PHAN_KHAO SAT HAM SO

Chuyên đề 2
Chuyên đề 2
KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Mục đích yêu cầu :
- Thuộc sơ đồ khảo sát, khảo sát thành thạo hàm số bậc 3,hàm trùng phương, hàm nhất
biến .
- Thành thạo viết pttt, biện luận số nghiệm bằng đồ thị, tìm giao điểm của hai đường
cong, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến, đạt cực trị, tìm GTLN và GTNN,
tiệm cận của đồ thị hàm số…
- Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay .
- Học sinh vận dụng thành thạo các kiến thức cơ bản để KSHS và các bài toán về tiếp
tuyến, cực trị, tiệm cận, …
II. Chuẩn bị :
GV : - Soạn giảng , hệ thống kiến thức cơ bản nhằm giúp học sinh dễ vận dụng khi làm
bài.
- Trình bày bài tập mẫu, cho học sinh thực hiện các bài tập tương tự.
HS : - Xem , học và hệ thống kiến thức cũ ở nhà. Thực hiện các bài tập mà GV đã giao.
III. Nội dung ôn tập:
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
• Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x
0
; y
0
) : y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)

• ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau
( ) ( )
( ) ( )



=
′
=
′
⇔
xgxf
xgxf
có nghiệm
( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )
Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(
0 0
;x y
)
Phương pháp : Áp dụng công thức y – y
0
= f’(x
0
)( x – x
0
)
• Nếu chưa cho y
0
thì tính y
0

= f(x
0
)
• Nếu chưa cho x
0
thì x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = y
0
Trang 10 -
Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
– 3x + 2 tại:
a) Điểm M có hoành độ x
M
= 0 b) Giao điểm của ( C ) với trục hoành
Giải :a) x
M
= 0
⇒
y
M
= 2
( )
2;0M⇒
y’ = f’(x) = 3x
2
– 3
⇒
f’(0) = – 3

Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 )
⇔
y = – 3x + 2
b) Phương trình trục Ox : y = 0 . Ta có x
3
– 3x + 2 = 0
( )
( )
21021
2
−=∨=⇔=−+−⇔ xxxxx

x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1)
0=⇔ y
x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2)
189)2(9 +=⇔+=⇔ xyxy
Vấn đề 2: Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k
( )
kxf =
′
⇔
0
. Giải phương trình tìm x
0

( )
00
xfyD =⇒∈

Phương trình tiếp tuyến y – y
0
= k( x – x
0
)
Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )
⇔
( ) ( )
( ) ( )



+=
=
′
2
1
bkxxf
kxf
có nghiệm . Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
• (d
1
) song song với (d) thì (d
1
) có hệ số góc k = a

• (d
2
) vuông góc với (d) thì (d
1
) có hệ số góc k =
a
1
−
hay a.k = – 1
Ví dụ
Cho ( C ) : y = f(x) = x
3
– 2x + 2. lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết
1) Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1 2) Tiếp tuyến vuông góc với (d)
GIẢI
1) Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1
( )
11231
0
2
00
±=⇔=−⇔=
′
⇔ xxxf
 x
0

= 1
⇒
y
0
= 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x
 x
0
= – 1
⇒
y
0
= 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4
2) Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 .
Gọi (d
1
) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )
( )
( )





+−=+−
−=−
⇔
222
1123
3
2

bxxx
x
có nghiệm
Trang 11 -
( )
3
3
1231
2
±=⇔−=−⇔ xx
. Từ (2) với x =
9
32
2
3
3
=⇒± b
.
Phương trình tiếp tuyến y = – x + 2
9
32

Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(
1 1
;x y
)
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y

0
) là tiếp điểm.Tính y
0
= f(x
0)
và f’(x
0
) theo x
0
. Phương trình tiếp
tuyến của (C) tại M là : y – y
0
= f’(x
0
)( x – x
0
) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A nên y
1
– y
0
=
f’(x
0
)( x
1
– x
0
) giải phương trình tìm x
0
thay vào (1).

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k . Ta có
(d) : y – y
1
= k( x – x
1
) (1) là tiếp tuyến của (C)
( ) ( )
( ) ( ) ( )



+−=
=
′
⇔
2
1
11
yxxkxf
kxf
có nghiệm
Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)
Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x
3
– 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi
qua A(2 ; –4 )
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y
0

) là tiếp điểm . Ta có y
0
= x
0
3
– 3x
0
+2 và
f’(x
0
) = 3x
0
2
– 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
y – (x
0
3
– 3x
0
+ 2) = (3x
0
2
– 3)( x – x
0
)
( )
2233
3
0
2

0
+−−=⇔ xxxy
(1)
Vì tiếp tuyến đi qua A(2)– 4) nên – 4 = (3x
0
2
– 3).2 – 2x
0
3
+ 2
3003
00
2
0
3
0
=∨=⇔=−⇔ xxxx
• x
0
= 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
• x
0
= 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k
Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 . (d) là tiếp tuyến của (C)
( )
( ) ( )






−−=+−
=−
⇔
24223
133
3
2
xkxx
kx
có nghiệm
Từ (1) và (2) ta có x
3
– 3x + 2 = (3x
2
– 3) (x – 2) – 4
3003
23
=∨=⇔=−⇔ xxxx

• x = 0
3−=⇒k
. Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
• x = 3
⇒=⇒ 24k
phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường
Phương pháp : Ap dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau




=
=
⇔
)()(
)(')('
xgxf
xgxf
có nghiệm. Từ đó suy ra giá trị tham số
Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = x
4
– x
2
+ 1 và (D) : y = g(x) = x
2
+ m
Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau
GIẢI : (C) và (D) tiếp xúc với nhau
( )





+=+−
=−
⇔




=
=
⇔
21
)1(224
)()(
)(')('
224
3
mxxx
xxx
xgxf
xgxf
có nghiệm
(1)
10044
3
±=∨=⇔=−⇔ xxxx
 x = 0 từ (2) ta có m = 1 ;  x =
1±
từ (2) ta có m = 0
Trang 12 -
II. ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN Cho đường cong (C
m
) : y = f(x;m)
1 /- Tìm những điểm cố đònh mà (C
m
) luôn đi qua

