Tổng hợp kiến thức Đại số THCS

TổNG HợP KIếN THứC

Môn : Đại Số - THCS
I - Các loại phơng trình
1. Phơng trình bậc nhất
- Phơng trình bậc nhất là phơng trình có dạng ax + b = 0 (a
0
)
- Phơng trình có nghiệm duy nhất x =
b
a

- Chú ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và xét các
trờng hợp sau:
Nếu A
0
phơng trình có nghiệm x =
B
A

Nếu A = 0 , B
0
phơng trình trở thành 0.x = B
=> phơng trình vô nghiệm
Nếu A = 0, B = 0 => phơng trình vô số nghiệm
2. Phơng trình tích
- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0
- Cách giải: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
- Trình bày gọn : A(x).B(x) = 0 <=>
A(x) 0
B(x) 0

=


=

- Mở rộng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=>
A(x) 0
B( x) 0
C( x) 0
=


=


=

3. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
- Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo 4 bớc:
Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình
Bớc 2: Quy đồng mẫu hai vế của phơng trình rồi khử mẫu
Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc
Bớc 4: (kết luận)
Trong các giá trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ
chính là nghiệm của phơng trình đã cho, giá trị của x không thuộc
ĐKXĐ là nghiệm ngoại lai (loại đi)
4. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Định nghĩa:
A nếu A 0
A

A nếu A < 0


=



- Các dạng phơng trình

f (x) 0 f (x) 0= <=> =

f (x) k(k 0) f(x) k= > <=> =

f (x) g(x )
f (x) g(x)
f( x ) g( x )
=

= <=>

=

Hay
[ ] [ ]
2 2
f (x ) g(x) f (x ) g(x)
= <=> =
, đa về phơng trình tích

f (x) g(x)=

<=>
f (x) 0
f (x) g(x)
f (x) 0
f (x ) g(x)





=







=



hoặc <=>
g(x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x ) g(x)

=







=



Hoặc <=>
g(x) 0
f (x) g(x) hoặc f(x) g(x)



= =

Hoặc <=>
[ ] [ ]
2 2
g(x) 0
f( x) g(x)

=


- Chú ý:
2
2
A A=
;
A A
và
A B A B A B
+
5. Phơng trình vô tỉ

2
f (x) A( A 0) f(x) A
= <=> =
(với f(x) là một đa thức)

[ ]
2
f( x ) 0
g(x) 0
f (x) g(x)
f( x) g(x)

= <=>


=


f( x ) 0
f (x) g(x) g(x) 0
f (x) g(x)



= <=>


=

*)Lu ý: Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định
điều kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng
đơng. Nếu không có thể thử lại trực tiếp.
6. Phơng trình trùng phơng
Phơng trình
trùng phơng là phơng trình có dạng:
4 2
ax bx c 0 (a 0)
+ + =
Đặt x
2
= t (
t 0

), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai
ẩn t :
2
at bt c 0
+ + =
(*)
Giải phơng trình (*), lấy những giá trị thích hợp thỏa mãn
t 0
Thay vào đặt x
2
= t và tìm x = ?
7. Phơng trình bậc cao
a)
Phơng trình bậc ba dạng: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Hớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của
hạng tử tự do d) hoặc dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc dùng máy tính để tìm
nhanh nghiệm nguyên của phơng trình, khi đã biết một nghiệm thì dễ dàng
phân tích VT dới dạng tích và giải phơng trình tích (hoặc chia đa thức)
b)
Phơng trình bậc bốn dạng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0

Hớng dẫn: Phơng pháp tơng tự nh phơng trình bậc ba trên
c)
Phơng trình bậc bốn dạng:
x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (với d =
2
c
a

ữ

).
Ph ơng pháp:
Với x = 0, thay vào phơng trình và kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm hay
không ?
Với x

0. Chia cả hai vế cho x
2
, sau đó ta đặt t = x +
c
ax
d)
Phơng trình bậc 4 dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (với a + b = c + d = m)

Ph ơng pháp: Đặt t = x
2
+ mx +
+
ab cd
2

e)
Phơng trình bậc bốn dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx
2
(với ab = cd = k)
Ph ơng pháp:
Chia cả hai vế cho x
2
. Đặt t = x +
k
x

II- Bất phơng trình bậc nhất một ẩn
1) Định nghĩa:
Một bất phơng trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0) với a
0


đợc gọi là một bất phơng trình bậc nhất một ẩn
2) Cách giải: ax + b > 0 <=> ax > - b
Nếu a > 0 thì
b
x

a
>
Nếu a < 0 thì
b
x
a
<
3) Kiến thức có liên quan:
Hai bất phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm và
dùng kí hiệu <=> để chỉ sự tơng đơng đó
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ vế này
sang vế kia của bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử đó => ta có thể
xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế
Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất phơng trình với cùng một số
khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dơng; đổi chiều BPT nếu
số đó âm.
4) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
- Với mọi số thực a, b, c ta có : a > b <=> a + c > b + c
- Với mọi số thực a, b, c, d ta có : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b
- Với mọi số thực a, b, c,
+ Nếu c > 0 thì a > b <=> ac > bc
+ Nếu c < 0 thì a > b <=> ac < bc
- Với a, b là hai số thực : a > b <=>
3 3
a b
>
và a > b <=>
3 3

a b
>
- Nếu
a 0, b 0
thì a > b <=>
a b
>
và a > b <=>
2 2
a b
>
- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A
A, nếu A 0
A
A, nếu A < 0.


