tip tuyn bng
1 hoc
1.
-
(
Do tip tuyn vuụng gúc vi 2 ng thng
y x=
).

Xột phng trỡnh:
(
)
2
0
4
1
1x
-
=
-
vụ nghim.



(
)
0 0
2
0 0

0
1 0
4
1
3 4
1
x y
x y
x
= - ị =
ộ
-
= -
ờ
= ị =
-
ở

* V
i
(
)
1;0M -
: Tip tuyn cú phng trỡnh
: 1y xD = - -

* Vi
(
)
3;4M

: Tip tuyn cú phng trỡnh
: 7y xD = - +

Cỏch 2:
Gi
(
)
0 0
;
o
M x y
l ti
p im, suy ra phng trỡnh tip tuyn ca (C):

(
)
(
)
0
0
2
0
0
2 2
4
:
1
1
x
y x x

x
x
+
-
D = - +
-
-

Bc 1: Xỏc nh ta giao im ca
D
v Ox, Oy ln lt ti A, B ( Ta ph thuc
0
x
)
B
c 2: ý
OAB
D
vuụng t
i O nờn iu kin cn tỡm
l:
. 0OA OB =

.
Nhn xột:

Cỏch 1 hi
u qu v sỏng to hn. Cỏch 2 di dũng nhng li rừ rng v d hiu.

c)

Tip tuyn ct tim cn ng ti A:

(
)
(
)
0
0
0
2
0
0
0
1
2 6
2 2
4
: 1;
1
1
1
x
x
x
A A
y x x
x
x
x
=

ỡ
ổ ử
+
ù
+
-
ị
ớ
ỗ ữ
= - +
-
ố ứ
ù
-
-
ợ

Tip tuyn ct tim cn ngang ti B:

(
)
(
)
(
)
0
0
0
2
0

0
2
2 2
4
: 2 1;2
1
1
y
x
B B x
y x x
x
x
=
ỡ
ù
+
-
ị -
ớ
= - +
ù
-
-
ợ

Suy ra:
0
0
8

; 2 1 . 16
1
IA IB x IA IB
x
= = - ị =
-
.

Ta cú, chu vi tam giỏc IAB:
2 2
IAB
C IA IB AB IA IB IA IB
D
= + + = + + +

M
2 2
2 . 8, 2 . 32IA IB IA IB IA IB IA IB+ = + =

nờn
2 2
8 32 8 4 2.
IAB
C IA IB IA IB
D
= + + + + = +

ng thc xóy ra
(
)

2
0 0
0 0
0 0
0
1 0
8
2 1 1 4
3 4
1
x y
IA IB x x
x y
x
= - ị =
ộ
= = - - =
ờ
= ị =
-
ở

* Vi
(
)
1;0M -
: Tip tuyn cú phng
trỡnh
: 1y xD = - -

* Vi
(
)
3;4M
: Tip tuyn cú phng trỡnh
: 7y xD = - +

d) Tõm i xng
(1;2)I
.
Chuyờn KHO ST HM S

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O T Toỏn THPT Phong in

Trang 4
Gi
(
)
0 0
;
o
M x y
l tip im, suy ra phng trỡnh tip tuyn ca (C):

(

)
(
)
0
0
2
0
0
2 2
4
:
1
1
x
y x x
x
x
+
-
D = - +
-
-

Gi s
I ẻD
(
)
(
)
0 0

0 0 0
2
0 0 0
0
2 2 1
4 2
2 1 1 3 1
1 1 1
1
x x
x x x
x x x
x
+ +
-
= - + = + + = -
- - -
-

phng trỡnh vụ nghim.

V
y khụng tn ti tip tuyn no i qua I.

Bi tp 2:
(
Kh
i D
-
2005

) G
i
(
)
m
C
l
th ca hm s:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= - +
. Gi im M
thuc th
(
)
m
C
cú honh bng
1-
. Tỡm m tip tuyn ca
(
)
m
C
ti M song song vi
ng thng
: 5 0x yD - =
.