Phương pháp
Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố đònh của (C
m
)
mxfy ∀=⇔ )(
00
Biến đổi thành phương trình ẩn số m
p dụng : phương trình có nghiệm với mọi m khi tất cả các hệ số đều bằng 0 ta được
hệ phương trình ẩn số x
0
; y
0
. Giải hệ tìm nghiệm x
0
thuộc tập xác đònh D .
Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu điểm cố đònh
2 /- Tìm những điểm mà (C
m
) không đi qua
Phương pháp Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm mà (C
m
) không đi qua

⇔
phương trình y
0
= f(x
0
) không có nghiệm m. Từ điều kiện này suy ra M
Lưu ý : Phương trình vô nghiệm khi : x
0
D∉
hoặc phương trình
• Am + B = 0 vô nghiệm
0
0
A
B

=
⇔

≠

• Am
2
+ Bm + C = 0 vô nghiệm
0 0
0 0
A B A
hoặc
C
 

= = ≠
⇔
 
≠ ∆ <
 
Ví dụ Cho (C
m
) : y =
2
2( 1) 3
2
mx m x
x
− + +
−
( m là tham số )
1) Tìm những điểm mà (C
m
) luôn đi qua khi m thay đổi
2) Tìm những điểm mà (C
m
) không đi qua với mọi m
GIẢI
1) Tập xác đònh D =
¡
\
{ }
2
Gọi M(x
0

; y
0
) là điểm cố đònh của (C
m
)
( )
m
x
xmmx
y ∀
−
++−
=⇔
2
312
0
0
2
0
0

( ) ( )
23222
000
2
000
≠∀+−−=−⇔ xmxmxmxxy
( )
2
0 0 0 0 0 0

2 2 2 3 0x x m y x y x m⇔ − + − − + = ∀
2
0 0
0 0
0 0 0 0
0
0 ( 2)
2 0
3
2 2 3 0
2
x vì x
x x
y x y x y

= ≠

− =
 
⇔ ⇔
 
− − + = = −
 


Vậy (C
m
) luôn đi qua M( 0 ;
2
3

−
)
2) Gọi N(x
1)
y
1
) là điểm mà (C
m
) không đi qua
( )
2
1 1
1
1
2 1 3
2
mx m x
y
x
− + +
⇔ =
−
vô nghiệm m
( )




≠=+−−+−
=

⇔
)2()1(03222
2
111111
2
1
1
xVNxyxymxx
x
(1)





−≠
=
⇔



≠+−−
=−
⇔
2
3
0
0322
02
1

1
1111
1
2
1
y
x
xyxy
xx
( vì x
1

2≠
)
Vậy (C
m
) không đi qua N(0;
2
3
−
) ; N
1
(2)y)
∈∀y

¡
Trang 13 -
Vấn đề 2 Sự tương giao của hai đường
Phương pháp: Cho 2 đường ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình f(x)= g(x) (1 )

Phương trình ( 1 ) có bao nhiêu nghiệm thì ( C ) và ( D ) có bấy nhiêu điểm chung.
Muốn tìm giao điểm ta thay nghiệm của ( 1 ) vào y = f(x) hay y =g(x)
Lưu ý
1. Phương trình
2
0ax bx c+ + =
a) Phương trình vô nghiệm
0 0
0 0
a a b
c
≠ = =
 
⇔ ∨
 
∆ < ≠
 
b) Pt có 1 nghiệm kép



=∆
≠
⇔
0
0a
c) Pt có 2 nghiệm phân biệt




>∆
≠
⇔
0
0a
Định lí Viet : Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1)
x
2
ta có
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a

= + =−




= =



2. Phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 khi biết 1 nghiệm x = x
0
Phương pháp ( Chia 2 vế của phương trình cho x – x
0
)
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
⇔
( x – x
0
)( Ax
2
+ Bx + C ) = 0 (1)
( )



=++
=−
⇔
20
0
2

0
CBxAx
xx
Số nghiệm của (1) = Số nghiệm của (2) + 1
Đặt g(x) = Ax
2
+ Bx + C .Tính :
∆
= B
2
– 4AC và g(x
0
) = Ax
0
2
+ Bx
0
+C
• Pt có 1 nghiệm








=
=∆
<∆

⇔
0)(
0
0
0
xg
° Pt có 2 nghiệm










=
>∆



≠
=∆
⇔
0)(
0
0)(
0
0

0
xg
xg
• Phương trình có 3 nghiệm phân biệt



≠
>∆
⇔
0)(
0
0
xg
Cách tìm x
0
 a + b + c + d = 0 Phương trình có nghiệm x
0
= 1
 a – b + c – d = 0 Phương trình có nghiệm x
0
= –1
 x
0
là nghiệm nguyên của phương trình thì x
0
là ước số của d
Khi khơng biết nghiệm
Cách 1 Biện luận phương trình bằng đồ thò
Cách 2 Xét hàm số y = ax

3
+ bx
2
+ cx + d
a) Nếu hàm số không có cực trò thì phương trình chỉ có 1 nghiệm
b) Nếu hàm số có cực trò tính y
CĐ
.y
CT
 y
CĐ
.y
CT
> 0 : Phương trình có 1 nghiệm
 y
CĐ
.y
CT
= 0 : Phương trình có 2 nghiệm
 y
CĐ
.y
CT
< 0 : Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = 4x
3
– 3x + 1 và (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2
Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d)
Giaỉ : Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình
Trang 14 -

4x
3
– 3x + 1 = m(x – 1) + 2
⇔
(x – 1)(4x
2
+ 4x + 1 – m) = 0 (1)
( )



=−++
=−
⇔
20144
01
2
mxx
x

Đặt h(x) = 4x
2
+ 4x + 1 – m . Tính
∆
′
= 4 – 4(1 – m) = 4m và h(1) = 9 – m
x
∞−
0 9
∞+

∆
′
– 0 + +
Số
điểm
chung
1

2
3

2
3
Vấn đề 3 Biện luận phương trình bằng đồ thò
Phương pháp: Cho (C) : y = f(x) , dựa vào đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của
phương trình F(x; m) = 0
GIẢI : Biến đổi F(x;m) = 0
⇔
f(x) = g(x;m)
Trường hợp 1 : f(x) = m
Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của