=



Ta có: A
2
0, |A| 0,
2
A A
=
- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b là hai số thực không âm, ta có:
a b
ab

2
+

Dấu = xảy ra <=> a = b
III Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc
ba.
1. Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức hữu tỉ
- Khi thực hiện rút gọn một biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ tự thực
hiện các phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau. Còn nếu biểu thức có các dấu
ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn.
- Với những bài toán tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều kiện của
biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)
2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
- Biểu thức có dạng
A
B
xác định (có nghĩa) khi B
0
- Biểu thức có dạng
A
xác định (có nghĩa) khi A
0
- Biểu thức có dạng
A
B
xác định (có nghĩa) khi B > 0
- Biểu thức có dạng
B
A
C

+
xác định (có nghĩa) khi
A 0
C 0



>

- Biểu thức có dạng
B
A
C
+
xác định (có nghĩa) khi
A 0
C 0





3. Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba
Lí thuyết chung:
a) Các công thức biến đổi căn thức
1)
2
A A
=
2)

AB A B ( với A 0 và B 0)
=
3)
A
A
(với A 0 và B > 0)
B
B
=
4)
2
A B A B (với B 0)
=
5)
2
A B A B (với A 0 và B 0)=
2
A B A B (với A < 0 và B 0)=
6)
A 1
AB (với AB 0 và B 0)
B
B
=
7)
A B
A
(với B > 0)
B
B

=
8)
(
)
2
2
C A B
C
(với A 0 và A B )
A B A B
=

m
9)
(
)
C A B
C
(với A 0 , B 0 và A B)
A B
A B
=


m
*) L u ý :
Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh sau :
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , theo thứ
tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng
- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng)
b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:
1) (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
+ = + +
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
2) (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
= +
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
3) a
2
- b
2
= (a + b).(a - b)
= +
a b ( a b).( a b) (a,b 0)
4) (a + b)

3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5) (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6)
+ = + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
( ) ( )
+ = + = + = + +
3 3
3 3
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7)
= + +

3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
( ) ( )
= = = + +
3 3
3 3
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
9)
+ + = + + + + +
2
( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0)
10)
=
2
a a
IV Các dạng toán về hàm số
Lí thuyết chung
1) Khái niệm về hàm số (khái niệm chung).
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của
x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số
của x và x đợc gọi là biến số.

*) Ví dụ: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x +
3
;
*) Chú ý:
Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y
đợc gọi là hàm hằng.
*) Ví dụ: Các hàm hằng y = 2; y = - 4; y = 7;
2) Các cách thờng dùng cho một hàm số
a)
Hàm số cho bởi bảng.
b)
Hàm số cho bởi công thức.
-
Hàm hằng: là hàm có công thức y = m (trong đó x là biến,
m

Ă
)
-
Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức y = ax + b
Trong đó: x là biến,
Ăa,b , a 0
.
a là hê số góc, b là tung độ gốc.
Chú ý: Nếu b = 0 thì hàm bậc nhất có dạng y = ax (

a 0
)
-
Hàm số bậc hai: Là hàm số có công thức y = ax

2
+ bx + c
(trong đó x là biến,
Ăa,b,c , a 0
).
Chú ý: Nếu c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax
2
+ bx (

a 0
)
Nếu b = 0 và c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax
2
(

a 0
)
3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x

Ă
. Với x
1
, x
2
bất kì thuộc R
a)
Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm
số y = f(x) đợc gọi là hàm đồng biến.
Nếu

1 2 1 2
x x mà f(x ) < f(x )
<
thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
b)
Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm đi thì hàm số y
= f(x) đợc gọi là hàm nghịch biến.
Nếu
1 2 1 2
x x mà f(x ) > f(x )
<
thì hàm số y = f(x) nghịch biến /R
4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến và hàm nghịch biến.
a)
Hàm số bậc nhất y = ax + b (

a 0
).
- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên
Ă
.
- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên
Ă
.
b)
Hàm bậc hai một ẩn số y = ax
2
(

a 0

) có thể nhận biết đồng biến và nghịch
biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
- Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
5) Khái niệm về đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá
trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị:
a)
Hàm hằng.
Đồ thị của hàm hằng y = m (trong
đó x là biến,
m

Ă
) là một đờng
thẳng luôn song song với trục Ox.
Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó
y là biến,
m

Ă
) là một
đờng thẳng luôn song song
với trục Oy.
b)
Đồ thị hàm số y = ax (

a 0
) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các

điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.
*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ;
a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị
hàm số y = ax (

a 0
)
c)
Đồ thị hàm số y = ax + b (

a,b 0
) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp
các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (

b
a
, 0).
*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số
y = ax + b (

a,b 0
)
+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:
Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b)
Oy

Cho y = 0 => x =
b
a

, ta đợc N(
b
a

; 0)
Ox

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số
y = ax + b (

a,b 0
)
d)
Đồ thị hàm số y = ax
2
(

a 0
) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0).
Nhận trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.
- Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.
6) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
*)
Hai đờng thẳng y = ax + b (

a 0
) và y = a x + b (

a' 0
)
O
x
y
a < 0
O
x
y
a > 0
+
Trùng nhau nếu a = a , b = b .
+
Song song với nhau nếu a = a , b

b .
+
Cắt nhau nếu a

a .
+
Vuông góc nếu a.a = -1 .
*)
Hai đờng thẳng ax + by = c và a x + b y = c (a, b, c, a , b , c 0)
+
Trùng nhau nếu
a b c

a' b' c'
= =
+
Song song với nhau nếu
a b c
a' b' c '
=
+
Cắt nhau nếu
a b
a' b'

7) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (

a 0
) và trục Ox
Giả sử đờng thẳng y = ax + b (

a 0
) cắt trục Ox tại điểm A.
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (

a 0
) là góc tạo bởi tia Ax và tia AT
(với T là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).
-
-
Nếu a > 0 thì góc

tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính

theo công thức nh sau:
=
tg a
(cần chứng minh mới đợc dùng).
Nếu a < 0 thì góc

tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính
theo công thức nh sau:

=
0
180
với
=
tg a
(cần chứng minh mới đợc dùng).
Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 1: Nhận biết hàm số
Dạng 2: Tính giá trị của hàm số, biến số.
Dạng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
a)
Hàm số bậc nhất y = ax + b (

a 0
).
- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên
Ă
.
A
T

x
y
O
(a > 0)
Y
y

=

a
x

+

b
A
T

x
y
O
(a < 0)

Y
y

=

a

x

+

b
- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên
Ă
.
b)
Hàm bậc hai một ẩn số y = ax
2
(

a 0
) có thể nhận biết đồng biến và nghịch
biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
- Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá
trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị:
a)
Hàm hằng.
Đồ thị của hàm hằng y = m (trong
đó x là biến,
m

Ă
) là một đờng

thẳng luôn song song với trục Ox.
Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó
y là biến,
m

Ă
) là một
đờng thẳng luôn song song
với trục Oy.
b)
Đồ thị hàm số y = ax (

a 0
) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các
điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.
*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ;
a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị
hàm số y = ax (

a 0
)
c)
Đồ thị hàm số y = ax + b (

a,b 0
) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp
các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (

b
a

, 0).
*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số
y = ax + b (

a,b 0
)
+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:
Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b)
Oy

Cho y = 0 => x =
b
a

, ta đợc N(
b
a

; 0)
Ox

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số
y = ax + b (

a,b 0
)

d)
Đồ thị hàm số y = ax
2
(

a 0
) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0).
Nhận trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.
- Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.
Dạng 5: Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.
*) Điểm thuộc đờng thẳng.
- Điểm A(x
A
; y
A
)

(d): y = ax + b (a

0) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
+ b
- Điểm B(x
B
; y
B
)

(d): y = ax + b (a

0) khi và chỉ khi y
B
= ax
B
+ b
*) Điểm thuộc Parabol : Cho (P) y = ax
2
(

a 0
)
- Điểm A(x
0
; y
0
)

(P)

y
0
= ax
0
2
.
- Điểm B(x
1

; y
1
)

(P)

y
1


ax
1
2
.
Dạng 6: Xác định hàm số
Dạng 7: Xác định điểm cố định của hàm số
*) Ph ơng pháp:
Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b (

a 0
; a,b có chứa tham số)
luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m, ta làm nh sau:
Bớc 1: Gọi điểm cố định là A(x
0
; y
0
) mà đờng thẳng y = ax + b luôn đi qua
với mọi giá trị của tham số m
10
O

x
y
a < 0
O
x
y
a > 0
Bớc 2: Thay x = x
0
; y = y
0
vào hàm số đợc y
0
= ax
0
+ b, ta biến đổi về dạng
<=>
0 0 0 0
A(x ,y ).m B( x ,y ) 0
+ =
, đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị
của tham số m hay phơng trình có vô số nghiệm m
Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vô số nghiệm.
(
0 0 0 0
A(x ,y ).m B( x ,y ) 0
+ =
, có vô số nghiệm
=

=

0 0
0 0
A(x ,y ) 0
B(x ,y ) 0
)
Dạng 8: Tìm giao điểm của hai đồ thị
8.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.
Giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
): y = a
1
x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
Là nghiệm của hệ phơng trình
1 1
2 2
y a x b
y a x b
= +

= +

8.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng.
Cho (P) : y = ax
2
(a

0) và (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax
2
= mx + n.
Giải phơng trình tìm x.
Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax
2
hoặc y = mx + n ta tìm đ-
ợc y.
+ Giá trị của x tìm đợc là hoành độ giao điểm.
+ Giá trị của y tìm đợc là tung độ giao điểm.
8.3: Tìm số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.
Cho (P) : y = ax
2
(a

