một số phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ ÁNH HỒNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN
HỖN HỢP MẠNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Mở đầu 2
1 Các kiến thức cơ bản 4
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian C
k
(
¯
Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . 10
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . . 13
2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị 15
2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với
điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với điều kiện
biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Bài toán Crack và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 27
3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho bài toán song
điều hòa với điểm đứt gãy kì dị . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị . . . . . . . . . . 30
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
3.1.3 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Phương pháp chia miền giải bài toán crack . . . . . . . . . 37
3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Các kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo 46
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ Vinh

Quang. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Vũ Vinh Quang, người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả.
Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán
- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều
kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành
bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường
THPT Chu Văn An - Thái Nguyên và các bạn trong lớp Cao học K4A, đã
động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Khi nghiên cứu bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, thông qua việc
mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic
cấp 2 hoặc các dạng phương trình song điều hòa với các hệ số điều kiện
biên khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên của bài toán đang
xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phương pháp của các tác
giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng như
phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, trong
trường hợp khi trên biên tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa
các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thường xảy ra đối với
mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi thì chúng ta sẽ gặp các
bài toán elliptic hoặc các bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị.
Khi đó các phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khó khăn. Đối với các
bài toán này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng một phương
pháp đó là phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dưới dạng
khai triển thông qua các hệ hàm cơ sở. Một hướng nghiên cứu thứ hai đó
là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền.
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán vết nứt hay còn gọi
là bài toán crack được các tác giả trên thế giới đưa ra. Mô hình toán học

của bài toán là bài toán song điều hoà với điều kiện biên kì dị. Trình bày
cơ sở của phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này đồng
thời xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp
xỉ của bài toán. Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sự
hội tụ của các phương pháp lặp và so sánh tính hiệu quả của hai phương
pháp đã đưa ra. Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm và
đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm
về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sự
hội tụ của sơ đồ lặp.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền để giải bài toán
biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh và cơ sở của phương
pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp.
Chương 3: Nghiên cứu mô hình bài toán vết nứt, trình bày cơ sở phương
pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này. Trên cơ sở của phương
pháp chia miền giải phương trình cấp 2 và phương pháp lặp giải phương
trình cấp 4, luận văn đưa ra sơ đồ lặp giải bài toán vết nứt, tiến hành thực
nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp đưa ra. Từ đó đưa ra kết
luận so sánh giữa hai phương pháp.
Trong luận văn, các chương trình thực nghiệm được lập trình trên ngôn
ngữ Matlab chạy trên máy tính PC.
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện.
Tác giả
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan
trọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm
yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare, lý
thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử.
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian
hàm
1.1.1 Không gian C
k
(
¯
Ω)
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R
n
và
¯
Ω
là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C
k
(
¯
Ω)(k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm có đạo
hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong
¯
Ω. Ta đưa vào C
k
(
¯
Ω) chuẩn

||u||
C
k
(
¯
Ω)
=

|α|=k
max
x∈
¯
Ω
|D
α
u(x)|, (1.1)
trong đó α = (α
1
, α
2
, , α
n
) được gọi là đa chỉ số véc tơ với các tọa độ
nguyên không âm, |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
,

D
α
u =
∂
α
1
+ +α
n
u
∂x
α
1
1
∂x
α
n
n
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong
¯
Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C
k
(
¯
Ω) với chuẩn
(1.1) là không gian Banach.
1.1.2 Không gian L

p
(Ω)
Giả sử Ω là một miền trong R
n
và p là một số thực dương. Ta kí hiệu L
p
(Ω)
là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

Ω
|f(x)|
p
dx < ∞. (1.2)
Trong L
p
(Ω ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của L
p
(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa
mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
Ω. Vì
|f(x) + g(x)|
p
≤ (|f (x) + g(x)|)
p
≤ 2
p
(|f(x)|
p
+ |g(x)|

p
)
nên rõ ràng L
p
(Ω) là một không gian véc tơ.
Ta đưa vào L
p
(Ω) phiếm hàm || · ||
p
được xác định bởi
||u||
p
=




Ω
|u(x)|
p
dx



1/p
. (1.3)
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω)
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một miền trong R

n
. Hàm u(x) được gọi là
khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm trong Ω và với mỗi
x
0
∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x
0
để u(x) khả tích trong Ω.
Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một miền trong R
n
. Giả sử u(x), v(x) là hai
hàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức

Ω
u
∂
k
ϕ
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
dx = (−1)
k

Ω

vϕdx,
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
đối với mọi ϕ(x) ∈ C
k
0
(Ω), k = k
1
+ + k
n
, k
i
≤ 0(i = 1, 2, , n). Khi đó,
v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Kí hiệu
v(x) =
∂
k
u
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử p là một số thực, 1 < p < ∞, Ω là một miền

trong R
n
. Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa như sau:
W
1,p
(Ω) = {u|u ∈ L
p
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
p
(Ω), i = 1, 2, , n},
trong đó các đạo hàm trên là các đaọ hàm suy rộng.
Với p = 2, ta kí hiệu W
1,p
(Ω) = H
1
(Ω), nghĩa là
H
1
(Ω) = {u|u ∈ L
2
(Ω),
∂u
∂x
i

∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, , n}.
Bổ đề 1.1.4. i) Không gian W
1,p
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
||u||
W
1,p
(Ω)
= ||u||
L
p
(Ω)
+
n

i=1
||
∂u
∂x
i
||
L
p
(Ω)
.
ii) Không gian H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(u, v)
H
1
(Ω)
= (u, v)
L
2
(Ω)
+
n

i=1

∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i

L
2
(Ω)
, ∀u, v ∈ H
1
(Ω).
1.1.4 Khái niệm vết của hàm
Định nghĩa 1.1.5. Không gian Sobolev W
1,p

(Ω) được định nghĩa như các
bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
tương ứng với chuẩn của W
1,p
(Ω).
Không gian H
1
0
(Ω) được định nghĩa bởi
H
1
0
(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
Định lý 1.1.6. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=

1
p
−
1
n
.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
- Nhúng liên tục với q = p
∗
.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0
(
¯
Ω) là nhúng compact.
Định lý 1.1.7 (Định lý vết). Giả sử Ω là tập mở trong R
n
với biên ∂Ω là
liên tục Lipschitz. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục

γ : H
1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kì u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(
¯
Ω) ta có γ(u) = u|
∂Ω
. Hàm γ(u) được
gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian
H
1/2
(∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
H
1/2
(∂Ω) = γ(H
1
(Ω)).
Định lý 1.1.9. i) Kí hiệu H
1/2
(∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn
||u||
2
H

1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
|u(x)|
2
dS
x
+

∂Ω

∂Ω
|u(x) − u(y)|
2
|x − y|
n+1
dS
x
dS
y
.
ii) Tồn tại một hằng số C
γ
(Ω) sao cho:
||γ(u)||
H
1/2
(∂Ω)

≤ C
γ
(Ω)||u||
H
1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
(Ω).
Khi đó, C
γ
(Ω) được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.1.10. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω)
có các tính chất sau:
i) Tập {u|
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R
n
)} trù mật trong H
1/2
(∂Ω).
ii) Nhúng H
1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact.

iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1/2
(∂Ω) → u
g
∈ H
1
(Ω)
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho
||u||
H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)||g||
H
1/2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H
1/2
(∂Ω).
Bổ đề 1.1.11. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
H
1
0

(Ω) = {u|u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0}.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Định lý 1.1.12 (Bất đẳng thức Poincare). Tồn tại hằng số C
Ω
sao cho:
||u||
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
||∇u||
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Chứng minh. Giả sử I là một khoảng trong R
n
chứa
¯
Ω, u ∈ H
1
0

(Ω). Ta kí
hiệu u là mở rộng bởi 0 của u vào I. Ta có u ∈ H
1
0
(I) và
||u||
L
2
(Ω)
= ||u||
L
2
(I)
; ||∇u||
L
2
(Ω)
= ||∇u||
L
2
(I)
. (1.4)
Để chứng minh định lý đúng với Ω là khoảng bất kì trong R
n
, không
mất tính tổng quát ta chứng minh định lý đúng với Ω = (0, a)
n
.
Với ∀ ∈ C
∞

0
(Ω) ta có
u(x) = u(x

, x
n
) =

x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t)dt.
ta lại có
|u(x)|
2
=





x
n
0
∂u

∂x
n
(x

, t).1dt




2
≤ x
n

x
n
0




∂u
∂x
n
(x

, t)





2
dt
≤ x
n

a
0




∂u
∂x
n
(x

, t)




2
dt.
Lấy tính phân hai vế bất đẳng thức trên Ω ta được:

Ω
u
2
dx ≤ a
2


Ω




∂u
∂x
n




2
dx ≤ a
2

Ω
|∇u|
2
dx,
tức là
||u||
L
2
(Ω)
≤ a||∇u||
L
2
(Ω)

, ∇u ∈ C
∞
0
(Ω).
Do đó đẳng thức trên đúng với ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Nếu Ω là một tập mở giới nội bất kì, luôn tồn tại khoảng I với các cạnh
phụ thuộc vào đường kính của Ω thỏa mãn Ω ⊂ I.
Theo trên, định lý đúng với khoảng I, kết hợp với (1.4) ta suy ra định
lý đúng với Ω.
Nhận xét 1.1.13. Bất đẳng thức Poincare có nghĩa rằng: ||u|| = ||∇u||
L
2
(Ω)
là một chuẩn trên H
1
0
(Ω), tương đương với chuẩn của H
1
(Ω) được xác định
bởi
||u||
2
H
1
(Ω)
= ||u||
2

L
2
(Ω)
+ ||∇u||
2
L
2
(Ω)
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Định lý 1.1.14 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng). Giả sử biên ∂Ω liên
tục Lipschitz, ∂Ω = Γ
1
∪ Γ
2
, trong đó Γ
1
, Γ
2
là các tập đóng, rời nhau, Γ
1
có độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số C(Ω) sao cho
||u||
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
||∇u||

L
2
(Ω)
∀u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0 trên Γ
1
.
1.1.4.1 Không gian Sobolev với chỉ số âm H
−1
(Ω) và H
−1/2
(∂Ω)
Định nghĩa 1.1.15. Kí hiệu H
−1/2
(∂Ω) là không gian Banach được định
nghĩa bởi
H
−1
(∂Ω) = (H
1
0
(Ω))

,
tức là không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H
−1

(Ω)
được xác định như sau
||F ||
H
−1
(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}
| < F, u >
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
|
||u||
H
1
0
(Ω)
,
trong đó
< F, u >
H
−1
(Ω),H

1
0
(Ω)
=

Ω
F udx.
Bổ đề 1.1.16. Cho F ∈ H
−1
(Ω). Khi đó tồn tại n + 1 hàm f
0
, f
1
, , f
n
trong L
2
(Ω) sao cho
F = f
0
+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
. (1.5)
Hơn nữa

||F ||
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=1
||f
i
||
2
L
2
(Ω)
,
trong đó infimum lấy trên tất cả véc tơ (f
0
, f
1
, , f
n
) trong [L
2
(Ω)]
n+1
thỏa
mãn điều kiện (1.5).
Định nghĩa 1.1.17. Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz. Kí hiệu H

−1/2
(∂Ω)
là không gian Banach được định nghĩa bởi
H
−1/2
(∂Ω) = (H
1/2
(∂Ω))

.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
tức là không gian đối ngẫu của không gian H
1/2
(∂Ω). Chuẩn của phần tử
F ∈ H
−1/2
(∂Ω) được xác định như sau
||F ||
H
−1/2
(Ω)
= sup
H
1/2
(∂Ω)\{0}
| < F, u >
H
−1/2

(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
|
||u||
H
1/2
(∂Ω)
trong đó
< F, u >
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
F udS.
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình
− ∆u = f (1.6)
Giả sử u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.6) thỏa mãn trong
miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.6).
Lấy hàm ϕ bất kì thuộc D(Ω) = C
∞
0

(Ω) nhân với hai vế của (1.6) rồi
lấy tích phân ta được
−

Ω
∆uϕdx =

Ω
fϕdx. (1.7)
Áp dụng công thức Green vào (1.7) và kết hợp với điều kiện ϕ|
∂Ω
= 0
ta có

Ω
n

i=1
∂ϕ
∂x
i
∂u
∂x
i
dx =

Ω
fϕdx, (1.8)
hay


Ω
∇u∇ϕdx =

Ω
fϕdx.
Như vậy, nếu u là nghiệm của phương trình (1.6) thì có (1.8). Nhưng
nếu f
¯
∈C(Ω) thì phương trình (1.6) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần
mở rộng khái niệm khi f ∈ L
2
(Ω).
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u ∈ H
1
(Ω), f ∈ L
2
(Ω), u được gọi là nghiệm
yếu của phương trình (1.6) nếu (1.8) được thỏa mãn.
Mệnh đề 1.2.2. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.6) và u ∈
C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −∆u = f.
Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.6), tức là u ∈
H
1
(Ω) và ta có (1.8) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈
C

2
(Ω) ta suy ra

Ω
(∆u + f)ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
Vì D(Ω) trù mật trong L
2
(Ω), ∆u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên
∆u + f = 0 trong L
2
(Ω). Nhưng vì ∆u liên tục nên ∆u + f ≡ 0 trong
C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.6).
Xét phương trình song điều hoà
∆
2
u =
∂
4
u
∂x
4
+ 2
∂
4
u
∂x
2
∂y
2
+

∂
4
u
∂y
4
= f. (1.9)
Giả sử u ∈ C
4
(Ω), f ∈ C(Ω), ϕ ∈ D(Ω). Nhân hai vế của phương trình với
ϕ và lấy tích phân trên toàn miền Ω ta thu được

Ω
ϕ∆
2
udx =

Ω
fϕdx. (1.10)
u được gọi là nghiệm yếu nếu u thoả mãn (1.10).
Tổng quát xét bài toán
Au = f, (1.11)
trong đó A =

|i|,|j|≤k
(−1)
|i|
D
i
(a
ij

(x)D
j
).
Nếu u thoả mãn hệ thức

|i|,|j|≤k
a
ij
D
j
ϕD
j
udx =< f, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω) (1.12)
được gọi là ngiệm yếu của phươg trình.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên
Bài toán Dirichlet
Xét bài toán



−∆u = f, x ∈ Ω
u = ϕ, x ∈ ∂Ω
(1.13)
trong đó f ∈ L
2
(Ω).
Hàm u ∈ H

1
(Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.13) nếu
u − ω ∈ H
1
0
(Ω). (1.14)
trong đó ω là hàm thuộc H
1
(Ω), có vết bằng ϕ và

Ω
∇u∇vdx =

Ω
fvdx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω). (1.15)
Nhận xét 1.2.3. i) Nghiệm yếu của bài toán (1.13) là nghiệm yếu của
phương trình −∆u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình
này là hàm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn (1.15) với mọi v ∈ C
∞
0
(Ω) ⊂ H
1
0
(Ω).
ii) Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.13) và đặt u, f, ϕ đủ trơn thì

nghiệm theo nghĩa cổ điển.
Bài toán Neumann
Xét bài toán



−∆u = f, x ∈ Ω
∂u
∂ν
= h, x ∈ ∂Ω.
(1.16)
trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(
¯
Ω), u ∈ C
2
(
¯
Ω) là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phương trình −∆u = f với v ∈ H
1
(Ω) rồi lấy tích
phân ta được
−

Ω
v∆udx =

Ω
vfdx. (1.17)
Áp dụng công thức Green vào (1.17) ta có

−

∂Ω
v
∂Ω
∂ν
dS +

Ω
∇u∇vdx =

Ω
vfdx.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Kết hợp với (1.16) ta suy ra

Ω
∇u∇vdx =

Ω
fvdx +

∂Ω
hvdS, ∀v ∈ H
1
(Ω). (1.18)
Định nghĩa 1.2.4. Nếu h ∈ L
2

(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.16) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn (1.18).
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản
Xét bài toán
Au = f, (1.19)
trong đó A : H → H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
N chiều H với tích vô hướng (, ) và chuẩn ||y|| =

(y, y).
Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f ∈ H là véc tơ tùy
ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y
0
bất kì thuộc H, người
ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y
1
, y
2
, , y
k
, của phương trình
(1.19). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp
k = 1, 2, bản chất của những phương pháp này là giá trị y
k+1
có thể
được tính thông qua các giá trị lặp trước: y
k

, y
k+1
,
Phương pháp lặp được gọi là là phương pháp lặp một bước hoặc hai
bước nếu xấp xỉ y
k+1
có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước
đó. Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là
B
k
y
k+1
− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.20)
Lước đồ lặp (1.20) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình
Au = f với bất kì toán tử B
k
và cách chọn tham số θ
k+1
.
+) Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.20) được gọi là lược đồ lặp hiển
y
k+1

− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.21)
Trong trường hợp θ
k
= θ là hằng số thì lược đồ lặp (1.21) còn gọi là
lược đồ lặp đơn giản.
+) Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.20) được gọi là lược đồ ẩn.
Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Lược đồ lặp (1.20) với toán tử B
k
= B, tham số θ
k+1
= θ không đổi
(k = 0, 1, 2, ) còn được gọi là lược đồ lặp dừng.
B
y
k+1
− y
k
θ

+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.22)
Định lý 1.3.1. Nếu A là toán tử đối xứng, xác định dương thì
B >
1
2
θA hay (Bx, x) >
1
2
θ(Ax, x), ∀x ∈ H (1.23)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.22) trong không gian H
A
với tốc độ hội tụ cấp số nhân
||z
k+1
||
A
≤ ρ||z
k
||
A
, k = 0, 1, 2, , ρ < 1. (1.24)
trong đó ρ =

1 −
2θδ
∗
δ
||B||

2

1/2
, δ = min
k
λ
k
(A), δ
∗
= min
k
λ
k
(B
0
−
1
2
θA),
B
0
=
B + B
∗
2
là phần tử đối xứng của toán tử B.
Nhận xét 1.3.2. Với B
k
= B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn
giá trị θ để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = E, điều kiện hội tụ

sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn
λ
k

E −
1
2
θA

= 1 −
1
2
θλ
k
(A) > 0.
Hay
1 −
1
2
θ||A|| > 0.
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi θ <
2
||A||
.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Một số phương pháp giải
bài toán elliptic với biên
kì dị

2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán
biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên hỗn
hợp mạnh
2.1.1 Cơ sở của phương pháp
Cho Ω ⊂ R
2
là miền với biên Lipschitz ∂Ω, xét bài toán



−∆u(x) = f (x), ∀x ∈ Ω,
lu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.
Giả sử f(x) ∈ L
2
(Ω), g(x) ∈ H
1
2
(∂Ω). Ta xét trường hợp tổng quát khi
điều kiện biên lu(x) = g(x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là
trên một phân biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là toán tử
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
hàm) và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng). Đây là bài toán đã được
nhiều tác giả trên thế giới quan tâm.
Trong phần này luận văn trình bày phương pháp chia miền để giải bài
toán biên hỗn hợp mạnh. Sự hội tụ của phương pháp này đối với trường
hợp chỉ có một điểm phân cách điều kiện biên đã được nghiên cứu về lý
thuyết.
Giả sử Ω cho bởi Hình 2.1 xét bài toán










−∆u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω\Γ
n
,
∂u
∂ν
= ψ, x ∈ Γ
n
Hình 2.1:
Chia miền Ω thành hai miền Ω
1
, Ω
2
với biên trơn Γ, Ω = Ω
1
∪ Ω
2
, Ω
1
∩
Ω

2
= ∅. Kí hiệu Γ
1
= ∂Ω
1
\{Γ
d
∪ Γ}, Γ
2
= ∂Ω
2
\{Γ
n
∪ Γ}, u
i
là nghiệm
trong miền Ω
i
(i = 1, 2). Tư tưởng của phương pháp là tìm ra các xấp xỉ
của g =
∂u
1
∂ν
1
|
Γ
để chuyển bài toán đang xét về hai bài toán trong hai miền.
Ở đây ν
i
là véc tơ pháp tuyến ngoài của miền Ω

i
(i = 1, 2).
• Mô tả thuật toán chia miền
Bước 1. Cho trước g
(0)
∈ L
2
(Γ), chẳng hạn g
(0)
= 0, x ∈ Γ.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
Bước 2. Với g
(k)
trên Γ(k = 0, 1, 2, ) tiến hành giải hai bài toán











−∆u
(k)
1

= f, x ∈ Ω
1
,
u
(k)
1
= ϕ, x ∈ Γ
1
∪ Γ
d
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= g
(k)
, x ∈ Γ.
(2.1)


















−∆u
(k)
2
= f, x ∈ Ω
2
,
u
(k)
2
= ϕ, x ∈ Γ
2
,
u
(k)
2
= u
(k)
1
, x ∈ Γ,
∂u
(k)
2
∂ν

2
= ψ, x ∈ Γ
n
(2.2)
Bước 3. Hiệu chỉnh giá trị g
(k+1)
g
(k+1)
= (1 − τ)g
(k)
− τ
∂u
(k)
2
∂ν
2
, x ∈ Γ, (2.3)
trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn.
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp
Sơ đồ lặp (2.1) được viết lại dưới dạng
g
(k+1)
− g
(k)
τ
+ g
(k)
+
∂u
(k)

2
∂ν
2
= 0, (k = 0, 1, 2, ).
Kí hiệu



e
(k)
i
= u
(k)
i
− u
i
, (i = 1, 2)
ξ
(k)
= g
(k)
− g.
Khi đó e
(k)
i
(i = 1, 2) và ξ
(k)
thỏa mãn












−∆e
(k)
1
= 0, x ∈ Ω
1
,
e
(k)
1
= 0, x ∈ Γ
1
∪ Γ
d
,
∂e
(k)
1
∂ν
1
= ξ
(k)

, x ∈ Γ.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị

















−∆e
(k)
2
= 0, x ∈ Ω
2
,
e
(k)
2

= 0, x ∈ Γ
2
,
e
(k)
2
= e
(k)
1
, x ∈ Γ,
∂e
(k)
2
∂ν
2
= 0, x ∈ Γ
n
ξ
(k+1)
− ξ
(k)
τ
+ ξ
(k)
+
∂e
(k)
2
∂ν
2

= 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2, ). (2.4)
Ta định nghĩa các toán tử Steklov-Poincare S
1
, S
2
như sau S
1
ξ =
∂v
1
∂ν
1
, x ∈
Γ, trong đó v
1
là nghiệm của bài toán









−∆v
1
= 0, x ∈ Ω
1
,

v
1
= 0, x ∈ Γ
1
∪ Γ
d
,
v
1
= ξ, x ∈ Γ,
S
2
ξ =
∂v
2
∂ν
2
, x ∈ Γ, trong đó v
2
là nghiệm của bài toán
















−∆v
2
= 0, x ∈ Ω
2
,
v
2
= 0, x ∈ Γ
2
,
v
2
= ξ, x ∈ Γ,
∂v
2
∂ν
2
= 0, x ∈ Γ
n
.
Khi đó toán tử nghịch đảo S
−1
1
được xác định bởi
S

−1
1
ξ = ω
1
|
Γ
trong đó ω
1
là nghiệm của bài toán











−∆ω
1
= 0, x ∈ Ω
1
,
ω
1
= 0, x ∈ Γ
1
,

∂ω
1
∂ν
1
= ξ, x ∈ Γ.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
Vì thế
S
−1
1
ξ
(k)
= e
(k)
1
|
Γ
S
2
e
(k)
1
=
∂e
(k)
2
∂ν
2

|
Γ
.
Sử dụng các toán tử S
1
, S
2
đã định nghĩa, (2.4) được viết lại dưới dạng
ξ
(k+1)
− ξ
(k)
τ
+ (I + S
2
S
−1
1
)ξ
(k)
= 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2, ).
Tác động S
−1
1
lên cả hai vế của phương trình trên, ta thu được sơ đồ lặp
hai lớp
e
(k+1)
1
|

Γ
− e
(k)
1
|
Γ
τ
+ Be
(k)
1
|
Γ
= 0, (k = 0, 1, ),
trong đó kí hiệu B = I + S
−1
1
S
2
. Từ lược đồ trên ta có
e
(k+1)
1
|
Γ
= (I − τB)e
(k)
1
|
Γ
.

