Hàm số mũ - logarit mới soạn(hay)

TRUNG TM BDVH & LUYN THI I HC * 583 TRN CAO VN N * T: 0511.3711.165
THNH T
* 727 TRN CAO VN N * T : 0511.3759.389

PHAN I
LY THUYET VAỉ BAỉI TAP CHệễNG TRèNH 12
A. Lí THUYT CN NM
I. NH NGHA LU THA V CN
S m

C s a
Lu tha
a


= n

Ơ
a

Ă
a

=
a
n
=
{
. ...
n
a a a

= 0 a 0
a

=
a
0
= 1

= - n

Ơ
a 0
a

=
a
n
=
1
n
a
( , )
m
m n
n


=
 Ơ

a > 0
m
m
n
n
a a a

= =
lim ( , )
n n
r r n


=
Ô Ơ
a > 0
a

=
lim
n
r
a
* nh ngha cn:
b c gi l cn bc n ca a nu b
n
= a
+ Vi n nguyờn dng l v a l s thc bt k, ch cú duy nht mt cn bc n
ca a kớ hiu l
n

a
.
+ Vi n nguyờn dng chn v a l s thc dng, cú ỳng hai cn bc n ca
a l s i nhau: Cn dng kớ hiu l
n
a
, cn õm kớ hiu -
n
a
II. TNH CHT CA LU THA VI S M THC
Vi a > 0, b > 0,
, p q Ă
ta cú:
a
p
.a
q
= a
p+q

p
q
a
a
= a
p q
(a
p
)
q

= a
pq
(a.b)
p
= a
p
.b
q
(
)
p
p
p
a a
b b
=
Vi a > 1, a
p
> a
q


p > q
Vi 0 < a < 1, a
p
> a
q


p < q

HM: LY THA M - LễGARIT Trang 1 Biờn son: TRNG NHT Lí
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

* Một số hệ quả:
• 0 < a < b và m là số nguyên thì
+ a
m
< b
m

⇔
m > 0
+ a
m
> b
m

⇔
m < 0
• a, b > 0: a
n
= b
n

⇔
a = b
• Các tính chất về căn bậc n: a, b ≥ 0, n, k ∈ N
*

ta có:
1)
.
n n n
ab a b=
2)
n
n
n
a a
b
b
=
3)
( )
k k
n
n
a a=
4)
m
n mn
a a=
5) n là nguyên dương lẻ và a < b thì
n n
a b<

6) n là nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
n n
a b<

7) Nếu n lẻ thì
n
n
a a=
và nếu n chẵn
| |
n
n
a a=
,
a∀ ∈ ¡
III. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT
• Với số 0 < a ≠ 1, b > 0:
• lgb =
α

10 b
α
⇔ =
• lnb =
α

e b
α
⇔ =
IV. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT
Với giả thiết các biểu thức được xét đều có nghĩa:
•
log
a

1 = 0;
log
a
a = 1; a
log
a
b
= b
•
log
a
(b.c) =
log
a
b +
log
a
c ;
log
a
(
b
c
) =
log
a
b -
log
a
c

•
log
a
b
α
=
α
log
a
b
Đặc biệt:
log
a
1
b
= -
log
a
b ;
log
a
n
b
=
1
n
log
a
b
•

log
log
log
a
b
a
c
c
b
=
hay
log .log log
a b a
b c c
=
Đặc biệt:
1
log
log
a
b
b
a
=
;
1
log log
a
a
b b

α
α
=
• Khi a > 1 thì
log
a
b >
log
a
c
⇔
b > c > 0
• Khi 0 < a < 1 thì
log
a
b >
log
a
c
⇔
0 < b < c
V. HÀM SỐ MŨ y = a
x
(0 < a ≠ 1)
1. TXĐ của hàm số là R
2. • ∀x ∈ R, a
x
> 0 ⇒ TGT là (0; + ∞) ;
HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 2 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ
log

a
b a b
α
α
= ⇔ =
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

• a
0
= 1 ; 1
x
= 1
3.
1
x
a
.
2
x
a
=
21
xx
a
+
;
4.
2

1
x
x
a
a
=
21
xx
a
−
5. (
1
x
a
)
2
x
=
21
x.x
a
6.(ab)
x
= a
x
.b
x
,
x
x

x
b
a
)
b
a
(
=
7. • Khi a > 1 thì hàm y = a
x
đồng biến trên R và
0alim ; alim
x
x
x
x
=+∞=
∞−→∞+→
• Khi 0 < a < 1 thì hàm y = a
x
nghịch biến trên R và
alim ; 0alim
x
x
x
x
+∞==
∞−→∞+→
VI. HÀM SỐ LÔGARIT y = log
a