0) và (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax
2
= mx + n. (*)
+ Phơng trình (*) vô nghiệm (

< 0)

(d) và (P) không có điểm
chung.
+ Phơng trình (*) có nghiệm kép (

= 0)

(d) tiếp xúc với (P).
+ Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt (

> 0 hoặc ac < 0)

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
8.4: Tìm giá trị của một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
8.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
8.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đờng
thẳng.
Cho (d) : y = ax + b và (P): y = ax
2
(a

0)(a, a, b có chứa tham số)
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax
2
= ax + b. (*)
+ (d) và (P) không có điểm chung

Phơng trình (*) vô nghiệm (

< 0)
+ (d) tiếp xúc với (P)

Phơng trình (*) có nghiệm kép (

= 0).
Nghiệm kép là hoành độ điểm tiếp xúc
+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt (

> 0 hoặc ac < 0). Hai nghiệm đó là hoành độ
của hai giao điểm
8.7: Tìm giá trị của tham số khi biết toạ độ giao điểm của Parabol và đờng
thẳng.
Cho (d): y = ax + b và (P): y = ax
2
(a

0)
(a, a, b có chứa tham số)
Tìm giá trị của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại A(x
A
; y
A
).
Cách làm: Thay tọa độ của A vào hàm số của (d); (P) để tìm giá trị của tham
số.
11

Dang 9: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
9.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) trong đó x
A


x
B
và y
A

y
B
.
Ph ơng pháp:
Gọi phơng trình đờng thẳng (d) cần lập đi qua A và B có dạng
y = ax + b (a

0).
Do A

(d) thay x = x

A
; y = y
A
vào y = ax + b ta có y
A
= ax
A
+ b
(1)
Do B

(d) thay x = x
B
; y = y
B
vào y = ax + b ta có y
B
= ax
B
+ b
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
= +


= +

A A
B B
y ax b

y ax b

Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy ra phơng trình
đờng thẳng (d) cần lập
9.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua M(x
0
; y
0
) và có hệ số góc là k.
Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng
y = kx + b
Bớc 2: Đờng thẳng này đi qua M(x
0
; y
0
) =>
0 0
y kx b
= +
=>
0 0
b y kx
=
Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y =
0 0
kx y kx
+
9.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
A(m; y
A

) và B(m; y
B
) trong đó y
A

y
B
.
Ph ơng pháp:
Do A(m; y
A
)

(d): x = m;
Do B(m; y
B
)

(d) : x = m;
Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m
9.4: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
A(x
A
; n) và B(x
B
; n) trong đó x
A

x
B

.
Ph ơng pháp:
Do A(x
A
; n)

(d): y = n;
Do B(x
B
; n)

(d) : y = n;
Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n
9.5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(x
A
; y
A
) và tiếp xúc với đờng
cong
2
y ax (a 0)=
Bớc 1: Giả sử phơng trình cần lập là y = ax + b
Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với đờng cong
2
y ax (a 0)
=
khi và chỉ khi phơng trình hoành độ giao điểm
2
ax a'x b'
= +

có nghiệm
kép. Ta cho
0
=
, tìm ra một hệ thức giữa a và b (1)
Bớc 3: Đờng thẳng đi qua A(x
A
; y
A
) =>
A A
y a'x b'
= +
(2)
Bớc 4: Từ (1) và (2) ta có một hệ phơng trình hai ẩn là a và b. Giải hệ tìm
đợc a và b => phơng trình cần lập
9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với đờng cong
2
y ax (a 0)
=
Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử là y = ax + b
Vì đờng thẳng có hệ số góc là k nên a = k => y = kx + b
Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong
2
y ax (a 0)
=
<=>
phơng trình hoành độ giao điểm
2 2
kx b ax ax kx b 0

+ = <=> =
có nghiệm kép
12
Cho
0( ' 0)
= =
=> b = ?
Bớc 3: Trả lời
Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng
10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm.
Bớc 2: Chứng minh điểm còn lại thuộc đờng thẳng vừa lập.
10.2: Tìm giá trị của tham số để ba điểm thẳng hàng.
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm có toạ độ đơn giản nhất.
Bớc 2: Thay toạ độ của điểm còn lại vào phơng trình đờng thẳng vừa lập.
Giải phơng trình và tìm tham số.
Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui
11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.
Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.
Bớc 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đờng thẳng còn lại.
11.2: Tìm giá trị của tham số để ba đờng thẳng đồng qui.
Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng đơn giản nhất.
Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng còn lại. Giải
phơng trình và tìm tham số.
Dạng 12: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số
12.1: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất
Cho hai đờng thẳng : (d
1
): y = a
1

x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
+) (d
1
) cắt (d
2
)

a
1


a
2
+) (d
1
) // (d
2
)

a
1
= a
2

+) (d
1
)

(d
2
)

a
1
= a
2
và b
1
= b
2
+) (d
1
)