Để thiết lập sự hội tụ của lược đồ này chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất
của toán tử B. Vì mục đích này ta đưa vào không gian Λ = H
−
1
2
00
(Γ) =
{v|
Γ
: v ∈ H
1
0
(Ω)} và không gian đối ngẫu Λ

= H
−
1
2
00
(Γ). Có thể kiểm tra
rằng trong dạng phát biểu yếu toán tử S
1
được định nghĩa bởi
S
1
ξ, η
Λ

,Λ
= (∇H

1
ξ, ∇H
1
η)
L
2
(Ω
1
)
, ∀ξ, η ∈ Λ,
trong đó H
1
ξ là thác triển điều hòa của ξ lên Ω. Toán tử S
1
là toán tử đối
xứng, xác định dương và
C
21
||ξ||
H
1
2
(Γ)
≤ S
1
ξ, ξ
1
2
Λ


,Λ
≤ C
31
||ξ||
H
1
2
(Γ)
.
Do đó S
1
ξ, η
1
2
Λ

,Λ
xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ Λ và chuẩn được
sinh bởi tích vô hướng này tương đương với chuẩn thông thường của H
1
2
(Γ).
Kí hiệu tích vô hướng này và dạng chuẩn cảm sinh bởi (·, ·)
S
1
và || · ||
S
1
(ξ, η)
S

1
= S
1
ξ, η
Λ

,Λ
, ||ξ||
S
1
= S
1
ξ, ξ
1
2
Λ

,Λ
.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
Bây giờ ta xét tính chất của toán tử S
2
. Giả sử η ∈ H
1
2
00
(Γ), kí hiệu ω =
ˆ

H
2η
là thác triển điều hòa của η lên Ω
2
tức là ω là nghiệm của bài toán















−∆ω = 0, x ∈ Ω
2
,
ω = 0, x ∈ Γ
2
,
ω = η, x ∈ Γ,
∂ω
∂ν
2

= 0, x ∈ Γ
n
.
Tương tự kí hiệu v =

H
2
ξ là thác triển điều hòa của ξ lên Ω
2
. Khi đó
0 = −

Ω
2
∆vωdx =

∂Ω
2
−
∂v
∂ν
2
ωds +

Ω
2
∇v∇ωdx
= −

Γ

S
2
ξηds +

Ω
2
∇

H
2
ξ.∇

H
2η
dx.
Từ đó

Γ
S
2
ξηds =

Γ
2
∇

H
2
ξ.∇


H
2η
dx.
Theo bất đẳng thức Poincare-Fridrichs và định lý vết ta có
S
2
ξ, ξ
Λ

,Λ
= (∇

H
2
ξ.∇

H
2
ξ)
L
2
(Ω
2
)
= (∇v, ∇v)
L
2
(Ω
2
)

≥ C
2
22
||v||
2
H
1
(Ω
2
)
≥ C
2
32
||ξ||
2
H
1
2
(Γ)
.
Mặt khác, theo đánh giá nghiệm của bài toán xác định v ta có
||v||
H
1
(Ω
2
)
≤ C||v||
H
1

2
(Γ)
. (2.5)
Ngoài ra, theo định nghĩa của chuẩn trong H
1
(Ω
2
) thì
||v||
2
H
1
(Ω
2
)
= ||v||
2
L
2
(Ω
2
)
+ ||∇v||
2
L
2
(Ω
2
)
nên

||∇v||
2
L
2
(Ω
2
)
≤ ||v||
2
H
1
(Ω
2
).
(2.6)
Từ (2.5), và (2.6) suy ra rằng
S
2
ξ, ξ
Λ