=
=
myd
xfyC
:)(
)(:)(

( y = m là đường thẳng cùng phương với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ m )
Dựa vào đồ thò để kết luận. chú ý so sánh m với các giá trò cực trò , nếu đồ thò có
tiệm cận ngang thì so sánh với giá trò tiệm cận ngang
Trường hợp 2 : f(x) = am + b tương tự như trường hợp 1 ở đây giao điểm của (d) với
trục Oy có tung độ là am + b
Ví dụ Cho (C) : y = x
3
– 3x
2
+ 2.
1) Khảo sát hàm số
2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của :
x
3
– 3x
2
– m = 0 (1)
GIẢI : 1)
2) (1)
⇔
x
3
– 3x
2
+ 2 = m + 2
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của
3 2
( ) : 3 2
( ) : 2 (cùng phương với trục hoành)
C y x x

d y m


= − +

= +



Dựa vào đồ thò ta có :
•
22 >∨−< mm
Phương trình có 1 nghiệm
•
2 2m m= − ∨ =
Phương trình có 2 nghiệm
•
22 <<− m
Phương trình có 3 nghiệm
Vấn đề 4 Đồ thò hàm số chứa giá trò tuyệt đối
Phương pháp Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C), từ đồ thò (C) suy ra :
1) (C
1
) : y = f
( )
x
=




<−
>
0)(
0)(
xkhixf
xkhixf
nên ta có (C
1
) :
• Giữû phần đồ thò (C) với x > 0
• Bỏõû phần đồ thò (C) với x < 0
• Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thò (C) với x > 0
Trang 15 -
x
y
m + 2
O
1
2) (C
2
) : y =
)(xf
=



<−
≥
0)()(
0)()(

xfkhixf
xfkhixf
nên ta có (C
2
) :
• Giữû phần đồ thò (C) với f(x)
≥
0
• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thò (C) với f(x) < 0
• Bỏõû phần đồ thò (C) với f(x) < 0
3) (C
3
) : y = f(x) =
)(
)(
xQ
xP
=







<−
>
0)(
)(
)(

0)(
)(
)(
xQkhi
xQ
xP
xQkhi
xQ
xP
nên ta có (C
3
):
• Giữû phần đồ thò (C) với Q(x) > 0
• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thò (C) với Q(x) < 0
• Bỏõû phần đồ thò (C) với Q(x) < 0
4; (C
4
) : y = f(x) =
)(.)( xQxP
hay y = f(x) =
)(
)(
xQ
xP
Vì y =



<−
≥

0)()(
0)()(
xPkhixf
xPkhixf
nên ta có (C
4
) :
• Giữû phần đồ thò (C) với P(x)
≥
0
• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thò (C) với P(x) < 0
• Bỏõû phần đồ thò (C) với P(x) < 0
Vấn đề 5 : Q tích của một điểm
Phương pháp chung: Từ điều kiện đã cho tìm tọa độ điểm M(x ; y)
( )
( )
x g m
y m
ϕ
=


=

Khử m ta được hệ thức liên hệ giữa x và y là phương trình q tích . Từ điều kiện của
m suy ra điều kiện của x hay y là giới hạn của q tích . Đặc biệt nếu M là trung điểm
của AB là giao điểm của (C) : y = f(x) và đường thẳng (d) : y = ax + b ta có :
1 2
2
x x

x
y ax b
+

=



= +

trong đó x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình f(x) = ax + b
Ví dụ
1/- Cho (C) : y =
2
2 1
1
x mx m
x
+ + +
+
a) Tìm q tích điểm cực đại của (C) b) Tìm q tích tâm đốùi xứng của (C)
Giải:
a) Tập xác đònh : D =
¡
\
{ }

1−

( )
2
2
2 1
1
x x m
y
x
+ + −
′
=
+
Hàm số có 2 cực trò
⇔
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔
x
2
+ 2x + m – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
1 1 0 2
2
1 2 1 0 2
m m
m
m m
− + > <
 
⇔ ⇔ ⇔ <

 
− + − ≠ ≠
 
Khi đó hàm số có điểm cực đại M(x ; y) với y = 2x + 2m
1 2 2 1x m m x= − − ⇔ − = −
Trang 16 -
⇔
2 2
1 0 1
2 2 1 1 2
x x
m x x m x x
− ≥ ≤
 
⇔
 
− = − + = + −
 
Nên
2
1
2 6 2
x
y x x
≤


= − + +

là phương trình q tích điểm cực đại

b) Ta có x = –1 và y = x + 2m – 1 là phương trình các đường tiệm cận ( m
2)≠
Nên tâm đối xứng I(x ; y) :
1 1
2 1 2
x x
y x m y
= − = −
 
⇔
 
= + − ≠
 
là phương trình q tích của tâm đối xứng
2/- Cho (C) : y = x
3
– 3x
2
+ 2 và đường thẳng (d) đi qua A(0 ; 2) có hệ số góc k . Khi
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt A, B , C tìm q tích trung điểm I của đoạn BC khi k
thay đổi
Giải
Ta có (d) : y = kx + 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
x
3
– 3x
2
+ 2 = kx + 2
2
( 3 ) 0 (1)x x x k⇔ − − =

2
0
3 0 (2)
x
x x k
=

⇔

− − =

(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt
⇔
phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⇔

9
9 4 0
4
0
0
k
k
k
k

+ >
> −



⇔
 
− ≠


≠

Gọi I(x ; y) là trung điểm của BC với x
B
; x
C
là nghiệm của phương trình (2) ta có :
3
3
2
2
2
35
3
2
2
2
8
2
B C
x x
x
x

x
k
y kx
k
y


+
= −
= −



=
  
⇔ ⇔
  
  
= +
≠ <
=− +





là pt quỹ tích của I
Vấn đề 6: khảo sát hàm sớ
Gv: Nhắc lại các bước khảo sát hàm số cho học sinh.
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

 Tập xác định
 Tìm y’ .
 Giải pt y’ = 0 (nếu có).
 Giới hạn
 Bảng biến thiên
(KL:ĐB,NB và CTrị)
 Điểm đồ thị đi qua
 Đồ thị(KL: Tính đối xứng của đồ thị)
 Tập xác định
 Tìm y’
 Giới hạn & tiệm cận
 Bảng biến thiên
(KL:ĐB,NB và CTrị)
 Điểm đồ thị đi qua
 Đồ thị(KL: Tính đối xứng của đồ thị)
 Các dạng đồ thị hàm số: vẽ trên bảng phụ cho học sinh xem và giải thích.
B. CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Trang 17 -
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Các bài toán liên quan…Ứng dụng của tích phân.
* Hàm bậc ba:
Bài 1: Cho hàm số:
3
3 2y x x= − +
, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm
(0;2)M
.
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
HD Bài 1:

1/ Cực đại
( 1; 4)−
, cực tiểu
(1;0)
2/ PTTT tại
(0;2)M
là:
3 2y x= − +
3/ Diện tích hình phẳng:
( )
1 1
3 3
2 2
27
3 2 3 2 ( )
4
gh
S x x dx x x dx dvdt
− −
= − + = − + =
∫ ∫
Bài 2: Cho hàm số:
3 2
3 4y x x= − + −
, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
9 2009y x= − +
3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m

số nghiệm của phương trình: .
3 2
3 0x x m− + =
HD Bài 2:
2/ PTTT là:
9 9, 9 23y x y x= − − = − +
3/ Xét phương trình: .
3 2
3 0 (1)x x m− + =
PT (1)
3 2
3 4 4x x m⇔ − + − = −
4 0 4m m• − > ⇔ >
: PT có 1 nghiệm duy nhất
4 0 4m m• − = ⇔ =
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
4 4 0 0 4m m• − < − < ⇔ < <
:Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
4 4 0m m• − = − ⇔ =
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
4 4 0m m• − < − ⇔ <
: PT có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 3: Cho hàm số:
3 2
3 2y x x= + −
, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ
0
3x = −

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d:
2y =
HD Bài 3:
1/ Cực đại
( 2;2)−
, cực tiểu
(0; 2)−
2/ PTTT là:
9 25y x= +
3/ Tính diện tích hình phẳng: PTHĐGĐ của (C) và d:
3 2 3 2
3 2 2 3 4 0 1, 2x x x x x x+ − = ⇔ + − = ⇔ = = −
( )
1 1 1
3 2 3 2 3 2
2 2 2
27
3 2 ( 2) 3 4 3 4 ( )
4
gh
S x x dx x x dx x x dx dv dt
− − −
= + − − − = + − = − + − =
∫ ∫ ∫
Bài 4 : Cho hàm số:
3 2
3y x x= +
, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Tìm điều kiện của

m
để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
3 2
3 2 0x x m+ − − =
.
3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm này có hệ số góc nhỏ
nhất.
HD Bài 4:
Trang 18 -
x
y
4
2
2
1
-1
- 2
O
x
y
3
- 4
- 2
2
1
-1
O
x
y
2

- 2
- 3
- 2
1
-1
O
2./ Tìm điều kiện của
m
: Xét PT:
3 2 3 2
3 2 0 3 2x x m x x m+ − − = ⇔ + = +
, kết quả:
2 2m− < <
3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C): Giả sử
0 0 0
( ; ) ( )M x y C∈
⇒
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
0
M
là:
2 2
0 0 0 0 0
'( ) 3 6 3( 2 1) 3 3f x x x x x= + = + + − ≥ −
,
0 0
'( ) 3 1f x x= − ⇔ = − ⇒
hệ số góc của tiếp
tuyến đạt GTNN bằng
3−

ứng với TT với (C) tại điểm có hoành độ
0
1x = −
tương ứng
0
2y =
. Vậy điểm cần tìm là
0
( 1;2)M −
Bài 5: Cho hàm số:
3
4 3 1y x x= − −
, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
( 1;0)I −
và có hệ số góc k = 1.
a/ Viết phương trình đường thẳng d.
b/ Tìm toạ độ giao điểm của d và đồ thị (C).
c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d.
HD Bài 5:
1/ Cực đại
1
;0
2
 
−
 ÷
 
, cực tiểu

1
; 2
2
 
−
 ÷
 
2/
a/ Phương trình đường thẳng d:
1y x= −
.
b/ Toạ độ giao điểm của d và (C):
( 1; 2), ( 1;0), (1;0)A I B− − −
c/
( )
1 1 0 1
3 3 3 3
1 1 1 0

4 3 1 ( 1) 4 4 (4 4 ) 4 4 ( )

gh
S x x x dx x x dx x x dx x x dx dv dt
− − −
= − − − − = − = − + − =
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 6: Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6 2y x m x mx m= − + + −
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi

1m =
.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng:
1, 2x x= =
3/ Xác định m để HS có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị, viết phương trình đường
thẳng qua điểm cực trị đó.
HD Bài 6:
1/
1m =
, ta có hàm số:
3 2
2 6 6 2y x x x= − + −
2 2
' 6 12 6 6( 1) 0,y x x x x= − + = − ≥ ∀ ∈ ¡
do đó hàm số luôn luôn tăng và không có cực
trị
Trang 19 -
0
-2
1
2
-
1
2
y
y'
+
_
+
0

0
x
CT
C§
-
∞
+
∞
-
∞
+
∞
x
y
(C)
d
B
A
I
1
2
-
1
2
-2
- 1
1
-1
O
0

+
+
0
1
y
y'
x
-
∞
+
∞
-
∞
+
∞
x
y
-2
2
2
1
O
2/
2 2
3 2 3 2
1 1
1
2 6 6 2 (2 6 6 2) ( )
2
gh

S x x x dx x x x dx dvdt= − + − = − + − =
∫ ∫
3/
2
' 6 6( 1) 6y x m x m= − + +
,
1
' 0
x
y
x m
=

= ⇔

=

.Hàm số có cực đại và cực tiểu khi
≠ 1m
,
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm CĐ và CT:
2
( 1) ( 1)y m x m m= − − + −
Bài 7: Cho hàm số
3 2
1y x mx m= − + −
,
m
là tham số.
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi

3m =
.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng d:
1 1
3 3
y x= −
3/ Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm
2x =
.
HD Bài 7:
1/
3m =
, ta có hàm số:
3 2
3 2y x x= − +
Điểm cực đại:
(0;2)
Điểm cực tiểu:
(2; 2)−
2/ PTTT là:
3 3y x= − +
.
3./ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
( )
( )
' 2 0
2
'' 2 0
y

x
y

=

= ⇔

>



12 4 0 3
3
12 2 0 6
m m
m
m m
− = =
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− > <
 
.
Bài 8: Cho hàm số :
3 2
3 2y x x= − + −
, đồ thị ( C )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2/ Viết phương trình tíếp tuyến

