đề học sinh giỏi toán năm học 2014 tham khảo

Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia các tỉnh năm học
2014 - 2015
Đang cập nhật:
- Phần 1: />- Phần 2: />- Phần 3: />1. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia Tp. Đà Nẵng năm học 2014 - 2015
VÒNG 1 (11/9/2014)
Bài 1 (5đ)
Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết $x_1=\dfrac{2013}{2014}$ và
:
$$x_{n+1}=\dfrac{1}{4+2011x_n}$$
Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó
Bài 2 (5đ)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và
$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) \forall x,y\in \mathbb{Z}$$
Bài 3 (5đ)
Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O
của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$
sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$
tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai
của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Bài 4 (5đ)
Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh,
Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành
viên biết Tiếng Đức cùng bằng 50. Chứng minh rằng có thể chia tất cả các thành viên tham
dự hội nghị thành 5 nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng 10 thành viên biết tiếng Anh,
đúng 10 thành viên biết tiếng Pháp và đúng 10 thành viên biết tiếng Đức.

VÒNG 2 (12/9/2014)
Bài 5 (7đ)
Cho tam giác ABC nhọn không cân có O là tâm ngoại tiếp. Gọi P là một điểm nằm trong tam
giác sao cho AP vuông góc với BC. Đường trung trực của đoạn AP cắt AC tại M. Đường
trung trực của đoạn thẳng MC cắt BC tại N, các đường thẳng AO và MN cắt nhau tại K. Gọi
D là điểm đối xứng của O qua BC
a) Chứng minh rằng đường thẳng AD đi qua trung điểm Q của đoạn thẳng PK.
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên CA và AB. Chứng minh rằng đường
trung trực của đoạn thẳng EF đi qua Q.
c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường trung trực của đoạn thẳng EF cắt đường
thẳng AI tại T. Chứng minh KT vuông góc BC
Bài 6 (7đ)
Với mỗi số nguyên dương n, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức
$\pm 1\pm 2\pm 3 \pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng
0. Chứng minh rằng:
a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 2 (\mathrm{mod} 4)$
b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0
(\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 3 (\mathrm{mod} 4)$
Bài 7 (6đ)
Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10x10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen
sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu. Chứng minh rằng
trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô
nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.
2. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: (4 điểm) Chứng minh rằng từ 3 số nguyên lẻ đôi một phân biết, ta luôn có thể chọn ra
hai số, gọi là $a$ và $b$, sao cho $a^3b-ab^3$ chia hết cho $40$.
Câu 2: (4 điểm) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa
mãn
$$\left\{\begin{matrix}cy+bz=a\\az+cx=b \\bx+ay=c \end{matrix}\right.$$

Chứng minh rằng $$x+y+z\le \frac{3}{2}$$
Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)
$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$
khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến
$DE$ của $(O)$ (E là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$),
đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh
$D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.
Câu 4: (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)
+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Câu 5 (4 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1, ,6\}$ sao cho chữ số
đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau 1 đơn vị?
VÒNG 2
Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}=2\sqrt{5}\\
(x+y)(\dfrac{1}{xy}+1)= 3\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$
Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},$ và $
$a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\; \forall n\ge 1.$$
Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
Câu 3: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau
$$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1)\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác,
$M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$
tại $M_1,M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1,N_2$. Các đường tròn ngoại
tiếp các tam giác $BN_1N_2,CM_1M_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Chứng minh rằng ba điểm
$A,P,Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.
Câu 5 (4 điểm) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây,
bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số $n$ nếu nó chưa có trên bảng và $n$ là tổng của hai số
nào đó đã có trên bản. Hãy xác định xem $2014$ có được hiển thị trên bảng hay không, nếu
có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau

a) $a=3,b=12.$
b) $a=1,b=2.$
3. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$
Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:
$x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\dfrac{2014+x_n}{2016-x_n}$ với mọi $n=1,2, $.
a. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
b. Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ đặt $y_n=\dfrac{1}{2013n+2015}
\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{x_k-2014}.$ Tính $\lim\limits_{n\to\infty} y_n$.
Câu 3: Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $M$. Tiếp tuyến chung
ngoài $AB$, ($A$ thuộc $(C_1)$, $B$ thuộc $(C_2)$). Trên tia $Mx$ là tiếp tuyến chung
của 2 đường tròn ( $Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E,F$ lần lượt là
giao điểm thứ 2 của $CA$ với $(C_1)$, $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của
$(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.
Câu 4: Cho số nguyên dương $n\ge 2.$ Chứng minh rằng $m=2n^2-1$ là số tự nhiên nhỏ
nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1, a_2, ,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều
kiện:
i) $a_1 < a_2 < \ldots < a_n=m$; ii) Tất cả $n-1$ số $\dfrac{a_1^2+a_2^2}{2},
\dfrac{a_2^2+a_3^2}{2},\ldots,\dfrac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là các số chính phương.
VÒNG 2
Câu 1: Cho phương trình $x^3+2x^2+3x+4=0$ và $x^3-8x^2+23x-26=0$. Chứng minh mỗi
phương trình trên đều có đúng một nghiệm. Tìm tổng hai nghiệm đó.
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015
Ngày 1 (03/10/2014) :
Câu 1 :

1) Giải hệ phương trình trên tập số thực :
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x+y−xy−−√=x2+y22−−−−−−−√2014x+y−1−3x+y+1=4x2−3x−y+2−−−−−−−−−−−−
−√
2) Tìm tất cả các hàm số f:R→R thỏa mãn điều kiện :
f(x2+f(y))=y+((f(x))2∀x,y∈R
Câu 2 : Cho dãy số (xn) được xác định như sau :
x1=1,x2=2013,xn+2=4026xn+1−xn,n=1,2,
Chứng minh rằng x2014+12014 là số chính phương.
Câu 3 :
Cho tam giác ABC (AB<AC), và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Trên cạnh AC lấy
D sao cho ABDˆ=ACBˆ, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IDC tại E.
Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD tại P. Gọi F là điểm đối xứng
của A qua I, J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD. Đường thẳng JP cắt CF tại Q.
Chứng minh rằng QF=QJ.
Câu 4 :
Với mỗi số nguyên dương n, đặt Sn={1;2; ;n}. Phần tử j của Sn được gọi là điểm bất động
của song ánh p:Sn→Sn nếu p(j)=j. Gọi f(n) là số song ánh từ Sn đến Sn mà không có điểm bất
động nào, g(n) là số song ánh từ Sn đến Sn mà có đúng 1 điểm bất động. Chứng minh rằng :
|f(n)−g(n)|=1∀n∈N∗
Ngày 2 (04/10/2014) :
Câu 5 :
1) Chứng minh rằng với mọi a;b;c>0 ta có
a(b+c)(b+c)2+a2+b(a+c)(a+c)2+b2+c(a+b)(a+b)2+c2≤65
2) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n≥3, phương trình sau
xne−x=1,n∈N,n>2
Có 1 nghiệm duy nhất xn trên đoạn [0;n]. Tìm limxn.
Câu 6 :
Cho p là 1 số nguyên tố lẻ, đặt m=9p−18. Chứng minh rằng m là 1 hợp số lẻ không chia hết cho
3 và 3m−1≡1(modm)
Câu 7 :

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi AD là đường cao đỉnh A. Gọi (k1) là đường tròn
qua B,Dvà tiếp xúc với AB ở B,(k2) là đường tròn qua C,D và tiếp xúc với AC ở C. Giả
sử (k1) cắt (k2) tại M. MD giao (O) tại T.G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng
1) ATCB là hình thang cân.
2) G,M,D thẳng hàng.
Câu 8 :
Cho một khối lập phương 10×10×10 gồm 1000 ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi
một trò chơi. Bình thì chọn một số dải 1×1×10 sao cho với hai dải bất kì thì không có chung
đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình
là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định
được những ô nào màu đen.
4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang năm học 2014 - 2015
Ngày 1
Câu 1: Giải phương trình sau trên tập số thực:
x+25−x−−−−√=2x+2−−−−√+10+3x−x2−−−−−−−−−−√−2.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol y=12x2 lấy dãy các điểm (An) và (Bn) sao cho
điểm A1có hoành độ dương và với mọi số nguyên dương n, đường thẳng AnBn có hệ số góc
bằng −14 và đường thẳng BnAn+1 có hệ số góc bằng 15. Với mỗi số nguyên dương n, kí
hiệu ab và bn tương ứng là hoành độ của An và Bn. Chứng minh rằng các dãy số (an) và (bn) là các
cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB=2a,AD=2BC. Mặt
bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy,
cạnh SC=a5√, với Hla trung điểm cạnh AB. Tính d(D,(SCH)).
Câu 4: Giải phương trình:
sin4x+cos4x+2sin4x+2cos4x=16+sin2x2
Ngày 2:
Câu 5: Cho a,b và c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
P=a+3ca+2b+c+4ba+b+2c−8ca+b+3c.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A < góc B, O và I lần lượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và đặt a=BC,b=AC,c=AB.

Chứng minh rằng nếu tam giác BIO vuông thì a3=b4=c5.
Câu 7: Cho 2014 sô thực x1,x2, ,x2014 thỏa ∣∣∑2014i=1xi∣∣>1 và |xi|≤1 (i=1,2, ,2014).
Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương k sao cho ∣∣∑ki=1xi−∑2014i=k+1xi∣∣≤1.
Đang cập nhật
Đang cập nhật
Đề thi học sinh giỏi thi quốc gia năm 2014 _ 2015 các tỉnh - Phần
2
Posted: 11 Oct 2014 04:55 AM PDT
Tiếp theo Phần 1: Đề thi học sinh giỏi thi quốc gia năm 2014 _ 2015 các tỉnh
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2014-2015
Ngày 1:
Câu 1: Cho dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ thỏa mãn với $x_1=1$ và
$x_{n+1}=5\left ( \sqrt{x_n+11}-\sqrt{x_n+4} \right )$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng
minh rằng dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn ấy.
Câu 2: Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+
+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left
[ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1, ,2n$
1. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng 200 và có nghiệm
thực.
2. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : tồn tại một đa thức $p(x)$
thuộc $M$ có bậc bằng $2n$ và có nghiệm thực.
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ ở
$D$. $M$ là một điểm thay đổi trên $BC$ khác $B,C$. $(I_1),(I_2)$ theo thứ tự là đường
tròn nội tiếp tam giác $ABM$ và $ACM$. $PQ$ là tiếp tuyến chung ngoài khác $BC$ của $
(I_1),(I_2)$ (với $P\in\left ( I_1 \right )$ và $Q\in\left ( I_2 \right )$) . $S$ là giao điểm $BP$
và $CQ$. Chứng minh rằng :
1. Bốn điểm $M,I_1,I_2,D$ cùng nằm trên một đường tròn.
2. $S$ luôn chạy trên một đường tròn cố định.
Câu 4: Một bộ ba số nguyên được $(x,y,z)$ được gọi là một bộ ba $Pythagore$ nếu như
$x^2+y^2=z^2$. Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm $k$ phần tử của tập

$S=\left \{ 1,2, ,25 \right \}$, luôn có ba phần tử tạo thành một bộ ba $Pythagore$ .
Ngày 2:
Câu 5: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt, cố định không thuộc đường tròn.
Đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$.
Gọi $P,Q$ là các giao điểm thứ hai của $BM,BN$ với $(O)$. Các đường thẳng $PQ$ và
$AB$ cắt nhau ở $C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCP$ chạy
trên một đường thẳng cố định.
Câu 6: Cho dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ xác định bởi $x_0=0,x_1=3$ và
$x_{n+1}=\frac{7x_n+3\sqrt{4+5x_n^2}}{2}$ với mọi số nguyên không âm $n$.
1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ là số tự
nhiên và $x_{2014}$ chia hết cho $x_{19}$.
2. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho với mọi số nguyên dương
$n$, trong biển diễn nhị phân của số $x_{an}$ có ít nhất $46^{2014}$ chữ số 1.
Câu 7: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm và đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: $
$\frac{x+y}{\left ( x-y \right )^2}+\frac{y+z}{\left ( y-z \right )^2}+\frac{z+x}{\left ( z-x
\right )^2}\geq \frac{9}{x+y+z}$$
Câu 8: Có một người sử dụng bản đồ trên điện thoại di động để đi từ một điểm $A$ đến một
điểm $B$ . Anh ta đã đi đến được điểm $B$ sau một số lần cứ đi một đoạn thẳng lại phải
chỉnh lại hướng bằng cách quay một góc nhọn theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng tổng các
góc phải điều chình này bằng $\alpha < 180^{\circ}$. Chứng minh rằng độ dài đoạn đường
anh ta đi không vượt quá $\frac{AB}{cos\frac{\alpha }{2}}$.
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015
Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\
x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3 $
Tính giới hạn : $$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$$
Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn
$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$$
Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất
thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến
$MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh

trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh
và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai
giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh
rằng : $k\geq 12$
Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của
:
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}.$$
Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )
=x^{11}-1$.
Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2
màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng
và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐH Vinh năm học 2014-2015

Tiếp tục cập nhật
Đề thi học sinh giỏi Toán các tỉnh năm học 2014 - 2015 - Phần 3
Posted: 19 Oct 2014 04:48 AM PDT
Đã đăng: Đề thi học sinh giỏi các tỉnh năm học 2014 - 2015. Phần 1 | Phần 2
1. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên KHTN năm
học 2014 - 2015
Ngày 1
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)
(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn :
$$2^x+11=19^y$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy
hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia

$BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường
thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh
rằng $AK=AL$
Bài 4. Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn
nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8
phần tử.
Ngày 2
Bài 1. Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n}
\end{Bmatrix}$ thỏa mãn $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$.
1. Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.
2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$
Bài 2. Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ
đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
$\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$
chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song
với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng
$CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$
Bài 4. Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3, ,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu
hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$
Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia Tp. HCM 2014 - 2015
Ngày 2
Bài 1. Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall
x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được
sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.
Bài 3. Cho số nguyên tố $p$. Gọi $a_p$ là hệ số của $n^p$ trong $\sum_{k=0}^pC_p^k
(n+2014)^{n+p}$. Chứng minh rằng $a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$.
Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$, đường cao $AL, BD, CE$ cắt nhau tại $H$.

Đường tròn $(O)$ đi qua $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với
đường tròn $(AED)$ và $M$ là giao điểm của $KD$ với $BC$. Chứng minh $MH, KL, AN$
đồng quy.
Bài 5. Cho $A=\{a_1,a_2, ,a_n\}$ với $2\le n\le 2014$ và $a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại
$(a_i+a_j)\le 2014$ thì $(a_i+a_j)\in A$. Chứng minh rằng $\dfrac{a_1+a_2+ +a_n}
{2}\ge \dfrac{2015}{2}$.
Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015
Câu 1. Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix}(x+y)^3-27x=5(\sqrt[3]{32x-15}-3-y)\\
2x^3=y(y^2+x^2)\end{matrix}\right.$$
Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n^{2015}+3u_n^{2014}+u_n \end{matrix}\right.
$ với mọi $n=1,2,3, $
Tính
$$\lim \frac{u_1^{2014}}{u_2+3}+\frac{u_2^{2014}}{u_3+3}+\frac{u_3^{2014}}
{u_4+3} +\frac{u_n^{2014}}{u_{n+1}+3}$$
Câu 3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \geq
3(ab+bc+ca)$$
Câu 4. Cho đường tròn $(C_1)$ tâm $I$ . Lấy điểm $O$ trên $(C_1)$ , dưng đường tròn $
(C_2)$ tâm $O$ cắt $(C_1)$ tại $C$ và $D.$ Tiếp tuyến với $(C_2)$ tại $C$ cắt $(C_1)$ tại
$A$ và tiếp tuyến với $(C_1)$ tại $C$ cắt $(C_2)$ tại $B.$ Đường thẳng $AB$ cắt $(C_1)$
tại $F(F\neq A) $ và cắt $(C_2)$ tại $E(E \neq B).$ Đường thẳng $CE$ cắt $(C_1)$ tại $G(G
\neq C),$ đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $GD$ tại $H.$
1) Chứng minh $CG$ song song với $FD.$
2) Chứng minh tam giác $EGD$ cân.
3) Chứng minh $CH$ là đường trung trực của $FD.$
Câu 5. Từ các chữ số $1,3,5,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $3,$ mỗi
số gồm $2014$ chữ số.
Đề thi chọn đội tuyển HSG dự thi QG tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015

Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\
x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3 $
Tính giới hạn : $$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$$
Câu 2. Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn
$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$$
Câu 3. Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất
thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến
$MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh
trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4. Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh
và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai
giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh
rằng : $k\geq 12$.
Ngày 2
Câu 5. Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của
:
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$$
Câu 6. Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )
=x^{11}-1$
Câu 7. Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2
màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng
và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Tuyên Quang 2014 - 2015
Đề thi học sinh giỏi tỉnh An Giang 2014 - 2015
Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia tỉnh Thanh Hóa 2014 - 2015

Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia tỉnh Hải Phòng 2014 - 2015

Đề thi HSG Bắc Ninh qua các năm
Tải về tại đây
1) Đề HSG BN 2014 không chuyên:
/>2) Đề HSG BN 2014 chuyên:
/>3) Đề thi thử ĐH BN:
/>4) Đề thi HSG BN 2013 tất cả các môn:
/>5) Đề thi YP1: />