x (0 < a ≠ 1, x > 0)
1. Tập xác định (0; + ∞)
2. Tập giá trị là R

3. Với x > 0 thì:
4. log
a
a = 1 , log
a
1 = 0
5. a
log
x
a
= x (x >0); log
a
a
x
= x
6. • log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log

a
x
2
(x
1
, x
2
> 0)
• log
a
2
1
x
x
=
log
a
x
1
- log
a
x
2

7. log
a
x
α
= α log
a

x (x > 0)
8.
xlog
α
1
xlog
a
a
α
=

(x > 0)
9. log
a

x =
alog
xlog
b
b
(x > 0)
10. • Khi a > 1 thì hàm y = log
a
x đồng biến trên (0; + ∞) và


0
limlog ; limlog
a a
x

x
x x
+
→+ ∞
→
= −∞ = +∞
• Khi 0 < a < 1 thì hàm y = log
a
x nghịch biến trên (0; + ∞) và


0
limlog ; limlog
a a
x
x
x x
+
→ + ∞
→
= +∞ = −∞

HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 3 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ
y = log
a
x ⇔ x = a
y
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

VII. HÀM LUỸ THỪA y = x
α
(α ∈R)
• Hàm số y = x
α
có TXĐ D = (0; +
∞
), Trừ các trường hợp sau:
+ Nếu α nguyên dương thì TXĐ D = R
+ Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì hàm số có TXĐ là D = R\{0}
• Hàm số y = x
α
(Với a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (0; +
∞
) nếu α > 0; nghịch
biến trên (0; +
∞
) nếu α < 0.
• Đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm (1; 1).
VIII. GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT
•
( )
( ) 0
1
lim 1
( )
u x
u x
e

u x
→
−
=
•
( ) 0
ln[1 ( )]
lim 1
( )
u x
u x
u x
→
+
=
•
( ) 0
sin ( )
lim 1
( )
u x
u x
u x
→
=
IX. BẢNG ĐẠO HÀM CẦN NHỚ (Với hàm u = u(x) có đạo hàm)
Nhóm Đạo hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
Đạo hàm của các hàm số sơ
cấp cơ bản

Đa
Thức

'
u .
1 α
α.u
'
)
α
(u
−
=

2
u
'
u
'
)
u
1
(
−=

u2
'
u
'
)u(

=
1 α
α.x
'
)
α
(x
−
=
2
'
x
1
)
x
1
(
−=

x2
1
'
)x(
=
Mũ (e
u
)
’
= u
’

.e
u
(a
u
)
’
= u
’
.a
u
.lna
(e
x
)
’
= e
x
(a
x
)
’
= a
x
.lna
Lôgarit
(ln|u|)
’
=
u
u

'
u.lna
'
u
'
|)u|
a
(log
=
(ln|x|)
’
=
x
1
x.lna
1
'
|)x|
a
(log
=
X. CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PT, BPT MŨ VÀ LÔGARIT
1. a
f(x)
= a
g(x)
⇔
f(x) = g(x) (0 < a 1)
a = 1




≠
HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 4 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

2. log
a
[f(x)] = g(x) ⇔





=
≠<
)x(g
a)x(f
1a0

3. log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔






=
>>
≠<
)x(g)x(f
0)x(g hay 0)x(f
1a0
4. • Nếu a > 1 thì ta có: a
f(x)
≥ a
g(x)
⇔ f(x) ≥ g(x)
• Nếu 0 < a < 1 thì ta có: a
f(x)
≥ a
g(x)
⇔ f(x) ≤ g(x)
• Tổng quát ta có: a
f(x)
≥ a
g(x)
⇔
a 0

(a 1)[f (x) g(x)] 0
>


− − ≥


5. • Nếu a > 1 thì ta có: log
a
f(x) ≥ log
a
g(x) ⇔
g(x) 0
f (x) g(x)
>


≥

• Nếu 0 < a < 1 thì ta có: log
a
f(x) ≥ log
a
g(x) ⇔
f (x) 0
f (x) g(x)
>


≤

• Tổng quát ta có: log
a
f(x) ≥ log
a
g(x) ⇔

a 0
f (x) 0, g(x) 0
(a 1)[f (x) g(x)] 0
>


> >


− − ≥

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
§1. LUỸ THỪA
1.1. Đơn giản biểu thức
a)
3 2
3
a a−
, với a < 0 b)
4 7
7
4
2a a+
, với a ≥ 0
c)
5 6
5 6
a a−
, với a ≥ 0 d)
3 8

3 8
3a a+
, với a < 0
1.2. Đơn giản biểu thức
a)
6 12 2 5
3
5
x y ( )xy
−
b)
4 4
3 3
3 3
a b ab
a b
+
+
c)
1
4
4
3 1
4 2
1
1
1
a a a
a
a

a a
− +
× × +
+
+
d)
2
3
1 4 1 1
( )( )
2
2 2 2 2
m m
m
m m
+
− − +
+ +
1.3. Tính giá trị của biểu thức
HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 5 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

a) 81
-0,75
+
1 3
3 5
1 1

( ) ( )
125 32
− −
−
b)
1
3
0,001
−
- (-2)
-2
.
2 1
1
0 2
3 3
64 8 (9 )
−
− +
c)
2
0,75 0,5
3
1
27 ( ) 25
16
−
+ −
d) (-0,5)
-4

– 625
0.25
– (
1
1
2
1
2 )
4
−
+ 19.(-3)
-3
1.4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa:
a) (-2)
-1/5
b) (-3)
-6
c) 5
3/4
d) 0
-3
1.5. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức
a) (x + 2)
-4/7
b) x
1/3
c) x
-1/4
d) (x-3)
2/3

1.6. Tìm x để đẳng thức đúng
a) (x
1/6
)
6
= x b) (x
1/4
)
4
= -x c) (x
1/8
)
8
=
1
| |x
d)
3
1
0,7
7
( )x
= -x
1.7. Biến đổi thành dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (a, b, x > 0)
a)
3
4
3 2
5
a a a a a

b)
5 3
7
1
2
8
ax
c)
5
3
4
a a
d)
3
8
4
b b
e)
4
3
1
27
3
a
1.8. Viết dưới dạng chỉ còn một dấu căn của
2 3−
1.9. Khử căn ở mẫu của các biểu thức
a)
3
1

2 3+
b)
1
2 3 5+ +
1.10. Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính:
3 3
847 847
6 6
27 27
+ + −
1.11. Tính giá trị của biểu thức
a)
3
0
5
12
2. 2
4
π
×
b)
7
3
12
0
3
9
3e
×
1.12. Hãy so sánh

a)
5
2
5
( )
7
−
và 1 b)
12
2
−
và
2,5
1
( )
2
c)
2
3
−
và 1 d)
5
6
0,7
và
1
3
0,7
1.13. Hãy tính
a)

3 3
(( 3) )
b)
1 2 3 1 3
4 .16
− +
c)
2 3 2
27 :3
d)
5
5
8 4
(2 )
1.14. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) y =
3
x x− +
b)
2
sin
(0,5)
x
y
=
1.15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) y = 2
x
+ 2
-x

b) y = 2
x-1
+ 2
3-x
c)
2
1
x
x
y e
+
=
d) y =
2 2
sin cos
5 5
x x
y
= +
HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 6 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

1.16. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
4 2
4
1
2

( 2)
ax x a− −
−
=
1.17. Tìm a thoả mãn các đẳng thức sau
a) 4.2
3a
=
2
2
0,25
a
b)
2
3 5
0,2 25
b b−
=

1.18. Đơn giản các biểu thức sau
a)
2 2 1
1
.( )a
a
−
b)
2 4
4
. :a a a

π π
c)
3 3
( )a
d)
3
2 1,3 3 2
. :a a a
1.19. Đơn giản các biểu thức sau
a)
2 2 2 3
2 3 2
1
( )
a b
a b
−
+
−
b)
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
( 1)( )a a a a
a a
− + +
−
c)
5 7
2 5 5 7 2 7
3 3 3 3

a b
a a b b
−
+ +
d)
1
2
( ) (4 )a b ab
π π π
π
+ −
§2. LÔGARIT
2.1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức
a)
2
0,2
log (7 )x
−
b)
2
2
log ( 7)x −
c)
2
1
4
log ( )x−
d)
3
0,7

log ( 2 )x
−
2.2. Biết rằng log
5
2 = a và log
5
3 = b. Tính các lôgarit sau theo a và b
a) log
5
72 b) log
5
15 c) log
5
12 d) log
5
30
2.3. Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau đây (với a, b>0), rồi viết dưới dạng
tổng hoặc hiệu các lôgarit
a)
2
3
5
3
( )a b
b)
10
0,2
5
6
( )

a
b
−
c) 9a
4
5
b
d)
2
7
27
b
a
2.4. Tính giá trị các biểu thức
a)
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
(81 25 ).49
−
+
HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 7 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

b)

2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
c) 72(
7 7
5
1
log 9 log 6
log 4
2
49 5 )
−
−
+
2.5. Hãy so sánh
a) log
2
10 và log
5
30 b) log
0,3
2 và log
5

3
c) log
3
5 và log
7
4 d) log
3
10 và log
8
57
2.6. Tính giá trị của biểu thức
a) log
2
2
sin
12
π
+log
2
cos
12
π
b) log
4
3
3
( 7 3)−
+ log
4
3

3 3
( 49 21 9+ +
)
c) log
10
tan4 + log
10
cot4 d) log
π
(
5 2 6+
) + log
π
(
5 2 6−
)
2.7. Chứng minh rằng
a)
1 3
2
1
log 3 log
2
+
< -2 b)
5 5
log 7 log 4
4 7=
c) log
3

7 + log
7
3 > 2 d)
log log
b b
c a
a c=
(điều kiện xác đinh lôgarit)
2.8. Biết log
a
x = α, log
b
x = β, log
c
x = γ. Tính log
abc
x.
2.9. a) Biết log
7
12 = a, log
12
24 = b. Tính log
54
168.
b) Biết log
6
15 = a, log
12
18 = b. Tính log
25

24.
2.10. Đơn giản rồi tính giá trị biểu thức A khi x = -2.
A =
2
4
4 4
log 2log (4 )
4
x
x−
2.11. Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam
giác vuông, trong đó c – b ≠ 1 và c + b ≠ 1. Chứng minh rằng:
log
c+b
a

+ log
c-b
a

= 2log
c+b
a.log
c-b
a
2.12. Hãy tính
a) lg(2 +
3
)
20

+ lg(2 -
3
)
20
b) 3lg(
2
+ 1) + lg(5
2
- 7)
HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 8 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ
TRUNG TÂM BDVH & LUYỆN THI ĐẠI HỌC * 583 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT: 0511.3711.165
THÀNH ĐẠT
* 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN * ĐT : 0511.3759.389

c) ln
e
+ln
1
e
d) 5lne
-1
+ 4ln(e
2
e
)
2.13. Hãy so sánh 2lne
3
với 8 - ln
1
e

.
2.14. a) Biết lg3 ≈ 0,4771. Tính log
81
90.
b) Biết lg2 ≈ 0,301, ln10 ≈ 2,302. Tính ln2.
2.15. Biết lg3 = p, lg5 = q. Chứng minh rằng: log
15
30 =
1 p
p q
+
+
§3. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA
3.1. Các hàm số sau đây đồng biến hay nghịch biến trên TXĐ của nó
a) y = (
2
e
)
x
b) y =
4
( )
5 4
x
+
c) y = 2
-x
1
( )
6 5

x
−
d) y =
( 11 10) .( 11 10)
x x
− +
e) y =
3
log x
f) y =
1
3
log x
g) y =
4
log x
π
h) y =
1
5( 6 5)
log x
−
i) y =
2 2
3
x x−
−
k) y =
1 1
2 2

log log ( 1)x x− +
3.2. Tìm các giới hạn sau:
a)
3
0
1
lim
x
x
e
x
→
−
b)
2 3
0
lim
5
x x
x
e e
x
→
−
c)
5
lim(2 3 )
x x
x→
−

d)
1
lim( )
x
x
xe x
→∞
−

3.3. Tìm các giới hạn sau:
a)
3
9
limlog
x
x
→
b)
0
ln(4 1)
lim
x
x
x
→
+
c)
0
ln(3 1) ln(2 1)
lim

x
x x
x
→
+ − +
d)
0
ln(3 1)
lim
sin 2
x
x
x
→
+
e)
5 3 3
0
lim
2
x
x
e e
x
+
→
−
f)
0
1

lim
1 1
x
x
e
x
→
−
+ −
g)
3
0
ln( 1)
lim
2
x
x
x
→
+
h)
0
ln(1 2 )
lim
tan
x
x
x
→
+

3.4. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên tập xác định
a) y = (x
2
– 2x + 2)e
x
b) y = (sinx – cosx).e
2x
c) y =
x x
x x
e e
e e
−
−
−
+
HÀM: LŨY THỪA –MŨ - LÔGARIT Trang 9 Biên soạn: TRƯƠNG NHẬT LÝ