∆
với (C ) tại điểm A( 0 , - 2)
3/ d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m . Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C )
tại 3 điểm phân biệt .
HD Bài 8:
3/ Phương trình đường thẳng d:
( 1)y m x= −
.
PTHĐGĐ của d và (C ):
( )
3 2
3 ( 1) 2 0 1x x m x− + − + =
( )
2
1
2 2 0 2
x
x x m
=

⇔

− + − =

d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt
⇔
p. trình (1) có 3 nghiệm pb
(2)⇔
có hai nghiệm phân
biệt khác 1

0
1 2 2 0m
′
∆ >

⇔

− + − ≠

3
3
3
m
m
m
<

⇔ ⇔ <

≠

1/ Điểm cực đại:
(0; 2)−
Điểm cực tiểu:
(2;4)
2/ PTTT với (C) tại điểm
(0; 2)A −
.
Bài 9: Cho hàm số:
3 2

2 3 1y x x  
, đồ thị (C).
Trang 20 -
-2
2
2
0
y
y'
+
_
+
0
0
x
CT
C§
-
∞
+
∞
-
∞
+
∞
x
y
1
- 2
3

4
2
2
-1
O
4
2
-2
0
C§
CT
_
+
_
+
∞
-
∞
+
∞
-
∞
0
0
y
y'
x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d:
1y x 

3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình:
3 2
2 3 0x x m  

4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d
1
có phương trình:
1y ax 
.
HD Bài 9:
1/. KSHS
•
TXĐ:
D = ¡

•
' 2
6 6y x x= −
,
'
0y =
0; 1
1; 2
x y
x y

= = −
⇔


= = −


•
Giới hạn :
lim
x
y
→−∞
= −∞
,
lim
x
y
→+∞
= +∞
•
BBT
•
ĐĐB: ( –1; –6);
1 3
;
2 2
 
−
 ÷
 
(2; 3)
•

Đồ thị:
2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: PTHĐGĐ:
3 2
2 3 0x x x  
.
Û
 
2
2 3 1 0x x x  
Û
2
0
2 3 1 0
x
x x
é

ê
ê
  
ê
ë

Û
0
3 17
4
x
x
é


ê
ê

ê

ê
ë
Thay vào PT đt (d) ta có
toạ độ giao điểm.
3/ Biện luận theo m số nghiệm PT:
3 2
2 3 0x x m  

>
3 2 3 2
2 3 0 2 3 1 1x x m x x m      Û
>
Đặt:
3 2
2 3 1y x x  
, đồ thị (C) vừa vẽ và
1y m 
: đồ thị là đường thẳng(d) cùng
phương Ox .
>
Số nghiệm của PT = số giao điểm của (C) & (d)
>
Biện luận 5 trường
hợp…….

4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d
1
có phương trình:
1y ax 
.
>
PTHĐGĐ:
3 2
2 3 0x x ax  

 
2
2 3 0(1)x x x a  Û
2
0
( ) 2 3 0 (2)
x
g x x x a
é

ê
Û
ê
   
ê
ë
>
Số giao điểm (d
1
) và (C) = số nghiệm của PT(1)

>
Xét PT(2):
·
TH1: g(0) = 0
0a Û
, PT(2) có hai nghiệm:
3
0
2
x ; x 
Þ
PT(1) có hai nghiệm
Þ
có
hai giao điểm
·
TH2: g(0)
¹
0:
9 8a D
+
D
< 0:
9
8
a  Û
PT(2) vô nghiệm
Þ
PT(1) có 1 nghiệm
Þ

có một giao điểm.
Trang 21 -
y
y'
x
CT
C§
+
∞
-
∞
- 2
0
+
+
-
0
0
1
0
+
∞
-
∞
+
D
= 0
9
8
a  Û

PT(2) có một nghiệm kép
3
4
x 

Þ
PT(1) có 2 nghiệm
Þ
có hai
giao điểm.
+
D
> 0 và
9
8
a ¹
9
& 0
8
a a Û ¹
PT(2) có hai nghiệm pb
1 2
0x , x ¹
Þ
PT(1) có 3
nghiệm
Þ
có 3 giao điểm.
Bài 10: Cho hàm số:
3 2

1
3
y x x 
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C ) của hàm số .
2/ Chứng minh rằng đường thẳng
1
1
3
y x 
cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt A, M, B
trong đó M là trung điểm của đoạn AB. Tính diện tích của tam giác OAB.
HD Bài 10:
2/ Lập phương trình hoành độ giao điểm, giải được 3 nghiệm
1x = ±
;
3x =

4
1;
3
A
 
⇒ − −
 ÷
 
;
2
1;
3
M

 
−
 ÷
 
;
(3;0)B
từ kết quả trên
⇒
M là trung điểm của đoạn AB.
Diện tích tam giác OAB:
1 4
.3. 2
2 3
OA B
S = =
(đvdt)
* Hàm nhất biến
Bài 11: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2/ Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d):
( 1) 3y m x= + +

tại 2 điểm phân biệt A,B nhận
I(-1;3) làm trung điểm AB.
HD Bài 11:
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.

Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡

( )
2
3
'
1
y
x
= −
−
' 0, 1y x⇒ < ∀ ≠
, hàm số giảm trên từng khoảng xác định.

lim 2
x
y
→±∞
= ⇒
đồ thị có tiệm cận ngang là
2y =



1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= + ∞ = − ∞ ⇒
đồ thị có tiệm cận đứng là
1x =

BBT

Điểm đặc biệt: A(- 2; 1); B(0; - 1);C(2;5); D(3;
7
2
)

Đồ thị:
2/ Ta thấy I(-1;3) nằm trên (d). Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của phương
trình
Trang 22 -
2
2
x
y
-
2
3
2
3

2
1
- 2
- 1
O
2 1
( 1) 3
1
x
m x
x
+
= + +
−
4 0(*)mx x m⇔ + − − =
( (*) không có nghiệm x = 1)
để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B nhận I làm trung điểm AB<=> (*) có 2 nghiêm
phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn :
1 2
1
2
x x+
= −
0
1 4 ( 4) 0
1

2
m
m m
m


≠

⇔ ∆ = + + >



− = −

1
2
m⇔ =

Bài 12: Cho hàm số
3( 1)
2
x
y
x
+
=
−
(C ).
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại giao điểm của (C) và trục tung.

