200 bài toán hình học không gian

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 1

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): xyz–32–50+=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).

·
(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)
Þ
(Q) có VTPT
P
nnAB,(0;8;12)0
éù
== ¹
ëû
u
uurr
rr


Þ
Qyz():23110+-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),
2330Pxyz(): +++=. ĐS: Qxyz():220-+-=

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
AB
(2;1;3),(1;2;1)- và song song với đường thẳng
xt
dyt
zt
1
:2
32
ì
=-+
ï
=
í
ï
=
î
.

·
Ta có BA (1;3;2)=
u
ur
, d có VTCP u (1;2;2)=-
r
.
Gọi n
r
là VTPT của (P)

Þ

nBA
nu
ì
^
í
^
î
u
ur
r
rr

Þ
chọn nBAu,(10;4;1)
éù
==
ëû
u
ur
rr


Þ
Phương trình của (P): xyz104190-+-=.

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
() và d

2
()có phương trình:
xyz
d
1
112
();
231
-+-
==,
xyz
d
2
413
():
693

==. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa
(d
1
) và d
2
() .

·
Chứng tỏ (d
1
) // (d
2
). (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
xyzxyz
222
26420++-+ =. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ v (1;6;2)=
r
, vuông góc với mặt phẳng xyz():4110
a
++-= và tiếp xúc với (S).

·
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ()
a
là n (1;4;1)=
r
.

Þ
VTPT của (P) là:
[ ]
P
nnv
,(2;1;2)==-
r
rr

Þ
PT của (P) có dạng: xyzm220-++=.
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên dIP(,())4=

m
m
21
3
é
=-
Û
ê
=
ë
.
Vậy: (P):
xyz2230-++= hoặc (P): xyz22210-+-=.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
xyz
d
1
1
():
123
+
==

và
xyz
d
2
14
():

125

==. Chứng minh rằng điểm Mdd
12
,, cùng
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.

·
d
1
qua M
1
(0;1;0)- và có u
1
(1;2;3)=
r
, d
2
qua M
2
(0;1;4) và có u
2
(1;2;5)=
r
.
uu
12
;(4;8;4)0
éù
= ¹

ëû
r
rr
, MM
12
(0;2;4)=
uuuuu
ur
Þ
uuMM
1212
;.0
éù
=
ëû
uuuuu
ur
rr
Þ
dd
12
, đồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa
dd
12
,
Þ
(P) có VTPT n (1;2;1)=-
r
và đi qua M

1
nên có
phương trình xyz220+-+=. Kiểm tra thấy điểm MP(1;–1;1)()Î .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 2

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
xyz33
221

== và mặt cầu
(S): xyzxyz
222
22420++ +=. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=
r
.
(P) // d, Ox
Þ
(P) có VTPT
[ ]
nui,(0;1;2)==-
r
rr

Þ
PT của (P) có dạng:
y
zD20-+=.
(P) tiếp xúc với (S)
Û
dIPR(,()) =
Û

D
22
14
2
12
-+
=
+

Û
D 325-=
Û

D
D
325
325
é
=+
ê

=-
ë


Þ
(P): yz23250-++= hoặc (P): yz23250-+-=.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxy
222
2440+++ = và
mặt phẳng (P): xz30+-=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;1)-
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT
P
n (1;0;1)=
r
.
PT (Q) đi qua M có dạng: AxByCzABC
222
(3)(1)(1)0,0-+-++=++¹
(Q) tiếp xúc với (S)
Û
dIQRABCABC
222
(,())43=Û-++=++ (*)

QP
QPnnACCA()().00^Û=Û+=Û=-

rr
(**)
Từ (*), (**)
Þ
BAABBAAB
2222
53287100-=+Û-+=
Û

A
BAB274=Ú=-

·
Với
AB
2= . Chọn B = 1, A = 2, C = –2
Þ
PT (Q): xyz2290+ =

·
Với
AB
74=- . Chọn B = –7, A = 4, C = –4
Þ
PT (Q): xyz47490 =
Câu hỏi tương tự:
a) Với Sxyzxyz
222
():24450++-+-+=, PxyzM():2650,(1;1;2)+-+= .
ĐS:

Qxyz():2260++-= hoặc Qxyz():1110250-+-=.

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
–242–30++++=.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r 3= .

