Mũ - Logarit mới tổng hợp - LTĐH

Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit

1

1


A. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
1. Cho PT
2 2
3 3
log x log x 1 2m 1 0.
+ + − − =

a) Gi
ả
i PT khi m = 2.
b) Tìm m
ñể
PT
ñ
ã cho có nghi
ệ
m trên
3
1;3 .
 
 
 

2. Tìm m

ñể
PT sau có nghi
ệ
m
2 2
1 1 x 1 1 x
9 (m 2).3 2m 1 0.
+ − + −
− + + + =

3. Tìm m
ñể
PT sau có nghi
ệ
m trên (0; 1)
2
2 1
2
4log x log x m 0.
− + =

4. Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
x 1 x
x (x 1)
+
= +

có
nghiệm dương duy nhất.
5. Giải các phương trình sau
3
2 2
2
8
4 2
2
2
(3x)
(27x )
x x 2 x x x
5
2
x 2x 1 x
x x x
x x x
1 1
1) log (x 3) log (x 1) log 4x.
2 4
2) 16log x 3log x 0.
3) 2 2 3. 4) log (5 4) 1 x.
ln x
5) f '(x) 0 khi f (x) . 6) 2 .3 1.
x
12 15 20
7) 3 4 5 .
5 4 3
8)

− + −
− −
+ + − =
− =
− = − = −
= = =
     
+ + = + +
     
     
2 2
2 2
x x x x 2x x x x
x 2x
2x
x x 1 x x
2 4 2
3
1 8
2
2
x x 1 x x 2
2 4.2 2 4 0. 9) 3 4 5 .
10) log 2 2log 4 log 8.
11) 4 2 2(2 1)sin(2 y 1) 2 0.
1
12) 2(log x 1)log x log 0.
4
13) log x 1 log (3 x) log (x 1) 0.
14) 9 10.3 1 0. 15)

+ −
+
+ − + −
− − + = + =
+ =
− + − + − + =
+ + =
+ − − − − =
− + =
2
2 2
x x
2x x x 2x 4x 2x
x x
2 2
9 3
x x 3x 1 x x x
1 1 1
2 2
2
2co
3 .2 1.
16) 4 2.4 4 0. 17) 3 4.3 3.
18) 1 log (9 6) log (4.3 6).
19) log (x 8) log (x 26) 2 0.
20) 125 50 2 . 21) 8 18 2.27 .
22) log (x 1) log (x 1) log (7 x) 1.
23) 6.9
+
+

=
− + = − = −
+ − = −
+ − + + =
+ = + =
− + + − − =
2 2
2
s x cosx 1 2cos x cos x 1
2cos x cosx 1
13.6

6.4 0.
− + − +
− +
− +
+ =

x x x x
2 2
2 3
x 16x 4x
2
2 3 2
27 9
3
x x 1
2 1
2
x x 2x 1

24) 3 2 3x 2. 25) 3 5 6x 2.
26) ln(2x 3) ln(4 x ) ln(2x 3) ln(4 x ) .
27) log x 14.log x 40.log x 0.
1 x 1
28) log (x 5x 6) log log (x 3) .
2 2
29) log (4 4) x log (2 3).
30) 9 6 2 .
+
+
+ = + + = +
− + − = − + −
− + =
−
− + = + −
+ = − −
+ =
2 2
3 27
9 81
2
x 25
x x x x 2
2
1 4
2
2
x x
2 1
2

2
2 2
x
1 log x 1 log x
31) .
1 log x 1 log x
32) log (125x).log x 1.
33) 8 3.2 16 0.
1
34) log (x 1) log (x 5) log (3x 1) .
2
35) log (e 2) log (e 3) 3.
36) log (x 1) 6log x 1 2 0.
3
37) log 3
4
− − +
+ +
=
+ +
=
− − =
− − + = +
− + − =
+ − + + =
−
( ) ( )
2 2
27 3
x x

2 2
x
x x x x 2x
x x
2 2
2x 1 x 1
x x x x
4 2
2x 1
3.log x 2log x.
1
38) log (4 15.2 27) 2log 0.
4.2 3
39) 2 4.2 2 4 0.
40) 2 1 2 1 2 2 0.
41) log (2x x 1) log (2x 1) 4.
42) 3.8 4.12 18 2.27 0.
1 1
43) log (x 1) log x 2.
log 4 2
44)
+ −
− +
+
=
+ + + =
−
− − + =
− + + − =
+ − + − =

+ − − =
− + = + +
2
3
3
3 9x
3
x x 2
x
sin(x )
x
4
2
3x 1 2x x
x
3
2 1
2
log (x 1) log (2x 1) 2.
4
45) (2 log x)log 3 1.
1 log x
46) e e 2ln(x 1 x ).
2 1
47) log 1 x 2 . 48) e tan x.
| x |
49) 2 7.2 7.2 2 0.
1 6
50) 3 log (9x ).
log x x

51) 2log 2x 2 log (9x 1
−
π
−
+
− + − =
− − =
−
− = + +
−
= + − =
− + − =
+ = −
+ + −
3x 1
) log (3x 1).
−
= −

Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit

2

2

6
2
2 2 2
2x 1 x 1 x x 1
5

log (3x)
x x x 1 7
2 2
3x 7 2x 3
log (2x) log 6 log (4x )
2 7 2 7
3
52) 5.3 7.3 1 6.3 9 0.
53) 12.3 3.15 5 20. 54) x 36. x 0.
55) log (4x 12x 9) log (6x 23x 21) 4.
56) 4 x 2.3 .
57) log x 2log x 2 log x.log x.
58) log
− − +
+
+ +
− + − + =
+ − = − =
+ + + + + =
− =
+ = +
2
2
2
a 2 a 2
2
2 x 2
2
2 x 2
2 2

4 5
x x 3
( ) x 3x 2.
2x 4x 5
59) log x log x log xlog x.
60) (log 2x log 2x)log x
x 2
(log log )log
x 2.
2 x
61) log (x x 1).log (x x 1)

+ +
= + +
+ +
+ =
+ +
+ + =
− − + − =
2 2
2 2
2
20
x x 1 x
2 x 3
log 2x log x
2x 1 x 2
x 1 x
3
log x log 3

x x x
log (x x 1).
62) log (9 5.3 ) 4. 63) log (log (9 6)) 1.
64) 3 2 9 2 0. 65) 3 2 3 .
66) log (9 4.3 2) 3x 1.
67) 6.4 13.6 6.9 0. 68) 27 x 30.
68
+
− −
+
= − −
+ = − =
− − + = = +
− − = +
− + = + =
x x
2 2
x x x x x
x x x x
( 6 35) ( 6 35)
) log (2 4) x log (2 12) 3.
69) ( 3 8) ( 3 8) 6. 70) 3.4 2.9 5.6 .
71) 12. 72)4 6.2 32 0.
+ −
+ − = + −
+ + − = + =
+ = − + =
6. Cho phương trình
2
2 2

(x 1).log (x 3) 2m. 2x 2.log (x 3) m 1 0.
+ + − + + + + =
a) Giải phương trình khi m = -1.
b) Tìm m ñể PT có nghiệm trên
[
]
1;1 .
−
7. Tìm ñể ñể phương trình sau có nghiệm dương duy
nhất:
x x x
m( 5 1) (m 2)( 5 1) (2m 1).2 .
+ + + − = +

8. Cho phương trình
x x
4 4m.(2 1) 0.
− − =

a) Gi
ả
i PT khi m = 1.
b) Tìm m
ñể
PT có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ
u.
9. Ch

ứ
ng minh PT
x 2
4 (4x 1) 1
+ =
có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m
th
ự
c phân bi
ệ
t.
10. Tìm m
ñể
PT sau có nghi
ệ
m trên
[
)
32; :
+∞

2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 m(log x 3).
+ − = −

11. G
ả
i bi
ệ
n lu
ậ
n theo m ph
ươ
ng trình
2 2
x 2mx 2 2x 4mx m 2 2
a) 5 5 x 2mx m.
+ + + + +
− = + +

2
x mx
m x
x x
b) log m log m log m 0.
c) m 2 m 2 m.
+ + =
+ + − =

12. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn
1 2
2 x x 4:
< ≤ <

2
1 1
2 2
(m 1)log (x 2) (m 5)log (x 2) m 1 0.
− − − − − + − =

13. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn
2 2
1 2
x x 1:
+ >

2 2 2 2
4 1
2
2log (2x x 2m 4m ) log (x mx 2m ) 0.
− + − + + − =
14. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
5 2 5 2

log (x mx m 1) log x 0.
+ −
+ + + + =

15. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:
x x 1
(m 1).4 (3m 2).2 3m 1 0.
+
+ + − − + =


B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
16. Giải các bất phương trình
2 2
x 2x 1 x
1 1 3 x
2 2
x 1 x x 1
2 3
1 1 2 x 1
2 4
1 3
log x log x
2 2
x
1) log (4 4) log (2 3.2 ). 2) log x log 3.
3) 15.2 1 2 1 2 . 4) log x log (x 1).
5) log x 2.log (x 1) log 6 0. 6)log ( 2x) 2.
7) f '(x) 0 khi f(x) x log 2. 8) 2x 2 .
9

+
+ +
+
+ ≥ − >
+ ≥ − + ≤ +
+ − + ≤ − >
≤ = ≥
2 2
x x 2
5 5 5
1 x x x 1 1 x 1 x
2 4
0,5 2 16
2 x x x
1 4
3
2
x x 1
2 2
4
) log (4 144) 4log 2 1 log (2 1).
10) 8 2 4 2 5. 11) 5 5 24.
12) log x 4log x 2(4 log x ).
13) log x log x 0. 14) 25 15 2.9 .
15) log (2 1)log (2 2) 2.
16) log log
−
+ + + −
+
π

+ − < + +
+ − + > − >
+ ≤ −
+ > + ≥
− − >
2
2 2
2
2
x 1
x 2x
x x
x x x
2x 1
x x x
2 2
2 2
x x x x 2
(x 2x x) 0.
2 4x 16
17) 4. 18) 9 2.
x 2
1 1 4 2 2
19) (x 2x 1).( ) 0. 20) 0.
3 4 2 2
3
log x log (2x 1)
21) . 22) 5.4 +2.25 7.10 .
log (2x 1) log x
23) 8 3.2 16 0. 24)

−
−
−
− − +
 
+ − <
 
 
+ −
> −
−
+ −
− − − ≥ >
− −
+
≤ ≤
+
− − ≤
2x 1
2
log (2 1) x 1.
−
− ≤ −

Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit

3

3

2
1 5
5
x 1
2
x 1
x 1
1
2
x
x 3 1 2
3
3 1
3
2
x
25) log (x 6x 8) 2log (x 4) 0.
x 3x 2
26) log 0. 27) ( 5 2) ( 5 2) .
x
2x 3
28) log (log (9 72)) 1. 29) log (log ) 0.
x 1
30) 2.log (4x 3) log (2x 3) 2.
x 1 3
31) ln ln(x x 1) 0. 32) log (
2
−
−
+

− + + − <
− +
≥ + ≥ −
+
− ≤ ≥
+
− + + ≤
+
− − + >
2 2
2
5 5
2 2
1 2
2
2x 1 2x 1 x 2
x 3
3
2x 4x 2 2x x 1
2
x 4 2
x x 2
log x log x
x x
x 2
) 1.
x 2
1 1
33) log 2x 3x 1 log (x 1) .
2 2

34) 3 2 5.6 0. 35) log (3x) log x 11.
36) 2 16.2 2 0.
37) (log 8 log x ).log 2x 0.
2.3 2
38) 5 x 10. 39) 1.
3 2
40)
+ +
− − − −
+
+
>
+
− + + − ≥
− − ≤ + <
− − ≤
+ ≥
−
+ ≤ ≤
−
2
2
3 1 2
2 3
2 2
2
1 1
2 2
2 x 1 x x x 2 3
x

log (log ( 2log x 1) 3)
2
2
x
x 9 0,7 4
4 x 1 2
logx.(log x logx 3) 0.
41) (x 1)log x (2x 5)log x 6 0.
1
42) 3 6.3 ( ) .
3
1
43) ( ) 1.
3
x x
44) log (log (3 9)) 1. 45) log log 0.
x 4
46) x 8.e x(x
− − + − −
+ − +
−
+ − ≥
+ + + + ≥
+ >
≥
 
+
− ≤ <
 
 

+
 
− >
2
2 2
x 1
3 2
2 2
2
x 2 2 x
2 1
1
log x 4
x x
x 2x x x 2x x 1
x
2 0,5
.e 8).
47) log ( x 3 x 1) 2log x 0.
48) 3x 5x 2 2x
3 .2x. 3x 5x 2 (2x) .3 .
1 1
49) ( ) 3.( ) 12. 50) x 32.
3 3
51) 9 7.3 2.
31
52) log log (2
16
−
+

+
− − − − −
−
+ − − + ≤
− − + + >
> − − + +
+ > ≤
− ≤
−
2
x
2
1 1
5 5
5 25
) 2. 53)log (2x) 1.
54)log (x 5) 3.log (x 5) 6log (x 5) 2 0.
 
≤ ≥
 
 
− + − + − + ≤

17. Tìm m ñể BPT sau nghiệm ñúng với mọi x:
x x 1 2
2
m
a) 4 2(m 2).2 m 2m 2 0.
b) log (x 2x m 1) 0.
+

− + + + + >
− + + >

18. Cho bất PT
x x 2
m.4 (m 1).2 m 1 0.
+
+ − + − >

a) Giải bất phương trình khi
5
m .
6
=

b) Tìm m ñể bất PT nghiệm ñúng với mọi x.
19. Giải biện luận theo m bất phương trình
2 2
m m m
m m
2
1
2
1
a) log (log x) log (log x) log 2.
2
b) log (x mx 1) 1.
+ ≥
+ + <

20. Tìm m
ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i
(
]
[
)
x ;0 1; :
∀ ∈ −∞ ∪ +∞

2 2 2
x x x x 1 x x
m.4 (m 1).10 25 0.
− − + −
+ + − >

21. Cho bất PT
x x
m.9 4(m 1).3 m 1.
+ − + >

a) Giải BPT khi m = 2.
b) Tìm m ñể BPT nghiệm ñúng với mọi x.
22. Tìm tập xác ñịnh của hàm số
2
5
2
2 (2 x)
a) y 1 log (x 5.x 2).
b) y log (x 2).log 2 2.
:
−
= − +
= + −

23. Tìm m ñể hệ
3
2 3
2 2
x 1 3x m 0
1 1
log x log (x 1) 1
2 3

− − − <


+ − ≤



có nghi
ệ
m.
24. Tìm m
ñể
b
ấ
t PT sau nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x 0:
≤

x 1 x x
m.2 (2m 1).(3 5) (3 5) 0
+
+ + − + + <

25. Tìm m
ñể
b
ấ
t ph
ươ

ng trình sau có nghi
ệ
m
2 2
x m x m
log (x 1) log (x x 2).
− −
− > + −

26. Tìm x > 1
ñể
BPT
2
2(x x)
m
log (x m 1) 1
+
+ − <
nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
0 m 4.
< ≤

C. BÀI T
Ậ
P H
Ệ
PH
ƯƠ
NG TRÌNH M
Ũ
- LOGARIT
27. Ch
ứ
ng minh v
ớ
i m
ọ
i a > 0 h
ệ
PT sau có nghi
ệ
m
duy nh
ấ
t
x y
e e ln(1 x) ln(1 y)
.
y x a

 − = + − +


− =



28. Ch
ứ
ng minh HPT sau có nghi
ệ
m d
ươ
ng duy nh
ấ
t
x
2
y
2
y
e 2007
y 1
.
x
e 2007
x 1

= −

−




= −

−


Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit

4

4

29. Giải các hệ phương trình
3x 2
2 y 1
x x 1
2 x 1
x
2 5y 4y
x x 2x 2 3 1
1) . 2) .
4 2
y
y y 2y 2 3 1
2 2
−
+
−


= −

+ − + = +


 
+
=
 
+ − + = +

 +
y x
x y
4 2
x 4 y 3 0
log xy log y
3) . 4) .
log x log y 0
2 2 3

 − + =
=
 
 
− =
+ =






3 2
x y
x
3 2
x y
y
log (x 2x 3x 5y) 3
6 2.3 2
5) . 6) .
log (y 2y 3y 5x) 3
6 .3 12


+ − − =
− =
 
 
+ − − =
=
 



x y
1 4
4
2 2
1

log (y x) log 1
2 3.2 2 0
y
7) . 8) .
y 1 x y 1
x y 25

− − =


− + =

 
− = − −
 

+ =

x x
x y
2 2
x 2
5
2
2 log y 2 .log y 5
3 .2 1152
9) . 10) .
log (x y) 2
4 log y 5
−



+ + =
=
 
 
+ =
+ =




x
2 3
y
9 3
log (6x 4y) 2
x 1 2 y 1
11) . 12) .
log (6y 4x) 2
3log (9x ) log y 3

+ =
− + − =

 
 
+ =

− =




2 2
2
2 2
4 2
ln(1 x) ln(1 y) y x
log (x y ) 5
13) . 14) .
x 12xy 2y 0 2log x log y 4
+ − + = −


+ =
 
 
− + = + =




2 2
2 2
x y x 1
ln(1 x) ln(1 y) x y
15) .
x 12xy 2y 0
x y y x
16) .

2 2 x y
+ −
+ − + = −



− + =



+ = +


− = −



17)
2 2
5 5
9x y 5
.
log (3x y) log (3x y) 1

− =


+ − − =



18)
2 3
2 3
log x 3 5 log y 5
.
3 log x 1 log y 1

+ − =


− − = −



19)
2x y
2x y
2
2 2
3.( ) 7.( ) 6
.
3 3
log(3x y) log(y x) 4log2 0
−
−


+ −



− + + − =


20)
x y
2 2
2 2 (y x)(xy 2)
.
x y 2

− = − +


+ =



21)
2
x 1 y y 2
ln x ln y (y x)(xy 2011)
.
2 2 (2x y 1)
− −
− = − +



− = − −




22)
x y
2 2
2 2
e e (log y log x)(xy 1)
.
x y 1

− = − +


+ =



23)
2 2
3 3
2log (x 16) log (x 16)
2 2 24
.
3x 1
cos 0
x 4
− −

+ =



+
<

 −

D. BẤT ðẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN
LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ MŨ – LOGARIT
30. Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng
a b c a b c
1 1 1 a b c
3( ).
3 3 3 3 3 3
+ + ≥ + +

31. Cho a, b, c d
ươ
ng và tho
ả
mãn a + b = c. CMR:
a) N
ế
u x > 1 thì
x x x
a b c .
+ <

b) N
ế

u x < 1 thì
x x x
a b c .
+ >

32. So sánh hai s
ố

e
π
và
e
.
π

33. Cho a > 0, b > 0, x > y > 0, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
x x y y y x
(a b ) (a b ) .
+ < +

34. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

1
1
sin x cosx
2
3x
1
2sinx tan x
2
2
x
2
x
a) 2 2 2 , x .
b) 2 2 2 , x (0; ).
2
x
c) e 1 x , x 0.
2
x
d) e cosx 2 x , x .
2
−
+
+ ≥ ∀ ∈
π
+ ≥ ∀ ∈
> + + ∀ >
+ ≥ + − ∀ ∈
ℝ

ℝ

35. Tìm GTLN, NN c
ủ
a hàm s
ố

x
a) y 2
=
trên
ñ
o
ạ
n
[
]
1;1 .
−
b) y xln x
=
trên ñoạn
1
;1 .
e
 
 
 

2

c) f(x) x ln(1 2x)
= − −
trên
ñ
o
ạ
n
[
]
2;0 .
−

d) f (x) x lnx 3
= − +
trên kho
ả
ng
(
)
0; .
+∞

2
ln x
e) g(x)
x
=
trên ñoạn
3
1;e .

 
 

36. Cho hàm số
2x 1
2x 1
a
f(x)
1 a
−
−
=
+
v
ớ
i a là h
ằ
ng s
ố

d
ươ
ng. V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ

ng n ta
ñặ
t
n
1 2 2n
A f( ) f( ) f( ).
2n 1 2n 1 2n 1
= + + +
+ + +

Chứng minh rằng
2
n
n 2n 2
A ln( ), n *.
2
+ +
> ∀ ∈
ℕ

37. Chứng minh rằng
2 2
a) a lnb b lna lna ln b,
− > −
với 0 < a < b < 1.
a a b b b a
b) (2 2 ) (2 2 ) ,
− −
+ ≤ +
với

a b 0.
≥ >

a b c a b c
c) 27 27 27 3 3 3 ,
+ + ≥ + +
với a + b + c = 0.