3/ Tìm tất cả các điểm trên (C ) có toạ độ nguyên.
HD Bài 12:
3/ Có 6 điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên là: (1; -6); (3; 12); (-1; 0); (5; 6); (-7; 2) và (11;
4)
Bài 13: Cho hàm số :
2 1
2
x
y
x
−
=
−
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của
m
, đường thẳng
y x m= −
luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt.
HD Bài 13:
2/ PT HĐGĐ của (C) và đường thẳng
y x m= −
:
2 1
2
x
x m
x
−

= −
−

2
( 4) 2 1 0, 2x m x m x⇔ − + + + = ≠
(*)
2x =
không là nghiệm của pt (*) và
2 2
( 4) 4.(2 1) 12 0,m m m m∆ = + − + = + > ∀
. Do đó,
pt (*) luôn có hai nghiệm khác 2. Vậy đường thẳng
y x m= −
luôn cắt (C) tại hai điểm
phân biệt.
Bài 14: Cho hàm số
3
2
1
y
x
 


1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox.
3/ Tìm m để đường thẳng d :
y x m
= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt .

HD Bài 14:
Hàm số được viết lại:
2 1
1
x
y
x




1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.

Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡


( )
2
3
'
1
y
x
= −
−
' 0, 1y x⇒ < ∀ ≠
, hàm số giảm trên từng
khoảng xác định.


lim 2
x
y
→±∞
= ⇒
đồ thị có tc ngang là
2y =
,
1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= + ∞ = − ∞ ⇒
đồ thị có tc
đứng là
1x =

BBT
Trang 23 -
2
2

Điểm đặc biệt: A(- 2; 1); B(0; - 1);C(2;5); D(3;
7
2
)


Đồ thị:
2.Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox:

Thay
0y =
vào hàm số ta có
1
2
x = −

⇒
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm
0
1
;0
2
M
 
−
 ÷
 

Phương trình tiếp tuyến có dạng:
0 0 0
'( )( )y y f x x x− = −
trong đó:
0 0
1
; 0
2

x y= − =
vì
( )
2
3
'
1
y
x
= −
−

0
'( ) 12f x⇒ = −
⇒
PTTT:
4 2
3 3
y x= − −
3.Tìm m để d :
y x m
= − +
cắt (C) tại hai điểm pb.

PTHĐGĐ:
2 1
1
x
x m
x

+
= − +
−
⇔
2
( ) (1 ) 1 0g x x m x m= + − + + =
(1) (
1x ≠
)

YCBT
⇔
PT(1) có hai nghiệm phân biệt
1≠
⇔
(1) 0
0
g ≠


∆ >

⇔
2
3 0
6 3 0m m
≠


− − >


⇔
3 2 2
3 2 2
m
m

< −

> +


Bài 15: Cho hàm số
1
1
x
y
x
− +
=
+
có đồ thị ( C ).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2/ Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D):y = - 2x
HD Bài 15:

TXĐ :
{ }
\ 1D = −¡


Chiều biến thiên y’=
2
)1(
2
+
−
x
, y’ < 0 với mọi x ≠ -1, hs nghịch biến trên các
khoảng: (-∞;-1) và (-1;+∞)

Tiệm cận :
1
1
lim
1
+
+−
+
−→
x
x
x
= + ∞
1
1
lim
1
+
+−
−

−→
x
x
x
= - ∞ Nên x = - 1 là T C Đ

y
x
±∞→
lim
= - 1 Nên y = -1 là T C N

Bảng biến thiên.


Đồ thị: đồ thị cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0;1)
Trang 24 -
-1
-1
-1
+
∞
-
∞
-
-
+
∞
-
∞

y
y'
x
-1
1
2
-1
O
1
x
y
2/ Nếu gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm thì từ giả thiết ta có
2
0
)1(
2
+
−
x
=-2 suy ra x
0
=0 và x
0
= - 2

với x
0
= 0 thì y
0
= 1 ta có pttt tại M
0
là y = -2x + 1 nên cắt Ox tại M(1/2;0)
Với x
0
= - 2 thì y
0
= - 3 ta có pttt tại M
0
là y = - 2x - 7 nên cắt Ox tại M(-7/2;0)
Vậy có hai điểm thoả ycbt M(1/2;0) và M(-7/2;0)
Bài 16: Cho hàm số:
2
3
x
y
x
+
=
−
, đồ thị (C).
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
3
1;
2

A
 
−
 ÷
 
3/ Tìm
( )M C∈
sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M
đến tiệm cận ngang
HD Bài 16:
Bài 17: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
(C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Tìm m để đường thẳng d:
2y mx= +
cắt cả hai nhánh của đồ thị (H).
HD Bài 17:
2/ Phương trình hoành độ giao điểm:
2
( 4) 2 0 ( )mx m x+ + + = ∗
,
1x ≠ −

. d cắt hai nhánh
của (H)
⇔
(*) có 2 nghiệm thoả mãn:
1 2
1x x< − <

⇔
( 1) 0 ( 1) 0af mf− < ⇔ − <
. Tìm
được
0m >
Bài 18: Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm trên (C) những điểm có tổng kcách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
3/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất.
Bài 19: Cho hàm số:
2 3
1
x

y
x
−
=
−
có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ.
3/ Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng:
3y x= − +
và tiếp xúc
với đồ thị (C)
HD Bài 19:
3/ Có hai tiếp tuyến thoả ycbt:
1
( ) : 3d y x= − −
,
2
( ) : 1d y x= − +
Bài 20: Cho hàm số:
3
1
y
x
=
+
có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đường thẳng
0, 2x x= =

.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.
* Hàm trùng phương
Bài 21: Cho hàm số:
4 2
2y x x= −
1/ Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số.
2/ Định
m
để phương trình:
4 2
2 log 1 0x x m− + − =
có 4 nghiệm phân biệt
HD Bài 21:
2/ Phương trình có bốn nghiệm phân biệt
1 1 log 0 10 100m m⇔ − < − < ⇔ < <
Trang 25 -
Bài 22: Cho hàm số:
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết PTTT với đồ thị (C) của hàm số tại điểm thuộc (C) có hoành độ
0
2x =
.
3/ Tìm điều kiện của

m
để phương trình sau có 4 nghiệm :
4 2
6 1 0x x m− + + =
.
HD Bài 22:
1/ KSHS:
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
•
TXĐ:
D = ¡
•
' 3
2 6y x x= −
,
'
0y =
0; 3 / 2
3; 3
x y
x y
= =