·
(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox
Þ
(P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0)
Þ
(P): y – 2z = 0.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
222–10+++-+=
và đường thẳng
xy
d
xz
20
:
260
ì
=
í

=
î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn có bán kính r 1= .

·
(S) có tâm I(1;1;1) , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Chọn
MNd(2;0;2),(3;1;0)-Î.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 3

Ta có:
MP
NP
dIPRr
22
()
()
(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï

=-
î

Û

abcabdab
abcabdab
,2(),3(1)
177,2(),3(2)
é
==-+=
ê
=-=-+=
ë

+ Với (1)
Þ
(P): xyz40+ = + Với (2)
Þ
(P): xyz717540-+-=

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
xyz
1
1
:
211
D
-
==

-
,
xyz
2
1
:
111
D
-
==

và mặt cầu (S): xyzxyz
222
–224–30++++=. Viết phương trình
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D
1
và D
1
.

·
(P): yz3320+++= hoặc (P): yz3320++-=

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
xyzxyz
222
246110++-+ = và mặt phẳng (
a
) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (

b
) song song với (
a
) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng
p
6
p
= .

·
Do (
b
) // (
a
) nên (
b
) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6
p
nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (
b
) là h = Rr
2222
534-=-=
Do đó
D
D
D

D (loaïi)
222
2.12(2)3
7
4512
17
22(1)
+ +
é
=-
=Û-+=Û
ê
=
ë
++-

Vậy (
b
) có phương trình xyz22––70+=.
Câu hỏi tương tự:
a)
yzxyzSx
22
246110
2
(): ++++ =
, xyz():22190+-+=
a
,
p

8
p
= .
ĐS: xyz():2210+-+=
b























www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

Trang 4

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q): xyz0++= và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .

·
PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng:
A
xByCz 0++= (với ABC
222
0++¹).

·
Vì (P)
^
(Q) nên:
A
BC1.1.1.0++=
Û
CAB= (1)

·
dMP(,())2=
Û

ABC
ABC
222

2
2
+-
=
++

Û

A
BCABC
2222
(2)2()+-=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được: ABB
2
850+=
Û

B
AB
0(3)
850(4)
é
=
ê
+=
ë


·
Từ (3): B = 0

Þ
C = –A. Chọn A = 1, C = –1
Þ
(P): xz0-=

·
Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8
Þ
C = 3
Þ
(P): xyz5830-+=.

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :
xyz13
114

== và
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.

·
Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: axbyczb20+++= ( abc
222
0++¹)

D
đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u (1;1;4)=
r

Ta có:

abc
P
ab
dAPd
abc
222
40
()
5
4
(;())
ì
++=
ï
ì
D
+
Û
íí
=
=
î
ï
++
î
P

Û

ac

ac
4
2
ì
=
í
=-
î
.

·
Với ac4= . Chọn acb4,18==Þ=-
Þ
Phương trình (P): xyz48160-+-=.

·
Với ac2=- . Chọn acb2,12==-Þ=
Þ
Phương trình (P): xyz2240+-+=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
Md
1
:;(0;3;2),3
114
D
-
==-=.
ĐS: Pxyz():2280+ = hoặc Pxyz():48260-++=.

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
xt
dyt
z
():12
1
ì
=
ï
=-+
í
ï
=
î
và điểm
A
(1;2;3)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

·
(d) đi qua điểm M(0;1;1)- và có VTCT u (1;2;0)=
r
. Gọi nabc(;;)=
r
với abc
222
0++¹
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): axbyczaxbyczbc(0)(1)(1)00-+++-=Û+++-= (1).

Do (P) chứa (d) nên:
unabab.0202=Û+=Û=-
rr
(2)

( )
abcbc
dAPbcbc
abcbc
22
22222
3252
,()3335235
5
-+++
=Û=Û=Û+=+
+++


( )
bbccbccb
2
22
440202Û-+=Û-=Û= (3)
Từ (2) và (3), chọn
b 1=-
Þ
ac2,2==-
Þ
PT mặt phẳng (P): xyz2210 += .

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 5

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm MNI(1;1;0),(0;0;2),(1;1;1) Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
MP
NP
dIP
()
()
(,())3
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcabdab
abcabdab
,2,(1)
57,2,(2)
é
=-=-=-
ê
==-=-
ë
.
+ Với (1)
Þ
PT mặt phẳng (P): xyz20-++=
+ Với (2)
Þ
PT mặt phẳng (P): xyz7520+++=.

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A
(1;1;2)- , B(1;3;0) ,
C(3;4;1)- , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
AP
BP

dCPdDP
()
()
(,())(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcd
abd
bcdabcd
abcabc
222222
20
30
3a42
ì
-++=
ï
++=
ï
í
-++++++

=
ï
ï
++++
î


Û

bacada
cabada
2,4,7
2,,4
é
===-
ê
===-
ë

+ Với bacada2,4,7===-
Þ
(P): xyz2470++-=.
+ Với cabada2,,4===-
Þ
(P): xyz240++-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
A
BCD(1;2;1),(2;1;3),(2;1;1),(0;3;1) .
ĐS: Pxyz():427150++-= hoặc Pxz():2350+-=.

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
A
(1;2;3) , B(0;1;2)- ,
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P() đi qua
A
và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến P() bằng khoảng cách từ C đến P().

·
Vì O
Î
(P) nên Paxbycz():0++=, với abc
222
0++¹.
Do A
Î
(P)
Þ
abc230++= (1) và dBPdCPbcabc(,())(,())2=Û-+=++ (2)
Từ (1) và (2)
Þ
b 0= hoặc c 0= .

·
Với b 0= thì ac3=-
Þ
Pxz():30-=
·
Với c 0= thì ab2=-

Þ
Pxy():20-=
Câu hỏi tương tự:
a) Với
A
BC(1;2;0),(0;4;0),(0;0;3) . ĐS: xyz6340-++= hoặc xyz6340-+=.

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A
(1;1;1)- , B(1;1;2) ,
C(1;2;2) và mặt phẳng (P): xyz2210-++=. Viết phương trình mặt phẳng ()
a
đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IBIC2= .

·
PT ()
a
có dạng: axbyczd 0+++=, với abc
222
0++¹
Do
A
(1;1;1)()
a
-Î nên: abcd 0+-+= (1); P()()
a
^ nên abc220-+= (2)
IBIC2= Þ dBdC(,())2(;())
aa

=
Þ

abcdabcd
abcabc
222222
222
2
+++-+-+
=
++++

www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6


abcd
abcd
3360
(3)
5230
é
-+-=
Û
ê
-+-+=
ë

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

TH1 :
abcd
abcbacada
abcd
0
13
220;;
22
3360
ì
+-+=

ï
-+=Û==-=
í
ï
-+-=
î
.
Chọn abcd21;2;3=Þ=-=-=-
Þ
()
a
: xyz2230 =
TH2 :
abcd
abcbacada
abcd
0
33

220;;
22
5230
ì
+-+=
-
ï
-+=Û===
í
ï
-+-+=
î
.
Chọn
abcd23;2;3=Þ===-
Þ
()
a
: xyz23230++-=
Vậy:
()
a
: xyz2230 =hoặc ()
a
: xyz23230++-=

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương

trình
xyz
d
1
223
:
213

==,
xyz
d
2
121
:
214

==
-
. Viết phương trình mặt phẳng cách
đều hai đường thẳng dd
12
, .

·
Ta có d
1
đi qua A(2;2;3) , có
d
u
1

(2;1;3)=
r
, d
2
đi qua B(1;2;1) và có
d
u
2
(2;1;4)=-
r
.
Do (P) cách đều dd
12
, nên (P) song song với dd
12
,
Þ

Pdd
nuu
12
,(7;2;4)
éù
==
ëû
r
rr


Þ

PT mặt phẳng (P) có dạng: xyzd7240 +=
Do (P) cách đều dd
12
, suy ra dAPdBP(,())(,())=

Û

dd7.22.24.37.12.24.1
6969
+ +
= ddd
3
21
2
Û-=-Û=

Þ
Phương trình mặt phẳng (P): xyz144830 +=

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương
trình
xt
dyt
z
1
1
:2

1
ì
=+
ï
=-
í
ï
=
î
,
xyz
d
2
211
:
122
+
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với d
1
và d
2
, sao cho khoảng cách từ d
1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d
2
đến (P).

·
Ta có : d
1
đi qua
A
(1;2;1) và có VTCP u
1
(1;1;0)=-
r


d
2
đi qua B(2;1;1)- và có VTCP là u
2
(1;2;2)=-
r

Gọi n
r
là VTPT của (P), vì (P) song song với d
1
và d
2
nên nuu
12
,(2;2;1)
éù
==
ëû

r
rr


Þ
Phương trìnht (P): xyzm220+++=.

m
ddPdAP
1
7
(,())(;())
3
+
== ;
m
ddPdBP
2
5
(,()) (,())
3
+
==
ddPddP
12
(,())2(,())= mm72.5Û+=+
mm
mm
72(5)
72(5)

é
+=+
Û
ê
+=-+
ë
mm
17
3;
3
Û=-=-
+ Với m 3=- Þ Pxyz():22–30++= + Với m
17
3
=- Þ Pxyz
17
():22 0
3
++-=

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 7

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A
(0;1;2)- , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): xyz
222
(1)(2)(1)2-+-++=.

·
(S) có tâm I(1;2;1)- , bán kính R 2= .
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹
Ta có:
AP
BP
dIPR
()
()
(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcabdab
abcabdab
,,23(1)
38,,23(2)
é
=-= =+
ê

=-= =+
ë

+ Với (1)
Þ
Phương trình của (P): xy10 =
+ Với (2)
Þ
Phương trình của (P): xyz83570 +=

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A
(2;1;1)- . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.

·
Ta có dOPOA(,()) £ . Do đó dOPOA
max
(,()) = xảy ra OAP()Û^nên mặt phẳng (P)
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA (2;1;1)=-
u
uur

Vậy phương trình mặt phẳng (P):
xyz260-+-=

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có
phương trình:
xyz11
213

== . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

·
Gọi H là hình chiếu của A trên d
Þ
d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có
A
HHI³
Þ
HI lớn nhất khi
AI
º . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận
AH
uu
ur
làm VTPT
Þ
(P): xyz75770+ =.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{
xtytzt2;2;22=-+=-=+ . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.

·

Gọi (P) là mặt phẳng chứa
D
, thì Pd()()
P
hoặc Pd()()É . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên (P). Ta luôn có IHIA£ và IHAH^ .
Mặt khác
ddPdIPIH
HP
(,())(,())
()
ì
==
í
Î
î

Trong (P),
IHIA£ ; do đó maxIH = IAHAÛº. Lúc này (P) ở vị trí (P
0
)
^
IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P
0
) là
(
)
nIA 6;0;3==-
r

uur
, cùng phương với
(
)
v 2;0;1=-
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là: xzxz2(4)1.(1)290 += =.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
12
:
212

== và điểm
A
(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
(P) có VTPT nabc(;;)=
r
, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u (2;1;2)=

r
.
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Vì (P)
É
d nên
MP
nu
()
.0
ì
Î
í
=
î
rr

Þ

acd
abc
20
220
ì
++=
í
++=

î

Þ

cab
dab
2(2)
ì
=-+
í
=+
î
. Xét 2 trường hợp:
TH1
: Nếu b = 0 thì (P): xz10-+= . Khi đó: dAP(,())0= .
TH2: Nếu b
¹
0. Chọn b 1= ta được (P): axyaza22(21)220+-+++=.
Khi đó:
dAP
aa
a
22
99
(,())32
845
13
22
22
==£

++
æö
++
ç÷
èø

Vậy
dAPmax(,())32=
Û
aa
11
20
24
+=Û=- . Khi đó: (P): xyz430-+-=.
Câu hỏi tương tự:
a)
xyz
dA
112
:,(5;1;6)
215
-+-
== . ĐS: Pxyz():210+-+=
b)
xyz
dA
12
:,(1;4;2)
112
-+

==
-
. ĐS: Pxyz():5134210+-+=

Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm
M(0;1;2)- và N(1;1;3)- . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.

·
PT (P) có dạng:
A
xByCzAxByCzBC(1)(2)020+++-=Û+++-=
ABC
222
(0)++¹

NPABCBCABC(1;1;3)()3202-ÎÛ-+++-=Û=+
PBCxByCzBC():(2)20Þ++++-=;
dKP
B
CBC
B
(,())
22
424
=
++

·
Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)

·
Nếu B 0¹ thì
B
dKP
BCBC
C
B
222
11
(,())
2
424
212
==£
++
æö
++
ç÷
èø

Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): xyz–30++=.

www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 9

Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc

Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a) cha ng thng ():
xyz1
112
-
==

v to vi mt phng (P) : xyz2210 += mt gúc 60
0
. Tỡm ta giao
im M ca mt phng (a) vi trc Oz.

