Đa thức nội suy Lagrang và đa thức nội suy Newton

Môc lôc
1
Mở đầu
Trong thực tế tính toán, ta thờng phải tính giá trị của hàm số y = f(x) với x bất
kỳ trên đoạn , trong khi chỉ biết các giá trị .
ở một số trờng hợp khác, biểu thức giả tích của f(x) đã biết, nhng quá phức tạp.
Với những trờng hợp nh vậy, ngời ta thờng xây dựng một hàm số P(x) đơn giản thoả
mãn điều kiện P(x
i
) = f(x
i
), ; ngoài ra tại thì P(x) xấp xỉ y = f(x) theo một độ chính xác
nào đó. Hàm số P(x) nh vậy đợc gọi là hàm nội suy của f(x), còn các x
i
( i = 0, 1, , n)
gọi là các mốc nội suy. Bài toán xây dựng P(x) nh vậy gọi là bài toán nội suy.
Mục tiêu của phép nội suy khá nhiều, nhng chủ yếu là tìm thuật toán đơn giản
tính giá trị f(x) cho những x không nằm trong bảng ( ). Một bộ số liệu ( ) và một ch-
ơng trình ngắn gọn có thể thay một bảng rất dài các giá trị . Ngoài ra sử dụng kết quả
của phép nội suy, có thể tìm đạo hàm hoặc tích phân của trên đoạn .
Do thời gian có hạn nên ở đề tài này chúng em chỉ trình bày cách sử dụng đa
thức nội suy Lagrăng và đa thức nội suy Newton tiến để tính giá trị của hàm số f(x) cho
dới dạng bảng tại một số giá trị ngoài bảng.
I. Nội suy bằng đa thức đại số
Ngoài ý nghĩa lịch sử ra, đa thức đại số thờng đợc dùng trong phép nội suy vì lý do
đơn giản sau: các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng đợc thực hiện
trên đa thức. Hơn nữa nếu P(x) là đa thức, còn c là hằng số thì P(cx) và P(x + c) cũng là
đa thức.
Bài toán nội suy đặt ra nh sau: Cho các mốc nội suy
Hãy tìm đa thức bậc m: )
ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: hãy xây dựng đờng cong đại số y = đi qua

các điểm cho trớc Nh vậy ta cần xác định (m + 1) hệ số từ hệ phơng trình tuyến tính
sau:
(1.1)
2
Dễ thấy nếu m < n ( m > n) hệ nói chung vô nghiệm ( vô định). Khi m = n, hệ
(1.1) có định thức Vandermonde
Suy ra phơng trình (1.1) có nghiệm duy nhất.
II. Đa thức nội suy Lagrange
II.1. Cơ sở lý thuyết
Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không cần giải hệ
(1.1).
Trớc hết, ta tìm đa thức có bậc n, sao cho
Dễ thấy
Vì:
Nên:
Đặt: ta có:
Nh vậy, P(x) là đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm.
Nếu các mốc nội suy cách đều, tức là
h
Thì đặthay x = x
0
+ th ta đợc
Tóm lại
3
(2.1)
Trong công thức (2.1), các hệ số không phụ thuộc vào hàm số f(x), mốc nội suy
và bớc h. Do chúng đợc tính sẵn, lập bảng để sử dụng nhiều lần.
Công thức nội suy Lagrange trình bày nh trên có u điểm đơn giản nhng nếu thêm
mốc nội suy phải tính lại toàn bộ. Nhợc điểm này đợc khắc phục trong công thức nội
suy Newton v.v

Sau đây ta sẽ dùng phần mềm maple 12 để tìm đa thức nội suy Lagrăng và tính
giá trị của hàm:
4
II.2. LËp tr×nh sö dông Maple 12 ®Ó t×m ®a thøc néi suy Lagrange
5
>
6
II.3. C¸c vÝ dô
VÝ dô 1: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
i
-1 0 1
7
f(x
i
)
1/3 1 3
TÝnh: f(1/2)? { f(x) = 3
x
}
>
§a thøc néi suy Lagrange:
VËy f(1/2) = 1.83333333
VÝ dô 2: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
i
-2 -4/3 0 4/3 2
f(x
i
) 0 1 2 1 0

TÝnh f(1)?
>
§a thøc néi suy:
1.415625000
VËy f(1) = 1,41562500.
VÝ dô 4: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
i
0 1 2 3 4 5
f(x
i
) 0 1 8 27 64 125
TÝnh f(6)? {f(x)=x
3
}
>
§a thøc néi suy:
8
VËy f(6) = 216.
VÝ dô 5:Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
i
0 1 4 9 16 25 36 49
f(x
i
) 0 1 2 3 4 5 6 7
TÝnh f(3)? { f(x) = }
>
§a thøc néi suy:
1.828194444

VËy f(3) = 1.82819444
VÝ dô 6: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
9
x
i
0
f(x
i
) 1 0 -1 0
TÝnh ? { f(x) = cosx}
>
§a thøc néi suy:
VËy =0.964421377
VÝ dô 7: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
i
0
f(x
i
) 0 1 0 -1
TÝnh ? { f(x) = sinx}
10
>
§a thøc néi suy:

0.260017727
VËy =0.26001772
11
III. Đa thức nội suy Newton tiến
III.1. Cơ sở lý thuyết

III.1.1. Sai phân và các tính chất
Giả sử f: là một hàm cho trớc và h = const . Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại
lợng:
Tỷ sai phân cấp 1 của f(x) là
Một cách tổng quát
Các tính chất của sai phân:
1) là toán tử tuyến tính, nghĩa là:
2) Nếu c = const thì .
3)
.
Từ tính chất (2) suy ra với mọi m > n
4) Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor
5)
Thật vậy
(ở đây 1 là toán tử đơn vị)
áp dụng nhiều lần ta đợc:
6)
Ta có
7) Giả sử
Khi đó
(5.1)
Ta chứng minh (5.1) bằng qui nạp.
12
Với n = 1, ta có công thức số gia hữu hạn
Giả sử (5.1) đúng với mọi . Ta chứng minh cho k = n+1.
Thật vậy trong đó . áp dụng công thức số gia hữu hạn cho , ta đợc:

Trong đó. Đặt , ta đợc
Hệ quả: Nếuthì khi h đủ nhỏ ( Đpcm).
III.1.2. Một số quy tắc nội suy hàm số trên lới đều

a. Bảng sai phân
Giả sử hàm số y = f(x) cho dới dạng bảng y
i
= f(x
i
) tại các môcác x
i
cách đều:
x
i+1
x
i
= h = const ()
Khi đó sai phân của dãy y
i
đợc xác định nh sau:
Tính chất 5, 6 của mục III đợc viết lại nh sau:
b. Nội suy ở đầu bảng
Mốc nội suy đợc sắp theo thứ tự x
0
< x
1
< < x
n
.
Ta tìm đa thức nội suy dới dạng:
P(x) = a
0
+ a
1

(x x
0
) + a
2
(x x
0
)(x x
1
) + + a
n
(x x
0
)(x x
n-1
)
13
Cho x = x
0
ta ®îc a
0
= y
0
; x = x
1

Nãi chung ®Æt x = x
i
, ta cã §æi biÕn ta ®îc:
(*)
Ta gäi (*) lµ c«ng thøc néi suy Newton tiÕn.

14
III.2. LËp tr×nh sö dông maple 12 t×m ®a thøc néi suy Newton tiÕn
15
III.3. Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
0
h y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
0 1 0 1 8 27 64 125
TÝnh f(6)? {f(x) = x
3
}
>
16
§a thøc néi suy:
216.
VËy f(3) = 216
VÝ dô 2: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x

0
h
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
0
1/1
0
0 1002/10000 2013/10000 8045/10000 4108/10000 5211/10000
TÝnh f(14/100)
>
17
§a thøc néi suy:
VËy f(14/100) = 0.00941915520
VÝ dô 3: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
0
h y
1
y
2

y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
0 0 -1 0
TÝnh ? { f(x) = cosx}
>
18
§a thøc néi suy:
19
VËy =0.964421377
20
VÝ dô 4: Cho f(x) cho bëi b¶ng sau:
x
0
h 0
0 1 0 -1
TÝnh ? { f(x) = sinx}
>
21
§a thøc néi suy:
22

0.260017727
Vậy =0.26001772
Qua các ví dụ minh hoạ ở trên ta thấy việc dùng đa thức Lagrăng và Newton tiến
cho kết quả xấp xỉ nhau.
Nội suy cu i bảng (Newton tiến) ở giữa bảng l m t ơng tự.
23
Tài liệu tham khảo
[1]. Nguyễn Minh Chơng(chủ biên) Nguyễn văn Khải Khuất văn Ninh
Nguyễn Văn Tuấn Nguyễn Tờng (2001), Giải tích số, Nxb Giáo dục.
[2]. Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên
Maple, Nxb Khoa học và kỹ thuật.
[3]. Phạm Kỳ Anh (2007), Giải tích số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
[4]. Maple soft Maple 12, Maple soft Maple 13, www.maplesoft.com.
24