Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1

Chương VI: LƯỢNG GIÁC
BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I. Khái niệm cung và góc lượng giác:
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác:
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều
dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều
dương

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo
một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác
Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác.

2. Góc lượng giác:
Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn từ C
đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một góc lượng
giác có tia đầu là OC tia cuối là OD.
Kí hiệu: (OC,OD)

3-Đường tròn lượng giác :
Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1;
0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1).

II. Số đo của cung và góc LG:
1. Độ và radian
Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad
180
0
=

rad
1
0
=
180

rad và rad=(
180

)
0

với


3,14; 1
0

0,01745rad
Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ
rad sau số đó. Ví dụ:

3

;
2


*Bảng chuyển đổi thông dụng:
Độ
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
360
0

-
+
A
+
A'(-1; 0)
B'(0; -1)
B(0; 1)
O
A(1; 0)

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2

rad
6


4


3


2



2


*Độ dài của một cung lượng giác
Độ dài cung có số đo

rad của đường trịn bán kính R là : l = R


§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I. Các giá trị lượng giác của cung 
1) Định nghĩa :
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có

sđ AM =  . Khi đó :
+ Khi đó tung độ y=
OK
của điểm M gọi là sin của


kí hiệu là sin

 sin = y .
+ Khi đó hoảnh độ x=
OH
của điểm M gọi là côsin của 
kí hiệu là cos

 cos = x .
+ Nếu cos   0, tỉ số


cos
sin
gọi là tang của 
kí hiệu tan

(hoặc tg ) tan=


cos
sin

+ Nếu sin   0, tỉ số



sin
cos
gọi là côtang của 
kí hiệu cot

(hoặc cotg ) cot =


sin
cos
.
Các giá trị sin

, cos

, tan

, cot

được gọi là các giá trị lượng giác của cung

. Trục
tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin.
* Chú ý :
- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
- Nếu 0
0





180
0
thì các giá trị lượng giác của

cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc


trong SGK HH10.
2) Các hệ quả :
a) sin và cos đều được xác định  R. Ta có:
sin( + k2) = sin
cos( + k2) = cos
1

sin  ,cos 

1
b)  m  R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại  và  sao cho sin = m và sin =m
c) tan xác định khi  
2

+ k  , k  Z.
cot  xác định khi   k  , k  Z.
c) Dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
Góc lượng giác

I
II
III
IV
sin
+
+


cos
+


+
tan
+

+

cot
+

+



B'
B
A' A
O

M (x;y)

K
H

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3

3) Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt :
Góc
Giá trị
lượng giác
0(0
0
)
/6(30
0
)
/4(45
0
)
/3(60
0
)
/2(90
0
)
Sin
0
1/2
2

/2
3
/2
1
Cos
1
3
/2
2
/2
1/2
0
Tg
0
3
/3
1
3

||
Cotg
||
3

1
3
/3
0
|| : không xác định
II) Ý nghĩa hình học của tan  và cot 

+ tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ
AT
trên trục t’At,trục này gọi là trục tang.
+ cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ
BS
trên trục s’Bs,trục này gọi là trục cotang.
Từ ý nghĩa hình học của tan  và cot ta có :
tan(+k  ) = tan
cot(+k  ) = cot ( k  Z ).
III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
Với mọi k  Z ta có :
sin
2
 + cos
2
 = 1
)
2
( 1cot.
)(

sin
1
cot
1
1
)
2
(
cos
11
1
22
22








kgtg
k
g
k
tg




Ví dụ 1 : Cho sin  = 3/5 với 0<  </2. Tính cos  ?
Ví dụ 2 : Cho tg  =2/3 với 3 /2 <<2 . Tính sin  và cos  ?
Ví dụ 3 : Cho   /2+k  , k  Z . Chứng minh rằng :

1
cos
sincos
23
3





tgtgtg

Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào 
A =




g
g
tg
tg
cot
1cot
.
1

2
2



y
x
t
K
H AA'
B'
B
O
M
T
y
x
S
H
K
A
B'
B
O
M

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4

2) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a) Cung đối nhau :  và  

sin() = sin 
cos() =  cos 
tan() = tan 
cot() = cot  .
b) Cung bù nhau :  và 
sin() = sin
cos() = cos
tan()= tan
cot()= cot  .
c) Cung hơn kém nhau  :  và  + 
sin(+) = sin
cos(+) = cos
tan(+) = tan
cot(+) =cot  .
d) Cung phụ nhau :  và
2

 
sin(/2) = cos
cos(/2)= sin
tan(/2) = cot
cot(/2) = tan
e) Cung hơn kém nhau /2 :  và
2

+ (Xem)
sin(/2+) = cos 
cos(/2+) = sin 
tan(/2+) = cot 
cot(/2+)= tan  .

Ví dụ : Tính
a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4).
b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1.
sin(1050
0
)=sin(30
0
3.360
0
) =sin30
0
= ½ .
2. Số đo của cung lượng giác:
VD: Xem hình 44

Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm.
Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM.
Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội
của
2
. Và viết là:
sđAM =
2k


, (k

Z)

Trong đó  là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.

M

A  sđAA =
2k
, (k

Z)
k = 0  sđAA = 0
* Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:
SđAM = a
0
+ k360
0
, (k

Z)
3. Số đo một góc lượng giác:

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5

Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng .
Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:
Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo

trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A
làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau :
sđ AM =

. Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là
25
4

; -765
0

Giải: SGK tr139
Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau
a)
11
2

; b) 405
0

Giải
a) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức :
sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1).
b) Ta có 405
0
= 45
0
+ 360
0
. Điểm ngọn N của cung 405
0
được xác định bởi hệ thức:
sđAN = 45
0

+ 360
0
hay sđ AN = 45
0
.
Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB.
Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo
 = /2 + k , kZ.
Giải
kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ :
+ Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó  = /2 + n2 , nZ.
Vậy điểm ngọn của  là B(0;1).
+ Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó  = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ.
Vậy điểm ngọn của  là B’(0;-1).
§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
I) Công thức cộng
Với mọi số thực a , b ta có :
cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb  sina.sinb
sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

tgatgb1
tgbtga
)ba(tg




(a  /2 + k ;b  /2 + k ;a+b  /2 + k  ;ab  /2 + k  )

Ví dụ1 : Tính
a) cos
12
13

b) sin75
0
c) tg
14
7


Ví dụ 2 : Chứng minh rằng
a)
tga1
tga1
)a
4
(tg





b)
tga1
tga1
)a
4
(tg







Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6

Áp dụng tính A =
0
0
151
151
tg
tg


 tg15
0
= ?
II) Công thức nhân
1) Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos
2
a  sin
2
a
= 2cos
2

a  1
= 1  2sin
2
a
tg2a =
atg1
tga2
2

( a  /2 + k  , a  /4 + k /2 )
* Công thức nhân ba
sin3a = 3sina  4sin
3
a
cos3a = 4cos
3
a  3cosa
tg3a =
atg31
atgtga3
2
3



Ví dụ :
a) Chứng minh rằng
a2sin
2
1

1acosasin
244

.
b) Chứng minh rằng
asinacos
asinacos
a2sin1
a2cos





2) Công thức hạ bậc

2
a2cos1
acos
2



2
a2cos1
asin
2



a2cos1
a2cos1
atg
2



( a  /2 + k  )
Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8
3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg
2
a
(không học)
Giả sử a   + k  ,đặt t = tg
2
a
,ta có :

22
2
2
t1
t2
tga ;
t1
t1
acos ;
t1
t2

asin







.
Ví dụ1 : Biết tg
2
a
=
3
2

, tính
asin54
acos32



III) Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa.cosb =
2
1
[cos(a+b) + cos(ab)]
sina.sinb = 
2
1

[cos(a+b)  cos(ab)]
sina.cosb =
2
1
[sin(a+b) + sin(ab)]
cosa.sinb =
2
1
[sin(a+b)  sin(ab)]

Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7

Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau :

24
sin
24
5
sinB
12
7
sin
12
5
cosA



Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau
C = cos5x.cos3x

D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x
= sin4x sin6x + sin2x
IV) Công thức biến đổi tích thành tổng

2
yx
sin
2
yx
sin2ycosxcos
2
yx
cos
2
yx
cos2ycosxcos





2
yx
sin
2
yx
cos2ysinxsin
2
yx
cos

2
yx
sin2ysinxsin






sin( )
tan tan
cos cos
xy
xy
xy



Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích

Khi đó ta có các công thức :
)
4
xsin(2xcosxsin
)
4
xcos(2xsinxcos
)
4
xsin(2)

4
xcos(2xsinxcos









Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích
A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx
= 2cosx(sin2x + sinx ) =