Bi gi
i:

TX:
D R=

Ta cú:
/ 2
y x mx= -

im thuc
( )
m
C
cú honh
1-
l
1;
2
m
M
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ

Tip tuyn ca
( )
m
C

ti M cú phng trỡnh:

/
2
: ( 1)( 1) ( 1)
2 2
m m
d y y x y m x
+
+ = - + = + +


d song song vi
: 5 0x yD - =
(Hay
: 5
y xD =
) khi v ch khi:

1 5
4
2 0
m
m
m
+ =
ỡ
=
ớ
+ ạ

ợ


Vy
4m =
.
Bi tp 2:
Cho hm s
3 2
3 9 5= + - +y x x x
(C). Trong tt c cỏc tip tuyn c
a
th (C), hóy
tỡm tip tuyn cú h s gúc nh nht.
Bi gi
i:

TX:
D R=
. Ta cú:
/ 2
3 6 9= + -y x x
.
Gi
0 0
( ; ) ( )ẻM x y C
3 2
0 0 0 0
3 9 5 = + - +y x x x
.

Tip tuyn t
i i
m M cú h s gúc:
/ 2 2
0 0 0 0
( ) 3 6 9 3( 1) 12 12= = + - = + - -k y x x x x

(
)
min 12ị = -k
,


t
c khi:
0 0
1 16= - ị =x y
.
Vy trong tt c cỏc tip tuyn c
a
th hm s, tip tuyn ti M (
1;16
-
) (
i
m un) cú h s
gú
c nh nh
t. Phng t

rỡnh tip tuyn:
12 4= - +y x
.
Bi t
p 1: Cho hm s
2 2
2 2 1
1
x mx m
y
x
+ + -
=
-
cú
th (C). Tỡm
m
th hm s ct trc
honh ti hai im phõn bit v cỏc tip tuyn vi (C) ti hai im ny vuụng gúc vi
nhau.

Bi gii:

TX:
{
}
\ 1
D R=

Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v Ox:

Chuyờn KHO ST HM S

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O T Toỏn THPT Phong in

Trang 5

(
)
2 2
2 2
2 2 1
0 ( ) 2 2 1 0 1
1
x mx m
g x x mx m x
x
+ + -
= = + + - = ạ
-
(1)
(C) ct Ox ti 2 im phõn bit


( ) 0g x =

cú
2 nghim phõn bit
1ạ



/
2
0
1 1
1 0
(2)
0
2 ( 1) 0
(1) 0
g
m
m
m
m m
g
ỡ
D >
- < <
ỡ
- >
ỡ
ù

ớ ớ ớ

ạ
+ ạ
ạ
ù
ợ
ợ
ợ

G
i
1 2
, x x
l 2 nghi
m ca phng trỡnh (1). p dng nh lớ Vi
-et:
1 2
2
1 2
2
(*)
. 2 1
x x m
x x m
+ = -
ỡ
ớ
= -
ợ

Vit o hm ca hm s di dng:

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
/
2
2 2 1 2 2 1
1
x m x x mx m
y
x
+ - - + + -
=
-

Vỡ A, B thuc (C) nờn h s gúc ca tip tuyn ti A v B l:


(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
2 2
1 1 1 1
/
1
1
2
1
1
2 2 1 2 2 1
2 2
1
1
x m x x mx m
x m
f x
x
x
+ - - + + -
+
= =
-
-

Tng t:
(
)
/

2
2
2
2 2
1
x m
f x
x
+
=
-

Tip tuyn ti A v B vuụng gúc nhau nờn ta cú:

(
)
(
)
(
)
(
)
/ /
1 2
1 2
1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
. 1 1

1 1
4 4 4 1 (**)
x m x m
f x f x
x x
x x m x x m x x x x
ổ ửổ ử
+ +
= - = -
ỗ ữỗ ữ
- -
ố ứố ứ
+ + + = - + + -

Thay (*) vo (**) ta c:

2 2 2 2 2
1
8 4 8 4 2 1 2 1 6 2 4 0
2
3
m
m m m m m m m
m
= -
ộ
ờ
- - + = - + - - + - =
ờ
=

ở
( loại )
( nhận )

Kt lun: Vy
2
3
m =
l yờu cu bi toỏn.

