Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (bản 1.0)...

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Luyện thi Đại học 2012

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Chủ đề:

I- LÝ THUYẾT:
1. ĐỊNH NGHĨA:
Thể tích của một khối đa diện là một số dương có tính chất sau:
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành các khối đa diện nhỏ thì thể tích
của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
2. MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH:
Thể tích của khối hộp chữ nhật Thể tích của khối chóp
Thể tích của khối lăng trụ
S

h
h

A

a

C

H

S ABC

b

Sday

B

c

V = a .b.c

V=

1
S .h
3

V = S .h

**ĐẶC BIỆT:
1- Thể tích khối lập phương: Cho khối lập phương cạnh a.

V = a3

2- Thể tích khối chóp cụt:
Cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’ , chiều cao h. V =

(

)

1
B + B '+ BB ' .h
3

II- LUYỆN TẬP:
Kỹ năng:
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Phương phỏp:
Phương pháp 1: Dựa vào công thức

Việc tính thể tích của một khối đa diện bất kỳ, thông thường được thực hiện theo 2 bước sau:
Bước 1 : Xác định đường cao của khối chóp, khối lăng trụ.
Bước 2 : Tính diện tích đáy tương ứng.
Bước 3 : áp dụng công thức
Phương pháp 2: Hoặc

* Chia khối đa diện đà cho thành các khối lăng trụ hoặc các khối chóp đơn giản hơn.
* Ghép thêm vào khối đa diện đà cho bằng các khối đa diện quen biết để được một
khối đa diện đơn giản hơn (Thông thường đối các bài toán thiết diện)
Giỏo viờn: Lấ B BO

1

T Toỏn THPT Phong Điền


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012

LOẠI I:
THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Phương pháp:
Bước 1: Xác định và chỉ rõ chiều cao h của khối chóp. Tính h
1
Bước 2: Tính diện tích đáy và áp dụng cơng thức: Vchóp = h.Sđáy
3
I- BI TP MINH HA:
Bi tp 1: Tớnh thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC trong các trường hợp sau:
a) Cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a 2 .
b) Cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600 .
c) Cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 300 .
Bài giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SG ^ ( ABC ) . Vậy SG là chiều cao của hình
chóp S.ABC.
a) TH: Cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a 2 .
S
* Tính SG:
Xét DSGA vng tại G:

ỉ2
ư
Ta có: SG = SA - AG = SA - ỗ . AM ữ
ố3
ứ
2

2

2

a 2

2

2

ổ 2 2a 3 ử
4a 2 a 6 A
= 2a - ỗ .
= 2a 2 =
.
÷
3 2 ø
3
3
è
2a
3
2
2
* Tính diện tích đáy: S DABC =
( 2a ) = 3a .
4
1
1 a 6
2a 3
2
. 3a =
Vậy Vchãp = SG.S DABC = .

(đ.v.t.t)
3
3 3
3
b) TH: Cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600 .
Do SG ^ ( ABC ) nên AG là hình chiếu của AS lên (ABC)
ˆ
Suy ra: Góc giữa SA và (ABC) là góc SAG = 600 .
* Tính SG:
600
A
Xét DSGA vng tại G:
Ta có:
SG
2
2 a 3
ˆ
ˆ
tan SAG =
. 3=a
Û SG = AG.tan SAG = AM .tan 600 = .
AG
3
3 2
3a 2
.
* Tính diện tích đáy: S DABC =
4
1
1

3a 2
3a 3
=
Vậy Vchãp = SG.S DABC = .a.
(đ.v.t.t)
3
3
4
12
c) TH: Cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 300 .
Ta có: ( ABC ) Ç ( SBC ) = BC .
2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

2

C
G

M
B

S

C

a

G

M
B

Tổ Toán THPT Phong Điền


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012
ì SM ^ BC
ˆ
Mặt khác: í
nên góc giữa (SBC) và (ABC) là góc SMG = 300 .
AM ^ BC
ỵ
* Tính SG:
S
Xét DSGM vng tại G:
Ta có:
SG
ˆ
tan SMG =
A
GM
300

C

G
1

1 a 3 3 a
M
a
ˆ
Û SG = GM .tan SMG = AM .tan 300 = .
.
=
3
3 2 3
6
B
2
3a
.
* Tính diện tích đáy: S DABC =
4
1
1 a 3a 2
3a 3
=
Vậy Vchãp = SG.S DABC = . .
(đ.v.t.t)
3
3 6 4
72
Hoàn toàn tương tự, các em giải quyết bài tập:
Bài tập: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD trong các trường hợp sau:
a) Cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a 2 .
b) Cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600 .
c) Cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 300 .

Lưu ý: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD là hình chóp có đáy là hình vng ABCD tâm O và
có chiều cao là SO.
Bài tập 2: (Tốt nghiệp 2010 THPT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng
cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBD ) và mặt

phẳng đáy là 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a .
Bài giải:
Gọi O là tâm hình vng ABCD. Ta có: ( ABCD ) Ç ( SBD ) = BD .

ì SO ^ BD
ˆ
nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc SOA = 600 .
Mặt khác: í
AO ^ BD
ỵ
* Tính SA:
S
Xét DSOA vng tại A:
Ta có:
SA
ˆ
tan SOA =
OA
a 2
a 2
a 6
ˆ
Û SA = OA.tan SOA =
.tan 600 =
. 3=

2
2
2
2
* Tính diện tích đáy: S ABCD = a .

A
B

600
O
D

a

C

1
1 a 6 2
6a 3
.a =
(đ.v.t.t)
Vậy Vchãp = SA.S ABCD = .
3
3 2
6

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

3

Tổ Toán THPT Phong Điền


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012
Bài tập 3: (Tốt nghiệp 2011 THPT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vng tại A và D với AD = CD = a, AB=3a. Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và cạnh
bên SC tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
S
Bài giải:
Do SA ^ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD)
ˆ
Suy ra, góc giữa SC và (ABCD) là SCA = 450 .
* Tính SA:
Tam giác ACD vng cân tại D, cạnh AD = DC = a
3a
Þ AC = a 2 .
A
Xét DSAC vuông tại A:
a
450
ˆ = SA Û SA = AC.tan SCA = a 2.tan 450 = a 2
ˆ
tan SCA
C
a
D
AC
* Tính diện tích hình thang ABCD:

( AB + CD ) AD = ( 3a + a ) a = 2a 2
Ta có: S ABCD =
2
2
1
1
2 2a 3
2
Vậy VS . ABCD = SA.S ABCD = a 2.2a =
(đ.v.t.t)
3
3
3
Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết bài tốn khó chịu một tí….
Bài tập 4: (Tốt nghiệp 2009 THPT) Cho hình chóp S.ABC với mặt bên SBC là tam giác
ˆ
đều cạnh a . Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC = 1200 , tính thể tích của
khối chóp S.ABC theo a .
S
Bài giải:
Dễ thấy rằng: DSAB = DSAC Þ AB = AC .
* Tính diện tích tam giác ABC:
a
Cách 1: Đặt AB = AC = x > 0 .
Trong DABC , áp dụng định lí cosin ta được:
ˆ
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AB. AC.cos BAC
C
A

= x 2 + x 2 - 2 x 2 cos1200 = 3 x 2
Þ BC = x 3 Û x 3 = a Û AB = AC = x =

120 0

a 3
3
2

M

a2 a2 a 3
ỉ BC ư
Suy ra: AM = AB 2 - BM 2 = AB 2 - ỗ
=
=
ữ
3 4
6
ố 2 ø

B

1
1 a 3
3a 2
AM .BC = .
.a =
2
2 6

12
Cách 2: Xét tam giác ABM vng tại M có:
BM
BM
a
a 3
ˆ
sin BAM =
Û AB =
=
=
0
ˆ
AB
3
sin BAM 2.sin 60
Tiếp tục như trên….
* Tính chiều cao SA:
Lúc đó: S DABC =

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

4

Tổ Toán THPT Phong Điền

B


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Luyện thi Đại học 2012

a2 a 6
=
.
3
3
1
1 a 6 3a 2
2a 3
=
.
Vậy VS . ABC = SA.S DABC = .
(đ.v.t.t)
3
3 3
12
36
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , BCD là tam giác vuông cân
tại D, (ABC) ^ (BCD). Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài giải:
A
Gọi M là trung điểm của BC.
ì( ABC ) ^ ( BCD )
ï
Do í
và AM ^ BC nên AM ^ ( BCD )
ù( ABC ) ầ ( BCD ) = BC
ợ

nờn AM là đường cao của tứ diện ABCD.
M
a 3
* Tính AM: AM =
B
2
* Tính diện tích DSBD :
D
a 2
2
2
2
2
2
2
Ta có: DB + DC = BC Û 2 DB = BC = a Þ DB = DC =
.
2
a2
1
.
Suy ra: S DSBD = DC.DB =
2
4
1
1 a 3 a2
3a 3
. =
Vậy VABCD = AM .S DBCD = .
(đ.v.t.t)

3
3 2 4
24
Tương tự, các em giải quyết bài tập sau:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều cạnh a
và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD), biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2 a . Tam
giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD). Tính thể tích
hình chóp S.ABCD.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AD = CD
= a ; AB = 2 a , biết tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD).
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Tiếp tục nâng cao thêm 1 tí nữa nhé? Thơng qua bài tập sau:
Bài tập 1: ( Trích Đề khối A- 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông
cân tại B, AB = BC = 2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC tại N.
Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Bài giải:
ì( SAB ) ^ ( ABC )
ï
và ( SAB ) Ç ( SAC ) = SA nên SA ^ ( ABC ) .
Nhận xét rằng: Do í
( SAC ) ^ ( ABC )
ï
ỵ
Vậy SA là đường cao của khối chóp S.BCNM.
* Tính SA:
Ta có: SA = SB 2 - AB 2 = a 2 -

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

5

Tổ Toán THPT Phong Điền

C


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012
ì AB ^ BC
S
và ( ABC ) Ç ( SBC ) = BC
Dễ thấy: í
ỵ SB ^ BC
ˆ
nên góc giữa ( ABC ) và ( SBC ) là góc SBA = 600 .
Xét DSAB vuông tại A:
SA
N
ˆ
ˆ
Û SA = AB.tan SIA = 2a.tan 600 = 2a 3 . A
tan SBA =
AB
600
M
* Tính diện tích hình thang BMNC:
B

( MN + BC ) MB = ( a + 2a ) a = 3a 2
Ta có: S BMNC =
2
2
2
2
1
1
3a
= 3a 3 (đ.v.t.t)
Vậy VS . BCNM = SA.S DBCD = .2a 3.
3
3
2
Cách khác:
Với lập luận như trên, tính được SA = 2a 3
V
AS AM AN AM AN 1
1
Ta có: A.SMN =
.
.
.
=
= Û VA.SMN = VA.SBC
VA.SBC AS AB AC
AB AC 4
4

1

1
1
1
1 2 4 3a 3
Tính VA.SBC = SA.S DABC = SA. . AB.BC = .2 3a. .4a =
(đ.v.t.t)
3
3
2
3
2
3
1
1 4 3a 3
3a 3
=
Suy ra: VA.SMN = VA.SBC = .
(đ.v.t.t)
4
4
3
3
4 3a 3
3a 3
= 3a 3 (đ.v.t.t)
Mặt khác: VA.SBC = VA.SMN + VS . BCNM Û VS . BCNM = VA.SBC - VA.SMN =
3
3
Tương tự, các em giải quyết bài tập sau:
Bài tập 1: ( Đề khối D- 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,

BA = 3a, BC = 4a ; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết
ˆ
SB = 2a 3 và SBC = 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến
mặt phẳng (SAC) theo a .
II- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC)
cùng vng góc với (SBC). Tính thể tích khối chóp.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B với AC = a ,
biết SA vng góc với đáy (ABC) và SB hợp với đáy một góc 60o.
a) Chứng minh các mặt bên là tam giác vng.
b) Tính thể tích khối chóp.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vng góc
với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp.
Bài tập 4: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các
cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 0. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Mở rộng: Thay giả thiết DABC vng cân tại A với AB = a hoặc DABC đều cạnh a .
Bài tập 5: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng
60o và SA ^ (ABCD), biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC bằng a . Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

6

Tổ Tốn THPT Phong Điền

C


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012

Bài tập 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B với AB = BC = a ,
AD = 2 a , SA ^ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Bài tập 7: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60 o.
Tính thể tích hình chóp.
Bài tập 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách
từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a . Tính thể tích hình chóp .

MỘT SỐ ĐỀ THI
Đề 1 (Đề Cục Khảo thí 2010)
Xét hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD = DA = AB = BC = CD = a . Biết thể tích
2a 3
, tính độ dài cạnh bên SC theo a .
của khối chóp S.ABCD bằng
6
Đề 2 (Đề Cục Khảo thí B, D- 2010) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, BC = a và AC = 2a ; cạnh bên SA vng góc với đáy và có độ dài a 3 . Gọi H là
hình chiếu của A lên đường thẳng SB. Tính thể tích của khối tứ diện HABC theo a .
Đề 3 (Đề Cục Khảo thí TN- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng
cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy
bằng 300, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a .
Đề 4 (Tốt nghiệp 2007) Cho hình chóp tam giác S.ABC với đáy là tam giác vuông đỉnh B,
cạnh bên SA vng góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a . Tính thể tích của khối chóp
S.ABC.
Đề 5 (Tốt nghiệp 2007_Lần II) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD là hình
vng cạnh bằng a, cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = AC . Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD.
Đề 6 (Tốt nghiệp 2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên
bằng 2a. Gọi I là trung điểm cạnh BC.
b)Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a .

a) Chứng minh SA vng góc với BC.
Đề 7 (Tốt nghiệp 2008_Lần II)
Cho hình chóp tam giác S.ABC với đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
b) Gọi I là trung điểm cạnh SC, tính độ dài cạnh BI theo a .
Đề 8 (Tốt nghiệp 2009 GDTX)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = a và AC = a 3 ;
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) và SA = a 2 . Tính thể tích của khối chóp
S.ABC theo a .
Đề 9 (Tốt nghiệp 2010 GDTX)
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA = SB = SC = SD .
Biết AB = 3a, BC = 4a và SAO = 450 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

7

Tổ Toán THPT Phong Điền


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012
LOẠI II:
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Phương pháp:
Bước 1: Xác định và chỉ rõ chiều cao h của khối lăng trụ. Tính h
Bước 2: Tính diện tích đáy và áp dụng cụng thc: Vlăng trụ = h.Sđáy
Bi tp 1: ỏy ca lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác vuông cân tại A có
cạnh BC = a 2 và biết A ' B = 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.

a 2
Bài giải:
B
Do DABC vuông cân tại A và BC = a 2 nên AB = AC = a.
A
* Tính chiều cao AA’:
Xét DBAA ' vng tại A:

AA ' =

( BA ')

2

- AB 2 = 9a 2 - a 2 = 2 2a .

3a

* Tính diện tích đáy ABC:
1
a2
Ta có: S DABC = AB. AC = .
2
2
B'
1
a2
2a 3
Vậy VABC . A ' B 'C ' = AA '.S DABC = .2 2a. =
(đ.v.t.t)

A'
3
2
3
Bài tập 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vng cân tại B với
BA = BC = a , biết A'B hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích lăng trụ.
Bài giải:
Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên AA ' ^ ( ABC ) nên AB là hình A'
chiếu vng góc của A’B lên (ABC).
B'
ˆ
Suy ra, góc giữa A’B và (ABC) là góc A ' BA = 600 .
* Tính chiều cao AA’:
Xét DBAA ' vng tại A:
AA '
ˆ
ˆ
tan A ' BA =
Û AA ' = AB.tan A ' BA = a.tan 600 = a 3. .
AB
* Tính diện tích đáy ABC:
A
1
a2
600
a
a
Ta có: S DABC = BA.BC = .
2
2

B
2
3
1
a
3a
Vậy VABC . A ' B 'C ' = AA '.S DABC = .a 3. =
(đ.v.t.t)
3
2
6
Chúng ta sẽ nâng mức độ lên nhé?
Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
Bài giải:
Nhận xét: Tất cả các cạnh bên của lăng trụ đềuhợp với đáy một góc bằng nhau.
Gọi H là hình chiếu của C lên (A’B’C’).
Lúc đó: CH là chiều cao của lăng trụ ABC.A’B’C’.
ˆ
Suy ra, góc giữa CC’ và (A’B’C’) là CC ' H = 600 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

8

C

Tổ Toán THPT Phong Điền

C'

C'

C


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012
* Tính chiều cao CH:
a
B
C
Xét DCC ' H vng tại H:
a
CH
a
ˆ
sin CC ' H =
A
CC '
3a
ˆ
a 3
Û CH = CC '.sin CC ' H = a 3.sin 600 = .
2
* Tính diện tích đáy ABC:
a
C'
3a 2
600
B'

Ta có: S DABC =
.
4
H
A'
3a 3a 2 3 3a 3
=
Vậy VABC . A ' B 'C ' = CH .S DABC = .
(đ.v.t.t)
2
4
8
Và thêm một tí nữa….
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên hợp với
đáy một góc 600. Hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể
tích của khối lăng trụ đã cho.
Bài giải:
Gọi I là trung điểm của BC. Theo giả thiết, A ' I ^ ( ABC ) suy ra góc giữa AA’ và (ABC) là
ˆ
C'
A ' AI = 600 và A’I là chiều cao của lăng trụ.
A'
* Tính chiều cao A’I:
Xét DA ' AI vuông tại I:
B'
ˆ = A' I
tan A ' AI
AI
3a
a 3

ˆ
Û A ' I = AI .tan A ' AI =
.tan 600 = .
600
C
2
2
A
* Tính diện tích đáy ABC:
I
a
3a 2
B
Ta có: S DABC =
.
4
3a 3a 2 3 3a 3
=
Vậy VABC . A ' B 'C ' = CH .S DABC = .
(đ.v.t.t)
2
4
8
Bây giờ thử xem, đề thi Đại học có khó khăn gì khơng?....
Bài tập 5: (Trích Đề Khối B- 2011) Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình
chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vng góc của điểm A1 lên (ABCD) trùng với

giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và (ABCD) bằng 600 . Tính
thể tích khối lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 .
Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của AD.
Ta có: A1O là chiều cao của lăng trụ ABCD. A1B1C1D1.

ì A O ^ ( ABCD )
ï
Þ AD ^ A1I
Theo giả thiết: í 1
ï
ỵOI ^ AD

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

9

Tổ Toán THPT Phong Điền


Chun đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Ta có: ( ADD1 A1 ) Ç ( ABCD ) = AD (1)

Luyện thi Đại học 2012
D1

ì AD ^ OI
(2)
Theo chứng minh trên ta lại có: í
ỵ AD ^ A1I
Từ (1) và (2) suy ra, góc giữa hai mặt phẳng
( ADD1 A1 ) và (ABCD) là góc giữa OI và A1I ,
ˆ

tức là góc A IO = 600 .

A1

1

* Tính chiều cao A1O :
Xét DA1IO vng tại O, ta có:

C1

I

60 0

B1

D

C
O

A

B

AO
a
a 3
ˆ

ˆ
tan A1IO = 1 Û A1O = OI .tan A1IO = .tan 600 =
.
OI
2
2
* Tính diện tích đáy ABCD:
Ta có: S ABCD = AB. AD = 3a 2 .
a 3
3a 3
2
. 3a =
Vậy Vlăng trụ = A1O.S ABCD =
(.v.t.t)
2
2
II- BI TP T LUYN:
Bi tập 1: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =
60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích của hình hộp.
Bài tập 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng cân tại B biết A'C = a và A'C
hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30 o. Tính thể tích lăng trụ.
Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .Tính thể tích lăng trụ.
Bài tập 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng và BD' = a .
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) BD' hợp với đáy (ABCD) một góc 60o .
b) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30 o .
Bài tập 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a , biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích lăng trụ.
Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a . Tính thể

tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o.
b) A'B hợp với đáy (ABC) một góc 45o.
c) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Bài tập 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2 a .Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt (ACD') hợp với đáy (ABCD) một góc 45o.
b) BD' hợp với đáy (ABCD) một góc 600.
c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
Bài tập 8: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vng cạnh a . Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o .
b) Tam giác BDC' là tam giác đều.
c) AC' hợp với đáy (ABCD) một góc 450
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

10

Tổ Tốn THPT Phong Điền


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Luyện thi Đại học 2012
Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và góc A = 600.
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.
b) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng

a
.

2

c) AC' hợp với đáy (ABCD) một góc 450.
Bài tập 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có BD' = 5 a , BD = 3 a . Tính thể tích
khối hộp trong các trường hợp sau đây:
a) AB = a .
b) BD' hợp với (AA'D'D) một góc 30o
c) (ABD') hợp với đáy (ABCD) một góc 300
Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
Bài tập 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a và điểm A'
cách đều A, B, C biết AA' =

2a 3
. Tính thể tích lăng trụ.
3

Bài tập 13: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu
trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên (BB'C'C) hợp với đáy
(ABC) một góc 60o.
a) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
b) Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'.
Bài tập 14: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều tâm O. Cạnh CC' = a hợp với
đáy (ABC) một góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
a) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
b) Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'.
Bài tập 15: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a biết chân đường vng
góc hạ từ A' trên (ABC) trùng với trung điểm của BC và AA' = a .
a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
b) Tính thể tích lăng trụ.

Bài tập 16: Cho h×nh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=2a, AA'=a. Lấy điểm M
trên cạnh AD sao cho AM=3MD.

a) Tính thể tích khối chóp M.AB'C.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(AB'C).

Giỏo viờn: LÊ BÁ BẢO

11

Tổ Toán THPT Phong Điền