chuyên đề trục và tâm đối xứng

I . PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ :
1. Phép dời trục tọa độ từ O(0;0) sang
0 0
I(x ;y )
:
Công dời trục tọa độ :

0
0
x X x
y Y y
 
 
khi đó hệ trục tọa độ mới là IXY
2. Pt đối với hệ tọa độ mới :
Nếu y =f(x) thì pt đối với hệ tọa độ IXY là Y = F(X+x
0
) + y
0

II . TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG CONG :
1. Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận điểm
0 0
( ; )
I x y

làm tâm đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau :
0 0 0 0
( ) ( ) 2
f x x f x x y vôùi x x D
     

2. chú ý : hàm số lẻ nhận O(0;0) làm tâm đối xứng vì
0 0
0
( ) ( )
( 0) (0 )
( ) ( )
( ) ( )
0
2
f x x f x x
f x f x
f x f x
f x f x
y
  
   
  
 



3. Phương pháp giải tóan :
a) C/m

0 0
( ; )
I x y
là tâm đối xứng của (C) :
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY
 Tìm phương trình của (C ) theo IXY
 C/m Y= F( X ) là hàm số lẻ
 Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận I làm tâm đối xứng
b) Tìm tâm đối xứng I
 Gọi
0 0
( ; )
I x y
là tâm đối xứng
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY
 Tìm phương trình của (C ) theo IXY
 Xác định
0 0
,
x y
sao cho Y= F( X ) là hàm số lẻ ( cho các hệ số bậc chẳn bằng 0 )
III. TRỤC ĐỐI XỨNG :

1. Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận đường thẳng
0
x x

làm trục đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau :
0 0 0
( ) ( )

f x x f x x vôùi x x D
    

2. Chú ý : hàm số chẳn đối xứng qua oy vì
0
0
( )
(0 )
( )
( )
(0 )
( )
f x x
f x
f x
f x
f x
f x x

 
 

 
 

3. Phương pháp giải tóan :
a. C/m
0
x x


là trục đối xứng của (C) :
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với
0
( ;0)
I x

 Tìm phương trình của (C ) theo IXY
 C/m Y= F( X ) là hàm số chẳn
 Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận IY làm trục đối xứng
b. Tìm trục đối xứng biết có phương song song oy :
 Gọi
0
x x

là trục đối xứng cần tìm
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với
0
( ;0)
I x

 Tìm phương trình của (C ) theo IXY
 Cho Y= F( X ) là hàm số chẳn ( cho các hệ số bậc lẻ bằng 0 )
 giải hệ tìm
0
x

c. C/m (d)
y ax b
 
là trục đối xứng của (C) :

 Dùng đường thẳng (d’) :
1
y x m
a
 
vuông góc với ( d) và m thay đổi
 Tìm ĐK của m để ( d’) cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt E, F
 C/m rằng m là trung điểm EF thì M thuộc ( d)
 vậy ( d) là trục đối xứng của ( C )
IV . VÍ DỤ :
1 . CMR các hàm số sau nhận điểm đã cho làm tâm đối xứng :
a.
3 2
3 2 4 (1;4)
y x x x I   



0
0
1
4
(1;4)
x X x X
y Y y Y
Giải
Phéptònhtiếntheo OI biếnoxy thành IXY the
ocôngthức đổi hệtrục
   
   




Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY







 
3 2
3
( ) 4 3 3 1 2 1 4
          
   
M C Y X X X
Y F X X X



 
 
 
 
 
3
3
1;4

F
F F
MXĐ của Y F X là D R
X D X D
F X X X
X X
F X
Y F X là hàm số lẻ
Vậy I là tâm đối xứng
 
    
   
  
 
 

b.
 
2
3 1; 2
1
y x I
x
   




0
0

1
2
( 1;2)
x X x X
y Y y Y
Giải
Phéptònhtiếntheo OI biếnoxy thành IXY the
ocôngthức đổi hệtrục
   
   
 

Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY
 
2
2
( ) 2 1 3
1 1
2
2
       
 

    
M C Y X
X
X
Y F X X
X X





 
 
 
 
2
2
\ 0
( ) 2
2
1;2
F
F F
MXĐ của Y F X là D R
X D X D
X
F X
X
X
X
F X
Y F X là hàm số lẻ
Vậy I là tâm đối xứngcủồ thò
 
    
 

 




 
 


2. Tìm tâm đối xứng của hàm số :
2 1
1
x
y
x




   
   
   
     
 
   
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0

0 0 0 0 0 0
2
0 0
; :
2
2 1 2 1
2
1 1
2 3 1 2 3 1
2 ( 1) 1
4 2 6 1 0
Giải
Gọi I x y là tâm đối xứng của đồthò C ta có
f x x f x x y x
x x x x
y x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
y x x x x x
y x x x
    
   
  
   
           
     
     

 
0 0

1 , 2
1;2
Do đó x y
Vậy I là tâm đối xứng của đồ thò
 

3.CMR các đường cong ( C ) sau đây nhận đường thẳng đã cho làm tâm
đối xứng :
a.
 
 
 
2
4
: : 2
2
C y với d x
x
  


 
2;0
2
Giải
Phép tònh tiến theo OI biến hệ trục oxy thà
nh IXY theo công thức đổi trục
x X
y Y



 






Gọi (x,y) và (X, Y) là tọa độ của M đối với oxy và IXY
 
 
   
2
2
4
2 2
4
\ 0
F
M C Y
X
X
Miền xác dònh của F X là D R
x D X D
   
 


    

 
 
 
 
 
2
2
4
4
2
F X
X
X
F X
F X là hàm số chẳn
Vậy x là trục đối xứng của C
  




 

b.
   
2
: 1
2
x
C y với d y x

x

   


   
 
   
 
   
2
'
' :
' :
2
2
2
1 2 2 0 *
Giải
Gọi d là đường thẳng vuông góc với d
ptđt d y x m
Phươngtrình hòanh độ giao điểm của C và d la
ø
x
x m x
x
x m x m
  

   


    



   
2
* 2 :
0
1 4.1. 2 2 0
1 7
Đểpt có nghiệm phân biệt thì
m m
m hoặc m
 
    
   





 
 
   
' 2 , ,
1
1
2 2
2 1

1
1 7
F E
M
M M
M
M M
Do d cắt C tại điểm phân biệt E F nên tọa độ
trung điểm M của E F là
x x
x m
y x m
m x
y x
M d với m hoặc m
Vậy d là trục đối xứng của C



  



 


  




  


    

V. Bài Tập :

3 3
3 2
2
1. :
. 3 . 6
2
. . 6 13
4
. 2 1 0 .
1
1
2
. .
1
Tìm tâm đối xứng của các hàm số sau
a y x x e y x x
b y f y x x
x
x
c xy x y g y
x
x x
d y x h y

x x
   
   

    

 
  


 
 
 
3 2
2
2. :
. 6 9 4 2 ; 2
2 1
. 1 ;2
1
2
. 1 ; 2
1
CMR các đường cong sau nhận điểm đã chỉ làm
tâm đối xứng
a y x x x với I
x
b y với I
x
x

c y với I
x
    




  


4 2
2
2
4 3 2
3. :
. 5 4
4
.
. 4 3 2
Tìm trục đối xứng của các hàm số sau biết
trục đối xứng song song oy
a y x x
x
b y
x
c y x x x x
  


   

4 3 2
2
2
4 3 2
4. :
. 4 4 16 1
4 5
. 2
4 4
. 4 6 4 1 1
2 2
. 4
2
4
. 2
1
CMR các đường cong sau nhận đường thẳng đả
chỉ ra làm trục đối xứng
a y x x x x với x
x x
b y với x
x x
c y x x x x với x
x
d y với y x và y x
x
x
e y với y x và y x
x

     
 
  
 
     

    


    