Bi t
p 1:
(
Kh
i A
-
2011
) Cho hm s

- +
=
-
1
2 1
x
y
x
. Chng minh rng vi mi giỏ tr ca
m
thỡ ng

thng
:d y x m= +

luụn c
t (C) ti hai im phõn bit A v B. Gi
1 2
,
k k
ln lt l h s gúc ca cỏc
ti
p tuyn ti A v B. Tỡm m tng
1 2
k k+
t giỏ tr ln nht.

Bi gii:

TX:
1
\
2
D R
ỡ ỹ
=
ớ ý
ợ ỵ

Xột phng tr
ỡnh honh giao im ca (C) v
d

:


2
1 1
( ) 2 2 1 0 (*)
2 1 2
x
x m g x x mx m x
x
- +
ổ ử
= + = + - - = ạ
ỗ ữ
-
ố ứ


d
ct (C) ti 2 im phõn bit


( ) 0g x =
cú 2 nghi
m phõn bit
1
2
ạ

Chuyờn KHO ST HM S

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O T Toỏn THPT Phong in

Trang 6

/
2
0
1 0
1
1
1 0
0
2
2
g
m m m
m m m
g
ỡ
D >
ỡ
+ + > "
ù ù

ớ ớ
ổ ử
+ - - ạ "
ạ
ù ù
ỗ ữ
ợ
ố ứ
ợ

Suy ra
d
luụn ct (C) ti 2 im A, B phõn bit.

Gi
1 2
, x x
l 2 nghim ca phng trỡnh (*). p dng nh lớ Vi
-
et:
1 2
1 2
(*)
1
.
2
x x m
m
x x
+ = -

ỡ
ù
ớ
- -
=
ù
ợ


H
s gúc ca tip tuyn vi (C) ti
1
x
l:
(
)
(
)
/
1 1
2
1
1
1
k f x
x
= = -
-

H s gúc ca tip tuyn vi (C) ti
2
x
l:
(
)
(
)
/
2 2
2
2
1
1
k f x
x
= = -
-

Cỏch 1:
Ta cú:
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2 1 2
4 8 4 2
1 1
2 1 2 1
4 2 1
x x x x x x
k k
x x
x x x x
+ - - + +
+ = - - = -
- -
ộ - + + ự
ở ỷ
(**)

Thay (*) vo (**) ta c:
(
)
2
2
1 2
4 8 6 4 1 2 2
k k m m m+ = - - - = - + - Ê -

.
Suy ra
1 2
k k+
ln nht bng
2-
, t c khi ch khi
1.
m = -

Cỏch 2:
C SC

Ta cú:
(
)
(
)
1 2
2 2
1 2
1 1
2 1 2 1
k k
x x
+ = - -
- -

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2 1. 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
1 2
2
1
4 2 1
4 2( ) 1
2
x x
x x
x x
m
x x x x

m
ộ ự
= - + Ê - = -
ờ ỳ
- -
- -
- -
ờ ỳ
ở ỷ
= - = - = -
- -
ộ - + + ự ộ ự
ở ỷ
- - +
ờ ỳ
ở ỷ



Suy ra
1 2
k k
+
ln nht bng
2-
, t c khi ch khi


(
)

(
)
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 2
2 1 2 1
1 1
2 1 2 1 1 1
2 1 2 1
x x x x
x x x x m
x x
- = - ạ
ộ
=
ờ
- = - + + = = -
- -
ở
( loại do )

DNG
TON:
VIT PHNG TRèNH TIP TUYN I QUA IM BT Kè

Phng
phỏp:
Bc 1
:

ng thng bt k qua
0
M
cú h s gúc
k
:
0 0
( )y y k x x- = -

Bc 2
:
p dng iu kin tip xỳc:


ng thng
y kx m= +
l tip tuyn vi
( ), (C)y f x=
khi ch khi h sau cú nghim:

/
( )

( )
f x kx m
f x k
= +
ỡ
ớ
=

ợ

B
i t
p 1: Cho ng cong
3
( ) : 3 4C y x x= -
. Vi
t phng trỡnh tip tuyn vi (C), bit tip
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 7
tuyến đi qua
(1;3)
A
.

