giải thuật di truyền bài toán cây steiner

Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH 4
DANH MỤC BẢNG 6
LỜI MỞ ĐẦU 7
CHƯƠNG 1 8
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 8
1. MỘT SỐ CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ

8
1.1. Đồ thị 8
1.2. Cấu trúc dữ liệu biểu diễn đồ thị 11
2.3 Danh sách kề 12
1.3. Các thuật toán trên đồ thị 13
1.4. Bài toán tối ưu 19
2. BÀI TOÁN CÂY STEINER

23
2.1. Lịch sử bài toán cây Steiner 23
2.2. Lời giải cho bài toán 3 điểm của Fermat 24
2.3. Hệ số Steiner cho trường hợp ba điểm 27
2.4. Mô tả bài toán cây Steiner trên đồ thị 28
2.5. Một số ứng dụng của bài toán 28
2.6. Các thuật toán giải đúng 31
CHƯƠNG 2 35
GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 35
1. GIỚI THIỆU VÀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN

35
2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

35
2.1. Nhiễm sắc thể (Chromosome) 35
2.2. Quần thể (Population) 35
2.3. Chọn lọc (Selection) 36
2.4. Lai ghép (CrossOver) 36
2.5. Đột biến (Mutation) 36
2.6. Hàm thích nghi (Fitness Function) 36
3. KHÔNG GIAN TÌM KIẾM (SEARCH SPACE)

36
4. MÔ TẢ GA

36
5. CÁC THAM SỐ CỦA GA

38
5.1. Kích thước quần thể 38
5.2. Xác suất lai ghép 38
5.3. Xác suất đột biến 38
6. KHỞI TẠO QUẦN THỂ BAN ĐẦU VÀ CHỌN LỌC CÁ THỂ

38
6.1. Khởi tạo quần thể 38
6.2. Hàm tính độ thích nghi 39
6.3. Chọn lọc 39
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
1
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
7. CÁC TOÁN TỬ DI TRUYỀN

41
7.1. Mã hóa nhiễm sắc thể 41
7.2. Lai ghép (CrossOver) 43
7.3. Đột biến (Mutation) 45
8. CHIẾN LƯỢC NẠP LẠI QUẦN THỂ

47
8.1. Nạp lại hoàn toàn 47
8.2. Nạp lại ngẫu nhiên 47
8.3. Nạp lại theo mô hình cá thể ưu tú 47
9. ĐIỀU KIỆN DỪNG CỦA GA

48
10. ĐẶC ĐIỂM VÀ ỨNG DỤNG CỦA GA

48
10.1. Đặc điểm 48
10.2. Ứng dụng 49
CHƯƠNG 3 50
GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN CÂY STEINER 50
1. MÃ HÓA LỜI GIẢI

50
2. PHƯƠNG PHÁP KHỞI TẠO QUẦN THỂ BAN ĐẦU

51
3. CHỌN LỌC

52
3.1. Chọn lọc xếp hạng tuyến tính 52

3.2. Chọn lọc xếp hạng phi tuyến 52
3.3. Chọn lọc cạnh tranh 52
4. LAI GHÉP

52
4.1. Lai ghép hai cha mẹ 52
4.2. Lai ghép nhiều cha mẹ 53
5. ĐỘT BIẾN

53
5.1. Đột biến chuẩn 53
5.2. Đột biến đổi chỗ 54
5.4. Phép đột biến thêm đỉnh 55
5.5. Phép đột biến xóa đỉnh 55
6. TỐI ƯU CÂY

55
CHƯƠNG 4 57
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 57
1. DỮ LIỆU THỬ NGHIỆM

57
1.2. Đặc điểm dữ liệu 57
1.3. Định dạng file dữ liệu vào 58
2. MÔI TRƯỜNG THỬ NGHIỆM

59
3. CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM

60

3.1. Các tham số 60
3.2.Các hàm chính trong chương trình 63
4. KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM

64
4.1.Các bảng kết quả 64
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
2
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
4.2.So sánh các kết quả 71
CHƯƠNG 5 74
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH 74
1.CHƯƠNG TRÌNH

74
2. CHẠY CHƯƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN CHO MỘT FILE DỮ LIỆU VÀO

74
3. CHẠY CHƯƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN CHO NHIỀU FILE DỮ LIỆU VÀO

74
KẾT LUẬN 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO 76
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
3
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
DANH MỤC HÌNH
HÌNH 1.1. ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG (TRÁI) VÀ ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG (PHẢI) .8
HÌNH 1.2. ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG LIÊN THÔNG 9
HÌNH 1.3. CÂY 10

HÌNH 1.4. ĐỒ THỊ VÀ CÂY KHUNG 10
HÌNH 1.5. ĐỒ THỊ VÀ CÂY KHUNG NHỎ NHẤT 10
HÌNH 1.6. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN KỀ 11
HÌNH 1.7. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG DANH SÁCH CẠNH CUNG 12
HÌNH 1.8. DANH SÁCH KỀ VÀ MA TRẬN KỀ TƯƠNG ỨNG 13
HÌNH 1.9. ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT ĐẾN CÁC ĐỈNH CÒN LẠI 17
HÌNH 1.10. ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG KHÔNG CÓ CHU TRÌNH ÂM 18
HÌNH 1.11. MẠCH LOGIC, ĐẦU VÀO ĐƯỢC NHẬP TỪ BÊN TRÁI VÀ
ĐẦU RA Ở BÊN PHẢI 21
HÌNH 1.12. CÁC LỚP BÀI TOÁN P, NP VÀ CO-NP 22
HÌNH 1.13. PHÂN LỚP TẠM THỜI CÁC BÀI TOÁN 23
HÌNH 1.14. BÀI TOÁN CỦA FERMAT VỚI N=3 24
HÌNH 1.15. GIẢI PHÁP CỦA TORRICELLI 24
HÌNH 1.16. GIẢI PHÁP CỦA SIMPSON 25
HÌNH 1.17. ĐIỀU KIỆN VỀ GÓC 25
HÌNH 1.18. CÂY STEINER CHO BA ĐIỂM 27
HÌNH 1.19. MINH HỌA CHO LỜI GIẢI BÀI TOÁN TÌM HỆ SỐ STEINER.
27
HÌNH 1.20. CÂY STEINER TRÊN ĐỒ THỊ LƯỚI 31
HÌNH 2.1. XÁC SUẤT CỦA MỖI NST THEO KIỂU LỰA CHỌN ROULET.
40
HÌNH 2.2. TRẠNG THÁI QUẦN THỂ TRƯỚC KHI SẮP XẾP (ĐỒ THỊ
THEO HÀM THÍCH NGHI) 40
HÌNH 2.3. TRẠNG THÁI QUẦN THỂ SAU KHI SẮP XẾP (ĐỒ THỊ THEO
THỨ TỰ) 41
HÌNH 2.4. LAI GHÉP MỘT ĐIỂM CẮT MÃ HÓA NHỊ PHÂN 44
HÌNH 2.5. LAI GHÉP HAI ĐIỂM CẮT MÃ HÓA NHỊ PHÂN 44
HÌNH 2.6. LAI GHÉP ĐỒNG NHẤT MÃ HÓA NHỊ PHÂN 44
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
4

Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
HÌNH 2.7. LAI GHÉP SỐ HỌC MÃ HÓA NHỊ PHÂN 45
HÌNH 2.8. LAI GHÉP VỚI LƯU TRỮ CẤU TRÚC CÂY 45
HÌNH 2.9. PHÉP ĐỘT BIẾN VỚI MÃ HÓA CẤU TRÚC CÂY 46
HÌNH 2.10. CHIẾN LƯỢC NẠP LẠI HOÀN TOÀN 47
HÌNH 2.11. CHIẾN LƯỢC NẠP LẠI NGẪU NHIÊN 47
HÌNH 2.12. NẠP THEO MÔ HÌNH CÁ THỂ ƯU TÚ 47
HÌNH 3.1. ĐỒ THỊ CON VÀ MÃ TƯƠNG ỨNG 50
HÌNH 3.2. HAI TRONG SỐ NHIỀU ĐỒ THỊ CON TƯƠNG ỨNG VỚI
CHUỖI MÃ 1110110 51
HÌNH 3.3. MINH HỌA NHIỄM SẮC THỂ HỢP LỆ 51
HÌNH 3.4. LAI GHÉP HAI CHA MẸ 53
HÌNH 3.5. LAI GHÉP NHIỀU CHA MẸ 53
HÌNH 4.1. ĐỒ THỊ MINH HỌA CHO FILE DỮ LIỆU 58
HÌNH 4.2. ĐỒ THỊ SO SÁNH HIỆU QUẢ LÀM VIỆC CỦA CÁC PHÉP LAI
GHÉP 71
HÌNH 4.3. ĐỒ THỊ SO SÁNH HIỆU QỦA LÀM VIỆC CỦA CÁC PHÉP ĐỘT
BIẾN 72
HÌNH 4.4. ĐỒ THỊ SO SÁNH HIỆU QUẢ CỦA CÁC PHÉP CHỌN LỌC 73
HÌNH 5.1. GIAO DIỆN CHƯƠNG TRÌNH 74
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
5
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
DANH MỤC BẢNG
BẢNG 1.1. MỘT SỐ GIẢI THUẬT GẦN ĐÚNG CHO BÀI TOÁN TRÊN ĐỒ
THỊ 30
BẢNG 2.2: MÃ HÓA HOÁN VỊ 2 NST A&B 42
BẢNG 2.3: MÃ HÓA GIÁ TRỊ CÁC NST A,B,C 42
BẢNG 2.4: MÃ HÓA NST A THEO CẤU TRÚC CÂY 43
BẢNG 2.5: MẶT NẠ LAI GHÉP ĐỒNG NHẤT 44

BẢNG 2.6: LAI GHÉP MỘT ĐIỂM CẮT MÃ HÓA HOÁN VỊ 45
BẢNG 2.7: PHÉP ĐẢO BIT MÃ HÓA NHỊ PHÂN 46
BẢNG 2.8. HOÁN VỊ THỨ TỰ MÃ HÓA HOÁN VỊ 46
BẢNG 2.9. THAY ĐỔI GIÁ TRỊ TRONG MÃ HÓA GIÁ TRỊ 46
BẢNG 4.1. KẾT QUẢ SO SÁNH CÁC PHÉP LAI GHÉP TRÊN BỘ DỮ LIỆU
I160 64
BẢNG 4.2. KẾT QUẢ SO SÁNH GLMIN VỚI MỘT SỐ GIẢI THUẬT GẦN
ĐÚNG KHÁC TRÊN BỘ DỮ LIỆU I160 65
BẢNG 4.3. KẾT QUẢ SO SÁNH CÁC PHÉP LAI GHÉP TRÊN BỘ DỮ LIỆU
I320 66
BẢNG 4.4. KẾT QUẢ SO SÁNH GLMIN VỚI MỘT SỐ GIẢI THUẬT GẦN
ĐÚNG KHÁC TRÊN BỘ DỮ LIỆU I320 67
BẢNG 4.5. KẾT QUẢ SO SÁNH CÁC PHÉP LAI GHÉP TRÊN BỘ DỮ LIỆU
I640 68
BẢNG 4.6. KẾT QUẢ SO SÁNH CÁC PHÉP LAI GHÉP TRÊN BỘ DỮ LIỆU
I640(TIẾP) 69
BẢNG 4.7. KẾT QUẢ SO SÁNH CÁC PHÉP LAI GHÉP TRÊN BỘ DỮ LIỆU
THỰC TẾ 70
BẢNG 4.8. KẾT QUẢ SO SÁNH GLMIN VỚI MỘT SỐ GIẢI THUẬT GẦN
ĐÚNG KHÁC TRÊN BỘ DỮ LIỆU THỰC TẾ 70
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
6
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
LỜI MỞ ĐẦU
Bài toán cây Steiner trong đồ thị là một bài toán NP-khó trong nhóm các bài
toán thiết kế mạng (network designed problem). Bài toán tìm cây Steiner nhỏ nhất
trên đồ thị được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế như thiết kế mạng viễn
thông, thiết kế vi mạch hay nghiên cứu sự tiến hóa trong sinh học…. Do tầm quan
trọng của bài toán, rất nhiều hướng tiếp cận để giải xấp xỉ bài toán đã được đề xuất
với mục đích đưa ra lời giải xấp xỉ tốt nhất với thời gian chấp nhận được.

Trong đồ án này trình bày cách giải quyết bài toán theo thuật toán di truyền, đây
là một hướng giải quyết khá thành công. Cấu trúc đồ án gồm có năm chương như
sau:
• Chương 1. Trình bày lý thuyết cơ sở về đồ thị và bài toán Cây Steiner.
• Chương 2. Trình bày lý thuyết cơ bản về giải thuật di truyền.
• Chương 3. Trình bày thuật toán di truyền giải bài toán Cây Steiner trên đồ
thị.
• Chương 4. Các kết quả thực nghiệm.
• Chương 5. Hướng dẫn sử dụng chương trình.
Để có được kết quả này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô giáo
Ths.Huỳnh Thị Thanh Bình bộ môn khoa học máy tính, cô đã tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo em trong quá trình thực tập và làm đồ án. Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy
Nguyễn Việt Huy bộ môn khoa học máy tính, thầy đã nhiệt tình giúp đỡ em trong
việc tìm hiểu bài toán. Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong bộ môn
khoa học máy tính, các thầy cô đã giúp chúng em có rất nhiều kiến thức rất bổ ích.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè, mọi người là nguồn động
viên tinh thần rất lớn cho em!
Hà nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Nguyễn Thanh Tùng
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
7
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN
1. Một số các khái niệm cơ sở
1.1. Đồ thị
1.1.1. Định nghĩa đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này,
các loại đồ thị được phân biệt bởi sự khác biệt giữa kiểu cũng như số lượng cạnh

nối các đỉnh của đồ thị. Trong các tài liệu, khái niệm về đồ thị đôi khi được đề cập
không đồng nhất, dưới đây đưa ra một số định nghĩa về đồ thị [32].

Hình 1.1. Đồ thị vô hướng (trái) và đồ thị có hướng (phải).
Định nghĩa 1: Đơn đồ thị vô hướng G=(V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và
E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là cạnh.
Định nghĩa 2: Đa đồ thị vô hướng G=(E, V) bao gồm V là tập các đỉnh và E
là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai
cạnh e
1
và e
2
được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.
Đồ thị có trọng số là một khái niệm hết sức quan trọng trong các nghiên cứu
lý thuyết về đồ thị bởi tính ứng dụng rộng dãi của nó. Ví dụ, một mạng máy tính mô
phỏng bằng đồ thị thì trọng số có thể là khoảng cách vật lý hoặc thông lượng truyền
dữ liệu giữa hai máy tính được nối trực tiếp trong mạng, một mạng lưới giao thông
có thể được mô phỏng bằng một đồ thị có trọng số trong đó trọng số của mỗi cạnh
nối hai đỉnh có thể được dùng để biểu diễn khoảng cách vật lý của đoạn đường nối
hai điểm này… Trên thực tế, có rất nhiều bài toán được mô phỏng rất mềm dẻo trên
đồ thị và đã cho những kết quả lời giải rất tốt.
1.1.2. Đường đi và chu trình
Định nghĩa 1 : Cho đồ thị G = (V, E). Đường đi từ đỉnh s đến đỉnh t trên G là dãy
các đỉnh : P
st
: s = v
0
, v
1
, v

1
, …, v
k-1
,v
k
= t
Trong đó :
(v
i-1
, v
i
) ∈ E ∀ i = 1, k
k : độ dài đường đi P
st
( bằng số lượng cạnh trên đường đi)
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
8
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
Đường đi P
st
được biểu diễn theo dãy cạnh (v
0
,v
1
), (v
1
,v
2
), …, (v
k-1

,v
k
Đinh nghĩa 2 : Chu trình là một đường đi không có cạnh nào bị lặp lại và
cóđỉnhđầutrùng đỉnh cuối.
1.1.3. Đồ thị vô hướng và liên thông
Định nghĩa : Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi là liên thông nếu luôn tồn tại đường đi
giữa mọi cặp đỉnh phân biệt trên đồ thị.
Hình 1.2. Đồ thị vô hướng liên thông.
1.1.4. Cây
Định nghĩa : Cây là một đơn đồ thị vô hướng, liên thông không chứa chu trình.
Bậc của đỉnh: là số cạnh xuất phát hoặc kết thúc tại đỉnh đó.
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
9
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
Hình 1.3. Cây.
1.1.5. Cây khung của đồ thị
Hình 1.4. Đồ thị và cây khung.
Định nghĩa : Cho G = (V, E) là một đơn đồ thị vô hướng liên thông với |V| = n
đỉnh và |E| = m cạnh. Cây T = (V, F) với F ⊂ E được gọi là cây khung của đồ thị G.
( Khi đó |F| = m-1 ).
Cây khung có bậc bị chặn (Degree-constrained Spanning Tree): Cho số
nguyên d ≥ 2, cây khung có bậc bị chặn là cây khung T trên đồ thị G mà bậc của
mỗi đỉnh của nó không vượt quá d.
Trọng số của cạnh : Mỗi cạnh e trên G được gán một giá trị
( )w e
được gọi là trọng
số của cạnh.
Trọng số của cây khung: Trọng số của cây khung sẽ là tổng trọng số của các cạnh
trên cây khung đó. Trọng số cây khung T của G được tính bởi :
( ) ( )

e T
W T w e
∈
=
∑
Cây khung nhỏ nhất (MST- Minimum Spanning Tree): Cây khung nhỏ nhất của
G là cây khung T có trọng số nhỏ nhất.
Hình 1.5. Đồ thị và
cây khung
nhỏ nhất.
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
10
3
1
2
4
7
8
5
6
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
1.2. Cấu trúc dữ liệu biểu diễn đồ thị
1.2.1 Ma trận kề, ma trận trọng số
Trong phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận, mỗi đồ thị sẽ được biểu
diễn bằng một ma trận vuông tương ứng với cấu trúc dữ liệu mảng hai chiều trong
máy tính (cũng có thể dùng mảng 1 chiều).
Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V, E), với tập đỉnh V={1, 2, 3……n}, tập cạnh E= {e
1
,
e

2
, e
3
……e
m
}. Ma trận kề của đồ thị G là một ma trận nhị phân(các phần tử trong
ma trận chỉ là 0 hoặc 1) có kích thước n x n
A={a
ij
: i,j=1, 2, 3……,n} có các phần tử được xác định theo quy tắc sau:
a
ij
=0 nếu (i, j)
∉
E i,j = 1, 2, 3……n
a
ij
= 1 nếu (i, j)
∈
E i,j = 1, 2, 3……n
Với lưu ý rằng (u, v)
≡
(v, u) trên đồ thị vô hướng thì dễ dàng nhận ra ma trận kề
biểu diễn đồ thị vô hướng là một ma trận đối xứng tức là a[i, j] = a[j, i] (với mọi i, j
= 1, 2, 3……n). Ngược lại, mỗi một ma trận đối xứng cấp n sẽ tương ứng với một
đồ thị vô hướng. Với phương pháp biểu diễn nhị phân này thì tổng của hàng i(côt j)
chính là bậc của đỉnh i(cột j).
Đối với đồ thị có định hướng, phương pháp lưu trữ bằng ma trận kề được
tiến hành tương tự với đồ thị vô hướng, sự khác biệt nằm ở việc ma trận kề
của đồ thị có hướng không phải là một ma trận đối xứng bởi trong đồ thị có hướng

cung (u, v)
≠
(v, u).
Hình 1.6. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề.
Với một chút thay đổi trong quy ước, đa đồ thị có thể được biểu diễn bằng
ma trận kề nếu thay vì điền 1 vào a[i, j] ta sẽ điền chính xác số cạnh nối đỉnh i với j.
Một điều cần lưu ý là ma trận kề biểu diễn đa đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng
còn ma trận kề của đa đồ thị có hướng không phải là ma trận đối xứng, tương tự
như trong trường hợp của đơn đồ thị.
Nếu đồ thị đang nghiên cứu là một đồ thị trọng số thì phương pháp biểu diễn
sẽ được tiến hành tương tự như sau:
Cho một đồ thị trọng số G=(V, E, c(i,j)) trong đó c(i, j) là giá trị trọng số của
cạnh (i, j). Khi đó ma trận C biểu diễn đồ thị này vẫn là một ma trận vuông cấp n
được xác định:
c[i, j] = c(i, j) trong trường hợp (i, j)
∈
E
c[i, j] =
Θ
nếu (i, j)
E
∉
,
trong đó
Θ
tùy trường hợp cụ thể mà có thể chọn những giá trị sau: 0, +
∞
, -
∞
.

Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
11
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
Ưu điểm nổi bật nhất của phương pháp biểu diễn bằng ma trận thể hiện khi
bài toán cần trả lời câu hỏi hai đỉnh i và j có kề với nhau trên đồ thị hay không, thời
gian để trả lời câu hỏi này là hằng số không phụ thuộc vào kích thước của ma trận,
với những thuật toán có yêu cầu thường xuyên chèn thêm hoặc loại bỏ các
cạnh(cung) của thì cấu trúc dữ liệu này cũng tỏ ra khá thích hợp. Tuy vậy, cấu trúc
dữ liệu này có một nhược điểm lớn nhất là dùng quá nhiều bộ nhớ, mỗi ma trận
luôn phải dùng n
2
bộ nhớ để biểu diễn không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, đặc
biệt trong trường hợp biểu diễn cho đồ thị vô hướng thì số ô nhớ lãng phí ít nhất là
2
2
nn
−
, hơn thế nữa nếu muốn tìm danh sách những đỉnh kề với một đỉnh bất kỳ thì
sẽ phải duyệt qua tất cả các đỉnh của đồ thị
1.2.2. Danh sách cạnh, cung
Trong những trường hợp bài toán luôn làm việc với những đồ thị thưa (đồ thị
có số cạnh m và số đỉnh n thỏa mãn bất đẳng thức m<6n) thì cấu trúc dữ liệu ma
trận kề, ma trận trọng số tỏ ra không thích hợp bởi có quá nhiều ô nhớ bị lãng phí,
trong trường hợp này, cấu trúc dữ liệu danh sách cạnh(cung) được sử dụng. Theo
phương pháp lưu trữ này, mỗi cạnh (cung) e của đồ thị sẽ được lưu trữ bằng hai
biến Dau[e] và Cuoi[e]. Các biến Dau và Cuoi có thể là các phần tử của một vector
hoặc là một node của một danh sách nối đơn, tùy thuộc vào số lượng cạnh (cung)
của đồ thị có thay đổi thường xuyên trong quá trình tiến hành thuật toán hay không.
Với đồ thị có trọng số, ngoài việc sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ để lưu trữ danh sách
các cạnh thì còn cần tới m đơn vị bộ nhớ để lưu trữ thêm trọng số của các

cạnh(cung). Ưu điểm dễ thấy nhất của phương pháp này là việc tích kiệm được bộ
nhớ, tuy vậy, không phải với đồ thị thưa nào cách lưu trữ này cũng tốt mà với
những đồ thị nhỏ(n<18) thì cách lưu trữ này còn lãng phí bộ nhớ nhiều hơn lưu trữ
bằng ma trận. Hơn thế nữa phương pháp lưu trữ này luôn gây khó khăn trong việc
duyệt tìm kiếm các đỉnh kề của một đỉnh bất kỳ, để duyệt được các đỉnh kề này,
trong mọi trường hợp luôn phải duyệt qua tất cả các cạnh của đồ thị.
Hình 1.7. Biểu diễn đồ thị bằng danh sách cạnh cung.
2.3 Danh sách kề
Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị, chúng ta lưu trữ danh
sách các đỉnh kề với nó. Ký hiệu adj(v) là danh sách các đỉnh kề với v
adj( ) { , ( , ) }v u V v u E= ∈ ∈
.
Danh sách kề có thể được biến đổi để biểu diễn đồ thị có trọng số. Khi đó
adj( ) {( , ), , ( , ) , ( , )}
vu vu
v u c u V v u E c c v u= ∈ ∈ =
.
Danh sách kề có các tính chất sau đáng quan tâm:
Đối với đồ thị có hướng, tổng số phần tử phải lưu trong các danh sách kề là |
E|, với đồ thị vô hướng, giá trị này là 2|E|. Cho cả đồ thị có hướng và vô hướng, để
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
12
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
lưu trữ danh sách kề của đồ thị, cần bộ nhớ Θ(V + E). Các thao tác trên cạnh đòi hỏi
phải duyệt danh sách kề nên tốn thời gian. Hạn chế này có thể khắc phục trong một
số trường hợp khi danh sách kề được biểu diễn bằng mảng tĩnh, thay vì danh sách
liên kết.
Như vậy, ưu điểm đòi hỏi không gian lưu trữ nhỏ của cách biểu diễn danh
sách kề phải trả giá bằng thao tác xử lý tốn thời gian.
Hình 1.8. Danh sách kề và ma trận kề tương ứng.

Việc chọn cách biểu diễn nào còn tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.
Trong hầu hết các ứng dụng, cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề thường dùng
trong trường hợp đồ thị kích thước nhỏ hay là đồ thị dày, tức là đồ thị có số cạnh
lớn gần bằng nửa bình phương số đỉnh. Trong trường hợp ngược lại nên chọn cách
biểu diễn bằng danh sách kề.
1.3. Các thuật toán trên đồ thị
1.3.1. Thuật toán duyệt đồ thị
a. Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu
Tư tưởng chính của thuật toán là: Cho đồ thị G(V,E). Từ một đỉnh u hiện
thời nào đó đỉnh kề v của u sẽ được thăm và quá trình được lặp lại đối với đỉnh v. ở
bước tổng quát, giả sử hiện tại đang xét đỉnh u0, có hai khả năng sẽ xảy ra:
- Nếu như tồn tại một đỉnh v0 kề với u0 mà chưa được thăm thì đỉnh v0 đó sẽ
trở thành đỉnh đã thăm và quá trình tìm kiếm lại bắt đầu từ đỉnh v0 đó.
- Ngược lại, nếu mọi đỉnh kề với u0 đều đã thăm thì ta sẽ quay trở lại đỉnh mà
trước đó ta đến đỉnh u0 để tiếp tục quá trình tìm kiếm.
Như vậy, trong quá trình thăm đỉnh bằng thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu,
đỉnh được thăm càng muộn càng sớm được duyệt xong (Cơ chế Last In First Out -
Vào sau ra trước). Thuật toán DFS có thể được xây dựng bằng một thủ tục đệ quy
như sau:
1.Procedure DFS(u);
2. Begin
3. Visit(u);
4. Daxet[u]:=True;
5. For v
∈
Kề(u) do
6. if not Daxet[v] then DFS(v);
7. End;
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
13

Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
Và thủ tục duyệt hệ thống toàn bộ đỉnh của đồ thị sẽ là:
1.Procedure Find;
2. Begin
3. Fillchar(Daxet,SizeOf(Daxet),False);
4. For u
∈
V do
5. If not Daxet[u] then DFS(u);
6. End;
Sau mỗi lần gọi DFS(u) thì toàn bộ các đỉnh cùng thành phần liên thông với
u sẽ được thăm. Thủ tục Visit(u) là thao tác trên đỉnh u trong từng bài toán đặt ra cụ
thể.
b. Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng
Thuật toán này thực ra là sự cải biến về thứ tự duyệt đỉnh trên đồ thị của tìm
kiếm theo chiều sâu bằng cách thay vì dùng một STACK thì ta lại dùng một hàng
đợi QUEUE để kết nạp đỉnh được thăm. Như vậy, đỉnh được thăm càng sớm sẽ
càng sớm trở thành duyệt xong (cơ chế First In First Out - Vào trước ra trước). Thủ
tục được mô tả dưới đây:
1. Procedure BFS(u);
2. Begin
3. Queue:=Empty
4. Kết nạp u vào Queue;
5. Daxet[u]:=True;
6. While Queue<>Empty do
7. Begin
8. Lấy v từ Queue;
9. Visit(v);
10. For w
∈

Kề(v) do
11. If not Daxet[w] then
12. Begin
13. Kết nạp w vào Queue;
14. Daxet[w]:=True;
15. End;
16. End;
17. End;
Thủ tục tìm kiếm theo chiều rộng như sau:
1. Procedure Find;
2. Begin
3. Fillchar(Daxet,SizeOf(Daxet),False);
4. For u
∈
V do
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
14
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
5. If not Daxet[u] then BFS(u);
6. End;
Tương tự như thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu, ở thuật toán này mỗi lần
gọi thủ tục BFS(u) thì mọi đỉnh cùng thành phần liên thông với u sẽ được thăm. Thủ
tục Visit(u) như đã nói ở trên.
1.3.2. Bài toán cây khung cực tiểu
Bài toán: Giả sử G=(V, E) là đồ thị vô hướng liên thông với trọng số trên cạnh
w(e), e
∈
E. Cây T=(V, E
T
) với E

T

⊂
E được gọi là cây khung của đồ thị G. Độ dài
cây khung T là tổng trọng số trên các cạnh của nó w(T)=
∑
∈
Ee
ew )(
. Cây khung nhỏ
nhất(viết tắt là MST) của đồ thị G là cây khung có độ dài nhỏ nhất trong số các cây
khung của đồ thị. Bài toán đặt ra là tìm cây khung nhỏ nhất.
a.Thuật toán Kruskal
Tư tưởng: Để xây dựng tập n-1 cạnh của cây khung nhỏ nhất? tạm gọi là tập
K, Kruskal đề nghị cách kết nạp lần lượt các cạnh vào tập đó theo nguyên tắc như
sau: Ưu tiên các cạnh có trọng số nhỏ hơn, kết nạp cạnh khi nó không tạo chu trình
với tập cạnh đã kết nạp trước đó. Đó là một nguyên tắc chính xác và đúng đắn, đảm
bảo tập K nếu thu đủ n-1 cạnh sẽ là cây khung nhỏ nhất.
- Khi lập trình để có được sự ưu tiên, cách tốt nhất là sắp xếp trước các cạnh
theo trọng số tăng dần. Vì vậy, cấu trúc dữ liệu được sử dụng trong giải thuật
Kruskal là danh sách cạnh.
- Để kiểm tra xem cạnh đang xét có tạo chu trình không với tập cạnh đã kết
nạp, một phương pháp đặc biệt mỗi khi kết nạp được sử dụng đó là: cho một
đỉnh trở thành 'dad' của đỉnh kia. Với 2 đỉnh x, y bất kỳ, nếu 'dad cao nhất'
của chúng bằng nhau thì cạnh nối x, y sẽ tạo nên chu trình (chu trình này đi
qua parent chung đó).
Thuật toán Kruskal được miêu tả như sau:
in Đồ thị vô hướng G = (V,E) n đỉnh với ma trận trọng số c.
out Cây khung nhỏ nhất T của đồ thị G.
1. BEGIN

2. T = ∅;
3. E là danh sách cạnh sắp xếp theo thứ tự không giảm của trọng số;
4. while (|T|< n-1 AND E ≠ ∅)
5. Chọn e là cạnh đầu tiên trong E;
6. E = E \ {e};
7. if (T U {e} không chứa chu trình)
8. T = T U {e};
9 endif
10. endwhile
11. if (|T| < n-1)
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
15
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
12. Ghi nhận đồ thị không liên thông;
13. endif
14. END
Thuật toán Kruskal tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị với thời gian O(elogn)
với e và n tương ứng là số cạnh và đỉnh của đồ thị.
b. Thuật toán Prim
Thuật toán Kruskal làm việc kém hiệu quả với những đồ thị dày (đồ thị với
số cạnh m» n(n-1)/2). Trong trường hợp đó thuật toán Prim tỏ ra hiệu quả hơn.
Thuật toán Prim còn được gọi là phương pháp lân cận gần nhất. Trong phương pháp
này bắt đầu từ một đỉnh tuỳ ý của đồ thị, đầu tiên ta nối s với đỉnh lân cận gần nó
nhất, chẳng hạn là đỉnh y. Nghĩa là trong số các cạnh kề của đỉnh s, cạnh (s,y) có độ
dài nhỏ nhất. Tiếp theo trong số các cạnh kề với hai đỉnh s hoặc y ta tìm cạnh có độ
dài nhỏ nhất, cạnh này dẫn đến đỉnh thứ ba z, và ta thu được cây bộ phận gồm 3
đỉnh và 2 cạnh. Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi ta thu được cây gồm n đỉnh và
n-1 cạnh sẽ chính là cây khung nhỏ nhất cần tìm.
Giả sử đồ thị cho bởi ma trận trọng số C = { c[i,j], i, j= 1, 2, . . . , n} . trong
quá trình thực hiện thuật toán, ở mỗi bước để có thể nhanh chóng chọn đỉnh và cạnh

cần bổ sung vào cây khung, các đỉnh của đồ thị sẽ được gán cho các nhãn. Nhãn của
một đỉnh v sẽ gồm hai phần và có dạng [d[v], near[v]], trong đó d[v] dùng để ghi
nhận độ dài của cạnh có độ dài nhỏ nhất trong số các cạnh nối với đỉnh v với các
đỉnh của cây khung đang xây dựng (ta sẽ gọi là khoảng cách từ đỉnh v đến tập đỉnh
của cây khung), còn near[v] ghi nhận đỉnh của cây khung gần v nhất (near[v]:=z).
Thuật toán Prim được xây dựng như sau:
in Đồ thị vô hướng G = (V,E) n đỉnh với ma trận trọng số c.
out Cây khung nhỏ nhất (H,T) của đồ thị G.
1. BEGIN
2. Chọn một đỉnh tùy ý s;
3. H = {s}; T = ∅; near[s] = s; d[s] = 0;
4. for v ∈ V \ H
5. d[v] = c(s,v);
6. near[v] = s;
7. endfor
8. while (TRUE)
9. Tìm u ∈ V\H là đỉnh có d[u] = min{d[v]: v ∈ V\H};
10. H = H U {u}; T = T U {(u,near[u])};
11. if (|H| == n)
12. Ghi nhận cây khung nhỏ nhất (H, T);
13. break;
14. else
15. for v ∈ V \ H
16. if (d[u] > c(u,v)
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
16
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
17. d[u] = c(u,v);
28. near[u] = v;
29. endif

20. endfor
21. endif
22. endwhile
23. END
1.3.3. Tìm đường đi ngắn nhất
a. Đường đi ngắn nhất từ một đỉnh
Cho đồ thị G = (V, E) với hàm trọng số c không âm trên cạnh. Bài toán đặt ra là
tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh u, v cho trước trên đồ thị G. Dijkstra đưa ra
thuật toán hiệu quả với ý tưởng gán nhãn tạm thời cho các đỉnh được thăm trong
quá trình duyệt đồ thị. Nhãn tạm thời của mỗi đỉnh cho biết cận trên của độ dài
đường đi ngắn nhất từ u đến nó. Trong mỗi bước lặp, sẽ có một đỉnh được gán nhãn
cố định, khi đó nhãn của đỉnh chính là độ dài đường đi ngắn nhất từ u.
Trong Hình 1.9, số đánh tại mỗi đỉnh là độ dài của đường đi ngắn nhất từ s đến
đỉnh đó. {(s, t), (t, y), (y, x), (x, z)} là dãy các cạnh trên đường đi ngắn nhất.
Hình 1.9. Đường đi ngắn nhất đến các đỉnh còn lại.
Thuật toán Dijstra
Input: Đồ thị G=(V,E) có n đỉnh, hàm trọng số không âm c trên cạnh,
đỉnh xuất phát s.
output: Đường đi ngắn nhất từ s đến các đỉnh còn lại.
1. BEGIN
2. for v ∈ V
3. d(v) = c(s,v);
4. p(v) = s;
5. endfor;
6. d(s)=0;
7. T = V \ {s}; //T là tập chứa các đỉnh gán nhãn tạm thời
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
17
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
8. while (T ≠ ∅)

9. Tìm u ∈ T thỏa mãn d(u) = min;
10. T = T \ {u};
11. for v ∈ T
12. if (d(v) > d(u) + c(u,v))
13. d(v) = d(u) + c(u,v);
14. p(v) = u;
15. endif;
16. endfor;
17. endwhile;
18. END
Trong thuật toán trên, d là mảng chứa độ dài đường đi ngắn nhất, d(v) là độ
dài đường đi ngắn nhất từ s đến v, p là mảng lưu đỉnh kề trước trong đường đi ngắn
nhất tìm được, p(v) là đỉnh ngay trước v trong đường đi ngắn nhất từ s đến v.
Thuật toán Dijkstra tìm được đường đi ngắn nhất trên đồ thị sau thời gian O(n
2
).
b. Đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh
Bài toán đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh là một mở rộng của bài
toán tìm đường đi ngắn nhất từ một điểm đến các đỉnh còn lại nên rất tự nhiên nếu
sử dụng nhiều lần thuật toán Dijkstra để thu được kết quả mong muốn. Với đồ thị
có n đỉnh, cần áp dụng thuật toán Dijkstra n lần, tổng thời gian chạy thuật toán đạt
cỡ O(n
3
). Cũng có độ phức tạp như vậy, thuật toán quy hoạch động Floyd-Warshall
được áp dụng để giải bài toán đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh không
yêu cầu trọng số của đồ thị phải không âm nhưng có điều kiện đồ thị không tồn tại
chu trình âm.
Hình 1.10. Đồ thị có hướng không có chu trình âm.
Thuật toán Floyd-Warshall
in Đồ thị G = (V,E) n đỉnh với ma trận trọng số c.

out Ma trận d ghi nhận độ dài đường đi ngắn nhất,
ma trận p ghi nhận đường đi.
1. BEGIN
2. Với mọi (i,j), gán d(i,j) = c(i,j) và p(i,j) = i;
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
18
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
3. Với mọi i, gán d(i,i) = 0 và p(i,i) = -1;
4. for i=1 to n
5. for j=1 to n
6. for k=1 to n
7. if (d(i,j) > d(i,k) + d(k,j))
8. d(i,j) = d(i,k) + d(k,j);
9. p(i,j) = p(k,j);
10. endif
11. endfor //k
12. endfor //j
13. endfor //i
14. END
Trong thuật toán Floyd-Warshall, d(i, j) lưu giá trị độ dài đường đi ngắn nhất
từ đỉnh i đến đỉnh j trong đồ thị, p(i, j) lưu đỉnh nằm trước đỉnh j trên đường đi ngắn
nhất từ i đến j. Dựng lại đường đi ngắn nhất giữa cặp đỉnh (i, j) như sau:
Xây dựng lại đường đi ngắn nhất từ đỉnh i đến đỉnh j của đồ thị
1. Getpath(i,j)
2. k = p(i,j);
3. if (k==i)
4. Mark(k); //ghi nhận đỉnh k
5. return;
6. endif
7. Getpath(i,k);

8. Getpath(k,j);
9. End.
Thuật toán Floyd-Warshall tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh của
đồ thị sau thời gian cỡ O(n
3
).
1.4. Bài toán tối ưu
1.4.1. Một số khái niệm
a. Độ phức tạp của thuật toán
Là đánh giá lượng tài nguyên các loại mà các thuật toán đòi hỏi sử dụng. Có
hai loại tài nguyên quan trọng là thời gian và bộ nhớ. Đánh giá độ phức tạp tính
toán của bài toán là đưa ra thời gian tính của thuật toán tốt nhất tổng số các thuật
toán giải bài toán đã và chưa biết.
b. Thuật toán có thời gian tính đa thức
Là thuật toán mà độ phức tạp thời gian của nó trong trường hợp xấu nhất
được giới hạn trên bởi một hàm đa thức của kích thước dữ liệu đầu vào (kích thước
dữ liệu đầu vào được tính bằng số bit cần thiết để biểu diễn nó). Tức là nếu
n
là
kích thước dữ liệu đầu vào, thì luôn tồn tại một đa thức
( )
np
sao cho
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
19
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
( ) ( )( )
npOnW
∈
.

Ví dụ:
Các thuật toán có độ phức tạp thời gian trong trường hợp xấu nhất sau đều có thời
gian tính đa thức.
O(p(n)) = 2n, O(p(n)) = 3n
3
, O(p(n)) = 5n+n
10
, O(p(n)) = nlgn …
Các thuật toán có độ phức tạp thời gian trong trường hợp xấu nhất sau không có
thời gian tính đa thức.
O(f(n)) = 2
n
, O(p(n)) = 2
0.01n
, O(p(n)) = n! …
Có hai cách tiếp cận chính để đánh giá độ phức tạp tính toán:
- Đánh giá cận dưới độ phức tạp bài toán.
- Chỉ ra mức độ khó của nó có thể so sánh với bất ký bài toán khó hiện đã biết.
c. Bài toán quyết định
Là bài toán mà đầu ra của nó chỉ có thể là
yes
hoặc
no
(
0
hoặc
1
, đúng hoặc
sai, …).
Một số bài toán quyết định:

• Bài toán về tính nguyên tố sau là bài toán quyết định. “Hỏi số nguyên
n
có là
số nguyên tố hay không?”
Với dữ liệu vào
23
=
n
thì câu trả lời là yes, còn với dữ liệu vào
24=n
thì câu trả lời
là
no
.
• Bài toán tổng con (Subset sum): “Cho tập I số nguyên dương a
1
, a
2
…a
n
và
một số nguyên dương T. Hỏi có thể tìm được một tập con S của I mà tổng
các số trong S = T?”
• Bài toán Hamilton dạng quyết định: Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) có chứa
chu trình Hamilton hay không?
1.4.2. Các bài toán tối ưu
Trước những năm 1970, phương pháp chủ yếu để giải các bài toán tối ưu là
xây dựng phương pháp giải đúng. Nhưng kinh nghiệm tính toán cũng như phân tích
tính hiệu quả của phương pháp này cho thấy rất nhiều hạn chế của nó, nhất là về
mặt thời gian tính toán. Phương pháp giải đúng chỉ được áp dụng khi giải bài toán

với kích thước nhỏ và trung bình. Từ rất sớm, các nhà khoa học về lý thuyết máy
tính như Steve Cook và Dick Karp đã quyết định rằng yêu cầu tối thiểu của bất cứ
một bài toán tối ưu nào là thời gian chạy đa thức:
( )
c
nO
, với
c
là hằng số. Tuy
nhiên, không phải mọi bài toán đều có thể được giải quyết một cách nhanh chóng.
Rất khó xác định bài toán nào có thể giải quyết một cách nhanh chóng, bài toán nào
không thể. Bởi vậy Cook, Karp, và một số nhà khoa học khác định nghĩa ra lớp bài
toán NP-khó, đó là những bài toán không thể giải quyết được trong thời gian đa
thức.
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
20
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
Hình 1.11. Mạch logic, đầu vào được nhập từ bên trái và đầu ra ở bên phải.
Bài toán về tính thực hiện của được của mạch CIR-SAT (Circuit
satisfiability) là một ví dụ điển hình của bài toán mà chúng ta chưa biết cách để giải
nó trong thời gian đa thức. Trong bài toán này, cho một mạch logic bao gồm một
tập các cổng AND, OR, và NOT được kết nối với nhau bởi dây dẫn. Đầu vào cho
mạch này là tập
m
giá trị logic (true/false)
m
xxx , ,,
21
(xem hình 1.12). Đầu ra là
một giá trị logic đơn TRUE/FALSE. Cho một bộ giá trị đầu vào, có thể tính được

đầu ra trong thời gian đa thức (thực tế là tuyến tính) sử dụng tìm kiếm theo chiều
sâu và đánh giá đầu ra của mỗi cổng trong thời gian tuyến tính. Bài toán về tính
thực hiện của mạch đặt ra rằng, cho một mạch bất kỳ, liệu rằng có một bộ đầu vào
làm cho đầu ra của mạch luôn là TRUE, hoặc ngược lại, luôn là FALSE hay không.
Chưa ai biết được cách giải quyết bài toán này nhanh hơn cách thử tất cả
m
2
đầu vào
có thể của mạch, nhưng nó đòi hỏi thời gian là hàm mũ. Mặt khác, không ai có thể
chứng minh được đây là phương pháp tốt nhất để giải bài toán.
1.4.3. Các lớp bài toán P, NP và co-NP
Dưới đây là phân loại các lớp của bài toán.
• P là lớp bài toán quyết định có thể được giải quyết trong thời gian đa thức.
Hay nói cách khác, P là lớp các bài toán có thể được giải một cách nhanh
chóng.
• NP là lớp bài toán quyết định mà để xác nhận câu trả lời là
yes
của nó, có
thể đưa ra bằng chứng ngắn ngọn dễ kiểm tra. Hay có thể nói NP là lớp các
bài toán mà có thể kiểm tra câu trả lời
yes
một cách nhanh chóng trong thời
gian đa thức nếu đã có được lời giải. Ví dụ, trong bài toán về tính thực hiện
của mạch là NP, nếu câu trả lời là
yes
, thì bất cứ bộ giá trị đầu vào nào cho
giá trị đầu ra là
yes
đều sẽ chứng minh cho câu trả lời. Ta có thể kiểm tra lại
bằng cách đánh giá mạch logic trong thời gian đa thức.

• co-NP hoàn toàn ngược với NP. Đó là lớp bài toán mà để xác nhận câu trả
lời
no
thì có thể đưa ra bằng chứng ngắn gọn dế kiểm tra
Nếu một bài toán thuộc lớp P, thì nó cũng thuộc lớp NP-để kiểm tra một câu trả
lời
yes
trong thời gian đa thức, ta có thể tính toán lại câu trả lời từ đầu trong thời
gian đa thức. Tương tự như vậy, bất cứ bài toán nào thuộc lớp P thì cũng thuộc lớp
co-NP.
NPP ∈

NPcoP
−∈
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
21
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
Một câu hỏi lớn đặt ra trong lý thuyết khoa học máy tính là liệu có đẳng thức
NPP
=
hay không. Không ai biết được chính xác câu trả lời. Một cách trực quan có
thể thấy rõ ràng rằng
NPP ≠
, như minh họa trong hình 1.13. Các nghiên cứu đã
chứng minh rằng các bài toán có thể vô cùng khó để giải quyết, mặc dù lời giải lại
rất rõ ràng khi đã biết được nó. Nhưng không ai có thể chứng minh được điều này.
Hình 1.12. Các lớp bài toán P, NP và co-NP.
4.4. NP-khó và NP-đầy đủ.
Một bài toán là NP-đầy đủ nếu nó có 2 tính chất:
• Tồn tại một thuật toán đa thức không đơn định để giải nó (tức là chỉ ra nó

thuộc lớp NP).
• Có một bài toán NP-đấy đủ có thể quy dẫn về nó.
Thông thường việc chứng minh tính chất 1 đối với nhiều bài toán là rất khó
khăn, thế nhưng việc chứng minh nó có tính chất 2 lại đơn giản hơn. Những bài
toán thỏa mãn tính chất 2 vể mặt độ phức tạp là khó tương đương. Những bài toán
như vậy được gọi là NP-khó.
Vậy, bài toán ∏ là NP-khó nếu sự tồn tại một thuật toán có thời gian đa thức
để giải nó kéo theo sự tồn tại thuật toán đa thức để giải mọi bài toán trong lớp NP.
Nói cách khác, nếu có thể giải một bài toán NP-khó nào đó một cách nhanh chóng,
thì cũng có thể nhanh chóng giải quyết bất kỳ một bài toán nào khác. Bài toán NP-
khó ít nhất là khó bằng bất cứ một bài toán nào trong NP. NP-đầy đủ là những bài
toán khó nhất trong NP. Hình 1.14 biểu diễn cách phân lớp tạm thời các bài toán.
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
P
co-
NP
NP
P
co-NP
N
P
NP-
khó
NP đầy đủ
22
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
Hình 1.13. Phân lớp tạm thời các bài toán.
Một trong những phương pháp hay được sử dụng để tìm lời giải xấp xỉ cho
bài toán NP-khó là sử dụng giải thuật di truyền. Phần tiếp theo của đồ án sẽ giới
thiệu chi tiết về giải thuật di truyền.

2. Bài toán cây Steiner
2.1. Lịch sử bài toán cây Steiner
Lịch sử bài toán Steiner tree(ST) đã có từ rất lâu(thế kỷ 17), xuất phát từ một
bài toán được đưa ra bởi nhà toán học nổi tiếng Pierre Fermat của Pháp. Bài toán
ban đầu của Fermat được phát biểu như sau:
Bài toán: Cho ba điểm trên mặt phẳng, tìm một điểm thứ tư sao cho tổng khoảng
cách từ điểm này tới ba điểm đã cho có giá trị nhỏ nhất.
Bài toán này của Fermat sau đó đã được Heinen giải vào năm 1834. Tuy
nhiên phải mất hơn một thế kỷ, chỉ sau khi Courant và Robbins cho xuất bản cuốn
sách mang tên “What is Mathematics” thì bài toán của Fermat và các biến thể của
nó mới được biết đến dưới tên bài toán Steiner như một sự ghi nhớ những đóng góp
to lớn của nhà bác học Jacob Steiner đối với nền toán học, từ đó đến nay, rất nhiều
phiên bản khác nhau của bài toán cây Steiner đã ra đời để đáp ứng những nhu cầu
ứng dụng trên thực tế. Một cách tổng quát, bài toán cây Steiner được phát biểu như
sau: Cho một tập điểm P, tìm phương án nối các điểm này lại với nhau sao cho chi
phí để nối các điểm này là nhỏ nhất, trong quá trình nối có thể bổ xung thêm những
điểm điểm cần thiết với số lượng không hạn chế để đạt được yêu cầu của bài toán.
Mọi bài toán cây Steiner đều thuộc lớp các bài toán NP-khó và trên thực tế
chưa có tác giả nào tìm được một thuật toán hiệu quả để giải nó một cách chính xác.
Vào những năm 1960 Melzak[15] là người đầu tiên đưa ra một giải thuật có độ
phức tạp hàm mũ để giải bài toán trên mặt phẳng. Tuy giải thuật của Melzak không
mang giá trị thực tế cao nhưng sự xuất hiện của một giải thuật hữu hạn cho bài toán
Steiner cùng với một công trình nghiên cứu rất giá trị của hai tác giả Gilbert và
Pollack vào cùng thời gian đó đã là một “cú hích” tác động mạnh tới cộng đồng
những người nghiên cứu toán học nói chung và những người đi sâu về lĩnh vực tối
ưu hóa nói riêng. Trong công trình của mình, Gilbert và Pollack đã giới thiệu một
số tính chất hình học quan trọng của cây Steiner, đồng thời nghiên cứu cũng mở ra
một số vấn đề mới rất đáng quan tâm trong đó phải kể đến một khái niệm lần đầu
tiên xuất hiện: hệ số Steiner( Steiner ratio). Hệ số Steiner là tỉ số giữa độ dài của
cây Steiner “gần tối ưu” dựng bằng một giải thuật có độ phức tạp đa thức và độ dài