(d
2
)

a
1
.a
2
= -1 (phải chứng minh mới đợc dùng)
12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Cho (d
1
): y = a
1
x + b
1

và (d
2
): y = a
2
x + b
2
Để (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục tung thì



=

1 2
1 2
a a (1)
b b (2)
Giải (1)
Giải (2) và chọn những giá trị thoả mãn (1).
12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

Cho (d
1
): y = a
1
x + b
1
và (d
2
): y = a
2
x + b
2
Để (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục hoành thì





=


1 2
1 2
1 2
a a (1)
b b

(2)
a a
Lu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phơng trình đều chứa tham số.
Dạng 13: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng
y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích
bằng c
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam
giác thì ta có điều kiện cần là:
a 0,b 0

=> điều kiện của m
Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần lợt là
giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành
A(0 ; b) và B(
b
;0
a

)
Bớc 3: Xét tam giác vuông OAB có
13
S
OAB
=
b
1 1
OA.OB b . c
2 2 a

= ì =

=> m = ? (kiểm tra với điều kiện ở bớc 1)
Dạng 14: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng
y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác cân
Cách 1:
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam
giác thì ta có điều kiện cần là:
a 0,b 0


=> điều kiện của m
Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần lợt là
giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành
A(0 ; b) và B(
b
;0
a

)
Bớc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=>
b
b
a

=
(*)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị của m (kiểm tra điều kiện ở bớc1)
Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân khi và chỉ
khi đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng
y = x hoặc song song với đờng thẳng y = - x
Dạng 15: Xác định giá trị của tham số để giao điểm của hai

đờng thẳng ax + by = c và a x + b y = c nằm trong các góc phần t của hệ
trục tọa độ.
Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) của hai đờng thẳng, chính là nghiệm
của hệ phơng trình:
ax by c
a'x b'y c'
+ =


+ =

Bớc 2:
+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ I thì điều kiện là:
x 0
y 0
>


>

+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ II thì điều kiện là:
x 0
y 0
<


>

+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ III thì điều kiện là:
x 0

y 0
<


<

+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ IV thì điều kiện là:
x 0
y 0
>


<

Bớc 3: Tìm m = ?
Dạng 16:
Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thức 0
Bớc 1: Đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thức 0 <=>
A 0
B 0
=


=


Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giá trị của tham số
V - Các dạng toán về hệ phơng trình
Lí thuyết chung
14

1.
Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
+ =


+ =

ax by c
(I)
a'x b'y c'
(trong đó a, b, c, a , b , c có thể chứa tham số)
2.
Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm
- Nghiệm (x
0
; y
0
) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phơng trình trong hệ
- Nếu hai phơng trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phơng trình vô
nghiệm
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có
vô số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c
a' x b'y c'
+ =


+ =

(a, b, c, a , b , c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c'
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là
ab a b = 0
3.
Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn .
ax by c
a' x b'y c'
+ =


+ =


a)
Phơng pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
Bớc1: Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu

cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của
hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong
đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là
phơng trình một ẩn)
Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm của hệ
đã cho
*) Tổng quát:
+ Nếu có
ax by c
ax b'y c'
+ =


+ =



+ = +


+ =

(b b')y c c'
ax b'y c'
+ Nếu có
ax by c
ax b'y c'
+ =

+ =




(b b')y c c'
ax b'y c'
=


+ =

+ Nếu có
ax by c
k.ax b'y c'
+ =


+ =


+ =


+ =

k.ax kby kc
k.ax b'y c'

(kb b')y k.c c'
ax by c
=


+ =

b)
Phơng pháp thế.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Bớc 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ
phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn
15
Bớc 2: Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã
cho
*) Tổng quát:
ax by c
a' x b'y c'
+ =


+ =


a c
y x
b b
a' x b'y c'

= +

+ =



= +





+ + =
ữ



a c
y x
b b
a c
a' x b' x c '
b b
c)
Phơng pháp đồ thị
- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình trong hệ
- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
+) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào
đồ thị đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận

nghiệm của hệ
+) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vô nghiệm
+) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ: (áp dụng
cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số
Dạng 2: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số
Ph ơng pháp:
Bớc 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phơng trình
Bớc 2: Giải hệ phơng trình không chứa tham số vừa thu đợc.
Dạng 3: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số
- Dùng phơng pháp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số
m), làm xuất hiện phơng trình có dạng :
Ax = B (1) (hoặc Ay = B)
Nếu A = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = B.
+) Khi B = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0


phơng trình có vô số nghiệm
=> hệ phơng trình có vô số nghiệm
+) Khi B

0 phơng trình (1) vô nghiệm
=> hệ phơng trình vô nghiệm
Nếu A

0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
B
A

=> hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
B
x
A
y y(m)

=



=


Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, vô
nghiệm, vô số nghiệm.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô số
nghiệm, vô nghiệm.
16
ax by c
a' x b'y c'
+ =


+ =

(a, b, c, a , b , c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c
a' b' c'
= =