ã

() qua im
A
(1;0;0) v cú VTCP u (1;1;2)=
r
. (P) cú VTPT n (2;2;1)
Â
=
r
.
Giao im Mm(0;0;) cho
A
Mm(1;0;)=-
uuu
ur
. (
a
) cú VTPT nAMumm,(;2;1)
ộự
==-
ởỷ
uu
urur
r

(
a
) v (P): xyz2210 += to thnh gúc 60
0
nờn :

( )
nnmm
mm
2
2
111
cos,2410
22
245
Â
==-+=
-+
rr

m 22=- hay m 22=+
Kt lun : M(0;0;22)- hay M(0;0;22)+

Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao
tuyn d ca hai mt phng xy():210=
a
, xz():20
b
= v to vi mt phng
Qxyz():2210+= mt gúc
j
m
22
cos
9
j

=

ã
Ly
A
Bd(0;1;0), (1;3;2)ẻ . (P) qua A
ị
PT (P) cú dng:
A
xByCzB0++=.
(P) qua B nờn:
A
BCB320++=
ị

A
BC(22)=-+

ị
PBCxByCzB():(22)0-+++=

BCBC
BCBC
222
2222
22
cos
9
3(22)
j

+
==
+++


BBCC
22
13850+=.
Chn CBB
5
11;
13
=ị==.
+ Vi BC1==
ị
Pxyz():410-++=
+ Vi BC
5
, 1
13
==
ị
Pxyz():2351350-++=.

Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im
AB
(1;2;3),(2;1;6) v mt
phng Pxyz():230++-=. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt
phng (P) mt gúc a tho món
3

cos
6
a
= .

ã
PT mt phng (Q) cú dng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++ạ.
Ta cú:
AQ
BQ
()
()
3
cos
6
a
ỡ
ẻ
ù
ẻ
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

abcd
bcd
abc
abc
222
230
2a60
23
6
141
ỡ
-+-+=
ù
+=
ù
ớ
++
ù
=
ù
++++
ợ


abcbdb
abcdb
4,3,15
,0,
ộ

=-=-=-
ờ
=-==-
ở


ị
Phng trỡnh mp(Q): xyz43150-++= hoc (Q): xy30 =.
Cõu hi tng t:
a)
AB
(0;0;1),(1;1;0) , POxy
1
()(),cos
6
a
=.
S: (Q): xyz210-+-= hoc (Q): xyz210 += .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 10

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
xyz
30
:
240
ì

++-=
í
++-=
î
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60
a
= .

·
ĐS: Pxyz():2220++ = hoặc Pxyz():2220 +=

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Pxyz():52510-+-= và
Qxyz():48120 +=. Lập phương trình mặt phẳng
R
() đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc
0
45=
a
.

·
Giả sử PT mặt phẳng (R): axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
R

Pabc()()5250^Û-+= (1);

·
abc
RQ
abc
0
222
482
cos((),())cos45
2
9

=Û=
++
(2)
Từ (1) và (2)
Þ

ac
aacc
ca
22
760
7
é
=-
+-=Û
ê
=

ë


·
Với ac=- : chọn abc1,0,1===-
Þ
PT mặt phẳng
R
xz():0-=

·
Với ca7= : chọn abc1,20,7===
Þ
PT mặt phẳng
R
xyz():2070++=
Câu hỏi tương tự:
a) Với PxyzQOyzM
0
():20,()(),(2;3;1),45 =º-=
a
.
ĐS:
R
xy():10++= hoặc
R
xyz():534230-+-=

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
xyz

1
111
:
113
D
-+-
==
-
và
xyz
2
:
121
D
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
D
và
tạo với
2
D
một góc
0
30=
a
.

·

Đáp số: (P): xyz511240+++= hoặc (P): xyz220 =.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
1
2
:
111
D
-
==
-
,
xyz
2
235
:
211
D
+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P):
xyz2220 += hoặc (P): xyz240++-=
b)

xyz
1
11
:
211
D
-+
==
-
,
xyz
2
21
:
111
D
-+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P): xyz(18114)21(152114)(3114)0++++ =
hoặc (P): xyz(18114)21(152114)(3114)0-++ +=

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là
00

45,30 .

·
Gọi nabc(;;)=
r
là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là ij(1;0;0),(0;1;0)==
rr
.
Ta có:
OxP
OyP
2
sin(,())
2
1
sin(,())
2
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î

Û

ab

cb
2
ì
=
í
=
î

www.VNMATH.com