của cây khung cực tiểu của cùng một tập điểm P, ý nghĩa của hệ số này cho ta biết
cây Steiner tích kiệm được bao nhiêu chi phí so với cây khung cực tiểu tương ứng
cho cùng một tập điểm đầu vào. Trong công trình của mình, Gilbert và Pollack đã
dự đoán một cận dưới của hệ số này cho một số không gian khác nhau và nó đã
hình thành nên một vấn đề mới trong các nghiên cứu lý thuyết về cây Steiner lúc
bấy giờ, đó vấn đề chứng minh hoặc bác bỏ giả định về giá trị cận dưới này. Sau
này vào năm 1990 D.Z. Du và F.D. Hwang đã chứng minh được dự đoán của hai tác
giả trên trong không gian Euclid là chính xác. Trong phần sau, lời giải cho bài toán
của Fermat được trình bày, một số tính chất của cây Steiner trên mặt phẳng sẽ được
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
23
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
nghiên cứu, đồng thời luận văn cũng sẽ chứng minh rằng hệ số Steiner trong trường
hợp này không thể nhỏ hơn
2
3
.
2.2. Lời giải cho bài toán 3 điểm của Fermat
Như đã đề cập ở trên, bài toán của Fermat được đưa ra từ thế kỷ 17 nhưng
phải hơn 100 năm sau, một lời giải hoàn thiện cho bài toán mới được đưa ra. Để xây
dựng phương pháp giải bài toán một cách đầy đủ phải kể đến những đóng góp của
ba nhà bác học Torricelli, Simpson và đặc biệt là Heinen - người đã giải bài toán
của Fermat một cách hoàn chỉnh vào năm 1834.
Vào năm 1640, Torricelli đưa ra một phương pháp với n=3 như sau:
Với 3 điểm đã cho A, B, C trên mặt phẳng, dựng tam giác ABC.
Hình 1.14. Bài toán của Fermat với n=3.
Bước tiếp theo trong phương pháp của Torricelli là xây dựng 3 tam giác đều
từ ba cạnh AB, AC, BC và vẽ 3 đường tròn ngoại tiếp ba tam giác này. Ba đường
tròn ngoại tiếp này sẽ giao nhau tại một điểm, điểm này chính là điểm cần tìm và
còn được gọi là điểm Torricelli.

Gần giống so với ý tưởng của Torricelli, năm 1750 Simpson đưa ra một
phương pháp khác đơn giản hơn để tìm ra điểm Torricelli. Cũng giống như
Torricelli, Simpson cũng dựng ba tam giác đều từ tam giác ABC ban đầu, Sự khác
biệt trong phương pháp của Simpson chỉ thể hiện ở bước thứ 2, theo đó Simpson vẽ
các đường nối từ mỗi đỉnh của tam giác đều mà không thuộc vào tam giác ABC với
đỉnh đối diện trên tam giác ABC. Mỗi đoạn nối như vậy được gọi là một đoạn thẳng
Simpson. Các đoạn thẳng Simpson này giao nhau tại 1 điểm, điểm này là điểm
Torricelli và chính là lời giải của bài toán.
Hình 1.15. Giải pháp của Torricelli.
Phương pháp của Torricelli và Simpson là khá đơn giản trong trường hợp
n=3. Tuy nhiên, đây không phải là một phương pháp toàn diện bởi nó chỉ áp dụng
được trong trường hợp tam giác ABC không có góc nào >120
o
. Nếu tam giác ABC
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
A
B
C
24
Giải thuật di truyền giải bài toán cây Steiner
tồn tại một góc lớn hơn 120
o
thì không phương pháp nào trong hai phương pháp của
Torricelli và Simpson cho lời giải đúng. Phương pháp của Torricelli cho ra một giao
điểm của các đường tròn nằm ngoài tam giác ABC trong khi các đoạn thẳng
Simpson trong phương pháp thứ 2 lại không giao nhau.
Hình 1.16. Giải pháp của Simpson.
Phải mất thêm 84 năm để Heinen đưa ra một lời giải hoàn toàn cho bài toán
của Fermat. Theo đó, lời giải của bài toán gồm 2 trường hợp.
• Trong trường hợp thứ nhất: Nếu tam giác có một góc trong >120

o
thì điểm
cần tìm chính là đỉnh của góc >120
o
này.
• Trong trường hợp thứ hai không có một góc nào của tam giác ABC lớn hơn
120
o
thì có thể dựng điểm cần tìm bằng phương pháp của Simpson hoặc
Torricelli.
sau khi bài toán của Fermat được đổi tên lại là bài toán Steiner thì điểm
Torricelli cũng được đổi tên lại là điểm Steiner. Trong trường hợp n=3 và không có
góc nào của tam giác lớn hơn 120
o
thì điểm Steiner cùng 3 đỉnh của tam giác tạo
thành 3 cạnh mới và các cạnh này tạo thành các góc 120
o
(Hình14). Đây là một tính
chất rất quan trọng của điểm Steiner. Với các bài toán có n lớn hơn 3, đây còn được
coi như điều kiện về góc để thu được một cây tối ưu. Hay nói cách khác một cây
Steiner luôn có các điểm Steiner thỏa mãn điều kiện về góc.
Hình 1.17. Điều kiện về góc.
Ngoài các tính chất về góc của điểm Steiner, các nghiên cứu lý thuyết còn
chỉ ra một cây Steiner còn có nhiều các tính chất đặc biệt khác. Dưới đây là một số
tính chất cơ bản quan sát được trong trường hợp số điểm Steiner bằng 3, tuy nhiên
các tính chất này cũng đúng trong trường hợp tổng quát với n bất kỳ.
Tính chất 1. Tất cả các điểm Steiner của cây Steiner dựng trên mặt phẳng đều có
cấp không nhỏ hơn 3.
Nguyễn Thanhh Tùng-KHMT-K48
25