⇔

= ± = −



•
Giới hạn :
lim
x
y
→± ∞
= +∞
,
•
BBT

•
ĐĐB: A( –2; –5/2); B(2; –5/2)
2/ PTTT với (C) tại
0
2x =
•
0 0
2 5 / 2x y= ⇒ = −

•
' '
0
3
( ) 2 6 ( ) 4f x x x f x= − ⇒ =

•
PTTT:

4 (21 / 2)y x= −
3/ Tìm m để pt sau có 4 nghiệm :
4 2
6 1 0x x m− + + =
.
>
4 2
6 1 0x x m− + + =
4 2
1 3
3 1
2 2 2
m
x x⇔ − + = −
>
Đặt:
3
3 1y x x   
, đồ thị (C) vừa vẽ và
1
2
m
y  
: đồ thị là đường thẳng(d) cùng
phương Ox .
>
Số nghiệm của PT = số giao điểm của (C) & (d)
>
YCBT
3

3 1 1 8
2 2
m
m⇔ − < − < ⇔ − < <
Bài 23: Cho hàm số :
2 2
( )y x m x= −
1/ Tìm điều kiện của
m
để hàm số có ba cực trị.
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
4m =
.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
1x  
.
HD Bài 23:
1/ Tìm điều kiện của
m
để hàm số có ba cực trị.

TXĐ:
D = ¡
,


2 4
y mx x= −
;

' 3
2 4y mx x= −


' 3
2
0
0 2 4 0
(2)
2
x
y mx x
m
x

=

= ⇔ − = ⇔

=



Hàm số có ba cực trị
⇔
'
0y =
có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu ba lần
⇔
PT(2) có

hai nghiệm phân biệt
1 2
, 0 0x x m≠ ⇔ >
Trang 26 -
x
y
- 3
-
5
2
B
A
C§
CT
CT
3
2
3
-
3
2
- 2
O
1
- 3
- 3
3
2
C§
CT

CT
y
y'
x
+
∞
+
∞
-
+
-
+
0
0
0
3
-
3
0
+
∞
-
∞
2/


4m =
ta có hàm số:
4 2
4y x x= − +

:
•
TXĐ:
D = ¡
,
•
' 3
4 8y x x= − +
,
'
0y =
0; 0
2; 4
x y
x y

= =

⇔
= ± =


•
Giới hạn :
lim
x
y
→±∞
= −∞

•
BBT
3/ PTTT là :
4 1y x= − −
.
Bài 24: Cho hàm số:
4 2
2 1y x x= − +
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C) .
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
Bài 25: Cho hàm số :
2 2
(1 ) 6y x= − −
, đồ thị (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
2 0m x x− + =
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d:
24 10y x= +
HD Bài 25:
1/
3
0 5
' 4 4 , ' 0
1 6
x y
y x x y
x y

= ⇒ = −

= − = ⇔

= ± ⇒ = −

3/ Ta có:
3 3
4 4 24 6 0 2x x x x x− = ⇔ − − = ⇔ =
, khi
2 3x y= ⇒ =
. Vậy PTTT là:
24 45y x= −
Bài 26: Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − + +
đồ thị (C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Tìm m để phương trình
4 2
2 0 (*)x x m− + =
có bốn nghiệm phân biệt.
HD Bài 26:
2/ Phương trình
4 2
(*) 2 3 3x x m⇔ − + + = +
PT
(*)
có 4 nghiệm pb khi đt:
3y m= +

cắt (C) tại 4 điểm pb
3 3 4 0 1m m⇔ < + < ⇔ < <
.
Bài 27: Cho hàm số:
4 2
( 1)y x mx m= − − +
có đồ thị (C
m
), (m là tham số).
1/ Tìm
m
biết đồ thị hàm số đi qua diểm
( 1; 4)M −

2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m = −
.
3/ Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay
tạo ra khi quay (H) quanh trục hoành.
Bài 28: Cho hàm số:
4 2
2y x mx= − +
, có đồ thị (C
m
), ( m là tham số)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m =
.
2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C
1

) tại điểm A(
2
;0).
3/ Xác định m để hàm số (C
m
) có 3 cực trị.
Bài 29: Cho hàm số:
4 2 2
(1 2 ) 1,y x m x m= − − + −

m
là tham số.
1/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x =
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m
vừa tìm được.
2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
4 8 3 0x x k− − − =
Bài 30: Cho hàm số:
2 4
2y x x= −
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) .
Trang 27 -
CT
C§
C§
0
0

0
4
4
0
-
∞
-
∞
+
-
+
-
y
y'
x
2
-
2
0
+
∞
-
∞
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3) Dùng đồ thị (C) tìm điều kiện của
k
để phương trình:
4 2
2 0 (*)x x k− + =
, có 4

nghiệm phân biệt.
Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt

3 2
x 3x k 0− + =
.
HD: a/

b. (1đ) pt
3 2
x 3x 1 k 1⇔ − + − = −

Đây là pt hoành độ điểm chung của (C) và đường thẳng
(d): y k 1= −
Căn cứ vào đồ thị , ta có :
Phương trình có ba nghiệm phân biệt
1 k 1 3 0 k 4
⇔ − < − < ⇔ < <
Bài 2: Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=

−
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(1;8)
HD:
Trang 28 -

b. (1đ) Gọi
( )∆
là tiếp tuyến đi qua M(1;8) có hệ số góc k .
Khi đó :
( )∆

y 8 k(x 1) y k(x 1) 8− = − ⇔ = − +
Phương trình hoành độ điểm chung của (C ) và
( )∆
:

2x 1
2
k(x 1) 8 kx 2(3 k)x 9 k 0 (1)
x 1
+
= − + ⇔ + − − + =
−

( )∆
là tiếp tuyến của (C )
⇔
phương trình (1) có nghiệm kép

k 0
k 3
2
' (3 k) k(k 9) 0

≠

⇔ ⇔ = −

∆ = − − − =


Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y 3x 11= − +
Bài 3: Cho hàm số
4 2
y x 2x 1= − −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m 0 (*)− − =