,Λ
= ||∇v||
2
L
2
(Ω
2
)
≤ C

2
||ξ||
2
H
1
2
(Γ)
.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
Như vậy, toán tử S
2
là toán tử đối xứng, xác định dương và giới nội.
Trong tích năng lượng của S
1
ta có
(Bξ, η)
S
1
=

S
1
(I + S
−1
S
2
)ξ, η


Λ

,Λ
= S
1
ξ, η
Λ

,Λ
+ S
2
ξ, η
Λ

,Λ
.
Do S
1
, S
2
là các toán tử đối xứng nên toán tử B cũng là toán tử đối xứng.
Giả sử rằng đối với phép chia miền Ω thành các miền con Ω
1
, Ω
2
tồn
tại các hằng số 0 < m ≤ M sao cho
m ≤
S
2

ξ, η
Λ

,Λ
S
1
ξ, η
Λ

,Λ
≤ M, ∀ξ ∈ Λ. (2.7)
Khi đó ta có
(1 + m)||ξ||
2
S
1
≤ (Bξ, ξ)
S
1
≤ (1 + M)||ξ||
2
S
1
.
Tức là
(1 + m)I ≤ B ≤ (1 + M)I,
trong không gian năng lượng của S
1
.
Từ lý thuyết tổng quát của lược đồ lặp hai lớp suy ra rằng nếu

0 < τ <
2
1 + M
(2.8)
thì ||I − τB|| < 1 và giá trị tối ưu của τ là
τ
opt
=
2
2 + m + M
. (2.9)
Với giá trị này của τ ta thu được ước lượng
||e
(k)
1
|
Γ
||
S
1
≤ ρ
k
||e
(0)
1
|
Γ
||
S
1

,
với
ρ =
M − m
2 + m + M
.
Khi đó để ý rằng
||e
(k)
i
||
H
1
(Ω
i
)
≤ C
1
||e
(k)
1
|
Γ
||
H
1
2
(Γ)
.
Ta suy ra

||e
(k)
i
||
H
1
(Ω
i
)
≤ Cρ
k
||e
(0)
1
|
Γ
||
H
1
2
(Γ)
. (2.10)
Ở đây các hằng số dương C
21
, C
31
, C
22
, C
1

, C chỉ phụ thuộc vào Ω
i
và Γ.
Ta phát biểu kết quả thu được ở trên về sự hội tụ của phương pháp bởi
định lý sau đây.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
Định lý 2.1.1. Với giả thiết (2.7), phương pháp lặp (2.1)-(2.3) hội tụ nếu
tham số lặp τ thỏa mãn điều kiện (2.8). Giá trị tối ưu của tham số lặp
được cho bởi (2.9) và khi đó ước lượng cho các sai số được xác định bởi
(2.10).
2.2 Phương pháp lặp giải bài toán song điều
hòa với điều kiện biên hỗn hợp
2.2.1 Mô hình bài toán
Trong mục này luận văn xét mô hình bài toán cho phương trình song
điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp. Trong luận văn sẽ trình bày cơ sở
của một phương pháp lặp dựa trên lý thuyết toán tử trong các không gian
hàm. Sự hội tụ của phương pháp lặp đã được chứng minh về mặt lý thuyết
và được kiểm nghiệm qua nhiều thí dụ cụ thể bằng các chương trình thực
nghiệm. Chúng ta xét mô hình bài toán sau:
∆
2
u = f, x ∈ Ω,
u = g
0
, x ∈ S
A
,
∂u

∂ν
= g
1
, x ∈ ∂Ω,
∂∆u
∂ν
= g
2
, x ∈ S
D
∪ S
B
∪ S
E
(2.11)
2.2.2 Phương pháp lặp
Để nghiên cứu bài toán trên, đặt v = ∆u với ∀x ∈ Ω , v = ϕ với
∀x ∈ S
A
. Khi đó bài toán (2.11) sẽ tương đương với hai bài toán cấp hai
sau.
















∆v = f, x ∈ Ω
v = g
1
, x ∈ S
C
v = ϕ, x ∈ S
A
∂v
∂ν
= g
2
, x ∈ S
D
∪ S
E
∪ S
B
(2.12)
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên