cac chuyen de on thi dh(moi)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 54 trang )
Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
chuyên đề lý thuyết ch -
ơng trình lớp 12
I/ Công thức l ợng giác:
1,
Bảng g/trị l ợng giác của các góc
đặc biệt
:
30
0
(
/6)
45
0
(
/4)
60
0
(
/3)
90
0
(
/2)
120
0
(2
/
3)
135
0
(3
/
4)
150
0
(5
/
6)
18
0
0
(
)
Si
n
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
C
os
3
2
2
2
1
2
0
-
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
T
a
n
1
3
1
3
//// -
3
-1 -
1
3
0
C
ot
3
1
1
3
0 -
1
3
-1 -
3
///
/
2, Các công thức cơ bản cần nhớ:
sin
2
+ cos
2
= 1 tan .cot =1
1
2
cos
= 1+ tan
2
1
2
sin
= 1+ cot
2
3, Công thức về góc:
Góc đối:
và -
sin(-) = -
sin
cos(-) =
cos
tan(-) = -
tan
cot(-) = -
cot
Góc bù: và
-
sin(-) =
sin
cos(-) = -
cos
tan(-) = -
tan
cot(-) = -
cot
Góc: và
+
sin(+) = -
sin
cos(+) = -
cos
tan(+) =
tan
cot(+) =
cot
Góc phụ:
và
2
-
sin(
2
-) =
cos
cos(
2
-) =
sin
tan(
2
-) =
cot
cot(
2
-) =
tan
Góc : và
2
+
sin(
2
+) =
cos
cos(
2
+) =
-sin
tan(
2
+) =
-cot
cot(
2
+) =
-tan
4, Công thức cần nhớ:
Công thức cộng:
cos(a b) = cosa.cosb
m
sina.sinb
sin(a b) = sina.cosb
cosa.sinb
tan(a b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
m
Công thức
nhân đôi:
sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos
2
a- sin
2
a
= 2cos
2
a - 1
= 1- 2sin
2
a
Công thức hạ bậc
2: ( Đợc suy ra từ
công thức nhân
đôi).
1 2
2
2
cos a
cos a
+
=
1 2
2
2
cos a
sin a
=
1 2
2
tan
1 2
cos a
a
cos a
=
+
Công thức biến
tích thành tổng:
cosa.cosb =
1
2
[cos(a+b)+ cos(a-
b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a+b)+sin(a-b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a-b)- cos(a+b)]
Công thức biến
tổng thành tích:
cosa + cosb = 2 cos
2
a b+
.cos
2
a b
cosa - cosb = -2 sin
2
a b+
.sin
2
a b
sina + sinb = 2 sin
Chú ý:
một số
ct hay dung
trong biến đổi
1+ sin2x = ( sinx +
cosx)
2
1- sin2x = ( sinx -
cosx)
2
1- cos2x = 2sin
2
x
1+ cos2x = 2cos
2
x
tanx + cotx =
2
sin 2x
GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504
1
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
2
a b+
.cos
2
a b−
sinx + cosx =
2 ( )
4
cos x
Π
−
sinx - cosx =
2 s ( )
4
in x
Π
−
cosx- sinx =
sina - sinb = 2cos
2
a b+
.sin
2
a b−
tana ± tanb =
II/ Hµm sè:
Chuyên Đề Hàm số_ Luyện thi đại học
Chuyên đề 1: Chiều biến thiên của đồ thị hàm số
A.Cơ sở lý thuyết:
I. Lý thuyết chung:
1. y = f(x) đồng biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≥
với mọi x
∈
(a, b).
2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≤
với mọi x
∈
(a, b).
3. y = f(x) đồng biến trên
[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)
4. y = f(x) nghịch biến trên
[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).
Chú ý:
Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với đồ thị y
= g(x).
Nếu hàm số
0y ≥
,
∀∈
(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì
0y ≥
∀∈
[ ]
;a b
.
Bất phương trình
( )f x m≥
đúng
x I∀ ∈
⇔
Min f(x)
m≥
x I∀ ∈
Bất phương trình
( )f x m≤
đúng
x I∀ ∈
⇔
Max f(x)
m≤
x I∀ ∈
BPT
( )f x m≥
có nghiệm
x I∈
⇔
max f(x)
m≥
x I∀ ∈
BPT
( )f x m≤
có nghiệm
x I∈
⇔
Max f(x)
m≤
x I∀ ∈
Tam thức bậc hai:
2
0y ax bx c= + + ≥
x∀ ∈¡
0
0
a >
⇔
∆ ≤
2
0y ax bx c= + + ≤
x∀ ∈¡
0
0
a <
⇔
∆ ≤
B. Bài tập:
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3
y m x mx m x= − + + −
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định của nó.
2. Cho hàm số
4mx
y
x m
+
=
+
. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞
.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
2
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
3. Cho hàm số
3 2
3 4y x x mx= + − −
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng
( )
;0−∞
.
4. Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx= − + + −
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng
( )
0;2
.
5. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x= − + − + + −
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
biến trên khoảng
( )
0;3
.
6. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x= − − + − +
. Với giá trị nào của m thì hàm số
đồng biến trên
[
)
2;+∞
.
7. Cho hàm số
( )
( ) ( )
3 2 2
2 7 7 2 1 2 3y x mx m m mx m m= − − − + + − −
.
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
[
)
2;+∞
.
8. Tìm m để hàm số
1 1
sin sin2 sin3
4 9
y mx x x x= + + +
luôn đồng biến.
10.Tìm m để hàm số
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
đồng biến với mọi x.
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
A.Cở sở lý thuyết:
I. Cực trị hàm bậc ba:
Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
( )y f x=
có cực đại và cực tiểu
'( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
⇔
2
' 3 0b ac∆ = − >
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x
0
⇔
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=
<
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
⇔
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=
>
Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình đường thẳng qua cực đại,
cực tiểu.
Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị.
II. Cực trị hàm bậc bốn:
y’ = 0
có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép) thì hàm
số y có đúng 1 cực trị.
Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
3
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
B. Bài Tập:
11. Tìm m để
( ) ( )
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m= + − + + + + −
đạt cực tiểu tại x = - 2.
12. Tìm m để
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi qua CĐ, CT song
song với đường thẳng d: y = - 4x + 3.
13. Tìm m để
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2y x m x m m x
= + − + −
có CĐ, CT nằm trên đường thẳng d: y
= - 4x.
14. Tìm m để
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường
thẳng d: y = 3x - 7.
15. Tìm m để hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua d:
1 5
2 2
y x= −
17. Tìm m để hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là
nhỏ nhất.
18. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn
x
1
+ 2x
2
= 1.
19. Tìm m để hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
có 3 điểm cực trị.
20. Tìm m để hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
có CĐ, CT lập thành tam giác đều.
21. Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1y x m x= − +
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông
cân.
22.Tìm m để hàm số
3 2 2
1
( 2) (5 4) ( 1)
3
y x m x m x m= + − + + + +
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa
mãn điều kiện x
1
< -1 < x
2
.
24. Cho hàm số
( )
3 2
3 2 1 3y mx mx m x m= − + + + −
Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi đó dt đi qua CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm c/định.
25. Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −
Tìm m để hàm số có CĐ và CT cách đều gốc tọa độ O.
26. Cho hàm số
( )
3 2
3 3 2 1y x x m m x
= − − + −
Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu.
27. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2 1 2 2y x m x m x= − − + − +
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
4
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ
dương.
28. Cho hàm số
( )
3 2
2 3 3 11 3y x m x m= + − + −
Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.
29. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m= − + + − − + −
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía của trục tung.
30. Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
31. Cho hàm số:
4 2
2 2y x mx m= − +
Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT:
a. Lập thành 1 tam giác đều.
b. Lập thành 1 tam giác vuông.
c. Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16.
C. Bài Tập tương tự:
32. Tìm m để đồ thị có cực đại, cực tiểu
a.
3 2
1
. ( 6). (2 1)
3
y x mx m x m= + + + − +
b.
3 2
( 2). 3 . 5y m x x m x= + + + −
33. CMR với mọi m hàm số
3 2
2. 3(2 1) 6 .( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
sau luôn đạt cực trị tại
x
1
, x
2
và x
1
– x
2
không phụ thuộc vào m.
34. Tìm m để đồ
3 2 2
3 3( 1)y x mx m x m= − + − +
đạt cực tiểu tại x = 2
35. Tìm m để
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
không có cực trị.
36. Cho hàm số
3 2 2
2. 3(3 1) 12.( ) 1y x m x m m x= − + + + +
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT.
37. Tìm m để
3 2 3
( ) 3 4f x x mx m= − +
có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng y = x.
38. Tìm a để hàm số
3 2
4
. 2(1 sin ) (1 cos2 ). 1
3
y x a x a x= − − − + +
luôn đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
1x x+ =
39. Tìm m để hàm số
3 2
3
2
m
y x x m= − +
có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng
y = x.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
5
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Chuyên đề 3: GTLN và GTNN của hàm số
A. Cơ sở lý thuyết:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x≤
∀
x D∈
thì M = f(x
0
) được gọi
là GTLN của hàm số trên tập D.
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x≥
∀
x D∈
thì M = f(x
0
) được gọi
là GTLN của hàm số trên tập D.
Để tìm GTLN, GTNN ta có thể
Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận.
(Xét trên đoạn
[ ]
;a b
)
+ Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả sử có các nghiệm x
1
, x
2
.
+ Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
)
+ So sánh các giá trị trên và kết luận.
Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm GTLN, GTNN của hàm số
theo biến mới.
Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:
Giải phương trình:
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng một bên là hàm số theo
x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)).
+ Để PT có nghiệm thì
⇔
min ( , ) ( ) max ( , )f x m g m f x m≤ ≤
.
+ Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.
Giải bất phương trình:
Áp dụng các tính chất sau:
+Bất phương trình
( )f x m≥
đúng
x I∀ ∈
⇔
Min f(x)
m≥
x I∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m≤
đúng
x I∀ ∈
⇔
Max f(x)
m≤
x I∀ ∈
+ Bất phương trình
( )f x m≥
có nghiệm
x I∈
⇔
max f(x)
m≥
x I∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m≤
có nghiệm
x I∈
⇔
Max f(x)
m≤
x I∀ ∈
B. Bài tập:
40.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 cos2 4siny x x= +
trên đoạn
0;
2
π
.
41.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3
4
2sin sin
3
y x x= −
trên đoạn
[ ]
0;
π
.
42. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
cos 2 sin cos 4y x x x= − +
.
43. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+ +
=
+ +
.
44. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
0;1
.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
6
Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
45. Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
2
1y x x= +
.
46. Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
( ) ( )
3sin 4cos 10 3sin 4cos 10y x x x x= +
.
47. Chng minh rng:
sin tan 2x x x+ >
,
0;
2
x
ữ
.
48. Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
3 2
8 16 9y x x x= +
trờn on
[ ]
1;3
.
49. Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
2 cosx x+
trờn on
0;
2
.
50.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
2
3 9y x x= +
.
51.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
3 2
3y x x=
trờn on
[ ]
1;1
.
52.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
4 4
sin cosy x x=
.
53.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
2
y x x=
trờn on
[ ]
1;1
.
54.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
2
sin cosy x x= +
.
55.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
sin 3 sin 1
2 sin
x x
y
x
+
=
.
56.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s
3
sin cos2 sinx 2y x x= + +
C. Bi tp tng t:
67. Xỏc nh m phng trỡnh
( )
2
1 4 1x x m+ + =
cú nghim.
68. Xỏc nh m phng trỡnh
9 2 1x x m = +
cú nghim thc.
69. Tỡm m BPT:
( ) ( )
2
3 2 2 5 2 5 0m x m x m
+ >
cú nghim.
70.Tỡm GTLN, GTNN ca
1 9y x x= +
trờn on
[ ]
3;6
.
71.Tỡm m phng trỡnh:
( ) ( )
2 2 2 2x x x x m + + + =
cú nghim.
Chuyờn 4: Tip tuyn v cỏc bi toỏn liờn quan
A.C s lý thuyt:
1.Dng toỏn 1: Vit PTTT ti 1 im thuc th hm s.
Phng phỏp:
p dng cụng thc t ý ngha hỡnh hc
ca o hm:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x =
Bit im cú tung v honh cho trc.
Bit im cú honh cho trc.
Bit im cú tung cho trc.
GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504
7
Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
2.Dng toỏn 2: Vit PTTT cú h s gúc cho trc
Phng phỏp:
T
( )
'k f x=
ta suy ra cỏc nghim x
1
, x
2
. Th x
1
, x
2
vo y ta c ta tip im. p dung
dng 1 ta cú PTTT.
Cỏc bin dng ca h s gúc:
Bit trc tip:
1; 2; 3, . k v v=
Tip tuyn song song vi 1 ng thng cho trc.
Tip tuyn vuụng gúc vi 1 ng thng cho trc.
Tip tuyn to vi chiu dng Ox mt gúc bng
.
Tip tuyn to vi trc Ox mt gúc
.
Tip tuyn hp vi ng thng d cho trc 1 gúc bng
cho trc.
3.Dng toỏn 3: Vit PTTT i qua 1 im A cho trc.
Phng phỏp:
Gi x
i
l honh tip im. Khi ú PTTT cú dng
( ) ( ) ( )
'
i i i
y f x x x f x= +
Vỡ TT i qua A nờn ta tha món phng trỡnh, gii phng trỡnh ta c cỏc nghim x
i
.
Th ngc li ta c PTTT cn tỡm.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh chớnh l s tip tuyn k t A n th
B.Bi Tp:
72. Vit PTTT ca th (C):
3
3 5y x x= +
khi bit:
a. Ti im M(2; 7).
b. Honh tip im l x
0
= - 1.
c. Tung tip im l y
0
= 5.
d. Ti cỏc giao im ca (C) vi ng thng
d: 7x + y = 0
73. Cho hm s (C):
1
2
x
y
x
+
=
a. Vit PTTT ca th hm s ti giao im A ca th vi trc tung.
b. Vit PTTT ca th hm s, bit tuyt tuyn i qua im B(3; 4).
c. Vit PTTT ca th hm s, bit rng tip tuyn ú song song vi tip tuyn ti im
A.
74. Cho hm s (C):
3 2
1
2 3
3
y x x x= +
Vit PTTT d ca th hm s ti im un v chng minh rng d l tip tuyn ca (C) cú h
s gúc nh nht.
75. Cho hm s (C
m
):
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= +
Gi M l im thuc (C
m
) cú honh bng 1. Tỡm m tip tuyn ca (C
m
) ti im M song
song vi ng thng 5x y = 0.
GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504
8
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
76. Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
−
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
77.Chohàmsố(C):
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − −
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến
đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2.
78. Cho hàm số (C):
3
y x x= −
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 2).
79. Cho hàm số (C):
2 3
1
x
y
x
−
=
−
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: x – y + 2007 =
0.
80. Cho hàm số (C):
1
x
y
x
=
−
Viết PTTT d của đồ thị hàm số (C) sao cho d và hai tiệm cận
của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
81. Cho hàm số (C):
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục
Ox.
82. Cho hàm số (C):
3 2
2 6 5y x x= − + −
Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; -13).
83. Cho hàm số (C):
3 1
1
x
y
x
+
=
+
Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm
M(-2; 5).
84. Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2
3 1 1y x mx m x= + + + +
Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ x = - 1 đi qua
điểm A(1; 2).
85. Cho hàm số (C):
2
1
x
y
x
=
+
Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam
giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
86. Cho hàm số (C):
3 2
4 6 1y x x= − +
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9).
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
9
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
87. Cho hàm số (C):
2
2 3
x
y
x
+
=
+
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
88. Cho hàm số (C):
1
1
x
y
x
+
=
−
Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
89. Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
−
Cho M bất kì trên (C) có x
M
= m. Tiếp tuyến của (C) tạ M cắt
hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và
diện tích tam giác IAB không đổi.
90. Cho hàm số (C
m
):
3 2
3 1y x x mx= + + +
Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1),
D, E. Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc.
91. Tìm giao điểm của tiếp tuyến với (C):
1
3
x
y
x
+
=
−
với trục hoành, biết tiếp tuyến vuông góc
với d: y = x + 2001
Chuyên đề 5:
Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước
A.Phương pháp:
1. Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ (C
m
): y = f(x, m)
Giả sử M(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ (C
m
).
Khi đó: y
0
= f(x
0
, m) với mọi m.
Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhận được cặp giá trị (x
0
; y
0
).
Kết luận.
Chú ý: am + b = 0,
∀
m
⇔
0
0
a
b
=
=
am
2
+ bm + c = 0,
∀
m
⇔
0
0
0
a
b
c
=
=
=
2.Dạng 2: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên.
Giả sử hàm số y =
ax b
cx d
+
+
, ta biến đổi về dạng phân thức.
Nếu a chia hết cho c
⇒
ta chia tử cho mẫu và sử dung tính chia hết.
Nếu a không chia hết cho c
⇒
ta chia tử cho mẫu
( )
ax b a bc ad
y
cx d c c cx d
+ −
= = +
+ +
⇔
bc ad
cy a
cx d
−
− =
+
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
10
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Vì cy – a là nguyên nên ta phải có (bc – ad) chia hết cho cx + d.
Từ đó suy ra giá trị nguyên cần tìm.
3.Dạng 3: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) thỏa mãn điều kiện K.
Giả sử M(x
0
; y
0
) = M(x
0
; f(x
0
)).
Thiết lập điều kiện K cho điểm M.
Kết luận.
B.Bài tập:
92. Cho hàm số (C
m
):
3 2
3 9 1y x mx x= − + +
Tìm m để điểm uốn của (C
m
) thuộc đường thẳng y = x + 1.
93. Cho hàm số (C
m
):
2
1
mx m
y
x
− −
=
+
Chứng minh rằng họ (C
m
) luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
94. Cho hàm số (C):
1
2
x
y
x
−
=
+
Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên.
95. Cho hàm số (C):
3 2
3 2y x x= − + −
.
Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C).
96. Cho hàm số (C):
2
1
x
y
x
+
=
−
Tìm các điểm thuộc trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm
tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
97. Cho hàm số (C):
4 2
2 1y x x= − + −
Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị (C).
98. Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2 2 2
3 3 1 1y x mx m x m= − + − + −
Tìm m để trên đồ thị (C
m
) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
99. Cho hàm số (C):
3 2
3 2y x x= + −
Tìm trên đồ thị (C) của hàm số cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm I(2; 18).
100. Cho hàm số (C):
3
12 12y x x= − +
Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
101. Cho (C):
( )
3
1 1y x k x= + − +
Viết phương trình tiếp tuyến d tại giao điểm của (C) với Oy.
Tìm k để d tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8.
102. Cho hàm số (C):
4
2
x
y
x
+
=
−
Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y
– 6 = 0.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
11
Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
103. Cho hm s (C):
2
3
x
y
x
+
=
Tỡm trờn th (C) ca hm s im M cỏch u hai ng tim cn ca (C).
104. Cho hm s (C):
3
3y x x=
a. CMR: ng thng d: y = m(x+1) + 2 luụn ct (C) ti 1 im A c nh.
b. Tỡm m d ct (C) ti A, B, C phõn bit sao cho tip tuyn vi th ti B, C vuụng
gúc vi nhau.
105. Tỡm cỏc im trờn th (C):
3
1 2
3 3
y x x= +
m tip tuyn ti ú vuụng gúc vi ng
thng d:
1 2
3 3
y x
= +
.
106. Cho (C
m
):
3 2
1y x mx m= +
Vit PTTT ca (C
m
) ti cỏc im c nh m (C
m
) i qua.
Chuyờn 6: Tng giao gia hai th hm s
A.C s lý thuyt:
1. Bi toỏn tng giao tng quỏt:
Cho hai th hm s: y = f(x, m) v y = g(x,m). Honh giao im ca hai th l nghim
ca phng trỡnh
f(x, m) = g(x,m) (1).
Nhn xột: S nghim ca (1) chớnh l s giao im ca hai th hm s.
Chỳ ý: Nu ng thng d cú h s gúc k i qua im M(x
0
; y
0
) thỡ phng trỡnh d: y y
0
=
k(x x
0
). Sau ú lp phng trỡnh tng giao ca d v (C).
2.Bi toỏn c bn:
Cho th y = f(x, m) v trc honh: y = 0.
Honh giao im ca hai th l nghim ca phng trỡnh
f(x,m) = 0.
3.Phng phỏp chung:
Phng phỏp nhm nghim hu t
Cho phng trỡnh:
1
1 1 0
( ) 0
n n
n n
f x a x a x a x a
= + + + + =
.
Nu phng trỡnh cú nghim hu t
p
x
q
=
(p, q)=1 thỡ
\
n
q a
v
0
\p a
.
Phng phỏp hm s
Chuyn phng trỡnh honh tng giao v: g(x) = m.
Khi ú s nghim chớnh l s giao im ca th y = g(x) v ng thng y = m.
Chỳ ý: Phng phỏp hm s ch s dng c khi tham s l cú bc l 1.
B.Tng giao hm bc 3 vi trc Ox.
1.Cỏc phng phỏp xột tng giao:
GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504
12
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Phương pháp nhẩm nghiệm cố định: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ.
Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x =
α
thì
( )
( )
2
( , ) ( ) ( ) ( )f x m x a m x b m x c m
α
= − + +
.
Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số:
Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số.
( )
( )
( )
2
( , ) ( ) ( ) ( )f x m x m a m x b m x c m
ϕ
= − + +
.
Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị.
Phương pháp hàm số: Đưa phương trình tương giao về 1 đồ thị và 1 đường thẳng g(x)
= m.
2.Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ lập thành cấp số
a. Lập thành cấp số cộng:
Điều kiện cần: Giả sử cắt Ox tại x
1
, x
2
, x
3
lập cấp số. Khi đó đồng nhất hai vế ta có:
2
3
b
x
a
−
=
.
Thế vào phương trình ta tìm đựơc điều kiện cần tìm.
Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả mãn đề bài không. Từ đó
kết luận.
b. Cấp số nhân.
Tương tự ta cũng có:
3
2
d
x
a
−
=
. Thế vào và kiểm tra.
C.Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox.
1.Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Phương pháp: Sau khi đặt t = x
2
ta đựơc phương trình bậc hai. Căn cứ vào điều kiện đề bài thì
f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t
1
, t
2
dương và thỏa mãn t
2
= 9t
1
.
Vậy điều kiện là:
2 1
0
0
0
9
S
P
t t
∆ >
>
>
=
D. Phép Suy đồ thị:
Cho đồ thị y = f(x) ta suy ra các đồ thị hàm số sau:
( )
y f x=
( )
y f x=
Từ
( )
( )f x
y
g x
=
suy ra
( )
( )
f x
y
g x
=
.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
13
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
E. Bài Tập:
107. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
( )
3 2 2
3 1 2 4 1 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − +
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 1.
108. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2 2 2
2 2 1 (1 )y x mx m x m m= − + − + −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương.
109. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2 2
3 2 4 9y x mx m m x m m= − + − + −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
110. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2
(3 1) 5 4 8y x m x m x
= − + + + −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân.
111. Tìm m để đồ thị (C
m
):
4 2
2( 1) 2 1y x m x m= − + + +
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
112. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2 4 2
2 2x x m m− = −
.
113. Cho hàm số (C):
2 1
2
x
y
x
+
=
+
a. CMR: đường thẳng y = - x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm m để độ
dài AB đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Tìm m để phương trình:
2sin 1
sin 2
x
m
x
+
=
+
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng
[ ]
;o
π
.
114. Cho hàm số (C):
2
3
x
y
x
+
=
−
.
Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M
đến tiệm cận ngang của (C).
115. a. Chứng minh rằng đường thẳng d: 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C):
1
1
x
y
x
+
=
−
tại A, B
phân biệt thuộc 2 nhánh của (C).
b. Tìm m để AB đạt min.
116. Cho hàm số (C):
3 5
2
x
y
x
−
=
−
. Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm
cận của (C) là nhỏ nhất.
117. Cho hàm số:
4 2
2 4y x x= −
Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
118. Cho hàm số (C
m
):
( )
4 2
3 2 3y x m x m= − + +
Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
14
Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
119. Cho hàm số (C):
3 2
3 4y x x= − +
CMR: mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k(k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số (C)
tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
120. Cho hàm số (C):
3
3 2y x x= − +
Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị
(C) tại 3 điểm phân biệt.
121. Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
+
Với các giá trị nào của m đường thẳng d
m
đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị (C)
a. Tại hai điểm phân biệt
b. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
122. Cho hàm số (C):
2
2 1
x
y
x
+
=
+
a. CMR: đường thẳng d: y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm cố định của (C) khi m
thay đổi.
b. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng 1
nhánh của (C).
123. Cho hàm số (C):
1
2
x
y
x
−
=
−
Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của (C) tại
hai điểm đó song song với nhau.
124. Cho hàm số (C):
3 2
3y x x= − +
Tìm k để phương trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =
có 3 nghiệm phân biệt.
125. Cho hàm số (C):
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
.
Tìm m để phương trình:
3 2
2 9 12x x x m− + =
có 6 nghiệm phân biệt.
126. Cho hàm số (C):
3 2
3 6y x x= − −
.
Tìm m để phương trình:
3 2
3 6x x m− − =
có 4 nghiệm phân biệt.
127. Cho hàm số (C): y = 3x – 4x
3
.
Tìm m để phương trình:
( )
2
3 4x x m− =
có 4 nghiệm phân biệt.
128. Cho hàm số (C):
3
3 2y x x= − +
Tìm m để phương trình:
( )
2
1 2x x x m− − − =
có 3 nghiệm phân biệt.
129. Cho hàm số (C):
3 2
6 9 6y x x x= − + −
Tìm m để đường thẳng d: y = mx – 2m – 4 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
130. Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2
2 3 1 6 2y x m x mx= − + + −
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
15
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hồnh tại duy nhất một điểm.
131. Cho hàm số (C
m
):
4 2
1y x mx m= − + −
Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
132. Cho hàm số (C):
3
3 4y x x= −
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 3
3 4 3 4x x m m− = −
.
133. Cho hàm số (C):
4 2
y x x= −
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
2 2
4 1 1x x k− = −
.
134. Cho hàm số (C):
2
1
x
y
x
=
−
a. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
−
b. Biện luận theo m số nghiệm
[ ]
1;2x∈ −
của phương trình:
( )
2 0m x m− − =
III/ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
n
n thua so
a a.a a=
123
(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
1
a a=
a
∀
0
a 1=
a 0
∀ ≠
n
n
1
a
a
−
=
{ }
(n Z ,n 1,a R / 0 )
+
∈ ≥ ∈
m
n
m
n
a a=
(
a 0;m,n N> ∈
)
m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
−
= =
2. Các tính chất :
•
m n m n
a .a a
+
=
m
m n
n
a
a
a
−
=
•
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
n n n
(a.b) a .b=
n
n
n
a a
( )
b
b
=
3. Hàm số mũ: Dạng :
x
y a=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
D R=
• Tập giá trò :
T R
+
=
(
x
a 0 x R> ∀ ∈
)
• Tính đơn điệu * a > 1 :
x
y a=
đồng biến trên
R
* 0 < a < 1 :
x
y a=
nghòch biến trên
R
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
16
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
dn
M
a
log N M a N= ⇔ =
Điều kiện có nghóa:
N
a
log
có nghóa khi
>
≠
>
0
1
0
N
a
a
2. Các tính chất :
•
a
log 1 0=
a
log a 1=
•
M
a
log a M=
log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•
a a
log N .log N
α
= α
Đặc biệt :
2
a a
log N 2.log N=
3. Công thức đổi cơ số :
•
a a b
log N log b.log N=
a
b
a
log N
log N
log b
=
* Hệ quả:
a
b
1
log b
log a
=
và
k a
a
1
log N log N
k
=
4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu: * a > 1 :
a
y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N
⇔
M = N
2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N
⇔
M > N (nghòch biến)
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N
⇔
M < N (đồng biến )
4. Đònh lý 4: Với 0 < a
≠
1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N
⇔
M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)
6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M < N (đồng biến)
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M(x)
= a
N(x)
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
+ +
− −
=
Bài tập rèn luyện:
a,
3
17
7
5
128.25,032
−
+
−
+
=
x
x
x
x
(x=10) b,
( ) ( )
2 2
2 4
log (2 3 5) log (3 5)
2 3 7 4 3
x x x− + +
− = +
c,
2 1
2
1
2 3 1
x
x
x x
−
+
− + =
d,
2 1
1
2
3
0,12
5
x
x
x
−
+
−
=
÷
÷
e,
( ) ( )
2 1
2
1
2 3 2 3
x
x
x
−
−
+
− = +
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
17
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
3 ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( )
2f(x) ( ) 2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 . .
or . . . 0
2 . .
3 . . .
4 . a+b . a-b
5 . a+b . a-b .
f x f x
f x f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
a a c
a a a c
a a c
a b c
c
c
α β
α β γ
α β
α β γ
α β
α β γ
−
+ =
+ + + =
+ =
+ =
+ =
+ =
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0− + =
3)
x x
( 2 3 ) ( 2 3) 4− + + =
4)
322
2
2
2
=−
−+− xxxx
5)
027.21812.48.3 =−−+
xxxx
6)
07.714.92.2
22
=+−
xxx
7,
(
)
(
)
2
5 21 5 21 10.2
x
x x
− + − =
Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32( =−++
xx
(
1
±
x
) 2)
xxx
27.2188 =+
(x=0)
3)
13
250125
+
=+
xxx
(x=0) 4)
12
21025
+
=+
xxx
(x=0)
5)
x x
( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − =
(
)2±=x
6)
xxx
8.21227 =+
(x=0)
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
2)
0422.42
2
22
=+−−
−+ xxxxx
Bài tập rèn luyệnï: a,
20515.33.12
1
=−+
+xxx
(
3
5
log
3
=x
)
b,
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + = + + +
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0
∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do
đó nếu tồn tại x
0
∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)
= g(x))
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
18
víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c
2f(x)
råi ®Ỉt Èn phơ
víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b)
f(x)
víi
a b a b
. 1
c c
+ −
=
ta ®Ỉt Èn phơ t= (
a b
c
+
)
f(x)
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
f(x) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 . . .
3 . a+b . a-b
4 . a+b . a-b .
5 a ( )
6
f x g x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
x x
f g
a b
a b c
c
c
b f x
a b g f
α β γ
α β
α β γ
=
+ =
+ =
+ =
+ =
− = −
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x
2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x
1
( ) 2x 1
3
= +
4; 3.25
x-2
+9(3x-10).5
x-2
+3-x=0 5;
2 2 2
log log 3 log 9
2
.3
x
x x x− =
Bài tập rèn luyện:
1)
163.32.2 −=+
xxx
(x=2) 2)
x
x
−= 32
(x=1) 3;
2 2
log 3 log 5
x x x+ =
4;
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
5; 2
x
+ 3
x
= x + 4 6;
2 2
sin cos
8 8 10 cos 2
x x
y+ = +
D. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N=
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
+ =
x
log (x 6) 3
2)
x x 1
2 1
2
log (4 4) x log (2 3)
+
+ = − −
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx −=++−
(
141;11 +−=−= xx
)
4;
2 2
2 2 2
log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = +
2. Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
Tỉng qu¸t:
( )
( )
f(x) ( ) f(x) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
( )
a a a
1 log log ( ) ( ).log
2 b log b log log b
f x f x
f x g x f x g x
f x
a b a b
a b a b f x g x b
b
a a
a
= ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ =
÷
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2
x
.3
x+1
=12 b;
2
x x-x
x = 10
c;
3
1+log x
2
x = 3 .x
d;
2x 2 x
7 5
5 7=
e;
3
x
x
x+2
.8 = 6
3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
3
3
2 2
4
log x log x
3
+ =
2)
051loglog
2
3
2
3
=−++ xx
3;
x 2x 2
log 2.log 2.log 4x 0=
4;
( )
2
3 3
x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16+ + + + + =
5;
2 2
3x 7 2x 3
log (9 12x 4x ) log (6x 23x 21) 4
+ +
+ + + + + =
6;
2
25 5
log (5 ) 1 log 7
7 0
x
x
−
− =
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x+ = +
Bài tập rèn luyệnï:
)112(log.loglog.2
33
2
9
−+= xxx
(x=1;x=4)
2 3 2 3
log x log x log x.log x+ =
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
19
víi
a b a b
. 1
c c
≠
+ −
víi (a+b).(a-b) ≠1
víi b ≠ a.c
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0
∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b) .
do đó nếu tồn tại x
0
∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)
= g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a;
2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + +
b;
2 3
log (x 1) log (x 2)+ = +
c;
2
2
log (x x 5) 2 x+ − = −
E. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3
− −
−
≥
2)
2
x 1
x 2x
1
2
2
−
−
≥
3;
( )
2 3
2
1 1
x
x x
−
+ − ≤
Bài tập rèn luyện: a;
11
3322
−+
+≤+
xxxx
(
2
≥
x
) b;
2 3
2
1
2 1
x
x
x
−
−
≤
÷
+
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0
+
− + <
2)
x 3 x
2 2 9
−
+ ≤
3)
2 1
1
x x
1 1
( ) 3.( ) 12
3 3
+
+ >
4)
52428
11
>+−+
++ xxx
(
)20 ≤< x
5)
11
21212.15
++
+−≥+
xxx
(
2≤x
) 6;
0449.314.2 ≥−+
xxx
F. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N<
(
, ,
≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2− + >
2)
− <
2 3
3
log log x 3 1
3)
2
3x x
log (3 x) 1
−
− >
4)
x
x 9
log (log (3 9)) 1− ≤
5)
)12(log12log4)1444(log
2
555
++<−+
−xx
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1)
x
x
2
3 2
log (3 2) 2.log 2 3 0
+
+ + − >
2)
2
2x
x
log 64 log 16 3+ ≥
3)
2
3log
3)(log
2
2
2
>
+
+
x
x
(
2
1
8
1
<< x
)
3. Phương pháp 3: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
Tỉng qu¸t:
( )
( )
f(x) ( )
( ) ( )
1
2 b
f x
f x g x
a b
a b
a
>
>
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
20
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
a, 2
x
.3
x+1
<24 b;
5
≥
x-1
x
x
.8 500
c;
2x 2x
7 5
5 7≥
d;
2x
4
(2x)
≥
2
log
x
G. PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mò vµ LOGARIT cã tham sè
DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
0)12.(44 =−−
xx
m
(
10
≥∨<
mm
)
Bài 2: Cho phương trình:
022.4
1
=+−
+
mm
xx
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx ≠
sao cho
3
21
=+ xx
(m=4)
Bài 3: Tìm m để pt sau có hai nghiệm trái dấu:
014)12(16).3( =++−++ mmm
xx
(
4
3
1 −<<− m
)
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
xxx
m 36.81.216.5 =+
(
102<m
)
Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình:
0)4(log)1(log1
2
5
2
5
>++−++ mxxx
có nghiệm x
]3,2[∈
(
2921
≤≤−
m
)
Bài 3: Tìm m để phương trình:
02
3
1
3
1
1
=++
−
−
m
x
x
có nghiệm (
2−≤m
)
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
0544)5(16
2
11
2
11
=+++−
−−−−
mm
xx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình
1)
1
2
12
2
1
2.62
)1(3
3
=+−−
− xx
xx
(x=1)
2)
)4(log4log2)1(log
3
8
2
2
4
xxx ++−=++
(
622;2 −== xx
)
3)
)2(loglog
37
+= xx
(x=49)
4)
)2(loglog
75
+= xx
(x=5)
5)
072.32.5
35
13
=+−
−
−
x
x
(x=1)
6)
3
28
12
2
1
log4log232log +=−
−
x
x
(
2
5
=x
)
7)
x
xx
x
1
3
2
2
log
3
2
log
=
−−
(x=1,x=2,x=4)
8)
05
8
log3
2
2
log
2 =−
−
+
x
x
x
x
(
2,
2
1
== xx
)
9)
xxxx 26log)1(log
2
2
2
−=−+
(
2,
4
1
== xx
)
10)
x
x
x
4
4
log
2
)10(log.2log21 =−+
(x=2,x=8)
Bài 2: Giải các bất phương trình
1)
09.93.83
442
>−−
+++ xxxx
(x>5)
2)
23.79
12
2
2
2
≤−
−−−−− xxxxxx
(
20
4
1
≥∨≤≤− xx
)
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
21
Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
3)
xxx +
<
112
2
1
2
1
36
(
1101
><<<
xxx
)
4)
0128
8
1
4
1
13
xx
(
3
4
x
)
5)
)1(log1)21(log
5
5
++< xx
(
2
1
5
2
<< x
)
6)
xx
22
loglog2 >
(
2
4
1
< x
)
7)
1)93(loglog
9
<
x
x
(
10log
3
>x
)
8)
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4
<
+
x
xx
(
1
3
2
<< x
)
9)
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
>
+
++
x
xx
(-2 < x <-1)
Baứi 3 : Tỡm taọp xaực ủũnh cuỷa caực haứm soỏ sau:
1.
2
1
2
3 2
log
2
x x
y
x
=
+
2.
3 8
0,3
2
log ( 1)
2
2 8
x x
x
y
x x
= +
IV/ Công thức nguyên hàm :
Nguyên hàm của các hàm số cơ bản Nguyên hàm của hàm hợp ( du = udx )
dx x c
= +
1
1
x
x dx c
+
= +
+
sin xdx cosx c= +
sincosxdx x c= +
2
1
tandx x c
cos x
= +
2
1
cot
sin
dx x c
x
= +
1
lndx x c
x
= +
x x
e dx e c= +
ln
x
x
a
a dx c
a
= +
(a>0)
du u c= +
1
1
u
u du c
+
= +
+
sin cosudu u c= +
cos sinudu u c= +
2
1
tandu u c
cos u
= +
2
1
cot
sin
du u c
u
= +
1
lndu u c
u
= +
u u
e du e c= +
ln
u
u
a
a du c
a
= +
(a>0)
GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504
22
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
2
1 1
dx c
x x
−
= +
∫
1
2dx x c
x
= +
∫
tan lnxdx cosx c= − +
∫
cot ln sxdx inx c= +
∫
2
1 1
du c
u u
−
= +
∫
1
2du u c
u
= +
∫
tan ln cosudu u c= − +
∫
cot ln sinudu u c= +
∫
A/ C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm – tÝch ph©n :
Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:
•
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
1,
Ph ¬ng ph¸p 1: BiÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc
.
VÝ dơ1: tÝnh
2
cos xdx
∫
dïng ct h¹ bËc
1 2
2
2
cos a
cos a
+
=
1 2
2
2
cos a
sin a
−
=
2
tan xdx
∫
dïng ct
1
2
cos
α
= 1+ tan
2
α
1
1 3
dx
x x+ − +
∫
;
2
1
1 3
dx
x x+ − −
∫
dïng c¸ch nh©n liªn hỵp
. 5cosx cos xdx
∫
;
.sin 5cosx xdx
∫
dïng ct biÕn tÝch thµnh tỉng
2
2
3
2x x dx
−
− −
∫
;
( )
2
1
2 1x x dx
−
− −
∫
chia kho¶ng ®Ĩ bá dÊu gtt®
3
0
1 sin 2
2
x
cos xdx
Π
±
∫
cã
1 sin 2 cos
2 2
x x
cos x cos sinx x± = ±
2
5
2 5 3
x
dx
x x
−
− +
∫
t×m A,B sao cho
2
5
2 5 3 1 2 3
x A B
x x x x
−
= +
− + − −
2 3
2 5
sinx cosx
dx
sinx cosx
−
+
∫
t×m A,B sao cho
2 3 (2 5 ) (2 5 )sinx cosx A sinx cosx B cosx sinx− = + + −
3
2 2
6
tan cot 2x x dx
Π
Π
+ −
∫
2
0
1
2 cos
dx
sinx x
Π
+ −
∫
cã
2 cos 2(1 cos( ))
4
sinx x x
Π
+ − = − +
VÝ dơ2: : Tính các tích phân sau:
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x 1 xdx−
∫
4)
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
9)
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
23
Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
. 13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
14)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx
18)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx
VÝ dơ3:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫
5)
3
x
0
2 4dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1 sinxdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2
VÝ dơ4:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=
∫
2,
Ph ¬ng ph¸p 2: §ỉi biÕn lo¹i I
D¹ng 1:
2 2
a x dx−
∫
2 2
1
a
a
dx
a x
−
−
∫
2 2 2
x a x dx−
∫
§Ỉt x = a.sint ( hc x = a.cost )
Ψdx = a.cost.dt , ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
a,
2
2
2
4 x dx
−
−
∫
b,
1
2
1
1
1
dx
x
−
−
∫
c,
1
2 2
1
1x x dx
−
−
∫
d,
1
2
0
2x x dx−
∫
D¹ng 2:
2 2
1
a
a
dx
x a
−
+
∫
2 2
a x dx+
∫
§Ỉt x = a.tant Ψdx = a(1+ tan
2
t ).dt , ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
a,
2
2
2
1
4
dx
x
−
+
∫
b,
1
2
1
1 x dx
−
+
∫
c,
1
2
1
1
1
dx
x x
−
± +
∫
( hc mÉu lµ bËc 2 v« nghiƯm)
3,
Ph ¬ng ph¸p 3: §ỉi biÕn lo¹i II.
§Ỉt t = U(x) ( U(x) thêng lµ c¸c biĨu thøc trong c¨n, trong l thõa)
Ψ dt = U’.dx
'
dt
dx
U
⇒ =
®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban
®Çu ®Ĩ tÝnh.
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a,
2 2
0
1
a
dx
x a±
∫
®Ỉt t = ln (
2 2
x x a+ ±
)Ψ dt =
2 2
dx
x a±
b,
5
3
2
1
1
x
dx
x −
∫
hc
5
2
1
1
1
dx
x x −
∫
®Ỉt t =
2
1x −
GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504
24
Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
c,
2
2
1
1
x
dx
x +
đặt t =
1x +
d,
7
3
0
1x
dx
x
+
đặt t =
3
1x +
e,
2
5
1
2
1
x
dx
x
+
ữ
+
hoặc
3
1
2
1
x
dx
x
+
+
ta có
2 1
1
1 1
x
x x
+
= +
+ +
đặt t =
1
1
1x
+
+
f,
2
3
1
1
2 1 2 1
dx
x x+ +
đặt t =
6
2 1x +
g,
1
2
1
3
2 5
x
dx
x x
+
+
có
2 2
1
(2 2) 4
3
2
2 5 2 5
x
x
x x x x
+
+
=
+ +
h,
2
2 3
0
sin .x cos xdx
đặt t = sinx k,
4
3
0
tan xdx
hoặc
4
4
0
1
cos
dx
x
đặt t = tanx
l,
3
2
2
0
cos .sin
sin 1
x x
dx
x
+
hoặc
2
3 2
0
cos .sin sin 1x x x dx
+
đặt t =
2
sin 1x +
2
2 2
0
sin 2
4sin 9 s
x
dx
x co x
+
đặt t =
2 2
4sin 9 sx co x+
m,
2
0
cos
3. cos
x
dx
sinx x
có
cos
2sin( )
3
cos
3. cos
x
x
x
sinx x
=
đặt t =
3
x
5
2
3
2
cos2
cos 3.
x
dx
x sinx
n,
2
2 2
0
3s 4cos
3 4cos
inx x
dx
sin x x
+
+
0,
3
2
4
tan
1
x
dx
cosx cos x
+
;
2
3
2
4
1 tan
(1 t )
x
dx
anx
+
+
;
2
3
0
5 4 n
( n )
cosx si x
dx
cosx si x
+
đặt t = tanx
p,
ln2
0
x x
x x
e e
dx
e e
+
đặt t = e
x
q,
ln2
2
0
1
1
x
dx
e+
đặt t = 1+e
2x
t,
3
2
1
ln ln 1
e
x x
dx
x
+
đặt t =
3 2
ln 1x +
Tớnh caực tớch phaõn sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
2)
2
5
0
cos xdx
3)
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
+
4)
1
3 2
0
x 1 x dx
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
+
6)
4
4
0
1
dx
cos x
7)
e
1
1 lnx
dx
x
+
8)
4
0
1
dx
cosx
GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504
25