Bài giải:

TXĐ:
.D R=

G

ọi đường thẳng d bất kì có hệ số góc
k
qu
a
(1;3)
A
:

3 ( 1) ( 1) 3d: y k x y k x- = - Û = - +

Khi đó, d là tiếp tuyến của (C)
Û
H
ệ phương trình sau có nghiệm
:

3
2
3 4 ( 1) 3
3 12
(1)
(2)
x x k x
x k
ì
- = - +
ï
í
- =
ï

î

Thay (2) vào (1), ta có phương trình
:
3 2
0
8 12 0
3
2
x
x x
x
=
é
ê
- = Û
ê
=
ë

* Nếu
0 3x k= Þ =
. Ta có tiếp tuyến

:
: 3
1
T y x=

* N

ếu
0 24x k= Þ = -
. Ta có tiếp tuyến

:
: 24 27
2
T y x= - +

DẠNG
TOÁN:
GÓC CỦA HAI TIẾP TUYẾN

Phương

pháp :

Bư
ớc 1: Gọi k
1
, k
2
theo thứ tự là hệ số góc của các tiếp tuyến (d
1
) và (d
2
).

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:

LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 8

Bư
ớc 2: Gọi
a
là góc giữa (d
1
) và (d
2
)
thì
a
tan
.
1
21
21
=
+
-
k
k
kk
.
Nhận xét rằng
: (d
1

)
^
(d
2
)
Û
1 2
. 1k k = -

* Bài toán:
Cho hàm số y=f(x) (C). Tìm điều kiện để từ M
0
(x
0
,y
0
) có thể kẻ

đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau .

Kĩ thuật để giải quyết loại bài toán “ khó chịu “ này được thể hiện thông qua cách giải cụ thể
một số ví dụ sau.

Ví d
ụ 1:(

Đề 44) Cho hàm số:
1
1
1

+
-
++=
x
m
xy
(C).
Tìm điều kiện cần và đủ đối với m , để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho
từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau.

G
i
ải :

Gọi M(a,b) là điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến
đ
ồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau .Ta có :

Đường thẳng (d) qua A với hệ số góc k, có dạng:

y-b= k(x-a )
Û
(
d):

y= k(x-a)+b.
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:


ï

ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
-
+-=
+
-
+-
k
x
ba
xk
x
m
x
2
)
1
(
1
1
)(
1
1
1

Û

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
-
+ +=
+
-
+-
k
x
b
ka
kxk
x
m
x
2
)
1
(
1
1

)
1
(
1
1
1


Û
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
-
++-
+
-+=
+
-
+-
k
x
b
k
a

x
x
x
m
x
2
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1
Û

ï
ï
î
ï
ï
í

ì
=
+++-
-
+++-
=
+
k
m
b
k
a
m
b
k
a
x
2
)
2
)
1
(
(
1
2
)
1
(
1

1

Phương tr
ình ( * )
Û
f(k)=Ak
2
+2Bk+C (1)
Trong đó A=
(a+1)
2
; B=2m-ab-2a-b-4; C=(b+2)
2
-4m+4.
Đ
ể từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)
Û
(1) có hai nghiệm
phân
bi
ệt k
1
, k
2
khác
1
2
+
+
a

b
thoả mãn k
1
. k
2
=
-1.
( * )

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 9

Û

ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í

ì
¹
+
+
-=
+
+-+
¹+
0
)
1
2
(
1
)
1
(
44
)
2
(
01
2
2
a
b
f
a
m
b

a

Þ
(
a+1)
2
+(b+2)
2
=4m-4
Þ
4m-4>0
Û
m>1.

Kết luận : Vậy m>1 thoả mãn điều kiện bài toán.

Ví dụ 2(Đại Học Kinh Tế
-98):
Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y
.Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được hai tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số và hai tiếp đó vuông góc với nhau.

Giải:

Xét A(0,b)
Î
Oy . Đường thẳng (d) qua A với hệ số góc k có dạng: y = kx+b.

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:


ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
-
+=
+
+-
k
x
b
kx
x
x
2

)
1
(
2
2
1
2
12
Û

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
-
+-+=
+
+-
k
x
b
kxk
x
x
2

)
1
(
2
2
)
1
(
1
2
12


Û

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
-
+-
+
-+
=
+

+-
k
x
b
k
x
x
x
x
2
)
1
(
2
2
1
2
)
1
(
2
1
2
12

Û
ï
ï
î
ï

ï
í
ì
=
-+
-
-+
=
+
k
k
b
k
b
x
2
)
4
3
(
2
4
3
1
1

Phương trình ( * )
Û
f(k)=k
2

-
2(b-1)k+b
2
+6b
-7=0 (1)
Để từ A có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị khi chỉ khi (1) có 2
nghi
ệm phân biệt
k
1
, k
2
khác b+3 thoả mãn k
1
.k
2
=
-1.

Û

î
í
ì
¹+
-=-+
0
)
3
(

176
2
b
f
b
b

Û

15
3 ±-=
b
.
K
ết luận : Vậy tồn tại hai điểm
)
153
,
0
(
1

A
và
)
153
,
0
(
2

+-
A
.
Ví dụ 3:( ĐHQG TPHCM Khối
A-98):
Cho hàm số
1
2
-
=
x
x
y
. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ sao cho từ đó có thể kẻ
được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số.

Giải
:
Gọi A(a,b) là điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp vuông góc
với nhau tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Đư
ờng thẳng qua A có dạng (d): y
-b=k(x-a)
Û
(d): y=k(x-a)+b.
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( * )
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 10

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
-
+-
=
-
++
k
x
ba
xk
x
x

2
)
1
(
1
1
)(
1
1
1

Û

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
-
+-+-=
-
++
k
x
b
ka

kxk
x
x
2
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1


Û

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
-
+-+

-
=
-
+-
k
x
b
k
a
x
x
x
x
2
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1

Û

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-+-
-
-+-
=
-
k
b
k
a
b
k
a
x
2
)
2
2
)
1
(

(
1
2
2
)
1
(
1
1

Phương tr
ình ( * )
Û
f(k)=(a-1)
2
k
2
-2(ab-2a-b)k+b
2
-4b=0 (1)
Để từ A có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị khi chỉ khi phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt k
1
, k
2
khác
1
2
-
-

a
b
, thoả k
1
.k
2
=
-1.

Û

ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
¹
-
-
-=
-
-
¹-
0
)
1

2
(
1
)
1
(
4
01
2
2
a
b
f
a
bb
a

Û

ï
î
ï
í
ì
¹-+
=-+-
¹
0
)
1

(
4
)
2
()
1
(
1
2
22
ba
ba
a

Û

ï
î
ï
í
ì
=-+-
+¹
¹
4
)
2
()
1
(

1
1
22
ba
ab
a

V
ậy A thuộc đường tròn (S) tâm I(1,2) , bán kính R=2, bỏ đi bốn giao điểm của 2 đường thẳng
x=1 và y=x+1 với (S) (là các giao điểm của các đường tiệm cận của (C) với (S) là:
B(1,4),C(1,0),
)22,21(

D
,
)22,21(
++
E

Ví dụ 4:( Đề 17): Cho hàm số
1
12
2
-
+-
=
x
xx
y
(C).

Chứng tỏ rằng trên đường thẳng y=7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị
(C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
4
p
.
Hướng dẫn: Tiến hành các kĩ thuật tương tự như các ví dụ trên. Sử dụng hệ thức:

4
.
1
21
21
p
tg
kk
kk
=
+
-
Û
……v v…
Ví dụ 5

:( Đề 65): Cho hàm số y=x
3
+3x
2
+mx+1 (C
m
).

Xác đ
ịnh m để (C
m
) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1),D,E .Tìm m để các tiếp
tuy
ến tại D và E vuông góc với nhau .

Gi
ải
:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=1 và đồ thị là:

x
3
+3x
2
+mx+1=1
Û
x(x
2
+3x+m)=0
Û
ê
ë
é
=++
=
03
0

2
m
xx
x

( * )
( * )

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 11
Đồ thị (C
m
) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1), D, E khi chỉ khi phương trình ( *
) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.


Û

î
í
ì
¹

>
D
0
)
0
(
0
'
g
g
Û
0
≠ m<9/4
. (**)
Khi đó phương tr
ình (*) có nghiệm thoả mãn:


î
í
ì
=
-=+
m
xx
xx
E
D
E
D

.
3

+Tiếp tuyến tại D có hệ số góc:


m
x
m
x
m
xx
m
xxxyk
DDD
D
D
D
DD
23
2
3)3(363)(
'
22
= ++=++==

+Tiếp tuyến tại E có hệ số góc:


m

x
m
x
m
xx
m
xxxyk
EEE
E
E
E
EE
2323)3(363)(
'
22
= ++=++==

Các ti
ếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau khi chỉ khi: k
D
.k
E
= -1.

Û
(-3x
D
-
2m).(-3x
E

-
2m)= -1
Û
4m
2
-9m+1=0
Û
8
659
±
=
m

Bài tập :

1) Cho hàm s
ố y=
-
x
4
+2mx
2
-
2m+1. Tìm m
để các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A(1
,0) , B(
-
1,0) vuông góc với nhau .

2) Cho hàm số : y=x

3
-3x (C).
a) CMR: Khi m thay đổi , đường thẳng (d) : y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A
cố định .

b) Xác đ
ịnh m để (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị
t
ại B và C vuông góc với nhau .

3) Cho hàm số : y=x
3
-3x
2
. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 12
được hai tiếp tuyến đến đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau .

4) Cho hàm s
ố:
1

2
-
=
x
x
y
(C).
Tìm những điểm trên đường thẳng y=4 sao cho từ điểm đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp
tuyến lập với nhau một góc
4
p
.




Chủ đề
5:
SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ

I
-
LÝ THUY
ẾT:
Cho hai
đ
ồ
th
ị
h

àm s
ố

(
)
: ( )C y f x=
v
à
(
)
' : ( )C y g x=
.


Đ
ể
(C) v
à (C’) ti
ếp
x
úc nhau khi ch
ỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng tr
ình sau có nghi
ệm
:

/ /
( ) ( )

( ) ( )
f x g x
f x g x
=
ì
í
=
î

Đặc biệt:

Đư
ờng
th
ẳng

y kx m= +
là ti
ếp
tuy
ến
v
ới


( ) (C)y f x=

khi ch
ỉ
khi h
ệ
sau có nghi
ệm
:
/
( )
( )
f x kx m
f x k
= +
ì
í
=
î



II
- LUY
ỆN
T
ẬP
:
Bài tập 1: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(C):

(
)
(
)
3 2
2 4 1 3 2
y x m x m x m= - + + - - +
tiếp xúc với trục
hoành.

Bài giải:

TXĐ:
D R
=

Để (C) tiếp xúc Ox
Û
Hệ phương trình sau có nghiệm:

(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
2

2 4 1 3 2 0
3 2 2 4 1 0
x m x m x m
x m x m
ì
- + + - - + =
ï
í
- + + - =
ï
î
(1)
(2)
(I)
Từ (1) ta phân tích được:

(
)
(
)
(
)
2
2
1
1 1 3 2 0
( ) 1 3 2 0
x
x x m x m
g x x m x m

=
é
é ù
- - + + - = Û
ê
ë û
= - + + - =
ë

Lúc đó, hệ (I) trở thành:


(
)
(
)
2
1
3 2 2 4 1 0
x
x m x m
=
ì
ï
í
- + + - =
ï
î

(2)

(II) hoặc
(
)
(
)
(
)
2
2
1 3 2 0
3 2 2 4 1 0
x m x m
x m x m
ì
- + + - =
ï
í
- + + - =
ï
î

(III)
* Giải hệ (II): Thay
1x =
vào (2) ta được:
(
)
1 1 3 2 0 2 2 0 1m m m m- + + - = Û - = Û =
.

* Gi
ải hệ (III):

x
y
M
0
(C')
(C)
o

Chuyờn KHO ST HM S

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O T Toỏn THPT Phong in

Trang 13
(
)
(
)
2
2
1 3 2 0
1 3 2 0
( )

1
2 1 0
2
x m x m
x m x m
III
m
x m
x
ỡ
- + + - =
ỡ
- + + - =
ù ù

ớ ớ
+
- - =
=
ù
ợ
ù
ợ
(3)

Thay
1
2
m
x

+
=
vo (3) ta
c:

(
)
2
2
1
1 1
1 3 2 0 10 9 0
9
2 2
m
m m
m m m m
m
=
ộ
+ +
ổ ử ổ ử
- + + - = - + - =
ỗ ữ ỗ ữ
ờ
=
ố ứ ố ứ
ở

Kt lun: Vy th tip xỳc Ox khi

{ }
1;9mẻ
.




III-
BI T
P T LUYN:

1) (
HD
-02) Tỡm
m


(C):
2
(2 1)
1
m x m
y
x
- -
=
-
ti
p
xỳc v

i

ng
th
ng

y x=
.
2) (

52
) V
i
gi
ỏ tr

n
o c
a
a
thỡ (C):
2
3 2 1
2
ax ax a
y
x
+ + +
=
+

ti
p
x
ỳc v
i


ng
th
ng

y a
=

3) (

28
) X
ỏc

nh

m

(C):
3 2
2 3( 3) 18 8y x m x mx= - + + -
ti
p
x

ỳc tr
c
ho
nh.
4) (
HQGHN
-95) Xỏc
nh
a



2 2
( ) : ( 1) ( 1)C y x x= + -
ti
p
xỳc v
i

2
( ) : 3P y ax= -
.
5) (
23
) V
i
giỏ tr

no c
a

m
thỡ (C):
2
( 1)( 2 ) 4
m x x m
y
mx m
- - + +
=
+
ti
p
xỳc v
i

ng
th
ng

1y =
.
6) (
HNN
-98) Tỡm cỏc giỏ tr

c
a

m

(C):
2
( 1)( )
y x x mx m= - + +
ti
p
xỳc tr
c
honh. Xỏc
nh

to




c
ỏc ti
p


im trong mi
tr

ng
h
p
t

ỡm

c
.

7) Ch
ng
minh r
ng
: Cỏc

th

c
a
hm s


2
1
( ) 3 4, ( ) 1f x x x g x
x
= - + = +
v
( ) 4 6h x x x= - +
ti
p

xỳc v
i

nhau t
i
m
t


i
m
.
8) Ch
ng
minh (P):
2
3 1y x x= - -
ti
p
xỳc v
i
(C):
2
2 3
1
x x
y
x
- + -
=
-
. Vi
t

ph

ng trỡnh ti
p
tuy
n

chung c
a
(P) v
(C).
9) (
HTM 98
) Tỡm
m




th

(C):
3 2 2 2
2 (4 1) 4y mx m x m= - + +
ti
p
xỳc tr
c
honh.
10) T

ỡm
m



hai

ng
cong:
3
( 1) 2y x m x= - + -
v
2
2y x x= + -
ti

p x
ỳc
nhau. Vi
t ph
ng tr
ỡnh
ti

p tuy
n
chung c
a
hai

ng
cong
ú
.

11) Ch
ng
minh r
ng
: Hai
ng
cong:
3 2
2 9y x x x= + - +
v

3 2
3 5y x x x= + + +
t
i

p xỳc
nhau. Vit
ph

ng tr
ỡnh ti

p tuy
n

chung c
a
hai

ng
cong
ú
.

12) Tỡm
m


hai
ng
cong:
2
( 1) ( 1) 4
2
m
y x x m x
ổ ử
= + + + + +
ỗ ữ
ố ứ
v
2
5 4y x x= + +
ti

p xỳc nhau.
Vit ph
ng trỡnh ti

p tuy
n
chung c
a
hai
ng
cong

ú.
13) Tỡm
m


(C):
2
1
1
x x
y
x
- +
=
-
ti
p
xỳc v

i
(P):
2
y x a= +
.

14) Chng minh rng:
m"
h ng cong
2
m
( 2) ( 2 4)
f ( )
m x m m
x
x m
- - - +
=
-
luụn tip xỳc vi ng
thng
: 6.y xD = -

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B

ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 14

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền

Trang 15