Phương pháp giải toán lớp 8

Chương I
Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thưc; đa thức với đa thức
Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C
(A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
Bài 1. Thực hiện phép tính
a. 5x
2
.(3x
2
– 7x + 2) c.(2x
2
-3x)(5x
2
-2x + 1)
b.
( )
2 2
2
. 2 3
3
xy x y xy y
− +
d. (x – 2y)(3xy + 5y
2
+ x)
e. 2x(3x
2
– 5x + 3) f. (2x – 1)(x
2
+ 5 – 4)
g. –(5x – 4)(2x + 3) h. (3x – 4)(x + 4) + (5 – x)(2x

2
+ 3x – 1)
i. 7x(x – 4) – (7x + 3)(2x
2
– x + 4) j. ( x
2
– 1 )( x + 2 ) – ( x– 2 )( x
2
+ 4x + 4)
Bài 2. Tính giá trị biểu thức
a. A = 3x(x
2
– 2x + 3) – x
2
(3x – 2) + 5(x
2
– x) tại x = 5
b. B = x(x
2
+ xy + y
2
) – y(x
2
+ xy + y
2
) với x = 10 ; y = -1
c. C = 3(2a - 1) + 5(3 - a) với a =
3
2
−

.
d. D = 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1.
e.E = 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2.
f. F = 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b =
1
2
Bài 3. Thực hiện phép tính sau:
a) 3y
2
(2y - 1) + y - y(1 - y + y
2
) - y
2
+ y; b) 2x
2
.a - a(1 + 2x
2
) - a - x(x + a);
c) 2p. p
2
-(p
3
- 1) + (p + 3). 2p
2
- 3p
5
; d) -a
2
(3a - 5) + 4a(a
2

- a).
e) (3b
2
)
2
- b
3
(1- 5b); f) y(16y - 2y
3
) - (2y
2
)
2
;
g) (-
1
2
x)
3
- x(1 - 2x -
1
8
x
2
); h) (0,2a
3
)
2
- 0,01a
4

(4a
2
- 100).
i) (x + 2)(1 + x - x
2
+ x
3
- x
4
) - (1 - x)(1 + x +x
2
+ x
3
+ x
4
);
Bài 4. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) x(2x + 1) - x
2
(x + 2) + (x
3
- x + 3);
b) x(3x
2
- x + 5) - (2x
3
+3x - 16) - x(x
2
- x + 2);
c) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);

d) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
e) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);
f) y
4
- (y
2
- 1)(y
2
+ 1);
Bài 5. Tìm x, biết:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
c) 2x
2
+ 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bài 6.Chứng minh:
a) (x - 1)(x
2
- x + 1) = x
3
- 1;
b) (x
3
+ x
2
y + xy
2
+ y

3
)(x - y) = x
3
- y
3
;
Dạng 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1) Kiến thức cơ bản:
1.1) (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
.
1.2) (A - B)
2
= A
2
- 2.AB + B
2
.
1.3) A
2
- B
2
= (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)
3
= A

3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
.
1.5) (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
.
1.6) A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
).
1.7) A
3

- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
).
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Khai triển hằng đẳng thức
a) (x + 2y)
2
; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)
2
.
d) (x - 1)
2
; e) (3 - y)
2
f) (x -
1
2
)
2
.
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a) x
2
+ 6x + 9; b) x
2
+ x +

1
4
; c) 2xy
2
+ x
2
y
4
+ 1.
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a) (x + y)
2
+ (x - y)
2
;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)
2
+ (x + y)
2
;
c) (x - y + z)
2
+ (z - y)
2
+ 2(x - y + z)(y - z).
Bài 4. Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;
a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m
2
- mn + n
2

);
c) (2 - a)(4 + 2a + a
2
); d) (a - b - c)
2
- (a - b + c)
2
;
e) (a - x - y)
3
- (a + x - y)
3
; f) (1 + x + x
2
)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x
2
);
Bài 5. Thực hiện phép tính
a) (4n
2
- 6mn + 9m
2
)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b
2
- 4b + 49);
c) (25a
2
+ 10ab + 4b
2
)(5a - 2b); d)(x

2
+ x + 2)(x
2
- x - 2).
Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
a) x
2
- y
2
tại x = 87 với y = 13;
b) x
3
- 3x
2
+ 3x - 1 Với x = 101;
c) x
3
+ 9x
2
+ 27x + 27 với x = 97;
d) 25x
2
- 30x + 9 với x = 2;
e) 4x
2
- 28x + 49 với x = 4.
Bài 7. Rút gọn và tính giá trị của :
a) 126 y
3
+ (x - 5y)(x

2
+ 25y
2
+ 5xy) với x = - 5, y = -3;
b) a
3
+ b
3
- (a
2
- 2ab + b
2
)(a - b) với a = -4, b = 4.
Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a
2
+ 4)(a - 1)(a
2
+ 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x
3
+ 3x
2
)(1 - x + 2x
3
- 3x
2
);
d) (a

6
- 3a
3
+ 9)(a
3
+ 3);
e) (a
2
- 1)(a
2
- a + 1)(a
2
+ a + 1).
Bài 9. Tìm x, biết:
a) (2x + 1)
2
- 4(x + 2)
2
= 9;
b) (x + 3)
2
- (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)
2
+ (2x - 1)
2
- 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x
2
+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;

e) (x + 1)
3
- (x - 1)
3
- 6(x - 1)
2
= -19.
Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:
a) 19
2
; 28
2
; 81
2
; 91
2
; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 29
2
- 8
2
; 56
2
- 46
2
; 67
2
- 56
2
;

Bài 11. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) a
2
+ b
2
= (a + b)
2
- 2ab; b) a
4
+ b
4
= (a
2
+ b
2
)
2
- 2a
2
b
2
;
c) a
6
+ b
6
= (a
2
+ b
2

)[(a
2
+ b
2
)
2
- 3a
2
b
2
];
d) a
6
- b
6
= (a
2
- b
2
)[(a
2
+ b
2
)
2
- a
2
b
2
].

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
+ +
− + −
+ + −
− − − − − −
+ − + + + +
2 3 2
2 2 2 2 3 2
10 6 2 2 2
2
a) 3x - 3y b) 2x 5x x y
c)14x 21xy 28x y d)4x 14x
e)5y 15y f)9x y 15x y 21xy
g)x(y 1) y(y 1) h)10x(x y) 8y(y x)
i)3x (x 1) 2(x 1) i)(b c) 3b
− + − − + −
− + − − + −
+ + + + − −
− − + − − − +
− + − + − +
2
2 2
3c
k)a(c d) c d l)b(a c) 5a 5c
m)b(a c) 5a 5c n)a(m n) m n
o)mx my 5x 5y p)ma mb a b
q)1 xa x a r)(a b) (b a)(a b)
t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b )

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
+ + +
+ − − + − + + +
+ − + − − −
− + − − − −
− − − + − +
− −
2 2 2 2 2
2 2
2 2 3
2
m 2 m 1 3 2 n 1
a)2x(x+3)+2(x+3) b)4x(x-2y)+8y(2y-x)
c) y (x y) zx zy d)3x(x 7) 11x (x 7) 9(x 7)
e)(x 5) 3(x 5) f)2x(x 3) (x 3)
g)x(x 7) (7 x) h)3x(x 9) (9 x)
i)5x(x 2) (2 x) j)4x(x 1) 8x (x 1)
k)p .q p .q p .q
+
+ − + −
− − − −
+ + + − + −
n 3 5 5
2 2
p.q o)5x (x 2z) 5x (2z x)
p)10x(x y) 8y(y x) q)21x 12xy
r)2x(x 1) 2(x 1) t)4x(x 2y) 8y(2y x)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức:
1) Phương pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng

thức
1. A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
2. A
2
- 2AB + B
2
= (A + B)
2
3. A
2
- B
2
= (A - B)(A + B)
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+B
2
= (A + B)
3
5. A
3

-3A
2
B + 3AB
2
- B
3
= ( A - B)
3
6. A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
)
7. A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB +B
2
)
2)Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
2

- 9; b) 4x
2
- 25;
c) x
6
- y
6
d) 9x
2
+ 6xy + y
2
;
e) 6x - 9 - x
2
; f) x
2
+ 4y
2
+ 4xy
g) 25a
2
+ 10a + 1; h)10ab + 0,25a
2
+ 100b
2
i)9x
2
-24xy + 16y
2
j) 9x

2
- xy +
1
36
y
2

k)(x + y)
2
- (x - y)
2
l)(3x + 1)
2
- (x + 1)
2
n) x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3
+ 8; b) 27x
3
-0,001
c) x
6

- y
3
; d)125x
3
- 1
e) x
3
-3x
2
+ 3x -1; f) a
3
+ 6a
2
+ 12a

+ 8
Bài 3: Tính nhanh:
a) 25
2
- 15
2
; b) 87
2
+ 73
2
- 27
2
- 13
2
c) 73

2
-27
2
; d) 37
2
- 13
2
e) 2009
2
- 9
2
Bài 4: Tìm x, biết
a) x
3
- 0,25x = 0; b) x
2
- 10x = -25
c) x
2
- 36 = 0; d) x
2
- 2x = -1
e) x
3

+ 3x
2
= -3x - 1
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x

8
- 12x
4
+ 18; b) a
4
b + 6a
2
b
3
+ 9b
5
;
c) -2a
6
- 8a
3
b - 8b
2
; d) 4x + 4xy
6
+ xy
12
.
Bài 6: Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm
a) x
2
- 2xy + y
2

+ a

2
;
b) x
2
+ 2xy + 2y
2
+ 2y + 1;
c) 9b
2
- 6b + 4c
2
+ 1;
d) x
2
+ y
2
+2x + 6y + 10;
Bài 7 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị :
a) x
2
+ y
2
- 2xy + x - y + 1
b) 2x
2
+ 9y
2
+ 3z
2
+ 6xy - 2xz + 6yz

c) 8x
2
+ y
2
+ 11z
2
+ 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x
2
+ 5y
2
+ 5z
2
+ 6xy - 8xz - 8yz
III) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử.
1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp
sao cho khi phân tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thì xuất hiện nhân tử chung.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y)
c) 3x
2
-3xy - 5x + 5y. d) x
2
+ 4x - y
2
+ 4;
e) 3x

2
+ 6xy + 3y
2
- 3z
2
; f) x
2
-2xy + y
2
- z
2
+ 2zt - t
2
;
g) x
2
- x - y
2
- y; h) x
2
- 2xy + y
2
- z
2
;
i) 5x - 5y + ax - ay; j) a
3
- a
2
x - ax + xy;

k) 7a
2
-7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b;
Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x
2
+ ax
2
-y - ax +cx
2
- cy;
c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax
2
+ 5y - bx
2
+ ay + 5x
2
- by;
Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3
+ y
3
+ 2x
2
-2xy + 2y
2
; b) a
4
+ ab

3
- a
3
b - b
4
;
c) a
3
- b
3
+ 3a
2
+ 3ab + 3b
2
; c) x
4
+ x
3
y - xy
3
- y
4
;
Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b
2
; b) 12y - 9x
2
+ 36 - 3x
2

y;
c) 21bc
2
- 6c - 3c
3
+42b; d) 30a
3
- 18a
2
b - 72b + 120a.
Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3
+ 3x
2
y + x +3x
2
y + y + y
3
; b) x
3
+ y(1 - 3x
2
) + x(3y
2
- 1) - y
3
;
c) 27x
3

+ 27x
2
+ 9x +1 + x +
1
3
; d) x(x + 1)
2
+ x(x - 5) - 5(x +1)
2
.
Bài 6 Tìm x, biết:
a) x
3
+ x
2
+ x + 1 = 0; b) x
3
- x
2
- x + 1 = 0;
c) x
2
- 6x + 8 = 0; d) 9x
2
+ 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bài 7 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau;
a) x
2
- 2xy - 4z

2
+ y
2
tại x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)
2
+ 48 tại x = 0,5
Bài 8. Tính nhanh :
a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 45
2
+ 40
2
- 15
2
+ 80.45.
IV) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
1) Kiến thức cơ bản:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử và các phương pháp khác.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
3
- 2x
2
+ x; b) 2x
2
+ 4x + 2 - 2y

2
;
c) 2xy - x
2
- y
2
+ 16; d) a
4
+ a
3
+ a
3
b + a
2
b
e) a
3
+ 3a
2
+ 4a + 12; f) a
3
+ 4a
2
+ 4a + 3;
g) x
2
y + xy
2
+ x
2

z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz;
h) a
2
+ b
2
+ 2a - 2b - 2ab; i) 4a
2
- 4b
2
- 4a + 1;
j) a
3
+ 6a
2
+ 12a + 8;
k) (a + b + c)
3
- (a + b - c)
3
- ( a - b + c)
3
- (-a + b +c)
3
.

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (2x + 3y)
2
- 4(2x + 3y); b) (x + y)
3
- x
3
- y
3
;
c) (x - y + 4)
2
- (2x + 3y - 1)
2
; d) (a
2
+ b
2
- 5)
2
- 4(ab + 2)
2
.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);
f) 2a
2
b + 4ab
2
- a
2

c + ac
2
- 4b
2
c + 2bc
2
- 4abc;
g) y(x - 2z)
2
+ 8xyz + x(y - 2z)
2
- 2z(x + y)
2
;
h) x
5
- 5x
3
+ 4x; i) x
3
- 11x
2
+ 30x; j)
4x
4
- 21x
2
y
2
+ y

4
; k) x
3
+ 4x
2
- 7x - 10; l) (x
2
+ x)
2
- (x
2
+
x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15)
+ 15; o) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x + 2) - 6.
Bài 3: Tìm x, biết.
a) 5x(x - 1) = x - 1;b) 2(x + 5) - x
2
- 5x = 0; c) x
3
-
1
4

x = 0;
d) (2x - 1)
2
- (x + 3)
2
= 0 e) x
2
(x - 3) +12 - 4x =0.
Bài 4. Tính nhanh giá trị biểu thức:
a) x
2
+
1
2
x +
1
16
tại x = 49,75;
b) x
2
- y
2
- 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.
DẠNG 4: CHUYÊN ĐỀ CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC
I) Chia đơn thức cho đơn thức ( đơn thức A chia hết cho đơn thức B).
1) Phương pháp:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B.
- Nhân các kết quả tìm được với nhau.
1) Ví dụ và bài tập:

Bài 1. Làm phép tính chia:
a) 100
15
: 100
12
; b) (-79)
33
: (- 79)
32
;
c)
16 14
1 1
:
2 2
   
 ÷  ÷
   
; d)
21 18
3 3
:
5 5
   
− −
 ÷  ÷
   
.
Bài 2. Chia các đơn thức:
a) -21xy

5
z
3
: 7xy
2
z
3
; b) (
1
2
−
a
3
b
4
c
5
) :
3
2
a
2
bc
5
;
c) x
2
yz : xyz; d) x
3
y

4
: x
3
y;
e) 18x
2
y
2
z : 6xyz; f) 5a
3
b : (-2a
2
b);
g) 27x
4
y
2
z : 9x
4
y; h) 9x
2
y
3
: (-3xy
2
);
i) (
3
4
−

m
2
n
4
) :
1
2
m
2
n
2
; j) 5x
4
y
3
z
2
: 3xyz
2
;
k) (-7a
3
b
4
c
5
) : (-21b
3
c
2

); l)
3
2
(a - b)
5
:
1
2
(b - a)
2
;
n) (x + y)
2
: (x + y); m)(x - y)
5
: (y - x)
4
;
o) (x - y +z)
4
: (x - y + z)
3
; ơ) 0,5a
m
b
n
c
3
: (
2

3
−
a
2
bc);
p) 1,8a
n+3
b
n+2
c
n +1
: (-0,9a
n+1
b
n-1
c).
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức sau:
(-x
2
y
5
)
2
: (-x
2
y
5
) tại x =
1
2

và y = -1.
Bài 4. Thực hiện phép chia:
a) (xy
2
-
4
3
x
2
y
3
+
6
5
x
3
y
2
) : 2xy; b) (x
3
- 3x
2
y +5xy
2
) : (
1
3
−
x);
c) (

3
4
a
3
b
6
c
2
+
6
5
a
4
b
3
c -
9
10
a
5
b
2
c
3
) :
3
5
a
3
bc;

d) [3(a - b)
5
- 6(a - b)
4
+ 21(b - a)
3
+ 9(a - b)
2
] : 3(a - b)
2
e) (u
4
- u
3
v + u
2
v
2
- uv
3
) : (u
2
+ v
2
).
Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện được các phép chia đơn thức sau? Với điều
kiện tìm được hãy thực hiện phép chia đó .
a)x
2n
: x

n + 3
; b) 3x
n
y
2
: 4x
2
y;
c) 6x
3
y
5
: 5x
n
y
2
; d) x
n
y
n+2
: 3x
3
y
4
II) Chia đa thức cho đơn thức.
1) Phương pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B.
- Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B.
- Cộng các kết quả lại với nhau.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) (7. 3
5
- 3
4
+ 3
6
) : 3
4
; b) (16
3
- 64
2
) : 8
3
;
Bài 2. Làm tính chia:
a) (5x
4
- 3x
3
+ x
2
) : 3x
2
; b) (5xy
2
+ 9xy - x
2
y
2

): (-xy);
c) (x
3
y
3
-
1
2
x
2
y
3
- x
3
y
2
) :
1
3
x
2
y
2
;
d) (24x
4
y
3
- 40x
5

y
2
- 56x
6
y
3
) : (-24x
4
y
2
);
e) [a
3
- (4a
6
+ 6a
5
- 9a
4
) : 6a
2
].(1,5a
2
+
2
3
a
4
);
f) [(3x

2
y - 6x
3
y
2
) : 3xy + (3xy - 1)x]
2
: 0,5x
2
.
g) [7(a - b)
5
+ 5(a - b)
3
] : (b - a)
2
; h) [7(a - 3b)
3
+ (a - 3b)] : (2a - 6b);
i) (x
3
+ 3x
2
y

+ 3xy
2
+ y
3
) : (2x + 2y).

Bài 3. Thực hiện phép tính:
a) (3a
m
b
n - 1
c
p-2
x - 7a
5
b
3
c
5
+
15
4
a
2mn
b
n-1
c
p+2
x) : (-3a
3-m
b
5
c
4
);
b) [(a + b - c)

3
+ (a - b + c)
3
+ (-a + b + c)
3
- (a + b + c)
3
] : 24abc;
c) [(x + y)
7
- (x
7
+ y
7
)] : 7xy.
d) Chứng minh số có dạng A = 3
4n + 4
- 4
3n + 3
chia hết cho 17 ( n thuộc N).
Bài 4. Làm tính chia:
a) [5(a - b)
3
+ 2(a - b)
2
] : (b - a)
2
b) 5(x - 2y)
3
: (5x - 10y);

c) (x
3
- 8y
3
) : (x + 2y);
d) [5(a + b)
7
- 12(a + b)
5
+ 7(a + b)
11
] : 4(-a - b)
3
e) [3(a - b)
4
(2a + b)
3
+ 10(a - b)
5
- (a - b)
6
(2a + b)] : 5(a - b)
3
.
Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x = -2.
A = (2x
2
- x) : x + (3x
3
- 6x

2
) : 3x
2
+ 3.
III) Chia đa thức một biến đã sắp xếp:
1) Phương pháp chung:
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì
được hạng tử cao nhất của thương.
- Nhân hạng tử cao nhất của thương với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích
vừa tìm được, ta được dư thứ nhất.
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức dư thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta
được hạng tử thứ hai của thương.
- Nhân hạng tử thứ hai của thương với đa thức chia rồi lấy dư thứ nhất trừ đi tích vừa
tìm được, ta được dư thứ hai.
- Lặp lại quá trình trên cho đến khi:
+) nếu dư cuối cùng bằng 0 thì phép chia có dư bằng 0 và được gọi là phép chia
hết.
+) nếu dư cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức dư thấp hơn bậc của đa thức chia
thì phép chia đó được gọi là phép chia có dư.
2) Ký hiệu:
A(x) là đa thức bị chia;
B(x) là đa thức chia;
Q(x) là đa thức thương;
R(x) là đa thức dư;
Ta luôn có: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- Nếu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phép chia hết.
- Nếu R(x)
≠
0 thì A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x)) gọi là
phép chia có dư.

3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính chia:
a) (6x
2
+ 13x - 5) : (2x + 5); b) (x
3
- 3x
2
+ x - 3) : (x - 3);
c) (2x
4
+ x
3
- 5x
2
- 3x - 3) : (x
2
- 3);
Bài 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa của biến:
a) (12x
2
- 14x + 3 - 6x
3
+ x
4
) : (1 - 4x + x
2
);
b) (x
5

- x
2
- 3x
4
+ 3x + 5x
3
- 5) : (5 + x
2
- 3x);
c) (2x
2
- 5x
3
+ 2x

+ 2x
4
- 1) : (x
2
- x - 1);
d) (x
3
- 7x + 3 - x
2
) : (x - 3);
e) (2x
4
- 3x
3
- 3x

2
- 2 + 6x) : (x
2
- 2);
f) (x
3
+ 2x
2
- 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x
4
- 6x
3
+15x
2
+ 2x - 1) : (3x
2
- 2x + 5);
h) (6x
3
- 2x
2
- 9x + 3) : (3x - 1);
i) (3x
4
+ 11x
3
- 5x
2
- 19x + 10) : (x

2
+ 3x - 2);
j) (-3x
2
+ 10x
3
- x - 3 + 12x
4
) : (x + 1 + 3x
2
);
k) (5x + 3x
2
- 2 + 2x
4
- 11x
3
+ 6x
5
) : (-3x + 2x
2
+ 2);
l) (2x
3
+ 5x
2
- 2x + 3) : (2x
2
- x + 1);
n) (2x

3
- 5x
2
+ 6x - 15) : (2x - 5);
m) (x
4
- x - 14) : (x - 2).
Bài 3. Không thực hiện phép chia, hãy xem phép chia sau đây có là phép chia hết không
và tìm đa thức dư trong trường hợp không chia hết;
a) (x
3
+ 2x
2
- 3x + 9) : (x + 3);
b) (9x
4
- 6x
3
+15x
2
+ 2x - 1) : (3x
2
- 2x + 5).
HD:
a) Kí hiệu số dư là r, ta có thể biết:
x
3
+ 2x
2
- 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r

Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta được:
r = (-3)
3
+ 2(-3)
2
- 3(-3) + 9 = 9
vậy dư trong phép chia là 9.
b) Ta thấy ngay thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức
dư thứ nhất là 2x - 1. Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x
2
- 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp
phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 2x - 1.
Bài 4 . Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không
và tìm đa thức dư trong trường hợp không chia hết.
a) (8x
2
- 6x + 5) : (x -
1
2
); b) 6x
2
- 3x + 3) : (2x - 1);
c) (x
4
+ x
3
+ x
2
+ x - 4) : (x - 1);
d) (18x

5
+ 9x
4
- 3x
3
+ 6x
2
+ 3x - 1) :(6x
2
+ 3x - 1).
Bài 5. Tính nhanh:
a) (9a
2
- 16b
2
) : (4b - 3a);
b) (25a
2
- 30ab + 9b
2
) : (3b - 5a);
c) (27a
3
- 27a
2
+ 9a - 1) : (9a
2
- 6a + 1);
d) (64a
3

-
1
27
b
3
) : (16a
2
+
4
3
ab +
1
9
b
2
).
4) Một số phương pháp khác để tìm đa thức thương và đa thức dư:
4.1) Phương pháp đặt phép chia:
Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x
3
+ ax + b chia hết cho đa thức x
2
+ x + 2.
Giải
Thực hiện phép chia
x
3
+ ax + b x
2

+ x - 2
x
3
+ x
2
- 2x
-x
2
+ (a +2)x + b x - 1
-x
2
- x + 2
(a + 3)x + (b -2)
Để chia hết, đa thức dư phải đồng nhất băng 0, nên :
3 0 3
2 0 2
a a
b b
+ = = −
 
⇔
 
− = =
 
vậy với a = -3; b = 2 thì x
3
+ ax + b chia hết cho x
2
+ x + 2.
Bài 10: làm các bài tập ở SBT: 157 -> 163 trang 76,77.

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 8 CHƯƠNG I
BI TẬP
Dạng 1. Nhân đơn thức với đơn thưc; đa thức với đa thức
Bi 1. Lm tính nhn
a. 5x
2
.(3x
2
– 7x + 2) c.(2x
2
-3x)(5x
2
-2x + 1)
b.
( )
2 2
2
. 2 3
3
xy x y xy y
− +
d. (x – 2y)(3xy + 5y
2
+ x)
Bi 2. Tính gi trị biểu thức
a. A = 3x(x
2
– 2x + 3) – x
2
(3x – 2) + 5(x

2
– x) tại x = 5
b. B = x(x
2
+ xy + y
2
) – y(x
2
+ xy + y
2
) với x = 10 ; y = -1
Dạng 2. Các bài toán về hằng đẳng thức
Bi 1. Tính
Dạng 3. Phân tích đa thức thnh nhn tử
1. Đặt nhân tử chung
a. 5x
2
y
2
+ 15x
2
y + 30xy
2

b. 10x
2
y – 15xy
2
+ 25x
2

y
2
c.
3( 1) 5 (1 )x x x
− + −
d. x(x
2
– 1) + 3(x
2
– 1)
e. 12y ( 2x-5 ) + 6xy ( 5- 2x)
2. Dùng hằng đẳng thức
a. x
2
- 10x + 25
b. x
2
- 64
c.
( ) ( )
22
1625 yxyx −−+
d. x
4
- 1
3. Nhóm hạng tử
a. 2xy + 3z + 6y + xz
5. Tách hạng tử
a. x
2

+ 8x + 7
b.
2
5 5x xy x y+ − −
c. 2x
2
– 2xy – 7x + 7y
d. x
2
– 3x + xy – 3y
e. x
2
– xy + x – y
b. x
2
- 5x + 6
c. x
2
+ 3x - 18
d. 3x
2
– 16x + 5
4. Phối hợp các phương pháp
x
2
– 2xy + y
2
– xy + yz
a. y – x
2

y – 2xy
2
– y
3
b.
2 2
25 2x y xy− + +
c.
( )
( )
2
2 2
x y x y+ − −
d. x
2
+ 4x - y
2
+ 4
e. 2xy – x
2
–y
2
+ 16.
f.
− − −
2 2
x 2x 4y 4y
x
2
+ 6x + 9 – y

2
3x
2
+ 6xy + 3y
2
– 3z
2
9x – x
3
(2xy + 1)
2
– (2x + y)
2
x
3
+ 2x
2
– 6x – 27
x
3
– x
2
– 5x + 125
Dạng 4. Chia đa thức cho đơn thức, chia đa thức một biến đ sắp xếp
Bài 1. Thực hiện php chia
a. (15x
3
y
2
– 6x

2
y – 3x
2
y
2
) : 6x
2
y
b.
2 2
3 2 4
5 :
4 7 5
x y xy xy xy
−
   
− + −
 ÷  ÷
   
c. (4x
2
– 9y
2
) : (2x – 3y)
d. (x
3
– 3x
2
y + 3xy
2

– y
3
) : (x
2
– 2xy +y
2
)
Bài 2. Thực hiện php chia
a. (x
4
– 2x
3
+ 2x – 1) : ( x
2
– 1)
b. (8x
3
– 6x
2
- 5x + 3) : (4x + 3)
c. (x
3
– 3x
2
+ 3x – 2) : ( x
2
– x + 1)
d. (2x
3
– 3x

2
+ 3x - 1) : (x
2
– x + 1)
Bài 3. Tìm a để phép chia là phép chia hết
a. x
3
+ x
2
+ x + a chia hết cho x + 1
b.
3 2
2 3x x x a
− + +
chia hết cho x + 2
c. x
3
- 2x
2
+ 5x + a chia hết cho x - 3
d. x
4
– 5x
2
+ a chia hết cho x
2
– 3x + 2
Bài 4. Tìm x
a) (2x – 1)
2

– (2x + 5)(2x – 5) = 18
b) 5x (x – 3) – 2x + 6 = 0
c)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 0x x x+ − − + =
d) (2x + 3)
2
– (x – 1)
2
= 0
e) x
3
- 8 = (x - 2)
3
f)
3 2
5 4 20 0x x x
+ − − =
g) x
3
– 4x
2
+ 4x = 0
h)
( )
05225
2
=++− xx
i)

( )
041682
22
=+−++ xxx
j)
( )
1472
2
=+− xxx
k) (3x + 5)(4 – 3x) = 0
l) 3x(x – 7) – 2(x – 7) = 0
m) 7x
2
– 28 = 0
n) (2x + 1) + x(2x + 1) = 0
o) 2x
3
– 50x = 0
p)
2 (3 5) (5 3 ) 0x x x
− − − =
q) 9(3x - 2) = x( 2 - 3x)
r)
( )
− − =
2
2x 1 25 0
s) 5x
2
– 2 = 0

t) x
2
– 25 = 6x - 9
CHUYÊN ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có
dạng
A
B
, trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0
A là tử thức (tử).
B là mẫu thức
Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1.
b) Hai phân tức bẳng nhau:
Với hai phân thức
A
B
và
C
D
, ta nói
A
B
=
C
D
nếu A.D = B.C
2) Bài tập:
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

a)
2 3 3 4
7
5 35
x y x y
xy
=
; b)
( )
( )
2
2
2
2
2
x x
x
x
x x
+
=
+
+
;
c)
2
2
3 6 9
3 9
x x x

x x
− − +
=
+ −
; d)
3 2
4 2
10 5 5
x x x x
x
− − −
=
−
;
e)
5 20
7 8
y xy
x
=
; f)
( )
( )
3 5
3
2 5 2
x x
x
x
+

=
+
;
g)
( ) ( )
2
2 1
2
1 1
x x
x
x x
+ +
+
=
− −
; h)
2 2
2 3 2
1 1
x x x x
x x
− − − +
=
+ −
;
i)
3
2
8

2
2 4
x
x
x x
+
= +
− +
.
Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng
thức sau.
a)
2
2
6 3
2 1 4 1
A x x
x x
+
=
− −
; b)
2
4 3 7 4 7
2 3
x x x
A x
− − −
=
+

;
c)
2
2 2
4 7 3
1 2 1
x x A
x x x
− +
=
− + +
; d)
2 2
2
2 2
2 3 2
x x x x
x x A
− +
=
− −
.
Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai.
Em hãy sửa sai cho đúng.
a)
2
2
5 3 5 13 6
2 4
x x x

x x
+ + +
=
− −
; b)
2
2
1 3
3 6 9
x x
x x x
+ +
=
+ + +
;
c)
2
2
2 2
1 1
x x
x x
− +
=
− +
; d)
2 2
2 2
2 5 3 2 3
3 4 5 4

x x x x
x x x x
− + − −
=
+ − + +
.
Bài 4. Ba phân thức sau có bằng nhau không?
2 2
2 2
2 2 4
; ;
1 1 2
x x x x
x x x x
+ − + −
− + − −
.
Bài 5. Tìm tập xác định của các phân thức sau:
a)
3
5 2x +
; b)
2
2
3
6 9
x
x x
+
− +

;
c)
2
3
x
x x
+
; d)
2
2 1
3 2
x
x x
+
− +
.
Bài 6. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0.
a)
2
3 1
5
x
x
−
−
; b)
2
2 1
x x
x

−
+
;
c)
2
2
3 2
1
x x
x
− +
+
; d)
2
2
2
4 4
x x
x x
−
− +
;
e)
4 3
4 3 2
1
2 1
x x x
x x x x
+ + +

− + − +
; f)
4 2
4 2
5 4
10 9
x x
x x
− +
− +
.
Bài 7. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:
a)
2
3
1x x
+ +
; b)
6
3x −
; c)
( )
3
2 1
1
x
x
+
+
;

II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Tính chất:
- Tính chất 1:
.
.
A AM
B B M
=
(M là đa thức khác đa thức 0).
- Tính chất 2:
:
:
A A M
B B M
=
(M là nhân tử chung khác 0).
b) Quy tắc đổi dấu:
A A
B B
−
=
−
.
2) Bài tập áp dụng :
Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ
trống trong các đẳng thức sau:
a)
2
2

5 5
x x x
x
−
=
−
; b)
2 3
8 3 24
2 1
x x x
x
+ +
=
−
;
c)
( )
2
2
3 3
3
x xy
x y
y x
−
=
−
−
; d)

2 2
2 2
2 x xy y
x y y x
− + −
=
+ −
;
e)
3 2
2

1 1
x x
x x
+
=
− −
; f)
2 2
5 5 5 5
2 2
x y x y
y x
+ −
=
−
.
Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức
A cho trước.

a)
2
2
4 3
, A= 12x +9x
5
x
x
+
−
; b)
( ) ( )
2
8 8 2
, 1 2
4 2 15 1
x x
A x
x x
− +
= −
− −
;
Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành
một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức.
a)
3
2x
+
và

1
5
x
x
−
; b)
5
4
x
x
+
và
2
25
2 3
x
x
−
+
;
Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp
phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:
a)
3
5
x
x −
và
7 2
5

x
x
+
−
; b)
4
1
x
x +
và
3
1
x
x −
;
c)
2
2
8 16x x+ +
và
4
2 8
x
x
−
+
; d)
( ) ( )
2
1 3

x
x x+ −
và
( ) ( )
3
1 2
x
x x
+
+ −
;
Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau không?
a)
3 3
3
x y
xy
và
2
x
y
; b)
2
2
x
x y+
và
2
2 2
x

x y+
;
c)
1
( 1)(3 )
x
x x
−
− −
và
1
( 1)( 3)
x
x x
−
− −
; d)
2
3( 1)
(1 )
x
x
− −
−
và
2
3( 1)
( 1)
x
x

−
−
;
Bài 6. Hãy viết các phân thức sau dưới dạng một phân thức có mẫu thức
là 1 - x
3
;
a)
2
3
1
x
x −
; b)
1
x
x −
; c)
2
1
1
x
x x
+
+ +
.
Bài 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau:
a)
2
2

xy
x x
−
−
; b)
2
1
1
x
x
−
−
;
c)
2 2
y x
x y
−
−
; d)
2 1
2
x
x
− +
− −
.
Bài 8. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:
a)
2

x
và
1
x
x +
; b)
2
x
y
và
y
x
;
c)
3 3
2x y
x y
+
−
và
x
x y−
; d)
5 4
1x
x y
+
và
4 5
1 x

x y
−
.
Bài 9. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng tử thức:
a)
1
x
và
2
3
x
x
−
+
; b)
x
y
và
y
x
;
c)
2 2
2
2
x y
x xy
−
−
và

x y
x
+
; d)
3 2
x y
x y−
và
2 3
x y
x y+
;
III) Rút gọn phân thức
1) Phương pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
a)
5
2 2
14 (2 3 )
21 (2 3 )
xy x y
x y x y
−
−
; b)
3
3

8 (3 1)
12 (1 3 )
xy x
x x
−
−
;
c)
2
2
20 45
(2 3)
x
x
−
+
; d)
2
3
5 10
2(2 )
x xy
y x
−
−
;
e)
3
80 125
3( 3) ( 3)(8 4 )

x x
x x x
−
− − − −
; f)
2
2
9 ( 5)
4 4
x
x x
− +
+ +
;
g)
2 3
3
32 8 2
64
x x x
x
− +
+
; h)
3
4
5 5
1
x x
x

+
−
;
i)
2
2
5 6
4 4
x x
x x
+ +
+ +
. J)
2
3
10 ( )
15 ( )
xy x y
xy x y
+
+
;
k)
2
2
x xy x y
x xy x y
− − +
+ − −
; l)

2
4
3 12 12
8
x x
x x
− +
−
;
n)
2
2
7 14 7
3 3
x x
x x
+ +
+
; m)
2
2 2a ab
ac ad bc bd
−
+ − −
;
o)
2
2 2
x xy
y x

−
−
; ơ)
2 2
2 2
2
x y
x xy y
−
− +
;
p)
3
2 2
1
a
a
−
−
; q)
2
2
6 9
8 15
x x
x x
− +
− +
;
v)

4 3
4 3
2
2
x x
x x
−
−
; u)
7 4
6
1
x x
x
−
−
;
ư)
2 2
( 2) ( 2)
16
x x
x
+ − −
; x)
2 2
2
24,5 0,5
3,5 0,5
x y

x xy
−
−
;
y)
3 2
2
3 2 6
2
a a a
a
− + −
+
; z)
2 2 2 2
( )( )
( )( )
a b c d
b a d c
− −
− −
.
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2 3 2
2 2
2
2 2
x y xy y xy y
x xy y x y

+ + +
=
+ − −
; b)
2 2
3 2 2 3
3 2 1
2 2
x xy y
x x y xy y x y
+ +
=
+ − − −
.
Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:
a)
3
45 (3 )
15 ( 3)
x x
x x
−
−
; b)
2 2
3 2 3
3 2 3
y x
x x y xy y
−

− + −
.
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
4 4
2 2
ax a x
a ax x
−
+ +
với a = 3, x =
1
3
; b)
3 2
3
6
4
x x x
x x
+ −
−
với x = 98
c)
3
3 5
3
3
x x
x x

+
+
với x =
1
2
−
; d)
4 3
2 3
2
2
x x
x x
−
−
với x =
1
2
−
;
e)
2
2
10 5
16 8
ab a
b ab
−
−
với a =

1
6
, b =
1
7
; f)
7
15 8
1a
a a
+
+
với a = 0,1;
g)
2 2
2 4
0,2 0,8
x y
x y
−
−
với x + 2y = 5; h)
2 2
9
1,5 4,5
x y
x y
−
+
với 3x - 9y = 1.

Bài 5. Cho 3a
2
+ 3b
2
= 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P =
a b
a b
−
+
.
Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
a)
2 2
( )( )
x y
x y ay ax
−
+ −
; b)
2 2 3 3
4 6 6 6
ax x y ay
ax x y ay
− − +
+ + +
;
IV) Quy đồng mẫu thức.
1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần).
- Lập tích các nhân tử bằng số và chữ:

+) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu.
+) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất.
2) Bài tập áp dụng
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a)
2 5
25 14
,
14 21x y xy
; b)
4 3
11 3
,
102 34x y xy
;
c)
4 2 3
3 1 2
,
12 9
x y
xy x y
+ −
; d)
3 2 2 4 3
1 1 1
, ,
6 9 4
x x
x y x y xy

+ −
;
e)
4 2 2 5
3 2 5 2
, ,
10 8 3
x
x y x y xy
+
; f)
4 4 3
, ;
2 ( 3) 3 ( 1)
x x
x x x x
− −
+ +
g)
3 2
2 2
,
( 2) 2 ( 2)
x x
x x x
−
+ +
; h)
3
5 3

,
3 12 (2 4)( 3)x x x x− + +
.
Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.
a)
2 2
7 1 5 3
,
2 6 9
x x
x x x
− −
+ −
; b)
2 2
1 2
,
2 4 2
x x
x x x x
+ +
− − +
;
c)
2
3 2
4 3 5 2 6
, ,
1 1 1
x x x

x x x x
− +
− + + −
; d)
2 2
7 4
, ,
5 2 8 2
x y
x x y y x
−
− −
;
e)
2
3 2 2
5 4 3
, ,
6 12 8 4 4 2 4
x x
x x x x x x+ + + + + +
; f)
3 2 2
1 1
, ,
1 1
x x x
x x x x x
+ −
− − + +

;
g)
2 2 2 2
,
6 2 3 4 4
a x a x
x ax a x ax a
− +
− − + −
;
h)
2 2
,
a d a d
a ab ad bd a ab ad bd
− +
+ + + + − −
;
i)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
2 2 2
x y z
x xy y z x y yz z x xz y z− + − − + − − − +
;
j)
3 2
1 3 2
, ,
1 2 2 1x x x x

+ + − +
; k)
2 2
2 2
, ,
2
x x y
x y
x y x xy y
−
+
− − +
;
l)
2
2 2 2
2 1 1
, ,
6 7 3 2 7 6 3 5 2
x x x
x x x x x x
+ +
− − − + − −
.
Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a)
3 2 2 2
, ,
a x b x b a
axb a xb axb

+ + −
; b)
2 2 2
2 1 2
,
4 4 2
x x a
x ax a x ax
+ +
− + −
;
c)
2 2 2 2
,
6 2 3 4 4
a x a x
x ax a x ax a
+ −
− − + −
; d)
2 2 2
,
a b a c
a bc ac ab a bc ac b
+ −
− + − − + −
;
e)
3 2 2
2 1

, ,
27 6 9 3 9
x x x
x x x x x
+ −
− − + + +
;
f)
2 2 2
2 2 1
, ,
3 2 2 5 3 2 7 6
x x x
x x x x x x
+ +
− + − + − − + −
.
Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện).
a)
2
1 1 1
, ,
2 2 2 2 1
x x
x x x
− +
+ − −
; b)
2
2 2 3 3

2 1 2 1
, ,
x a x x
x a x ax a x a
− − −
+ − + − +
;
c)
3 2 2
24 4 18
, ,
4 2 2
x
x x x x x x− − +
; d)
2 4 4 2 7
1 2 1
, ,
2 2 4 8
x x x
x x x x x x
+ −
− + + −
;
e)
2 2 2 2 2 2
2 4
, ,
3 2 3 4 3 7 2
x y xy

x xy y x xy y x xy y− + − + − − +
.
Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.
a)
2 2
2 2
5 6 2 7 5
,
4 4 3
x x x x
x x x
− + − +
− − + −
; b)
3 2 3
3 2 3 2
2 2 5 4
,
4 4 2 3 4
x x x x x
x x x x x x
− − + − +
+ − − + − −
;
c)
3 2 3 2
3 2 3 2
2 5 26 4 10 12
,
5 17 13 2 16

x x x x x x
x x x x x x
− + + + + +
− + − − + +
;
d)
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3
,
2 ( ) ( ) ( )
x y z xy yz zx x y z xyz
x y z yz x y y z z x
+ + + + + + + −
− − − − + − + −
.