một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TUẤN ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên nghành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Một số ký hiệu viết tắt

3

Lời nói đầu

3

1 Các kiến thức cơ bản

5

2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

10

2.1

Phát biểu bài tốn và ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập nghiệm bài tốn
bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2

Tính chất nghiệm của bài toán . . . . . . . . . . . . 19

3 Một số hàm đánh giá cơ bản
3.1

Các loại hàm đánh giá

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1
3.1.2
3.2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Các hàm đánh giá cho bài toán VI(K,F) . . . . . . . 24

Một số thuật toán lặp giải bất đẳng thức biến phân

. . . . 35

Kết luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

43

2

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
đến thầy GS. TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Khoa học và Công nghệ Việt
Nam) đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, động viên tác giả trong suốt thời
gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy, các cơ trong Khoa Tốn - Tin, phịng
Đào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn sinh viên trong lớp cao học
toán K2, trường Đại học Khoa học đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên,
và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
đã ln khuyến khích, động viên tác giả trong suốt q trình học cao học
và hồn thành luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn khơng tránh khỏi
những thiếu sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng
góp và phản hồi từ phía các thầy, các cơ, các bạn để luận văn này được
hồn thiện một cách tốt hơn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 10-2010
Tác giả

Hoàng Tuấn Anh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3

Một số ký hiệu viết tắt
Rn
|β|
x := y
∀x
∃x
x
x, y
A⊂B
A⊆B
A∪B
A∩B
A≡B
B
AT
VI
N CP
t.ư.

khơng gian Euclide n-chiều.
trị tuyệt đối của số thực β .
x được định nghĩa bẳng y .
với mọi x.
tồn tại x.

chuẩn của véc tơ x.
tích vơ hướng của hai véc tơ x, y .
tập A là tập con thực sự của tập B .
tập A là tập con của tập B .
A hợp với B .
A giao với B .
A trùng với B .
tích Đề các của hai tập A và B .
ma trận chuyển vị của ma trận A.
bài toán bất đẳng thức biến phân.
bài toán bù phi tuyến.
tương ứng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Lời nói đầu
Bất đẳng thức biến phân là một bài tốn quan trọng trong tốn học
ứng dụng. Do đó bài toán này đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu.
Trong hướng nghiên cứu này, phương pháp giải là một đề tài quan trọng.
Mục đích của luận văn này là tập trung giới thiệu trình bày về bài tốn
bất đẳng thức biến phân, một số tính chất về tập nghiệm của bất đẳng
thức biến phân. Đặc biệt đi sâu vào việc giới thiệu các phương pháp giải
cơ bản cho lớp bài toán này.
Luận văn bao gồm 3 chương. Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải
tích lồi và tốn tử đơn điệu, chương này nhắc lại và trình bày các khái

niệm, định lý, tính chất dùng để nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến
phân ở chương sau. Chương 2: Bài tốn bất đẳng thức biến phân, chương
này trình bày định nghĩa về bài toán bất đẳng thức biến phân và các ví
dụ. Đồng thời cũng trình bày về sự tồn tại và tính chất tập nghiệm bài
tốn bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều Rn . Chương
3: Các hàm đánh giá cơ bản, trình bày một số khái niệm và ví dụ về hàm
đánh giá dùng để giải bất đẳng thức biến phân, đồng thời cũng trình bày
một số phương pháp lặp cơ bản để giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
Thái Nguyên, tháng 10-2010
Tác giả

Hồng Tuấn Anh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về tập
lồi, hàm lồi, những kiến thức sẽ được sử dụng ở phần sau. Do chương này
chỉ có tính chất phụ trợ nên các kết quả có được sẽ khơng chứng minh, chi
tiết có thể xem thêm ở các tài liệu [1], [2], [3], [4].
Định nghĩa 1.1. Cho hai điểm a, b ∈ Rn . Tập tất cả các điểm x =

(1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được
ký hiệu [a, b].

Tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ thuộc nó; nói cách khác, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C
và mọi 0 ≤ λ ≤ 1.
Định lí 1.1. Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một
số và phép lấy tổ hợp tuyến tính. Tức là, nếu A và B là hai tập lồi trong
Rn thì các tập sau cũng là tập lồi:
1. A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B}.
2. λA + βB = {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}.
Định nghĩa 1.2. Một tập hợp lồi mà nó là giao của một số hữu hạn các
nửa khơng gian đóng gọi là một tập lồi đa diện. Cụ thể hơn, một tập lồi
đa diện là tập hợp các điểm x ∈ Rn nghiệm đúng hệ Ax ≥ b, trong đó, A
là một ma trận m × n và b ∈ Rn .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

