Ứng dụng lý thuyết graph vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai

1

LUẬN VĂN THẠC SĨ

MỤC LỤC

Chương 1 : Giới thiệu 6
1.1. Tổng quan 6
1.1.1. Cơ cấu bánh răng 6
1.1.2. Phương pháp phân tích động học cơ cấu bánh răng 10
1.2. Ưu điểm của lý thuyết Graph trong việc biểu diễn cơ cấu 11
1.3. Tình hình nghiên cứu 12
1.4. Nội dung đề tài 14
Chương 2: Phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 16
2.1. Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 16
2.1.1. Khái niệm sơ đồ Graph 16
2.1.2. Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 19
2.2. Ứng dụng lý thuyết Graph vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai21
2.2.1. Phân tích cơ cấu thành các đơn vị cơ bản 23
2.2.2. Biểu diễn và phân tích các đơn vị cơ bản bằng công cụ toán 32
Chương 3: Xây dựng giải thuật phân tích và khảo sát cơ cấu bánh răng vi sai 36
3.1. Cơ cấu bánh răng 1 36
3.1.1. Mô hình bài toán 36
3.1.2. Quy trình phân tích 37
3.2. Cơ cấu bánh răng 2 39
3.2.1. Mô hình bài toán 39
3.2.2. Quy trình phân tích 40
Chương 4: Ứng dụng lập trình máy tính vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi
sai 44
4.1. Lưu đồ giải thuật 44
4.1.1. Giả thiết bài toán 44

4.1.2. Nghiệm của bài toán 44
2

LUẬN VĂN THẠC SĨ

4.2. Ứng dụng 46
4.2.1. Phân tích động học cơ cấu bánh răng 1 46
4.2.2. Phân tích động học cơ cấu bánh răng 2 48
4.3. Kết luận 50
Chương 5: Kết luận 52
5.1. Một số kết luận 52
5.1.1. Phương pháp phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai 52
5.1.2. Ứng dụng lập trình 52
5.2. Kết quả đạt đuợc của đề tài 53
5.3. Hướng phát triển đề tài 53
Tài liệu tham khảo 54
PHỤ LỤC A 56
PHỤ LỤC B 58











3

LUẬN VĂN THẠC SĨ

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Chương 1
Hình 1. 1.Hệ bánh răng thường phẳng 6
Hình 1. 2.Hệ bánh răng thường không gian 7
Hình 1. 3. Các dạng ăn khớp của hệ bánh răng vi sai phẳng 7
Hình 1. 4. Hệ bánh răng vi sai không gian. 8
Hình 1. 5. Hệ bánh răng hỗn hợp 8
Hình 1. 6. Cơ cấu cầu xe hơi 9
Hình 1. 7. Cơ cấu bệnh cáp. 9
Hình 1. 8. Cơ cấu máy tiện trục khuỷu 10
Chương 2
Hình 2. 1.Hệ bánh răng vi sai (5,7) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph 18
Hình 2. 2.Sơ đồ kết cấu (a) và mạch cơ sở (b) của một cặp bánh răng 19
Hình 2. 3.Hệ bánh răng vi sai (6,9) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph, (c) Nhánh cây,
(d),(e),(f) và (g) các mạch cơ sở tương ứng. 21
Hình 2. 4.Sơ đồ phân tích cơ cấu bánh răng vi sai ứng dụng lý thuyết Graph 23
Hình 2. 5.Các dạng đơn vị bánh răng vi sai với1,2- Cặp bánh răng, 3-Tay quay. 24
Hình 2. 6.Hệ bánh răng 4 khâu,1 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các
đơn vị bánh răng sau khi phân tích 25
Hình 2. 7. Hệ bánh răng 6 khâu,2 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các
đơn vị bánh răng sau khi phân tích 25
Hình 2. 8. Hệ bánh răng 2210-1 (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các nhóm động
học bánh răng sau khi phân tích 28
Hình 2. 9. (a) Chuỗi động học gồm 3 nhóm động học,
(b)Chuỗí song song, (c) Chuỗi hỗn hợp. 30
Hình 2. 10.Cơ cấu bánh răng vi sai 6102-1(a) Sơ đồ Graph,(b)Sơ đồ Graph phân tích
thành các đơn vị bánh răng, (c) Chuỗi động học 31

Hình 2. 11.Cơ cấu bánh răng vi sai 6206-1,(a) Sơ đồ nguyên lý,(b)Sơ đồ Graph 34
Hình 2. 12. Sơ đồ truyền động của cơ cấu bánh răng 6206-1 34
Chương 3
Hình 3. 1.(a) Sơ đồ nguyên lý, (b) Sơ đồ Graph cơ cấu bánh răng 1 36
Hình 3. 2.(a) Phân tích cơ cấu thành nhóm động học, (b)Chuỗi truyền động nhóm vi sai
trong cơ cấu 1. 38
4

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hình 3. 3.Phân bố chuỗi truyền động của cơ cấu 1. 39
Hình 3. 4. (a) Sơ đồ nguyên lý, (b) Sơ đồ Graph cơ cấu bánh răng vi sai 2. 40
Hình 3. 5. .(a) Phân tích cơ cấu thành các nhóm động học, (b) Chuỗi truyền động cơ cấu
2. 42
Chương 4
Hình 4. 1.Lưu đồ giải thuật của chương trình phân tích cơ cấu bánh răng vi sai. 45
Hình 4. 2.Sơ đồ nguyên lý cơ cấu bánh răng 1 46
Hình 4. 3.Sơ đồ nguyên lý cơ cấu bánh răng 2 49
Hình 4. 4.Sơ đồ tính toán đối với phương pháp thường dùng ( trường hợp 1). 50
Hình 4. 5.Sơ đồ tính toán đối với phương pháp thường dùng ( trường hợp 2). 50

5

LUẬN VĂN THẠC SĨ

DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU
Chương 2
Bảng 2. 1.Trật tự truyền động của cơ cấu bánh răng 6206-1 34
Chương 3
Bảng 3. 1.Ma trận kết cấu của cơ cấu bánh răng 1 37
Bảng 3. 2. Phân bố các khâu trong cơ cấu bánh răng 1. 38
Bảng 3. 3.Ma trận kết cấu của cơ cấu bánh răng 2 40
Bảng 3. 4 .Phân bố các khâu trong cơ cấu bánh răng 2 41
Chương 4
Bảng 4. 1.Tỉ số truyền giữa các cặp bánh răng ăn khớp trong cơ cấu 1 47
Bảng 4. 2. Tỉ số truyền giữa các cặp bánh răng ăn khớp trong cơ cấu 2 49

6

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Chương 1 : Giới thiệu
1.1. Tổng quan
1.1.1. Cơ cấu bánh răng
1.1.1.1. Định nghĩa
Cơ cấu bánh răng là cơ cấu khớp cao dùng để truyền chuyển động giữa các trục
quay với tỉ số truyền xác định nhờ sự ăn khớp trực tiếp giữa các bánh răng. Khi các

cặp bánh răng ăn khớp liên tiếp nhau nối tiếp hoặc song song tạo thành hệ bánh răng
dùng để truyền,phân phối chuyển động, hay tăng giảm vận tốc quay.
Trong đó, hệ bánh răng vi sai hay còn gọi là hệ bánh răng hành tinh là hệ thống
bánh răng mà trong cứ mỗi cặp bánh răng có ít nhất một bánh có tâm quay di động.
Còn ngược lại,hệ bánh răng có các tâm quay cố định gọi là hệ bánh răng thường.Trong
hệ vi sai, bánh răng có tâm quay cố định gọi là bánh trung tâm, bánh răng có tâm quay
di động gọi là bánh vệ tinh. Hệ vi sai có bánh trung tâm cố định được gọi là hệ bánh
răng hành tinh hay cơ cấu bánh răng hành tinh. Ngoài ra, mỗi cặp bánh răng ăn khớp
đều có một khâu liên kết gọi là tay quay hay tay đòn. [3]
1.1.1.2. Phân loại
(a) Hệ bánh răng thường
Hệ bánh răng phẳng là hệ bánh răng truyền chuyển động giữa các trục song song .

Hình 1. 1.Hệ bánh răng thường phẳng
7

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Hệ bánh răng không gian là hệ bánh răng truyền chuyển động giữa các trục không
song song .[8]

Hình 1. 2.Hệ bánh răng thường không gian
(b) Hệ bánh răng vi sai
Tương tự như hệ bánh răng thường, hệ bánh răng vi sai cũng chia làm hai loại: phẳng
và không gian :

Hình 1. 3. Các dạng ăn khớp của hệ bánh răng vi sai phẳng
8

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Hình 1. 4. Hệ bánh răng vi sai không gian.

Hình 1. 5. Hệ bánh răng hỗn hợp
1.1.1.3. Ứng dụng
(a) Cơ cấu vi sai - cầu xe hơi
Bộ vi sai là một thiết bị dùng để chia mô men xoắn của động cơ thành hai đường,
cho phép hai bên bánh xe quay với hai tốc độ khác nhau. Có thể tìm thấy bộ vi sai ở
tất cả các xe hơi và xe tải hiện đại, và đặc biệt ở các xe bốn bánh chủ động hoàn toàn.
Bộ vi sai có ba nhiệm vụ chính sau:
 Truyền moment của động cơ đến các bánh xe.
 Đóng vai trò là cơ cấu giảm tốc cuối cùng trước khi moment truyền đến các bánh
xe.
 Cho phép các bánh xe quay với tốc độ khác nhau.
9

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1


Hình 1. 6. Cơ cấu cầu xe hơi
(b) Cơ cấu bện cáp
Cơ cấu này cho phép bánh Z
3
và cần quay cùng chiều với nhau, thường dùng
trong máy bện cáp xuôi.Mỗi bánh răng Z
3
mang nhiều sợi dây kim loại; chuyển động
của các bánh này sẽ bện các sợi kim loại thành một nhánh còn chuyển động của cần
sẽ xe các nhánh thành một sợi cáp cùng chiều.[8]

Hình 1. 7. Cơ cấu bệnh cáp.
(c) Máy tiện trục khủy
Trong cơ cấu này Z
1
= Z
3
nên i
3C
= 0 nghĩa là bánh 3 tịnh tiến không quay. Trên
bánh này gắn dao tiện, khi cần C quay một góc thì tương ứng mũi dao và cổ trục
khuỷu cũng quay theo.Khi đó, mũi dao trượt trên cổ trục khuỷu để thực hiện chuyển
động cắt kim loại.[8]
10

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1


Hình 1. 8. Cơ cấu máy tiện trục khuỷu
1.1.2. Phương pháp phân tích động học cơ cấu bánh răng
1.1.2.1. Phân tích động học cơ cấu bánh răng thường
Khi xác định được tỉ số truyền của một cặp bánh răng:


















(1. 1)
Trong đó:
 là vận tốc (rad/s)
n là số vòng quay(vòng/phút)
Z là số bánh răng ăn khớp
Dấu tùy thuộc vào điều kiện ăn khớp trong (+) hay ăn khớp ngoài (-)
Tiếp tục xác định tỉ số truyền của cả hệ:























(1. 2)
Với k là số cặp bánh răng ăn khớp ngoài.Còn riêng với hệ bánh răng không gian thì k
không có nghĩa và chỉ dùng quy ước dấu[8].
1.1.2.2. Phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai
Còn đối với hệ bánh răng vi sai,xét riêng một cặp bánh răng:
11

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1


























(1. 3)
Dấu + ứng với cặp bánh răng ăn khớp trong
Dấu - ứng với cặp bánh răng ăn khớp ngoài
Công thức tổng quát đối với hệ bánh răng vi sai gồm hai cặp là:

























(1. 4)
Với hệ bánh răng vi sai không gian thì dấu (-1)
k
cũng không có nghĩa mà xét theo
chiều mũi tên qui ước.Đối với công thức trên đặt giả thiết là các vận tốc gốc quay cùng
chiều nên khi vận tốc nào đó ngược chiều chuyển động thì mang dấu âm ( ví dụ như -


).
Với phương pháp phân tích hệ thống bánh răng được trình bày ở trên,có thể nhận
thấy một số ưu điểm như : dễ áp dụng,trực quan, phân tích kết quả cụ thể cho từng hệ
bánh răng. Tuy nhiên, với sự đa dạng hệ thống bánh răng được sử dụng rộng rãi và phổ
biến trong nhiều cơ cấu nên cần một phương pháp mang tính hệ thống, tổng quát để có
thể phân tích với độ phức tạp cao. Điều đó đòi hỏi sự hỗ trợ về khả năng lập trình trên
máy tính. Một trong các phương pháp được các nhà nghiên cứu biết đến là lý thuyết
Graph- phần nào đáp ứng được các yêu cầu trên.
1.2. Ưu điểm của lý thuyết Graph trong việc biểu diễn cơ cấu
Dựa vào khả năng lập trình của máy tính để mô hình hóa cơ cấu,lý thuyết Graph
nêu ra ở đây có thể khắc phục được nhược điểm này,lần đầu tiên được ứng dụng để
tổng hợp cơ cấu năm 1964 [2].Mỗi khâu trong cơ cấu được biểu diễn bằng một nút và
mỗi khớp được thay bằng một cạnh trong họa đồ Graph. Khi biểu diễn cơ cấu từ dạng

sơ đồ kết cấu sang họa đồ Graph, tất cả các tính chất, liên kết của cơ cấu đều được giữ
nguyên. Khi dùng họa đồ Graph để biểu biễn một cơ cấu, có những ưu điểm sau:
1. Nhiều tính chất mang tính liên kết của họa đồ Graph có khả năng ứng dụng. Như
phương trình Euler biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần kết cấu,đặc tính của cơ
cấu.
12

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

2. Vì mỗi cơ cấu có tính chất về mặt kết cấu là duy nhất mà những điểm giống và
khác nhau giữa hai cơ cấu có thể nhận biết trực quan khi sử dụng họa đồ Graph.Chính
vì vậy mà nó còn được dùng như một phương pháp liệt kê.
3. Graph là một công cụ hữu ích trong việc ứng dụng các hỗ trợ từ máy tính khi
tổng hợp và phân tích cơ cấu.
Họa đồ Graph là tập hợp các đường thẳng,điểm liên kết với nhau theo các quy luật
nhằm thể hiện các loại kết cấu bằng một phương pháp mới khác với các cách truyền
thống. Nó có thể diễn tả các quy luật lắp ráp,chuyển động qua đó hỗ trợ việc phân tích
và tổng hợp cơ cấu. [3]
1.3. Tình hình nghiên cứu
Trên thế giới, lí thuyết Graph đã được nghiên cứu và ứng dụng khá nhiều trong
lĩnh vực cơ khí,đặc biệt là trong việc tổng hợp,phân tích cơ cấu.[4],[5],[6]
(a) Đề tài luận văn thạc sỹ “Systematic Methodologies for the Automatic
Enumeration of the Topological Structures of Mechanisms“(Hệ thống các
phương pháp liệt kê tự động cấu trúc liên kết) của tác giả Hsin I-Hsieh, đại học
Maryland( University of Maryland) trình bày một số thuật toán mới đối với
phép liệt kê cấu trúc liên kết của kết cấu. Ngoài ra, tác giả còn bổ sung một số
định nghĩa về họa đồ Graph đối ngẫu ( bao gồm cả đối ngẫu của họa đồ thu
gọn) cũng như mối liên hệ giữa chúng. Các thuật toán mà tác giả đề cập đến là
phương pháp sử dụng ma trận nút-nút liền kề;thứ hai là rút ra họa đồ chính tắc
từ các họ họa đồ thu gọn bằng cách sắp xếp các chuỗi nút bậc hai.Cuối cùng là