+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c'
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình
Dạng 6: Tìm giá tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình
6.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Cho hệ phơng trình :
+ =



+ =

ax by c (1)
a x b y c (2)

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm
0
0
x x
y y
=


=

Cách 1:
Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (2) và giải.
Cách 2:
Thay x = x
0
; y = y
0
vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn là
tham số
6.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Cho hệ phơng trình:
ax by c
a x b y c
+ =



+ =

có nghiệm

0
0
x x
y y
=


=

Bớc 1: Thay x = x
0
; y = y
0
vào cả hai phơng trình của hệ phơng trình ta đợc
0 0
0 0
ax by c
a x b y c
+ =



+ =

Bớc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số.
Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.
Cho hệ phơng trình :
ax by c (1)
a x b y c (2)
+ =

+ =

(I)
Có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3)
Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện của tham số để hệ (I) có nghiệm duy
nhất
Bớc 2: Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3)

(x; y) là nghiệm
của (1), (2), (3). Kết hợp 2 phơng trình đơn giản nhất để đợc một hệ phơng
trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng trình còn lại
Bớc 3: Giải phơng trình chứa ẩn là tham số
Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
)
là những số nguyên
Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất
Bớc 2: Phân tích x
0
; y
0
dới dạng
0
b
x a với a, b Z

A(m )
= +
17
0
d
y c với c, d Z
B(m)
= +
0
0
b
x Z Z A(m) Ư ( b)
A(m)
m ?
d
y Z Z B(m) Ư (d)
B(m)

<=> <=>

=> =

<=> <=>


*) Đặc biệt nếu :
0
b
x a với a, b Z
A(m )

= +
0
d
y c với c, d Z
A(m)
= +
=>
0 0
x ,y Z A(m) Ư C( b,d) m ?
<=> => =
Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y là
P(x,y) = ax
2
+ bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cách 1:
Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình có nghiệm
duy nhất
Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa x và y là:
P(x,y) = kA
2
(x) + d (d là hằng số).
k < 0

kA
2
(x)

0

kA

2
(x) + d

d

P(x,y)

d
Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
k > 0

kA
2
(x)

0

kA
2
(x) + d

d

P(x,y)

d
Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
Cách 2:
P(x,y) = ax
2

+ bx + c

ax
2
+ bx + c P(x,y) = 0
Bớc 1: Tính

hoặc
'

.
Bớc 2: Đặt điều kiện


0 (
'


0)

Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y).
P(x,y)

e

Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc khi

=
'

= 0

b
x
2a

=
=
b'
a

.
P(x,y)

e

Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc khi

=
'

= 0

b
x
2a

=
=
b'

a

Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số
1. Ph ơng pháp :
Cho hệ phơng trình:
ax by c
a' x b'y c'
+ =


+ =

trong đó a, b, c, a, b, c chứa tham số
m. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m ?
*) Cách 1:
Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ ta rút m theo x và y là
m = A(x,y)
Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai của hệ ta
đợc hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham
số m
*) Cách 2: Sử dụng đối với hệ phơng trình có tham số m dới dạng bậc nhất
18
Bớc 1: Từ hệ phơng trình
ax by c m A(x,y)
a' x b'y c' m B( x,y)
+ = =

=>

+ = =

Bớc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). Đây là hệ thức liên hệ giữa x và y không
phụ thuộc vào tham số m
L u ý : Ta cần rút gọn các hệ thức sao cho ngắn gọn, đơn giản nhất
Dạng 11: Tìm giá trị của tham số để hai hệ phơng trình tơng
đơng
- Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập
nghiệm (tức là mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngợc lại)
Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và
giải một số hệ phơng trình không ở dạng hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
(hệ đặc biệt)
VI Ph ơng trình bậc hai một ẩn
Phần I: Phơng trình không chứa tham số
I.
Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là
phơng trình có dạng
2
0 ( 0)ax bx c a
+ + =
Trong đó: x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số
II.
Phân loại.
1.
Phơng trình khuyết c: ax
2
+ bx = 0 (a

0)
Phơng pháp giải:
ax

2
+ bx = 0 (a, b

0)

x(ax + b) = 0

x 0
b
x
a
=




=


Phơng trình có hai nghiệm x
1
= 0; x
2
=

b
a
2.
Phơng trình khuyết b: ax
2

+ c = 0 (a, c

0)
Phơng pháp giải:
ax
2
+ c = 0 (a

0)


2
c
x
a

=
+)
+)
Nếu
c
a

< 0

Phơng trình vô nghiệm.
Nếu
c
a

> 0

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

=
1
c
x
a
;

=
2
c
x
a
3.
Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax
2
+ bx + c = 0 (a , b, c

0)
*) Công thức nghiệm:

= b
2
- 4ac
+)

< 0

Phơng trình vô nghiệm
19
+)

> 0

phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
+
b
2a
; x
2
=

b
2a
+)

= 0

Phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
b

2a

* ) Công thức nghiệm thu gọn
Nếu b = 2b (b =
2
b
)

ta có :

= b
2
- ac
+ Nếu

> 0

phơng trình có hai nghiệm phân biệt là :
1 2
' ' ' '
; x
b b
x
a a
+
= =
+ Nếu

= 0

phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
=
'b
a

+ Nếu

< 0

phơng trình vô nghiệm
Phần II Các dạng ph ơng trình chứa tham số
Dạng 1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số
Thay giá trị của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Dạng 2: Giải và biện phơng trình theo tham số
Tổng quát:
Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.
+ Nếu b

0 thì phơng trình có nghiệm x =

c
b
+ Nếu b = 0 và c

0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.

Với a

0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biệt số:

= b
2
4ac ( hay

= b
2
ac)
+ Nếu

< 0 (

< 0) thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu

= 0 (

= 0) thì phơng trình có nghiệm kép :
x
1
= x
2
= -
b
2a
=
'b

a

+ Nếu

> 0 (

> 0) thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
+ +
=
b b' '
2a a
; x
2
=

=
b b' '
2a a
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm
- Xét hai trờng hợp của hệ số a:
Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp
vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng trình có
nghiệm
Trờng hợp 2: a 0, ph ơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm <=>
( )
0 ' 0

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Phơng trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt
20
<=>
0
0( ' 0)
a



> >

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm kép
Phơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm kép <=>
0
0( ' 0)
a



= =

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm
- Xét hai trờng hợp của hệ số a:
Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp
vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng trình vô
nghiệm
Trờng hợp 2: a 0, ph ơng trình bậc hai một ẩn vô nghiệm
<=>
( )

0 ' 0
< <
Dạng 7: Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Để chứng minh phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:
Cách 1: Chứng minh:
0
0
a
ac



<


Cách 2: Chứng minh:



>

a 0
0
Chú ý: Cho tam thức bậc hai

=
2
am bm c
+ +
Để chứng minh

0, m
>
ta cần chứng minh
2
m
a 0
b 4ac 0
>



= <


Dạng 8: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu, trái
dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng phân biệt, có
hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm là hai số đối nhau, có hai nghiệm là
hai số nghịch đảo của nhau
Cho phơng trình
2
0ax bx c
+ + =
; trong đó a, b, c chứa tham số
Theo định lí Vi - ét, ta có :
1 2
1 2
b
S x x
a
c

P x x
a

= + =



= =

a) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu <=>
0
0
0
a
P






>

hoặc
0
0
0
a
ac

>

b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=>
0
0
a
P



<

hoặc
0
0
a
ac



<

c) Phơng trình có hai nghiệm dơng <=>
0
0

0
0
a
P
S






>


>

21
d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=>
0
0
0
0
a
P
S

>


<


e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>
0
0
0
0
a
P
S



>


>


>


f) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt <=>
0
0

0
0
a
P
S



>


>


<


g) Phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
<=>
1 2
0
0
0
a
b
S x x
a

= + = =


h) Phơng trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
<=>
1 2
0
0
1
a
c
P x x
a







= = =


Dạng 9: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.
Bớc 2: Tính x

1
+ x
1
=

b
a
và x
1
.x
1
=
c
a
Bớc 3: Biểu thị đợc các biểu thức theo x
1
+ x
1
và x
1
.x
1
; sau đó thay giá trị
của x
1
+ x
1
và x
1
.x

1
vào để tính giá trị của biểu thức.
Chú ý:
+ = +
2 2 2
a b (a b) 2ab
+ = + +
3 3 3
a b (a b) 3ab(a b)
= +
2 2
(a b) (a b) 4ab
+ = + +
2
( a b) (a b) 2 a.b (a,b 0)
+ = +
4 4 2 2 2 2 2
a b (a b ) 2a b
+ = +
= + +
3 3
a b a a b b
( a b)(a ab b) (a,b 0)
22
Dạng 10: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
một trong các điều kiện sau:

a)
1 2
x x

+ =
b)
1 2
1 1
n
x x
+ =
c)
2 2
1 2
x x k+ =
d)
3 3
1 2
x x t+ =
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
. Giải
hệ ĐK:
0
0
a

=> m = ?
Bớc 2: Theo hệ thức Vi ét, ta có:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + =



= =


Bớc 3: Biến đổi điều kiện của đề bài (là một đẳng thức hoặc bất đẳng thức)
để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó thay tổng và tích hai nghiệm có đợc ở
bớc 2 vào điều kiện vừa biến đổi; từ đó giải
phơng trình hoặc bất phơng trình với biến là tham số để tìm giá trị của tham
số. Tiếp theo kiểm tra xem các giá trị tham số tìm đợc có thỏa mãn hệ điều kiện
ở bớc 1 hay không ?
Hoặc có bài toán ta kết hợp điều kiện của đề bài với một hệ thức Vi - ét để

tìm hai nghiệm x
1
, x
2
(giải hệ phơng trình với hai ẩn là x
1
, x
2
); sau đó ta thay
x
1
, x
2
vào hệ thức Vi ét còn lại để tìm tham số.
Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có một nghiệm x = x
1
. Tìm nghiệm
còn lại
Bớc 1: Thay x = x
1
vào phơng trình, ta có:

2
1 1
0 ?ax bx c m+ + = => =
Bớc 2: Để tìm nghiệm còn lại x
2
ta thực hiện theo hai cách:
Cách 1: Thay giá trị của m vào phơng trình ban đầu. Từ đó có phơng trình
bậc hai và giải phơng trình này ta tìm đợc x

2
Cách 2: Tính x
2
nhờ định lí Vi - ét:
2 1 2 1
hoặc x = P : xx S x
=
Dạng 12: Tìm phơng trình bậc hai khi biết trớc hai nghiệm số
Trờng hợp 1: Cho từng nghiệm x
1
, x
2
. Ta có phơng trình với ẩn x là :
( )
2
1 2 1 2 1 2
( ) 0 ( ) 0x x x x x x x x x x
= <=> + + =
Trờng hợp 2: Không có x
1
, x
2
riêng
Bớc 1: Tìm S =
1 2
x x
+
và P =
1 2
x x

Bớc 2: Phơng trình với ẩn x là
2
0x Sx P
+ =
.
Phơng trình có nghiệm <=>
2
4S P

Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai khi biết mối liên hệ giữa hai nghiệm của
phơng trình cần lập với hai nghiệm của phơng trình cho trớc.
Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm của phơng trình.
Bớc 2: Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình đã cho
1 2 1 2
b c
x x , x .x
a a

+ = =
23
Bớc 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình cần lập x
3
và x
4
thông
qua mối liên hệ với x
1
, x
2
.

Bớc 4: Lập phơng trình.
Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham
số
Cách 1:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
Giải hệ điều kiện
0
0
a





Bớc 2: Tính hệ thức Vi - ét:


= + =




= =


1 2

1 2
b
S x x
a
c
P x .x
a
Bớc 3: Khử tham số trong hệ thức Vi ét, tìm hệ thức liên hệ giữa S và
P. Đó là hệ thức độc lập với tham số giữa các nghiệm của phơng trình.
Cách 2:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
Giải hệ điều kiện
0
0
a





Bớc 2: Giải phơng trình tìm x
1
, x
2
.
Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số).

Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai
2
y ax bx c (a 0)
= + +
Cách 1:
Biến đổi y = kA
2
(x) + m (m là hằng số).
k < 0

kA
2
(x)

0

kA
2
(x) + m

m

y

m
Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.
k > 0

kA
2

(x)

0

kA
2
(x) + m

m

y

m
Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.
Cách 2:
y = ax
2
+ bx + c

ax
2
+ bx + c y = 0
+ Bớc 1: Tính

hoặc
'

.
+ Bớc 2: Đặt điều kiện

0 (
'


0)

Giải bất phơng trình chứa ẩn y.
y

m

Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi

=
'

= 0

b
x
2a

=
=
b'
a

.
y

m

Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi


=
'

= 0

b
x
2a

=
=
b'
a

Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm
Bớc 1: Kiểm tra sự có nghiệm của phơng trình
Bớc 2: Tính
1 2 1 2
b c
x x , x .x
a a

+ = =
24

Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là A(x
1
; x
2
) về dạng có
chứa x
1
+ x
2
và x
1
.x
2

Bớc 4: Thay x
1
+ x
2
và x
1
.x
2
vào biểu thức A. Khi đó A trở thành tam thức
bậc hai ẩn là tham số.
Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị tham số thích
hợp.
Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào
tham số
Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm
1 2

x ,x
Bớc 2: Tính hệ thức Vi- ét:


+ =




=


1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
Bớc 3: Tính giá trị của biểu thức theo x
1
+ x
2
và x
1
.x
2
; thấy kết quả là một
hằng số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Dạng 18: Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn
bất đẳng thức đã cho.
Dạng 19: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số u và v thoả mãn
+ =


=

u v S
u.v P
(S
2


4P). Thì u và v là nghiệm của
phơng trình x
2
- Sx + P = 0 (*)
- Nếu phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt
1 2
x , x
. Do x, y có vai trò nh nhau
nên có hai cặp số thỏa mãn là
1
2
u x
v x
=

=


hoặc
2
1
u x
v x
=



=


- Nếu phơng trình (*) có nghiệp kép
1 2
x x a
= =
=> u = v = a
- Nếu phơng trình (*) vô nghiệm => Không tìm đợc cặp giá trị (u, v) nào thỏa
mãn yêu cầu đề bài
Dạng 20: Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai một ẩn có
nghiệm chung
Cho hai phơng trình
2 2
ax bx c 0 (a 0) và a ' x b'x c' 0 (a ' 0)

+ + = + + =
Trong đó
a,b,c,a ',b',c'
chứa tham số m
*) Cách 1:
Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ phơng trình:
2
2
ax bx c 0 (a 0)

a'x b'x c' 0 (a' 0)

+ + =



+ + =

có nghiệm
Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình dạng:
A(m).x = B(m)
+) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó
thay trực tiếp vào hai phơng trình

giải hai phơng trình không chứa
tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm
chung hay không ?
25