Định nghĩa 1.3. Tập con M của Rn được gọi là một nón (đỉnh tại gốc)
nếu:

x ∈ M, λ > 0 =⇒ λx ∈ M.
Nón M được gọi là nón lồi nếu M là tập lồi.
Định nghĩa 1.4. Cho tập lồi A ⊆ Rn , hàm số f : A −→ R ∪ {+∞} được
gọi là hàm lồi trên A, nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, 0 ≤ λ ≤ 1.
Hàm f được gọi là lồi chặt trên A nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, 0 < λ < 1.
Hàm f được gọi là lõm (lõm chặt) trên A nếu −f là lồi (lồi chặt) trên A.
Hàm f được gọi là hàm tựa lồi trên A, nếu với mọi λ ∈ R tập mức

{x ∈ A : f (x) ≤ λ} là một tập lồi.
Hàm f được gọi là hàm tựa lõm trên A nếu −f là hàm tựa lồi trên A.

Định lí 1.2. Cho f là một hàm lồi trên tập A và f là một hàm lồi trên
tập B . Lúc đó các hàm sau là lồi trên A ∩ B :

1. λf + βf , với mọi λ, β ≥ 0.
2. M ax(f, g).
Định nghĩa 1.5. Cho tập lồi A ⊆ Rn , hàm số f : A −→ R ∪ {+∞} được
gọi là hàm lồi mạnh trên A nếu tồn tại một hằng số ρ > 0 (hằng số lồi
mạnh) sao cho với mọi x, y ∈ A, và mọi λ ∈ [0; 1] ta có bất đẳng thức:

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ

x−y

2

.

Định lí 1.3. Nếu f là hàm lồi mạnh và khả vi trên tập lồi đóng K ⊆ Rn
thì:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7

1.

f (x) −

f (y), x − y ≥ ρ

x−y

2

.

2. Với bất kỳ x0 ∈ K , tập mức dưới K0 = {x ∈ K : f (x) ≤ f (x0 )} bị
chặn.
3. Tồn tại duy nhất điểm x∗ ∈ K sao cho f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ K}.
Định nghĩa 1.6. Cho hàm bất kỳ f : K −→ [−∞, +∞] với K ⊆ Rn , ta
gọi các tập

domf = {x ∈ K : f (x) < +∞}
và

epif = {(x, α) ∈ S × Rn : f (x) ≤ α}
lần lượt là miền hữu dụng và tập trên đồ thị của hàm f .
Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu domf = ∅ và f (x) > −∞ với
mọi x ∈ K.

Định nghĩa 1.7. Cho hàm lồi chính thường f trên Rn , vectơ p ∈ Rn được
gọi là dưới gradient của f tại điểm x0 nếu

p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x),

∀x ∈ Rn

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f
tại điểm x0 và được ký hiệu ∂f (x0 ).
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Định lí 1.4. Cho f : Rn −→ Rn là hàm lồi chính thường. Khi đó, nếu f
có tại x0 một vectơ dưới gradient duy nhất (tức là ∂f (x0 ) chứa duy nhất
một phần tử) thì f khả vi tại x0 .
Định nghĩa 1.8. Cho M là tập con của không gian Rn . Tập M được gọi
là tập compact trong Rn nếu mọi dãy {xn } ⊂ M đều chứa một dãy con
hội tụ tới x0 ∈ M.
Tập M ⊆ Rn là tập compact khi và chỉ khi M là tập bị chặn và đóng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Định nghĩa 1.9. Ma trận M ∈ Rn×n được gọi là ma trận đối xứng nếu

M T = M.
Định nghĩa 1.10. Cho ma trận M ∈ Rn×n với các phần tử mij (x) : i =

1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n là các hàm số xác định trên tập S ⊂ Rn , là nửa
xác định dương trên S nếu với mỗi x ∈ S , ta có
v T M (x)v ≥ 0, ∀v ∈ Rn
Ma trận M (x) ∈ Rn·n là xác định dương trên S nếu với mỗi x ∈ S , ta có

v T M (x)v > 0, ∀v = 0, v ∈ Rn .
Ma trận M (x) ∈ Rn·n là xác định dương mạnh trên S nếu với mỗi x ∈ S ,
ta có

v T M (x)v ≥ α

v

2

, α > 0.∀v ∈ Rn .

Định nghĩa 1.11. Ánh xạ F : K −→ Rn được gọi là đơn điệu trên K
nếu:

[f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ K.
Ánh xạ F : K −→ Rn được gọi là đơn điệu chặt trên K nếu:

[f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ K.
Ánh xạ F : K −→ Rn được gọi là đơn điệu mạnh trên K nếu:

[f (x1 ) − f (x2 )]T (x1 − x2 ) ≥ α

x1 − x2

2

, ∀x1 , x2 ∈ K.