thuật toán dùng ma trận nút cạnh liền kề thay cho ma trận nút-nút liền kề.Họa
đồ đối ngẫu của họa đồ chính tắc rút ra từ họa đồ họa đồ đố ngẫu của họa đồ
thu gọn. Rồi từ họa đồ đối ngẫu đó mới thiết lập nên họa đồ chính tắc. Trong
phương pháp này, họa đồ đối ngẫu của họa đồ thu gọn đóng vai trò như cơ sở
dữ liệu. Ở đây, hàm đa thức đặc trưng được sử dụng để nhận dạng các họa đồ
đẳng cấu.Bởi vì chỉ có hai họa đồ rút ra từ cùng một họa đồ thu gọn mới đẳng
cấu với nhau nên nếu cần thiết thì xét trong một họ họa đồ thu gọn khi xem xét
13

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

hai họa đồ chính tắc có đẳng cấu hay không. Vấn đề tồn tại là hai họa đồ không
đẳng cấu lại xuất phát từ các hàm đa thức đặc trưng tương đồng. Cho nên
phương pháp thứ hai hiệu quả hơn và là công cụ hữu ích cho các nghiên cứu
sau này.Nó cho phép thiết lập một atlas bằng cách liệt kê và vẽ tự động họa đồ
chính tắc và các họa đồ tương ứng.
(b) Đề tài nghiên cứu “Enumeration and Automatic Sketching of Epiccyclic –
Type Automatic Transmission Gear Train” (Phương pháp liệt kê và vẽ tự động
hệ truyền động bánh răng vi sai)của tác giả Goutam Chatterjee, đại học
Maryland ( University of Maryland). Tác giả nghiên cứu một thuật toán nhằm
xác định hai họa đồ Graph có đẳng cấu hay không.Do một vài phương pháp
dựa vào mối liên hệ giữa ma trận liền kề nút-nút và hàm đa thức đặc trưng có
tính hiệu quả không cao.Với phương pháp này cho phép người thiết kế có thể
tính toán hệ bánh răng vi sai đáp ứng các điều kiện ràng buộc về động học và
động lực học,tránh các khâu thừa và đảm bảo khả năng chuyển động của hệ. Ý
tưởng chính là mã hóa mỗi họa đồ bằng một bộ mã riêng biệt, khi đó có thể
dựa vào các bộ mã này mà phân biệt hai họa đồ có đẳng cấu hay không.
(c) Tác giả S.N. Mogalapalli ứng dụng lí thuyết Graph vào việc tìm tỉ số truyền tối
ưu được trình bày trong luận văn thạc sỹ “Optimization of Gear Ratios for
Epicyclic Gear Train Transmission” (Tối ưu hóa tỉ số truyền hệ bánh răng vi

sai) đại học Maryland ( University of Maryland). Nhằm hỗ trợ người thiết kế
và giảm thiểu sự phụ thuộc vào kinh nghiệm, một số nghiên cứu thực tế đã
hoàn thành trong vài thập kỷ gần đây dựa trên máy tính nhằm hệ thống hóa
việc thiết kế cơ cấu.Luận văn này liên quan đến phân loại hệ thống bánh răng
vi sai có khả năng ứng dụng trong xe hơi. Mục tiêu của đề tài là phát triển một
phương pháp nhằm thể hiện các đặc tính của hệ bánh răng vi sai; áp dụng kỹ
thuật tối ưu nhằm tìm tỉ số truyền tối ưu cho một bộ bánh răng vi sai của xe
hơi-đây cũng là một giai đoạn phân tích và thiết kế cơ cấu xe hơi;và phát triển
giao diện tương tác dựa trên nền tảng windows dễ dùng nhằm truy cập thông
14

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

tin. Hệ thống dựa trên nền tảng window này giúp người thiết kế làm việc hiệu
quả và có năng suất.
(d) Các tác giả L.C. Schmidt, H.Shetty và S.C.Chase trình bày một quy tắc về lí
thuyết Graph ứng dụng tổng hợp cơ cấu trong bài báo “ Một quy tắc lí thuyết
Graph để tổng hợp cơ cấu ”( A graph grammar approach for structure
synthesis of mechanisms)- thuộc tạp chí Journal of Mechanical Design. Bài
báo này đưa ra một quy tắc chung trong việc tổng hợp cơ cấu. Quy tắc này dựa
trên thuật toán được rút ra từ các cơ sở lí thuyết có sẵn.Mục đích là thêm vào
họa đồ các nút, chu tuyến nhằm thu được một cơ cấu có kết cấu mới thỏa mãn
ràng buộc. Nó không những đáp ứng được các thuật toán tuyến tính mà còn
phát hiện ra được các họa đồ đẳng cấu. Nhóm tác giả cũng đưa quy tắc này vào
ứng dụng để tổng hợp hệ bánh bánh răng vi sai và đưa ra một tập atlas liệt kê,
phân loại các dạng kết cấu theo từng nhóm họa đồ.

Các đề tài nghiên cứu trình bày ở trên đã tạo một hướng đi mới trong việc phân
tích;tổng hợp cơ cấu và đưa ra các cơ sở để phân loại, liệt kê cũng như nhận dạng các
hệ bánh răng thông qua hàm đa thức đặc trưng. Dựa trên cơ sở phân loại đó, các

nghiên cứu tiếp sau đó đi sâu vào ứng dụng như sử dụng lí thuyết để mã hóa mỗi hệ
bánh răng thành một bộ mã riêng biệt tạo thành một hệ thống phân loại và vẽ tự động.
Hơn nữa, lý thuyết còn hỗ trợ để tính toán tỉ số truyền tối ưu cho các cặp bánh răng và
bước đầu đưa ra các phương hướng nhằm phân tích động học của cả hệ bánh răng.
1.4. Nội dung đề tài
Các nghiên cứu đi trước đã chỉ ra nền tảng cơ sở cũng như các thuật toán của lý
thuyết đồ thị Graph có thể ứng dụng trong việc phân tích và tổng hợp cơ cấu cũng như
phương hướng cụ thể.Ở đề tài này, tác giả dựa trên mô hình lý thuyết Graph để mô tả cơ
cấu,xây dựng giải thuật và quy trình tính động học cho hệ thống bánh răng dựa trên các
mô hình Graph đã được xây dựng và lập trình.Cụ thể là chương 2 trình bày cơ sở lý
thuyết Graph và quá trình phân tích các hệ bánh răng cần khảo sát.Chương 3 đi vào xây
15

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

dựng chương trình phân tích động học hệ bánh răng vi sai.Chương 4 trình bày việc ứng
dụng phần mềm để thực hiện quá trình phân tích.

16

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2
Chương 2: Phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai
bằng lý thuyết Graph
2.1. Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph
2.1.1. Khái niệm sơ đồ Graph
[3].Sơ đồ Graph là tập hợp các đường thẳng,điểm liên kết với nhau theo các quy
luật nhằm thể hiện các loại kết cấu bằng một phương pháp mới khác với các cách
truyền thống. Nó có thể diễn tả các quy luật lắp ráp,chuyển động qua đó hỗ trợ việc
phân tích và tổng hợp cơ cấu. Sơ đồ graph bao gồm một tập hợp các nút (hay điểm)
liên kết với một tập hợp các cạnh. Thông thường, người ta ký hiệu G là sơ đồ Graph, V
là tập hợp các nút, và E là tập hợp các cạnh. Trong đó, v là số nút, e là số cạnh trong
một sơ đồ Graph G( v,e).
Mỗi cạnh liên kết với hai nút gọi là điểm cuối i và j,khi đó, cạnh đó sẽ được ký
hiệu là 

. Một cạnh được gọi là gắn liền với một nút nếu nút đó là điểm cuối của cạnh
tương ứng.Hai điểm cuối của một cạnh được hiểu là liền kề với nhau. Còn hai cạnh gọi
là liền kết với nhau nếu chúng gắn liền với cùng một nút. Hai nút được gọi là liên kết
với nhau nếu có một đường liên kết giữa chúng. Đường liên kết này có thể gồm nhiều
nút và cạnh khác nhau. Điều đó có nghĩa là hai nút liên kết không nhất thiết phải liền
kề nhau. Một sơ đồ Graph G được gọi là liên kết nếu mỗi nút trong G liên kết với các
nút khác ít nhất qua một đường liên kết. Sơ đồ Graph còn có thể được trình bày ở dạng
ma trận. Nhờ đó, người ta có thễ dễ dàng hơn trong việc phân tích,liệt kê cũng như
nhận dạng cơ cấu.
Dựa trên khái niệm đó, lí thuyết Graph đưa ra các định nghĩa cơ bản được sử dụng

như các công cụ để phân tích động học cơ cấu. Một trong số đó là các dạng ma trận
dùng để biểu diễn sơ đồ Graph: ma trận liền kề nút – nút, ma trận tương quan nút –
cạnh, ma trận mạch ; hàm đa thức đặc trưng và các khái niệm về mạch cơ sở…

2.1.1.1. Ma trận liền kề nút – nút (Adjacency matrix vertex-vertex)
17

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2
Trong ma trận liền kề nút – nút A, các nút được đánh số từ 1 đến v. Khi đó,




 
 


Trong đó, a
ij
biểu trưng cho phần tử ở hàng i, cột j với A là ma trận đối xứng vuông
v x v, có đường chéo bằng 0. Mỗi sơ đồ Graph chỉ thiết lập duy nhất một ma trận A
hay nói cách khác từ ma trận liền kề A cho trước có thể lập lại sơ đồ Graph tương ứng.
Đây cũng là một công cụ để phân biệt các sơ đồ Graph đẳng cấu với nhau hay không.
2.1.1.2. Ma trận tương hỗ nút – cạnh ( Incidence matrix vertex-edge)
Các nút được đánh số từ 1 đến v, trong khi các cạnh từ 1 đến e. Ma trận tương hỗ
nút - cạnh B kích thước v x e ,mỗi hàng tương ứng với một nút và mỗi cột tương ứng
với một cạnh ;được xác định như sau:





  



So với ma trận liền kề A, ma trận tương hỗ B cũng được xác định duy nhất từ một sơ
đồ Graph cho trước nhưng về mặt cấu trúc nó luôn tồn tại hai phần tử khác 0 trong
cùng một cột do mỗi cạnh đều chứa hai điểm nút cuối.
2.1.1.3. Ma trận mạch ( Circuit matrix )
Các mạch được đánh số từ 1 đến l, trong khi các cạnh từ 1 đến e. Ma trận mạch C
kích thước l x e ,mỗi hàng tương ứng với một mạch và mỗi cột tương ứng với một
cạnh ;được xác định như sau:




 



Ma trận này so với hai ma trận liền kề và ma trận tương hỗ không đưa ra đầy đủ tính
chất của một sơ đồ Graph, và nó cũng không đại diện hoàn toàn cho sơ đồ Graph đó.
Ví dụ như ở hình 2.1, sơ đồ Graph tồn tại 3 cạnh ăn khớp e
25
,e
35
,và e
45.
Khi lần
lượt thêm các cạnh này vào nhánh cây thì ta có 3 mạch cơ sở (2,5)(1) ; (3,5)(1 ) và

(4,5)(1).
18

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Hình 2. 1.Hệ bánh răng vi sai (5,7) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph
Ví dụ như, đối với hệ bánh răng như hình 2.1 trên bằng cách thiết lập ma trận liền kề
nút-nút A,ma trận tương hỗ nút – cạnh B, có thể làm rõ vấn đề:
Ma trận A có thể viết như sau:



B =

Khi đó, dựa vào ma trận, có thể xác định được đặc tính liên kết giữa các khâu với
nhau. Cụ thể, ở ma trận A, tổng các phần tử ở mỗi hàng ( hoặc cột) chính là số bậc
của nút đó. Ví dụ như số bậc của nút 1 là 4 (v
1
liền kề với 4 nút khác). Còn ma trận B
xác định lần lượt hai nút cuối của mỗi cạnh.
2.1.1.4. Mạch cơ sở (Fundamental circuit)
19

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2
Tất cả cạnh ăn khớp (geared edge) trong một hệ vi sai khi được tách ra khỏi hệ
hình thành nên một sơ đồ con (subgraph) hay còn gọi là nhánh cây (tree). Mỗi cạnh ăn
khớp đó khi lần lượt thêm vào nhánh cây tạo nên một mạch cơ sở và số mạch cơ sở
này bằng với số cạnh ăn khớp trong hệ vi sai. Từ đó, các phương trình động học được
thành lập nhờ khái niệm về mạch cơ sở.

Hình 2. 2.Sơ đồ kết cấu (a) và mạch cơ sở (b) của một cặp bánh răng
Lần lượt gọi i và j là một cặp bánh răng, k là tay quay. Ba khâu i,j và k tạo thành
một hệ vi sai hay một đơn vị bánh răng được ký hiệu là (i,j)(k) như hình 2.2 và
phương trình mạch cơ sở viết như sau:










 ( 2. 1)
2.1.2. Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph
Riêng đối với hệ bánh răng vi sai – một trong những đối tượng phổ biến dùng lý
thuyết Graph nghiên cứu – các nút biểu diễn cho các bánh răng còn các cạnh biểu
diễn cho các khớp. Các cạnh được chia làm hai loại: cạnh ăn khớp dùng nét liền đậm
biểu diễn sự ăn khớp giữa các bánh răng và cạnh xoay dùng nét liền mảnh biểu diễn
cho các trục xoay như hình 2.1. Chỉ khác là về mặt kích thước sơ đồ Graph không
biểu diễn cụ thể được; còn đối với cơ cấu bánh răng, sơ đồ Graph không chỉ rõ quy
luật ăn khớp ( ăn khớp trong hay ngoài). Do các tính chất trên, việc chuyển các dạng
sơ đồ kết cấu sang sơ đồ Graph không phức tạp nhưng từ một sơ đồ Graph tổng quát
có thể biểu diễn thành nhiều sơ đồ kết cấu khác nhau.
20

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2
Hệ bánh răng gồm hai loại khớp: khớp quay và bánh răng ăn khớp, tuân theo các
quy luật sau:

1. Cơ cấu phải đảm bảo tuân theo phương trình bậc tự do tổng quát; không có một sự
cân đối nào nhằm đảm bảo một khả năng truyền động;và các khớp phải là các khớp
bậc hai và sơ đồ Graph phải đồng phẳng.
2. Trong sơ đồ của hệ bánh răng vi sai, không có mạch nào có bậc tự do bằng không.
3. Khả năng xoay của các khâu là không giới hạn.
4. Mỗi bánh răng phải có một khớp quay trên trục và mỗi khâu trong một hệ bánh răng
phải có ít nhất một khớp quay để đảm bảo khoảng cách tâm cố định giữa các bánh
răng
Tuân theo các quy tắc trên, một sơ đồ graph có thể có các tính chất sau đây :
1. Sơ đồ Graph có v nút, (v-1) cạnh khớp quay; và (v-1-F) cạnh ăn khớp với F là số bậc
tự do của hệ bánh răng vi sai.
2. Lược bỏ tất cả các cạnh ăn khớp, sẽ thu được sơ đồ con cũng chính là một dạng nhánh
cây.
3. Bất cứ cạnh bánh răng nào khi thêm vào nhánh cây cũng hình thành nên một mạch cơ
sở có một cạnh ăn khớp và nhiều cạnh khớp quay.
4. Số mạch cơ sở bằng với số cạnh ăn khớp.
5. Mỗi cạnh khớp quay được đánh số như a,b,c v.v…để xác định vị trí các trục quay
trong không gian.
6. Các cạnh nét mảnh được đánh số giống nhau tạo nên một nhánh cây.
7. Bậc tự do của các mạch ít nhất bằng một; còn mạch cơ sở có bậc tự do bằng số nút trừ
hai.
8. Mỗi mạch cơ sở đều có một nút gọi là nút chuyển tiếp;sao cho các cạnh nằm về mỗi
hai phía của nút này đều được đánh số giống nhau.
9. Tất cả các nút đều gắn liền với một cạnh khớp quay.
10. Các hệ bánh răng được tập hợp thánh các họ (family) vá được đánh số như sau:
n
2
n
3
n

4.
Trong đó, n
i
là số khâu bậc i. Ví dụ như họ 4400 có 4 khâu bậc 2,4 khâu bậc 3
và không có khâu bậc 4.
21

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2
Như hình 2.3 ở trên là một sơ đồ Graph biểu (6,9) biểu diễn một hệ bánh răng vi sai,
có chứa 4 cạnh ăn khớp e
25
, e
35
, e
36
và e
46
. Khi tách 4 cạnh này ra khỏi sơ đồ tạo thành
nhánh cây như hình 2.3c. Sau đó lần lượt sắp xếp từng cạnh trở lại vào sơ đồ Graph
ban đầu sẽ có 4 mạch cơ sơ tương ứng.

Hình 2. 3.Hệ bánh răng vi sai (6,9) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph, (c) Nhánh cây,
(d),(e),(f) và (g) các mạch cơ sở tương ứng.
2.2. Ứng dụng lý thuyết Graph vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai
Từ cơ sở lí thuyết được trình bày ở trên cho thấy từ các sơ đồ nguyên lí ban đầu
của cơ cấu bánh răng vốn được biểu diễn theo các cách thường dùng, chúng cũng có
thể biểu diễn nhờ các sơ đồ Graph. Qua đó giảm bớt được tính phức tạp về mặt kết
cấu cũng như tính chất động học nhờ các công cụ toán học được hệ thống hóa. Và
việc phân tích động học cơ cấu bánh răng sẽ được thực hiện nhờ các công cụ này. Quá
22

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2
trình này gồm hai phần cơ bản: phân tích cơ cấu ra thành các đơn vị nhỏ hơn và dùng
các công cụ toán khảo sát động học các đơn vị đó.
Cơ cấu bánh răng vi sai bao gồm nhiều cặp bánh răng ăn khớp phức tạp với nhau.
Do đó, các mối liên hệ động học cũng như các ràng buộc khá phức tạp.Chính vì vậy
mà việc đầu tiên là tách cơ cấu này thành các đơn vị cơ bản nhờ vào khái niệm “mạch
cơ sơ”. Khái niệm này cho phép phân chia toàn bộ cơ cấu ra thành từng đơn vị một
cách rõ ràng về mặt cấu trúc cũng như động học. Mỗi đơn vị như vậy tự nó đã thiết
lập phương trình động học cơ sở. Khi hệ bánh răng được biểu diễn ở dạng sơ đồ
Graph, mối liên hệ giữa các đơn vị có tính chất tương tự như xích truyền động, có thể
thiết lập các hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các ẩn số cần tìm và các giả
thiết đầu vào đặt ra cho một hệ truyền động cụ thể ở đây là cơ cấu bánh răng vi sai.
Trong quá trình thiết lập các phương trình biểu diễn, các công cụ toán học nêu trên
được dùng kết hợp với lí thuyết Graph nhằm tạo điều kiện cho việc xây dựng giải
thuật cũng như phần mềm tính toán.
23

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Hình 2. 4.Sơ đồ phân tích cơ cấu bánh răng vi sai ứng dụng lý thuyết Graph
2.2.1. Phân tích cơ cấu thành các đơn vị cơ bản
Dựa trên khái niệm “mạch cơ sở”, một hệ bánh răng có thể chia ra thành các đơn
vị nhỏ hơn. Mỗi đơn vị này gồm các thành phần cơ bản của hệ bánh răng vi sai : cặp
bánh răng ăn khớp nhau và tay quay. Trong đó, tùy theo tính chất (ăn khớp trong
hoặc ngoài) mà có thể phân ra làm nhiều loại khác nhau. Một đơn vị bánh răng xem
như một đại diện cơ bản nhất, mang những đặc trưng của hệ bánh răng vi sai. Bắt đầu
bằng việc mô tả và ứng dụng vào trong việc tính động học các đơn vị cơ bản này bằng
lý thuyết Graph, qua đó áp dụng cho toàn bộ hệ bánh răng.
Từ các đơn vị trên cấu thành nên các nhóm động học. Số lượng các nhóm động

học này tùy thuộc vào kết cấu của chúng cụ thể là số cạnh ăn khớp và số khâu tay
quay. Mỗi nhóm động học có thể chứa một hoặc nhiều cạnh ăn khớp tùy vào việc các
cạnh này có được liên kết chung với nhau qua các khâu tay quay hay không. Vì mỗi
24

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2
nhóm động học được tạo thành sẽ chứa một khâu tay quay,khâu này sẽ đại diện cho
nhóm đó. Khi đó, các cạnh ăn khớp và cạnh trục xoay liên kết với khâu đó sẽ tạo
thành một nhóm. Ví dụ như hình 2.6, hai nhóm động học lần lượt chứa hai khâu tay
quay là khâu 1 và khâu 3 cùng với các thành phần liên kết khác.

Hình 2. 5.Các dạng đơn vị bánh răng vi sai với1,2- Cặp bánh răng, 3-Tay quay.
Một hệ thống bánh răng thông thường còn có các bộ ly hợp và bộ thắng nhằm
điều chỉnh tỉ số truyền và quyết định trạng thái hoạt động của toàn bộ hệ thống. Điều
này không làm mất đi tính liên kết giữa các đơn vị trong một cơ cấu. Mỗi nhóm động
học đều có cổng vào và cổng ra tương ứng. Việc thiết lập chuỗi động học sẽ thể hiện
quá trình truyền động của cả hệ thống. Nếu chuỗi động học hình thành bởi nhiều nhóm
động học mắc với nhau thì cổng vào và cổng ra toàn cục được biểu thị qua hệ số
khuếch đại G. Hệ số G này là hàm số của các g
i
thành phần tùy theo sơ đồ bố trí các
nhóm động học trong chuỗi đó. Mặc dù các cổng đầu vào/ đầu ra được sắp xếp tùy vào
người thiết kế nhưng xích truyền động (sơ đồ bố trí các khâu) phải tuân theo các quy
luật nhất định chứ không phải ngẫu nhiên. Việc này nhằm tránh trường hợp có các
khâu thừa (chuỗi truyền động không đi qua khâu này).[11],[12],[13],[14].
2.2.1.1. Khâu trung gian giữa các đơn vị bánh răng (Common linkage)
Thông thường các đơn vị này không tồn tại riêng lẻ trong một tổng thể ( trừ các cơ
cấu đơn giản) mà sắp xếp theo quy luật nhất định.Chính vì vậy, giữa các đơn vị này
luôn tồn tại các khâu trung gian. Chúng có thể là các cạnh trục xoay hoặc các nút và
thường chia làm hai loại chính: chuỗi hai khâu ( two-link chain) và chuỗi tam giác

đồng trục ( coaxial-triangle chain).

25

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2


Hình 2. 6.Hệ bánh răng 4 khâu,1 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các
đơn vị bánh răng sau khi phân tích

Hình 2. 7. Hệ bánh răng 6 khâu,2 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các
đơn vị bánh răng sau khi phân tích
(a) Chuỗi hai khâu: (ở hình 2.6 là chuỗi v
1
- e
13
-v
3
) Khâu trung gian này thường xuất hiện
trong hệ một bậc tư do. Loại khâu trung gian này tạo mối liên kết trực tiếp giữa hai
đơn vị , trong đó một đơn vị là khâu vào còn khâu còn lại là khâu đầu ra; thường gồm
hai nút và một cạnh.
(b) Chuỗi tam giác đồng trục: (ở hình 2.7 chuỗi v
1
- e
13
-v
3
-e
34

-v
4
-e
14
) loại khâu trung gian
này nằm giữa ba đơn vị bánh răng,hai trong số đó có thể là khâu vào, khâu còn lại là
khâu đầu ra hoặc ngược lại. Khâu trung gian này gồm ba cạnh và ba nút. Khâu trung
gian này thường xuất hiện trong hệ hai bậc tư do.