HD:

x
−∞

1−

0 1
+∞

y
′

−
0 + 0
−
0 +
y
+∞

2−

1−

2−

+∞



b) 1đ pt (1)
4 2
x 2x 1 m 1 (2)⇔ − − = −

Phương trình (2) chính là phương trình điểm
chung của ( C ) và đường thẳng (d) : y = m – 1
Căn cứ vào đồ thị (C ) , ta có :

 m -1 < -2
⇔
m < -1 : (1) vô nghiệm
 m -1 = -2
⇔
m = -1 : (1) có 2 nghiệm
Trang 29 -
 -2 < m-1<-1
⇔
-1 < m < 0 : (1) có 4 nghiệm
 m-1 = - 1
⇔
m = 0 : (1) có 3 nghiệm
 m – 1 > -1 : (1) có 2 nghiệm
Bài 4: Cho hàm số
3
y x 3x 1= − +
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(
14
9
;
1−
)
HD:a/
x
−∞

1−

1
+∞

y
′
+ 0
−
0 +
y 3
+∞


−∞

1−

b/ (d) tiếp xúc ( C)
⇔
Hệ sau có nghiệm
14
3
x 3x 1 k(x ) 1 (1)
9
2
3x 3 k (2)

− + = − −




− =

Thay (2) vào (1) ta được :
2
3 2
3x 7x 4 0 x ,x 1,x 2
3
− + = ⇔ = − = =

2 5 5 43
(2)
x = k tt ( ): y x
1
3 3 3 27
−
→ = − ⇒ ∆ = − +¡

(2)
x = 1 k 0 tt ( ): y 1
2
→ = ⇒ ∆ = −¡

(2)
x = 2 k 9 tt ( ): y 9x 15
3
→ = ⇒ ∆ = −¡
Bài 5: Cho hàm số
x 3
y
x 2

−
=
−
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ
thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt .
HD:a/
Trang 30 -
b) 1đ Phương trình hoành độ của (C ) và đường thẳng
y mx 1
= +
:

x 3
2
mx 1 g(x) mx 2mx 1 0 , x 1
x 2
−
= + ⇔ = − + = ≠
−
(1)
Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm
phân
biệt khác 1
⇔
m 0
m 0

m 0
2
m m 0 m 0 m 1
m 1
g(1) 0 m 2m 1 0

≠

≠


  <
′
∆ = − > ⇔ < ∨ > ⇔
 

>

 
≠ − + ≠



bài 6: Cho hàm số
4 2
y = x 2x− +
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M (
2

;0)
HD:a/
Trang 31 -
x
−∞
2
+∞

y
′
+ +
y

+∞
1
1
−∞
b) 1đ Gọi (
∆
) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k
nên
( ): y k(x 2)∆ = −
(
∆
) là tiếp tuyến của ( C )
⇔
Hệ sau có nghiệm :
4 2
x 2x k(x 2) (1)
3

4x 4x k (2)

− + = −



− + =

Thay (2) vào (1) ta được :
2 2
2
x(x 2)(3x 2x 4) 0 x ,x 0,x 2
3
− − − = ⇔ = − = =


2 2 8 2 8 2 16
(2)
x k ( ): y x
1
3 27 27 27
= − → = − → ∆ = − +

(2)
x 0 k 0 ( ): y 0
2
= → = → ∆ =

(2)
x 2 k 4 2 ( ): y 4 2x 8

3
= → = − → ∆ = − +
Bài 7: Cho hàm số
3 2
y x 3x 4= + −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Cho họ đường thẳng
(d ): y mx 2m 16
m
= − +
với m là tham số . Chứng minh
rằng
(d )
m
luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm cố định I .
HD:a/
b) 1đ Ta có : Phương trỉnh hoành độ điểm chung của
(C) và
(d )
m
:
Trang 32 -

x 2
3 2 2
x 3x 4 mx 2m 16 (x 2)[x 5x (10 m)] 0
2
x 5x 10 m 0


=
+ − = − + ⇔ − + + − = ⇔


+ + − =

Khi x = 2 ta có
3 2
y 2 3.2 4 16 ; y = 2m 2m + 16 = 16 , m= + − = − ∀ ∈¡

Do đó
(d )
m
luôn cắt (C) tại điểm cố định I(2;16 ) .
Bài 8: Cho hàm số
x 2
y
1 x
+
=
−
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) .
b. Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = mx
−
4
−
2m luôn đi qua một điểm cố
định của đường cong (C) khi m thay đổi .
HD:

b)
Ta có : y = mx
−
4
−
2m
m(x 2) 4 y 0 (*)⇔ − − − =
Hệ thức (*) đúng với mọi m
x 2 0 x 2
4 y 0 y 4
 
− = =
⇔ ⇔
 
− − = = −
 
Đường thẳng y = mx
−
4
−
2m luôn đi qua
điểm cố định A(2;
−
4) thuộc (C)
( Vì tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình
x 2
y
1 x
+
=

−
)
Bài 9: Cho hàm số
4 2 2
y x 2(m 2)x m 5m 5= + − + − +
có đồ thị (
C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
b. Tìm giá trị của m để đồ thị (
C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .
Trang 33 -
x
−∞
1
+∞

y
′
+ +
y

+∞

1−

1−

−∞
HD:
x
−∞

1−
0 1
+∞

y
′

−
0 + 0
−
0 +
y
+∞

1

+∞

0 0

b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (
C
m
) và trục hồnh :

4 2 2
x 2(m 2)x m 5m 5+ − + − +
= 0 (1)
Đặt
2
t x ,t 0= ≥
. Ta có :
(1)
⇔
2 2
t 2(m 2)t m 5m 5 0+ − + − + =
(2)
Đồ thị (
C
m
) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt

⇔
pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt .

⇔
m 1 0
' 0
5 5
2
P 0 m 5m 5 0 1 m
2
S 0 2(m 2) 0


− >

∆ >

−

> ⇔ − + > ⇔ < <
 
 
> − − >


Bài 10: Cho hàm số
23
3
−+−= xxy
, gọi đồ thò của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò (C) và trục hoành.
3. Dựa vào đồ thò (C), đònh m để phương trình
023
3
=++−
mxx
có ba
nghiệm phân biệt.
HD: a/
Trang 34 -