Định nghĩa 1.12. Hàm số f xác định trên K ⊆ Rn được gọi là liên tục
tại x0 ∈ K nếu với mọi

> 0, nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho

x − x0 < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < .
Hàm số f gọi là liên tục trên K nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 ∈ K.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

Định nghĩa 1.13. Hàm số f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập K nếu
tồn tại số L > 0 sao cho

|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L

x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ K.

Định lí 1.5. Giả sử F : K −→ Rn là khả vi, liên tục trên tập K và ma
trận Jacobi
 ∂f1
∂x1

 ∂f2

F (x) =  ∂x1
.
 .
.

∂fn
∂x1

∂f1
∂x2
∂f2
∂x2

.
.
.

∂fn
∂x2

...
...
...
...

∂f1 
∂xn

∂f2 
∂xn  trong

. 
. 
.

đó F (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fn (x))T

∂fn
∂xn

là nửa xác định dương (xác định dương). Khi đó, F là đơn điệu (đơn điệu
chặt).

Định lí 1.6. Giả sử F : K −→ Rn là khả vi, liên tục trên tập mở chứa
K,

F (x) xác định dương mạnh. Khi đó F là đơn điệu mạnh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

Chương 2
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Trên cơ sở các kiến thức về hàm lồi và tập lồi ta đã tổng hợp ở chương

1, chương này luận văn trình bày bài tốn bất đẳng thức biến phân trong
khơng gian hữu hạn chiều Rn , điều kiện khi nào bài tốn đó có nghiệm, và
nếu có nghiệm thì tập nghiệm của bài tốn sẽ có tính chất như thế nào?

2.1

Phát biểu bài tốn và ví dụ

Định nghĩa 2.1. Cho K là tập lồi đóng của khơng gian Rn và ánh xạ

F : K → Rn , bài toán bất đẳng thức biến phân , ký hiệu là VI(K,F) là bài
tốn
Tìm vectơ x∗ ∈ K sao cho
(2.1)
F (x∗ ), (x − x∗ )
0, ∀x ∈ K.
Tập nghiệm của bài toán VI(K,F) được ký hiệu là SOL-VI(K,F).
Với mỗi x ∈ K , ta định nghĩa nón pháp tuyến của K tại x như sau:

N (x , K) = {d ∈ Rn : dT (y − x ) ≤ 0, ∀y ∈ K}.
Véc tơ d ∈ N (x , K) được gọi là véc tơ pháp tuyến của K tại x .
Định nghĩa 2.2. Cho K làm một nón lồi đóng và ánh xạ F : K → Rn ,
bài toán bù phi tuyến, ký hiệu NCP(K,F), là bài tốn
Tìm vectơ x∗ ∈ K sao cho
K x∗ ⊥ F (x∗ ) ∈ K ∗ .
với K ∗ là nón đối ngẫu của K , được xác định như sau:

K ∗ = {y ∈ Rn | y, x ≥ 0, ∀x ∈ K}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.2)


11

Tập nghiệm của bài toán NCP(K,F) được ký hiệu là SOL-NCP(K,F).
Trong trường hợp K ≡ Rn thì bài tốn NCP(K,F) được ký hiệu là
+
NCP(F), tức là:
Định nghĩa 2.3. Cho ánh xạ F : Rn → Rn , bài toán NCP(F) bài tốn
+
Tìm vectơ x ∈ Rn sao cho
0 ≤ x ⊥ F (x) ≥ 0.
Ví dụ 2.1. Xét bài tốn tối ưu
Min {f (x), với x ∈ K}
với f là hàm khả vi, liên tục và K là tập lồi đóng. Khi đó nếu x∗ ∈ K là
nghiệm của bài tốn tối ưu thì x∗ là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức
biến phân

f (x∗ )T .(x − x∗ )

0, ∀x ∈ K.

(2.3)

Chứng minh. Xét hàm số Φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗ )) với t ∈ [0; 1].
Ta có

Φ (0) =

f (x∗ )T .(x − x∗ ).

