Bài giảng cấu trúc dữ liệu Chương 6 Đồ thị

1
CHƯƠNG 6
ĐỒ THỊ

2
Chương 6: Đồ thị
6.1 Định nghĩa và các khái niệm
6.2 Biểu diễn đồ thị
6.3 Phép duyệt đồ thị
6.4 Tìm đường đi ngắn nhất

3
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và
các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các
đỉnh đó .
Nhiều bài toán thuộc những lĩnh vực rất khác
nhau có thể giải được bằng mô hình đồ thị:
biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi
trường sinh thái, hai máy tính có được nối với
nhau bằng một đường truyền thông hay
không. tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành
phố, lập lịch thi, phân chia kênh cho các đài
truyền hình …
6.1-Định nghĩa và khái niệm

4
Khi mô hình hoá bằng đồ thị: đỉnh biểu thị các đối
tượng được xem xét (người, tổ chức, địa danh, ),
cạnh đồ thị là những đoạn thẳng (hoặc cong) hay
những mũi tên nối một số điểm với nhau, tượng

trưng cho một quan hệ nào đó giữa các đối tượng.
Các loại đồ thị :
Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V
mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E
là các cạnh gồm các cặp không có thứ tự của các
đỉnh phân biệt.
6.1-Định nghĩa và khái niệm

5
Một đơn đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một
tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là
các đỉnh và một tập E các cặp có thứ tự gồm 2
phần tử khác nhau của V gọi là các cung.
Một đa đồ thị G = (V, E) giống như đơn đồ thị,
có thể có cạnh bội (có nhiều hơn hai cạnh
tương ứng với một cặp đỉnh) và khuyên (cạnh
nối đỉnh với chính nó).
6.1-Định nghĩa và khái niệm

6
v
3
v
4
v
5
v
6
v
1

v
2
6.1-Định nghĩa và khái niệm

7
Các thuật ngữ về đồ thị :
Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được gọi
là liền kề nếu (u,v)∈E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh
liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi là
cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các
điểm đầu mút của cạnh e.
Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số
các cạnh liên thuộc với nó. Khuyên tại một đỉnh được
tính hai lần cho bậc của nó.
Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập
nếu deg(v)=0
6.1-Định nghĩa và khái niệm

8
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v

6
v
7
6.1-Định nghĩa và khái niệm

9
Bậc vào (t.ư. bậc ra) của đỉnh v trong đồ thị có hướng G,
ký hiệu deg
t
(v) (t.ư. deg
o
(v)), là số các cung có đỉnh cuối
(đỉnh đầu) là v.
Đỉnh có bậc vào và bậc ra cùng bằng 0 gọi là đỉnh cô lập.
Đỉnh có bậc vào bằng 1 và bậc ra bằng 0 gọi là đỉnh
treo, cung có đỉnh cuối là đỉnh treo gọi là cung treo
Cho G =(V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó
||)(deg)(deg Evv
Vv Vv
ot
==
∑ ∑
∈ ∈
6.1-Định nghĩa và khái niệm

10
621. Ma trận kề: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E),
v1, v2, , vn là các đỉnh và e1, e2, , em là các cạnh
của G. Ma trận kề của G là ma trận
a

ij
bằng 1 nếu cạnh (i,j)∈ E và bằng 0 nếu ngược lại.
Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là đối xứng.
Ngoài ra, a
ij
có thể gán một số nào đó gọi là trọng số.
Lúc đó, ta có ma trận trọng số.
Nhược điểm là luôn phải dùng n
2
đơn vị bộ nhớ để lưu
trữ ma trận kề.
}, ,2,1,:){( njiaA
ij
==
6.2- Biểu diễn đồ thị

11
Ví dụ: Ma trận kề của đồ thị

















01011
00011
10010
11100
11000
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e

6
6.2- Biểu diễn đồ thị

12
622. Danh sách kề: Mỗi đỉnh v của đồ thị có danh
sách lưu trữ các đỉnh kề với nó, ký hiệu Ke(v):
Ke(v)={ u∈V: (v,u)∈E}
Người ta có thể dùng mảng hoặc danh sách liên kết
cho Ke(v). Chúng ta phải dùng m+n đơn vị bộ nhớ
để lưu trữ danh sách kề.
6.2- Biểu diễn đồ thị
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
e
1
e
2
e
3
e
4
e

5
e
6

13
Tìm kiếm theo chiều sâu:
void main()
{ for v ∈ V do chuaxet[v]:=true;
for v ∈ V do
if (chuaxet[v]) then DFS(v);
}
void DFS(v)
{ thamdinh(v); chuaxet[v]:=false;
for u ∈ Ke(v) do
if (chuaxet[u]) DFS(u);
}
6.3- Duyệt đồ thị

14
3
7
1
2
10
4
5
9
8
6
11

13
12
Kết quả tìm kiếm theo
chiều sâu: 1, 2, 10, 4, 3,
5, 8, 6, 7, 9, 12, 11, 13
6.3- Duyệt đồ thị

15
Đặc điểm:
-
Mỗi đỉnh được thăm đúng 1 lần.
-
Mỗi lần quay về chương trình chính, thuật toán se
tạo ra một thành phần liên thông mới.
-
Độ phức tạp của thuật toán là O(n+m).
6.3- Duyệt đồ thị

16
Tim kiem theo chieu rong:
void main()
{ for (v ∈ V) chuaxet[v]:=true;
for (v ∈ V) do
if (chuaxet[v]) BFS(v);
}
6.3- Duyệt đồ thị

17
void BFS(v)
{ Queue:=∅;

Queue  v; (*nap v vao Queue *)
chuaxet[v]:=false;
while (Queue ≠ ∅)
{ p  Queue;
thamdinh(p);
for (u ∈ Ke(p))
if (chuaxet[u])
{Queue  u; chuaxet(u):=false;}
}
}
6.3- Duyệt đồ thị

18
Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một
số nguyên dương trong đồ thị G=(V,E) là một dãy
các cạnh (hoặc cung) e1, e2, , en của đồ thị sao
cho e
1
=(x
0
,x
1
),e
2
=(x
1
,x
2
), ,e
n

=(x
n-1
,x
n
), với x
0
=u và
x
n
=v. Trong đồ thị đơn, ta ký hiệu đường đi này
bằng dãy các đỉnh x
0
, x
1
, , x
n
.
Nếu mỗi cung được đặt tương ứng một số thực a(x
i
,x
j
)
gọi là trọng số, lúc đó độ dài đường đi là:
Σa(x
i-1
,x
j
) với i=1 đến n
6.4- Đường đi ngắn nhất

19
Thuật toán Dijkstra:
-Đầu vào: Đồ thị G=(V,E) biểu diễn bằng ma trận
trọng số a[u,v] với u,v ∈ V
-Điều kiện: a[u,v] >= 0
-Đầu ra: Khoảng cách từ đỉnh s (đỉnh bắt đầu cho
trước) đến tất cả các đỉnh còn lại ký hiệu d[v].
truoc[v] ghi nhận đỉnh đi trước v trong đường đi
ngắn nhất từ s đến v.
-Ký hiệu: T là tập hợp chứa các đỉnh có nhãn tạm
thời.
6.4- Đường đi ngắn nhất

20
void dijkstra()
{for (v ∈ V)
{d[v]=a[s,v]; truoc[v]=s;}
d[s]=0; T= V \ {s};
while (T≠∅)
{tìm đỉnh u ∈ T thỏa mãn d[u]=min{d[z]: z ∈ T}
T= T \ {u}; //cố định nhãn của đỉnh u
6.4- Đường đi ngắn nhất

21
for (v ∈ T ) //gán nhãn lại cho các đỉnh trong T
if (d[v]>d[u]+a[u,v])
{ d[v]=d[u]+a[u,v];
truoc[v]=u;
}
}

}
6.4- Đường đi ngắn nhất

22
6.4- Đường đi ngắn nhất
2
1
3
4
6
5
1
2
7
2
5
1
1
1
4
3

23
6.4- Đường đi ngắn nhất
Bước lặp đỉnh 1 đỉnh 2 đỉnh 3 đỉnh 4 đỉnh 5 đỉnh 6
khởi tạo 0,1 1,1* ∞,1 ∞,1 ∞,1 ∞,1
1 - - 6,2 3,2* ∞,1 8,2
2 - - 4,4* - 7,4 8,2
3 - - - - 7,4 5,3*
4 - - - - 6,6* -

-viết d[v], truoc[v] trong mỗi ô
-đỉnh có * là đang chọn để cố dịnh nhãn ở bước lặp đang xét, nhãn của nó
không bị biến đổi ở các bước tiếp theo.
Độ phức tạp thuật toán là O(mlogn)

24
Bài tập
Bài 1: Viết chương trình nhập đồ thị từ bàn phím
lưu trữ dạng ma trận kề.
Bài 2: Viết chương trình chuyển CTDL biểu diễn
đồ thị từ ma trận kề sang danh sách kề và ngược
lại.
Bài 3: Viết chương trình liệt kê tất cả các đỉnh của
đồ thị bằng thuật toán duyệt theo chiều sâu, duyệt
theo chiều rộng.
Bài 4: Viết chương trình nhập đồ thị và 2 đỉnh rồi
chỉ ra đường đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh đó.