Do K là tập lồi đóng nên Φ(t) xác định với mọi t ∈ [0; 1]. Điều kiện cần
để t∗ ∈ [a; b] là điểm cực tiểu của hàm số ϕ : [a; b] −→ R trên [a; b] là

ϕ (t∗ )(t − t∗ ) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b]. Do đó Φ (0) ≥ 0 thì x∗ là nghiệm của bài
tốn (2.3).
Ví dụ 2.2. Một trị chơi có N người chơi.
Gọi Ki là tập chiến lược của người chơi thứ i, Ki ⊂ Rni

θi (x): hàm giá trị, ví dụ là hàm chi phí của người chơi i, với x =
(xi ), xi ∈ Rni , i = 1, 2 . . . N
Vấn đề của người chơi thứ i được xác định như sau: với mỗi véc tơ
xi = (xj : j = i), tìm xi , sao cho hàm chi phí θi (y i , xi ) đạt giá trị nhỏ
nhất theo biến y i . Nói một cách khác, xi chính là nghiệm của bài tốn:
M inyi ∈Ki {θi (yi , xi )}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

Giả sử tập nghiệm của bài toán này là Si (xi ).
Điểm cân bằng Nash là vectơ x = (xi , i = 1, 2 . . . N ) với xi ∈ S(xi ) với
mọi i = 1, 2 . . . N .
Định lí 2.1. Cho Ki ⊂ Rni là tập lồi đóng, giả sử với mỗi điểm cố định

xi hàm θi (yi , xi ) là hàm lồi, khả vi, liên tục ứng với biến y i . Khi đó x =
(xi , i = 1, 2, ...N ) là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x là nghiệm của
bài toán VI(K,F) với
N

K=

Ki và F (x) = (

N
xi θi (x))i=1 .

i=1

Chứng minh. Bằng tính chất của hàm lồi và nguyên lí giá trị nhỏ nhất, ta
có, với mỗi điểm x là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi

(y i − xi )T

xi

θi (x) ≥ 0, ∀y i ∈ Ki , i = 1, 2...N.

Do đó, với mỗi x là nghiệm của bài tốn cân bằng Nash khi và chỉ khi x
là nghiệm của VI(K,F).
Ngược lại, nếu x = (xi , i = 1, 2, ...N ) là nghiệm của bài tốn VI(K,F)
thì

(y − x)T F (x) ≥ 0, ∀y ∈ K.

Trong trường hợp riêng, với mỗi i = 1, 2, ...N , lấy y là vectơ mà có
vectơ con thứ j tương đương với xj , còn các vectơ con còn lại xi (i = j)
tương đương với y i , với y i là vectơ bất kì của tập K i . Thay vào bất đẳng
thức trên, ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.3. Bài tốn cân bằng giao thơng.
Cho một mạng giao thông với tập các điểm nút, ký hiệu là N và tập
các cung (mỗi cung là một cạnh nối 2 điểm trong tập N ) trong mạng, ký
hiệu là A. Giả sử người tham gia giao thông cố gắng làm cho chi phí trên
hành trình của họ là nhỏ nhất, với hàm chi phí trên cung a ∈ A là hàm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

phi tuyến ca (f ) của vectơ lưu lượng f với thành phần là fb , với mọi b ∈ A.
Giả sử O ⊆ N , D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅. Mỗi phần tử của O gọi
là điểm nguồn, mỗi phần tử của D gọi là điểm đích. Mỗi điểm nguồn và
điểm đích được nối với nhau bởi một tập liên tiếp các cạnh (được gọi là
một tuyến đường). Tập các cặp nguồn - đích là tập W ⊆ O × D.
Với mỗi w ∈ W , ta ký hiệu Pw là tập các đường nối nguồn đích của
cặp w và đặt P = (Pw ) với mọi w ∈ W .
Gọi hp là lưu lượng trên đường dẫn p ∈ P và Cp (h) là chi phí trên
đường, với h = (hp ).
Ký hiệu ∆ là ma trận cung - đường dẫn với các phần tử :

1 nếu p ∈ P thuộc cung a ∈ A.
0 trong trường hợp còn lại.

δap =

(2.4)

Ta thấy f = ∆h.
Giả sử hàm chi phí trên đường đi là hàm C(h) = (Cp (h)) là hàm cộng
tuyến, tức là, với mỗi p ∈ P , Cp (h) là tổng các chi phí cung ca (f ) của tất
cả các cung a trên đường dẫn p ∈ P . Do đó, ta có:

C(h) = ∆T c(f ) = ∆T c(∆h).

(2.5)

Về mặt yêu cầu chi phí, với mỗi w ∈ W , hàm dw (u) là hàm yêu cầu
trên đường đi giữa các cặp OD w, với u ≡ (uv ) là (biến) vectơ chi phí nhỏ
nhất giữa mọi cặp OD.
Giả sử rằng người tham gia giao thơng có thể chọn chi phí nhỏ nhất
giữa mỗi cặp nguồn - đích OD, và tuyến đường mà họ chọn sẽ có chi phí
tương đương. Điều này có thể được viết lại như sau:

0 ≤ Cp (h) − uw ⊥ hp ≥ 0,

∀w ∈ W và p ∈ P.

(2.6)

∀w ∈ W.

(2.7)

Hơn nữa, chi phí yêu cầu phải thỏa mãn:

hp = dw (u),
p∈P

và chi phí tối thiểu là khơng âm:

uw ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.8)




14

Bài tốn cân bằng giao thơng tĩnh là bài tốn tìm cặp (h, u) lưu lượng
giao thơng trên đường và chi phí tối thiểu, gọi là điểm cân bằng giao thông,
sao cho các điều kiện (2.6), (2.7), (2.8) được thỏa mãn.
Ta định nghĩa:
T
F (h, u) = C(h) − Ω u
Ωh − d(u)

(2.9)

với Ω là ma trận có các phần tử

ωwp =

1 nếu p ∈ Pw
0 trong trường hợp còn lại.

(2.10)

Khi đó ta có định lý sau:
Định lí 2.2. Giả sử hàm chi phí và hàm yêu cầu Cp (h) và dw (u) là không
âm và với mỗi cặp OD w ∈ W , có:

[

hp Cp (h), h = h(p)] ≥ 0 =⇒ [hp = 0, ∀p ∈ P].

(2.11)

p∈P

Khi đó bài tốn cân bằng giao thơng tĩnh có thể mơ tả dưới dạng bài toán
NCP(F).
Thật vậy, nếu đặt

K = {(f, d) : f = ∆h và d = Ωh với h ≥ 0}

(2.12)

thì ta có định lý sau:

Định lí 2.3. Giả sử hàm chi phí Cp (h) thỏa mãn điều kiện (2.5) và d(u)

là hàm khả nghịch của u với hàm ngược là Φ(u).
Nếu (h, u) là điểm cân bằng giao thơng theo mẫu lưu lượng - chi phí thì

(f, d) với f = ∆h và d = d(u) là nghiệm của bài toán VI(K,G) với
G(f, d) ≡ (c(f ), −Φ(d)). Ngược lại nếu (f, d) ∈ SOL − V I(K, G) và hàm
ngược Φ khơng âm thì (h, u) với u ≡ Φ(d) và h > 0: f = ∆h và d = Ωh
là điểm cân bằng giao thơng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

Chứng minh. Đặt f = ∆h, d = Ωh, với h > 0 nếu (f, d) ∈ K . Ta có bài
tốn VI(K,F) tương đương với bài tốn NCP(H) với

H(h) = ∆T C(∆h) − ΩT Φ(Ωh).
Khi đó, (f, d) ∈ SOL − V I(K, G) ⇐⇒ h ≥ 0(f = ∆h, d = Ω) là nghiệm
của NCP(H) .
Cho (h, u) là nghiệm của bài tốn cân bằng giao thơng và (f, d) = (∆h, d(u))
thì u = Φ(d) và d = d(u) = Ωh.
Hơn nữa, h là nghiệm của bài toán NCP(H).
Vậy suy ra (f, d) ∈ SOL − V I(K, G).

2.2

Sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập
nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân

2.2.1

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 2.4. Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , với mỗi
véc tơ x ∈ Rn , tồn tại duy nhất véc tơ x ∈ K gần với x nhất theo chuẩn
˜

. 2 . Véc tơ x ∈ K này được gọi là hình chiếu Euclide của x lên
˜
K , kí hiệu là PK (x).
Ánh xạ PK (x) : x −→ PK (x) gọi là phép chiếu Euclide lên K.
Ta thấy PK (x) là nghiệm duy nhất của bài toán

Euclide

M iny∈K {

1
2

y−x

2
2:

y ∈ K}.

Định nghĩa 2.5. Cho ma trận đối xứng xác định dương A ∈ Rn×n . Chuẩn

- A trong Rn là:

√
x

A=

xT Ax, ∀x ∈ Rn .

Ký hiệu PK,A (x) là nghiệm duy nhất của bài toán lồi chặt theo biến y (với
x cố định):

1
M in (y − x)T A(y − x), với y ∈ K.
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

Khi đó ta thấy PK,A (x) là điểm trong K gần x nhất theo chuẩn - A ở trên.
Từ định nghĩa này ta có một số kết luận chất sau:
Bổ đề 2.1. Với mỗi x ∈ Rn , PK,A (x) là véc tơ duy nhất x ∈ K sao cho:
¯

(y − x)T A(¯ − x) ≥ 0,
¯

x

∀y ∈ K.

Bổ đề 2.2. Cho K là tập lồi đóng và y = PK (x) khi và chỉ khi

y T (z − y) ≥ xT (z − y), ∀z ∈ K
hay

(y − x)T (z − y) ≥ 0, ∀z ∈ K.
Bổ đề 2.3. Giả sử K là tập lồi đóng. Khi đó x∗ là nghiệm của bài toán
VI(K,F) nếu và chỉ nếu với mỗi γ > 0, x∗ là điểm bất động của ánh xạ

PK (I − γF ) : K −→ K
tức là x∗ = PK (x∗ − γF (x∗ )).
Chứng minh. Giả sử rằng x∗ là nghiệm của bài toán VI(K,F). Ta có F (x∗ )T (x−

x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ K . Nhân 2 về của bất đẳng thức trên với γ rồi cộng với
(x∗ )T (x − x∗ ) ta được:
(x∗ )T (x − x∗ ) ≥ (x∗ − γF (x∗ ))T (x − x∗ ), ∀x ∈ K.
=⇒ x∗ = PK (x∗ − γF (x∗ )).
Định lí 2.4. Nếu K là tập compact lồi và F (x) là hàm liên tục trên K thì
bài tốn VI(K,F) có ít nhất 1 nghiệm.
Chứng minh. Theo định lý điểm bất động của Brouwer cho ánh xạ P :

K −→ K với P liên tục thì tồn tại ít nhất x∗ ∈ K sao cho x∗ = P (x∗ ).
Vì PK và (I − γF ) là các hàm liên tục nên PK (I − γF ) liên tục. Do đó
áp dụng Bổ đề trên và định lý điểm dừng Brouwer cho hàm PK (I − γF )
ta có đpcm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17

Trong trường hợp tập K không giới nội, ta không áp dụng được định lí
Brouwer, ta đặt

BR (O) là hình cầu đóng tâm O, bán kính R.
KR = K ∩ BR (O), khi đó KR bị chặn.
Ký hiệu V IR là bất đẳng thức biến phân:
Tìm x∗ ∈ KR ,
R

F (x∗ )T (y − x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ KR .
R
R

Ta có:
Định lí 2.5. VI (K,F) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại số R > 0 và
nghiệm x∗ của V IR thỏa mãn |x∗ | < R.
R
R

Chứng minh. Rõ ràng nếu bài toán V I(K, F ) có nghiệm x thì x là nghiệm
của bài tốn V IR với |x∗ | < R
R
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ KR thỏa mãn |x∗ | < R, khi đó

R
R

F (x∗ )T (y − x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ KR .
R
R
Thật vậy, từ |x∗ | < R, cho y ∈ K, w = x∗ + (y − x∗ ) ∈ KR với > 0 đủ
R
R
R
nhỏ. Do đó,

x∗ ∈ KR ⊂ K : 0 ≤ F (x∗ ), w − x∗ =
R
R
R

F (x∗ ), y − x∗ , ∀y ∈ K.
R
R

Điều này có nghĩa là x∗ ∈ SOL − V I(K, F ).
R
Định lí 2.6. Giả sử F (x) thỏa mãn điều kiện bức

lim

x→∞

F (x) − F (x0 ), x − x0

=∞
|(x − x0 )|

với x ∈ K, x0 ∈ K.
Khi đó bài tốn VI(K,F) ln ln có nghiệm.

Chứng minh. Chon H > |F (x0 )| và R > |x0 | sao cho

F (x) − F (x0 ), x − x0 ≥ H|(x − x0 )|, ∀|x| > R, x ∈ K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Khi đó

F (x), x − x0 ≥ H|(x − x0 )| + F (x0 ), x − x0 .
≥ H|(x − x0 )| − |F (x0 )|.|(x − x0 )|.
≥ (H − |F (x0 )|)(|x| − |x0 |) > 0, |x| = R (5).
Giả sử xR ∈ KR là nghiệm của bài tốn V IR , khi đó

F (xR ), xR − x0 = − F (xR ), x0 − xR ≤ 0.
Do đó, (5) =⇒ |xR | = R, hay nói cách khác |xR | < R. Ta có điều phải
chứng minh.
Định lí 2.7. Cho F là hàm đơn điệu chặt trên K. Khi đó bài tốn VI(K,F)
có duy nhất nghiệm.

Chứng minh. Giả sử x1 và x∗ với x1 = x∗ lần lượt là hai nghiệm của

VI(K,F). Khi đó ta có:

F (x1 )T (x − x1 ) ≥ 0, ∀x ∈ K (1)
và

F (x∗ )T (x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ K (2).
Thay x∗ vào x trong (1) và x1 vào x trong (2), rồi cộng 2 vế bất đẳng
thức lại với nhau ta được:

(F (x1 ) − F (x∗ ))T (x∗ − x1 ) ≥ 0
hay

(F (x1 ) − F (x∗ ))T (x1 − x∗ ) < 0.
Điều này trái với định nghĩa về hàm đơn điệu chặt. Do đó x1 ≡ x∗ .
Định lí 2.8. Nếu F là hàm đơn điệu mạnh thì bài tốn VI(K,F) tồn tại
đúng một nghiệm x∗ .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

2.2.2

Tính chất nghiệm của bài tốn

Định lí 2.9. Nếu K ≡ Rn thì ta có:

x∗ ∈ SOL − V I(Rn , F ) ⇐⇒ F (x∗ ) = 0.
hay

SOL − V I(Rn , F ) ≡ F −1 (0).
Chứng minh. x∗ ∈ Rn và F (x∗ ) = 0 =⇒ 0, (x − x∗ ) ≡ 0, ∀x ∈ Rn =⇒

x∗ ∈ SOL−V I(Rn , F ). Do đó Rn ∩F −1 (0) = F −1 (0) ⊂ SOL−V I(Rn , F ).
Ngược lại: x∗ ∈ SOL − V I(Rn , F ) =⇒ F (x∗ ), d ≥ 0, ∀d ∈ Rn . Chọn
d ≡ −F (x∗ ) thì ta có F (x∗ ) = 0. Do vậy x∗ ∈ F −1 (0) =⇒ SOL −
V I(Rn , F ) ⊂ F −1 (0).
Từ hai điều trên ta có
SOL − V I(Rn , F ) ≡ F −1 (0).

Định lí 2.10. Nếu K là một nón lồi đóng trong Rn thì

SOL − V I(K, F ) ≡ SOL − N CP (K, F ).
Chứng minh. (⇒)SOL − V I(K, F ) ⊂ SOL − N CP (K, F ) :
Lấy bất kỳ x∗ ∈ SOL − V I(K, F ).
Hiển nhiên x∗ ∈ K , lấyx = 0 thuộc nón K, thay vào bất đẳng thức (2.1)
ta có

F (x∗ ), −x∗ ≥ 0 =⇒ F (x∗ ), x∗ ≤ 0.
Cho x = 2x∗ ∈ K thay vào bất đẳng thức (2.1) ta có

F (x∗ ), x∗ ≥ 0.
Từ hai bất đẳng thức trên ta có

F (x∗ ), x∗ = 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20

Mặt khác, ta có

F (x∗ ), (x − x∗ ) = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x .
=⇒ F (x∗ ) ∈ K ∗ .
Từ ba điều trên ta có x∗ ∈ SOL − N CP (K, F ).
(⇐=)SOL − N CP (K, F ) ⊂ SOL − V I(K, F ) :
Lấy bất kỳ x∗ ∈ SOL − N CP (K, F ). Khi đó
F (x∗ ), (x − x∗ ) = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x ≥ 0, ∀x ∈ K.
Do đó x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) =⇒ SOL − N CP (K, F ) ⊂ SOL −

V I(K, F ).
Định lí 2.11. Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng và ánh xạ F : K −→ Rn . Khi
đó
nat
x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) ⇐⇒ FK (x∗ ) = 0

với
nat
FK (x) = x − PK (x − F (x)).

Chứng minh. Do x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) nên

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K ⇐⇒ x − x∗ , x∗ − (x∗ − F (x∗ )) ≥ 0, ∀x ∈ K.
Theo bổ đề 2.1, thì ta có

x∗ = PK (x∗ − F (x∗ )).
hay
nat
x∗ − PK (x∗ − F (x∗ )) = 0 =⇒ FK (x) = 0.

Định lí 2.12. Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng và ánh xạ F : K −→ Rn . Khi
đó

x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) ⇐⇒ ∃y : x∗ = PK (y),

nor
FK (y) = 0.

với
nor
FK (x) = F (PK (x)) + x − PK (x).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21

Chứng minh. Lấy x∗ ∈ SOL − V I(K, F ), theo định lý 2.9 x∗ = PK (x∗ −

F (x∗ )) = PK (y) với y = x∗ − F (x∗ ).
Khi đó
nor

FK (y) = F (PK (y)) + y − PK (y) = F (x∗ ) + x∗ − F (x∗ ) − x∗ = 0.
nor
Ngược lại, nếu x∗ = PK (y) và FK (y) = 0

hay x∗ = PK (y) và F (PK (y)) + y − PK (y) = 0.
nên y = x∗ − F (x∗ ) và x∗ = PK (x∗ − F (x∗ )).
Theo định lý (2.9) thì x∗ ∈ SOL − V I(K, F ).
Định lí 2.13. {Điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cho bài toán
VI(K,F)}: Cho K = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) = 0} với các hàm gi , hj
liên tục, có đạo hàm bậc nhất. Cho F : K −→ Rn là ánh xạ. Khi đó, ta
có:
(i). Cho x∗ ∈ SOL − V I(K, F ). Và giả sử điều kiện chính quy Abadie
đúng tại x∗ , thì tồn tại vectơ µ ∈ Rk và λ ∈ Rk sao cho
m
∗

0 = F (x ) +

k

λi

∗

gi (x ) +

i=1

µj

hj (x∗ ).

j=1

0 = h(x∗ ).
0 ≤ λ ⊥ g(x∗ ) ≤ 0.
(ii). Ngược lại, nếu mỗi hàm hj là Affine, mỗi hàm gi là lồi và (x∗ , µ, λ)
thỏa mãn hệ điều kiện trên thì x∗ là nghiệm của bài toán V I(K, F ).

Chứng minh. Để chứng minh (i), ta chú ý rằng nếu x ∈ SOL − V I(K, F )
thì x là nghiệm của bài toán

M in y T F (x), y ∈ K.
Hệ trên là hệ KKT của bài tốn bù, do đó, (i) đúng.
Ngược lại, nếu gi , hj là các hàm affin và lồi, thì bài tốn

M in y T F (x), y ∈ K

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22

là bài tốn lồi theo biến y. Vì thế mọi điểm KKT của bài tốn đều là cực
tiểu tồn cục (có thể khơng duy nhất). Do đó, x là nghiệm của bài tốn
VI(K,F).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23

Chương 3
Một số hàm đánh giá cơ bản
Trong chương 2 trên, ta đã trình bày định nghĩa về bất đẳng thức biến
phân và các tính chất về tập nghiệm của bài toán. Vấn đề đặt ra là, nếu bài
toán bất đẳng thức biến phân VI(K,F) có nghiệm thì việc tìm nghiệm của
bài toán VI(K,F) như thế nào? Chương 3 này trình bày một vài phương
pháp giải bài tốn VI(K,F) dùng hàm đánh giá và dùng phương pháp lặp.

3.1
3.1.1

Các loại hàm đánh giá
Định nghĩa

Định nghĩa 3.1. Hàm đánh giá của bài tốn VI(K,F) trên một tập K là
hàm khơng âm θ : K −→ R+ thỏa mãn x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) khi và chỉ
khi x∗ ∈ K và θ(x∗ ) = 0.
Theo định nghĩa ta thấy tập nghiệm của bài toán VI(K,F) trùng với
tập nghiệm của bài toán tối ưu:

M in θ(y), y ∈ K
với giá trị tối ưu bằng 0.

(3.1)

Qua đây, ta thấy, việc đi giải bài tốn bất đẳng thức biến phân VI(K,F)
có thể thay thế bằng cách giải bài toán tối ưu (3.1) với θ là một hàm đánh
giá.
Sau đây, ta trình bày một vài hàm đánh giá và ứng dụng vào việc giải
bài toán VI(K,F).
Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm điểm dừng. Một điểm x∗ được gọi là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




24

điểm dừng của bài toán

M inx∈K θ(x)
nếu

θ(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K
Ta chú ý rằng nếu K ≡ Rn thì x∗ là điểm dừng khi θ(x∗ ) = 0. Trong
trường hợp này ta gọi x∗ là điểm dừng của θ.

3.1.2

Các hàm đánh giá cho bài toán VI(K,F)

Hàm Auslender.

Hàm Auslender là hàm số được xác định như sau

θgap (x) = supy∈K F (x), x − y , ∀x ∈ K.

(3.2)

Ta thấy hàm Auslender là hàm không âm trên K.
Rõ ràng, nếu x∗ ∈ SOL−V I(K, F ) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm toàn cục
của bài toán tối ưu M inx∈K θgap (x) và θA (x) = 0. Do đó hàm θgap (x)
là hàm đánh giá.
Thật vậy, nếu θgap (x∗ ) = 0 thì supy∈K F (x∗ ), x∗ − y = 0.
Do đó F (x∗ ), x∗ − y ≤ 0, ∀y ∈ K =⇒ F (x∗ ), x∗ − y ≥ 0, ∀x ∈ K =⇒

x∗ ∈ SOL − V I(K, F ).
Ngược lại, nếu x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) thì
infy∈K

F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0

hoặc

−supy∈K F (x∗ ), x∗ − y = θA (x∗ ) ≥ 0.
Do đó, nếu y = x∗ thì θgap (x∗ ) = 0.

Định lí 3.1. Cho K ∈ Rn là đóng, khác rỗng và Ω ⊂ Rn là tập mở,
khác rỗng. Giả sử rằng hàm f : Ω × K −→ R là liên tục trên Ω × K và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên