Tat Ca Bai Tap Lop 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.52 MB, 54 trang )
01698244765 TP BMT
1
Phần Đại Số
Bài 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề và mệnh đề đó đúng hay sai :
a/ Ở đây là nơi nào ?
b/ Phương trình x
2
+ x – 1 = 0 vô nghiệm
c/ x + 3 = 5
d/ 16 không là số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau :
a/ “Phương trình x
2
– x – 4 = 0 vô nghiệm ”
b/ “ 6 là số nguyên tố ”
c/ “nN ; n
2
– 1 là số lẻ ”
Bài 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề A, B và tìm phủ định của nó :
A = “x R, x
3
> x
2
”
B = “ x N: x chia hết cho x +1”
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
a/ P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b/ P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c/ P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ Góc B = 45
0
”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P Q bằng 2 cách và và xét tính đúng sai của nó
a/ P: “ABCD là hình bình hành ” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b/ P: “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 9
2
+ 1 là số nguyên tố ”
Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a/ P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD”
b/ Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 60
0
là tam giác đều”
c/ R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo :
- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A B
Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x > x
2
”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a/ P(1) b/ P(
1
3
) c/ xN, P(x) d/ x N: P(x)
Bài 8: Phát biểu mệnh đề A B và A B của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai
a/ A: “Tứ giác T là hình bình hành ”
B: “Hai cạnh đối diện bằng nhau”
b/ A: “Tứ giác ABCD là hình vuông ”
B: “Tứ giác có 3 góc vuông”
c/ A: “x > y ”
B: “x
2
> y
2
” ( Với x y là số thực )
d/ A: “Điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy ”
B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập phủ định của nó :
a/ xN, x
2
2x
b/ x N: x
2
+ x không chia hết cho 2
c/ xZ, x
2
– x – 1 = 0
Bài 10 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng
a/ A: “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
b/ B: “ Tam giác cân có 1 góc = 60
0
là tam giác đều ”
c/ C: “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương
d/ D: “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 11: Phát biểu thành lời các mệnh đề x, P(x) và x: P(x) và xét tính đúng sai của chúng:
01698244765 TP BMT
2
a) P(x) : “x
2
< 0” b)P(x) :“
1
x
> x + 1” c) P(x) : “
2
x4
x2
= x+ 2” d) P(x): “x
2
-3x + 2 > 0”
Bài 12: Xét tính đúng, sai của mỗi mệnh đề sau :
a)
:Qx
2
4x 1=0
;
b)
2
,3xx Z
;
c)
32:
*
n
Nn
là một số nguyên tố ;
Bài 13: Cho số tự nhiên n. Xét hai mệnh đề chứa biến :
A(n) : “n là số chẵn”, B(n) : “n
2
là số chẵn”.
a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n)
B(n). Cho biết mệnh đề này đúng hay sai ?
b) Hãy phát biểu mệnh đề “
, ( ) ( )n N B n A n
”.
c) Hãy phát biểu mệnh đề “
, ( ) ( )n N A n B n
”.
Bài 14: Cho các mệnh đề :
A : “Nếu ABC đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì h =
3
2
a
” ;
B : “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông” ;
C : “15 là số nguyên tố” ;
D : “n
2
+ n + 1 không chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n”.
a) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A
B, A
D, B
C.
b) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A
B, B
C, B
D.
Bài 15:
Cho định lí : “Cho số tự nhiên n. Nếu n
5
chia hết cho 5 thì n
chia hết cho 5”. Định lí này được viết dưới dạng P
Q.
a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q.
b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”.
c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”.
d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát
biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo.
Bài 16:
Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Với n là số nguyên dương, nếu n
2
chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng
2
là số vô tỷ
c) Với n là số nguyên dương , nếu n
2
là số lẻ thì n là số lẻ
d) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu n
2
+ 2 chia hết cho 5 thì n không chia hết 5.
Bài 17: Viết lại mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó
a) A là tập hợp các nghiệm của phương trình x
4
– 4x
2
+ 3 = 0 ;
b) B là tập hợp các ước nguyên dương của 30 ;
c) C = {x
Z
| (x + 3)(2x
2
–3x + 1) = 0} ;
d) D =
2
x N |4 x 25
e) E =
x |x 4k,k N,k 5 Z
.
Bài 18: Cho A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, B = {2 ; 4 ; 6 ; 8} và
E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … ; 10}.
01698244765 TP BMT
3
a) Xác định các tập A B, A B, A \ B, B \ A,
E
AC
,
E
BC
;
b) Bằng cách liệt kê phần tử các tập hợp hãy chứng tỏ rằng :
(A B)\(A B)=(A\B) (B\A)
;
E
AC
E
BC
=
E
A B)(C
.
Bài 19: Cho A = {x R/ x
2
+x – 12 = 0 và 2x
2
– 7x + 3 = 0}
B = {x R / 3x
2
-13x +12 =0 hay x
2
– 3x = 0 }
Xác định các tập hợp sau
A B ; A \ B ; B \ A ; AB
Bài 20: Cho A = {xN / x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định: AUB ; AB ; A\B ; B\ A
b) CMR : (AUB)\ (AB) = (A\B)U(B\ A)
Bài 21:Cho A = {x R/ x 4} ; B = {x R / -5 < x -1 8 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 22: Cho A = {x R/ x
2
4} ; B = {x R / -2 x +1 < 3 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 23:
a) Xác định các tập hợp X sao cho{a ; b} X {a ; b ;c ;d ; e}
b) Cho A = (1 ; 2}; B = {1 ; 2 ; 3; 4; 5}
Xác định các tập hợp X sao cho A X = B
c) Tìm A; B biết A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10}
Bài 24: Cho A = {xR/ x -3 hoặc x >6 } B = {xR / x
2
– 25 0} Viết các tập hợp sau dưới
dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A\B ; B\ A ; R \ ( AB); R \ (AB) ; R \(A\B)
Bài 25: Cho A = {x R/ x
2
4} ; B = {x R / -3 x < 2 } Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng A B; A \ B ; B \ A; R \ ( AB)
Bài 26: Viết phần bù trong R của các tập hợp sau : A = {xR / – 2 x < 1 0}
B = {xR / x> 2} C = {xR / -4 < x + 2 5}
Bài 27:Cho A = {x Z / x
2
< 4} B = { xZ / (5x - 3x
2
)(x
2
-2 x - 3) = 0}
a) Liệt kê A ; B
b) CMR (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A)
Bài 28: Cho E = { xN / 1 x < 7}
A= { xN / (x
2
-9)(x
2
– 5x – 6) = 0 }
B = { xN / x là số nguyên tố 5}
a) Chứng minh rằng A E và B E
b) Tìm C
E
A ; C
E
B ; C
E
(AB)
c) Chứng minh rằng: E \ (A B)= (E \A) ( E \B)
E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B)
Bài 29. Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây :
a)
a 17658 16
; b)
a 15,318 0,056
.
01698244765 TP BMT
4
Bài 30. Cho số
2
x
7
=
. Cho các giá trị gần đúng của
x
là :
0,28; 0,29 ; 0,286.
Hãy xác định sai số tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết
giá trị gần đúng nào là tốt nhất.
Bài 31. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau :
a 12cm 0,2cm
;
b 10,2cm 0,2cm ; c 8cm 0,1cm.
Tính chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu
vi qua phép đo.
Bài 32. Số dân của một tỉnh là A = 1034258
300±
(người). Hãy tìm các chữ số chắc và viết A dưới dạng
chuẩn.
Bài 33. Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo
d = 192,55 m, với sai số tương đối không vượt quá 0,3%.
Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị
gần đúng của d.
Bài 34. Cho
3,141592 3,141593
.
Hãy viết giá trị gần đúng của số
dưới dạng chuẩn và đánh giá
sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này trong mỗi trường hợp
sau :
a) Giá trị gần đúng của
có 5 chữ số chắc ;
b) Giá trị gần đúng của
có 6 chữ số chắc ;
c) Giá trị gần đúng của
có 3 chữ số chắc.
Bài 35. Đo diện tích một căn phòng, ta được kết quả là
22
16m 0,1m±
, đo diện tích một cái sân, có kết quả là
22
150m 0,8m±
. Hãy tính sai số tương đối của từng phép đo và
cho biết phép đo nào có độ chính xác cao hơn.
Bài 36. Xác định các chữ số chắc và nêu cách viết chuẩn mỗi số sau đây :
a)
0,0385 0,004±
; b) 0,5323
±
0,002 ;
c)
123,89 0,0006±
; d)
3757 30±
.
Bài 37. Một hình chữ nhật có hai kích thước
x = 4,3
±
0,02 (m) ; y = 6,34
±
0,01 (m).
Tính chu vi của hình chữ nhật và viết kết quả gần đúng dưới dạng chuẩn.
Bài 38. Tìm tập xác định của các hàm số :
a)
2
y x 2x 6 x 3
; b) y = x
2
+ 7x 3 ; c) y =
2x 13
x7
;
d) y =
2
11 3x
x 9x 14
; e) y =
3
x7
(x 3)(x 2)
; f) y =
2
4x 1 khi x 2
11 4x khi x 2
;
g) y =
2
x(x 1)
x
. h)
2
x1
y
x 2 x 1
Bài 38. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
01698244765 TP BMT
5
a) y =
2x
; b) y =
x5
; c) y =
3x 5
x7
; d) y =
3
5 3x
;
e) y =
3x 5
7
; f) y =
x3
+
5x
; g) y =
3x 5
x2
;
h) y =
2
3x 5
x x 1
; i)
2
x1
y
x x 1
; j)
22
2
x 4x 4 x 6x 9
y
x x 1
.
Bài 39. Xét sự biến thiên của mỗi hàm số :
a) y =
4
x1
; b) y =
1
x
; c) y =
2
1
x
. d)
2x
y
x1
;
e)
2
y x 4x 3
; f)
43
y 3x 4x
(chỉ xét trên
1;
).
Bài 40. Điền dấu vào ô thích hợp trong bảng sau :
Hàm số
chẵn
lẻ
không chẵn, không lẻ
a) y =
2
xx
b) y = x
5
2x
3
7x
c) y =
2
x
x3
d) y =
2
2
x
x1
e) y =
2
x
x1
Bài 41. Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số sau :
a)
1
x
f (x)
x2
; b)
2
2
x1
f (x)
x 6x 13
;
c)
3
f x 2x 1 2x 1
; d)
4
x 1 x 1
fx
x 1 x 1
. e)
2
5
f x x 1
.
Bài 42. Viết phương trình của đường thẳng đi qua 2 điểm B(1 ; 4) và C(2 ; 3). Vẽ đường thẳng vừa
tìm được.
Bài 43. Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai
đường thẳng y = 2x + 1, y = 3x 4 và song song với đường
thẳng y =
2
x + 15.
Bài 44. Viết phương trình đường thẳng (d).
a) Đi qua hai điểm
A 3;0
và
B 0;4
. b) Đi qua
A 3;4
và
d //Ox
.
c) Đi qua
A 2; 3
và
d // : y 4x 3
. d) Đi qua
A 2;3
và
3
d : y x
2
.
e) Đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc
m
.
01698244765 TP BMT
6
Bài 45.
a/ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) =
2x khi x 1
x 1 khi x 1
.
b/ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) =
2x 1 nãúu x 1
2 x nãuú x 1
.
Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt ? Tìm toạ độ giao
điểm của hai đồ thị theo m.
Hàm Số Bậc Hai
Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
y = x
2
+ x – 3 y = -2x
2
+ 4x – 2 y = x
2
+ 6x + 3 y = x
2
-x + 4
y = x
2
+ x +4 y = -x
2
+ x – 3 y = x
2
+6 x +9 y =
2
1
x
2
y =
3
2
x
2
y = x
2
+ 1 y = 2x
2
+ 3 y = x(1 x)
y = x
2
+ 2x y = x
2
4x + 1 y = x
2
+ 2x 3 y = (x + 1)(3 x)
1) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số
a/ y = x
2
+ 4x + 4 và y = 0
b/ y = x
2
+ 2x + 3 và y = 2x + 2
c/ y = x
2
+ 4x 4 và x = 0
d/ y = x
2
+ 4x 1 và y = x 3
e/ y = x
2
+ 3x + 1 và y = x
2
6x + 1
2) Cho parabol y = ax
2
+ bx + c ( với a< c < 0 ) thì đồ thị của parabol đó:
a) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ cùng dấu b) tiếp xúc với trục hoành
c) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ trái dấu d) Cả 3 đều sai
3) Với giá trị nào của m thì đỉnh đồ thị y = x
2
+ x + m nằm trên đường thẳng y =
4
3
4) Tìm Parabol y = ax
2
+ 3x 2, biết rằng Parabol đó :
a/ Qua điểm A(1; 5) b/ Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2
c/ Có trục đối xứng x = 3 d/ Có đỉnh I(
2
1
;
4
11
)
e/ Đạt cực tiểu tại x = 1
5) Tìm Parabol y = ax
2
+ bx + c biết rằng Parabol đó :
a/ Đi qua 3 điểm A(1; 2) ; B(2; 0) ; C(3; 1)
b/ Có đỉnh S(2; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
c/ Đạt cực đại tại I(1; 3) và đi qua gốc tọa độ.
d/ Đạt cực tiểu bằng 4 tại x = 2 và đi qua B(0; 6)
e/ Cắt Ox tại 2 điểm có hoành độ là 1 và 2, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 2
6) Cho hàm số y = 2x
2
+ 2mx + m 1
01698244765 TP BMT
7
a/ Định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
b/ Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) khi m = 1
c/ Tìm giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng y = x 1
d/ Vẽ đường thẳng này trên cùng hệ trục tọa độ của (P)
7) Cho (P) : y = x
2
3x 4 và (d) : y = 2x + m.Định m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt.
8) Cho (P) : y =
4
x
2
+ 2x 3 và (d) : x 2y + m = 0.Định m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Xác định
tọa độ tiếp điểm.
9) Xác định phương trình Parabol:
a) y = ax
2
+ bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x =
2
3
b) y = ax
2
+ bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2
c) y = ax
2
+ bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)
d) y = ax
2
+ bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)
e) y = x
2
+ bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh y
I
= - 1
10) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol(p):
a)
22
2( 1) 3 4y x m x m m
b)
2
(2 1) 1y x m x m
c)
2
y x mx m
11) Cho hàm số
2
2
3
yx
có đồ thị là parabol(P). Phải tịnh tiến (P) như thế nào để được đồ thị của hàm
số
22
22
22
) 2 7 ) 2 5
) 2( 3) ) 2( 4)
) 2( 2) 5 ) 2 6 1
a y x b y x
c y x d y x
e y x f y x x
12) Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của mỗi parabol sau đây. Tìm giá trị
nhỏ nhất hay lớn nhất của mỗi hàm số tương ứng
a)
2
2( 3) 5yx
b)
2
(2 1) 4yx
c)
2
24y x x
13) Vẽ đồ thị của hàm số
2
56y x x
. Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm
chung của parabol
2
56y x x
và đường thẳng y=m
14) Một parabol có đỉnh là điểm I(-2,-2) và đi qua gốc tọa độ
a)Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng nó song song với trục tung.
b) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng trong câu a).
15) Ký hiệu (P) là parabol
2
,0y ax bx c a
. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng song song
với trục hòanh, cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì trung điểm C của đọan thẳng AB thuộc
trục đối xứng của parabol (P).
Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị (P) của một hàm số bậc hai tại hai điểm
M(-3,3) và N(1,3). Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol (P).
16) Xác định parabol (p):
2
ax 2y bx
biết (p)
a) Cắt trục hoành tại x=1 và x=2
b) Qua A(1;-1) và trục đối xứng x=2
01698244765 TP BMT
8
c) Đạt GTNN bằng
3
2
khi x=-1
d) Qua A(1;5) và B(-2;8)
e) Đỉnh I(2;-2)
f) Qua A(-1;6) và tung độ đỉnh bằng
1
4
17) Xác định hàm số bậc hai (p):
2
axy bx c
, biết (p)
a) Qua A(0;-1), B(1;-1) và C(-1;1)
b) Đỉnh I(1;4) và qua A(3;0)
c) Đạt GTNN bằng -1 qua A(2;-1) và B(0;3)
d) Đạt GTNN bằng
3
4
tại
1
2
x
và qua A(1;1)
e) Đạt GTLN bằng -5 tại x=2 và nhận giá trị bằng 4 khi x=1
18) Cho parabol (p)
2
43y x x
. Tìm 2 điểm A,B thuôc (p) đối xứng nhau qua I(1;1)
19) Cho hàm số
2
43y x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
b) Dựa vào đồ thị tìm x để f(x)>0
c) Dựa vào đồ thị tìm x để f(x)
0
20) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x
R
a)
2
31x x m
c)
2
2 1 2 1x x m
b)
2
2 1 4x x m
d)
2
3 3 3x x m
21) Cho hàm số
2
( ) 4 1y f x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để phương trình f(x)=m có nghiệm
c) Tìm m để bất phương trình f(x)<m có tập nghiệm là R
22) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a)
2
57y x x
;
2;3x
d)
2
4 21y x x
;
5;3x
b)
2
2 2 5y x x
;
1;5x
e)
2
21y x x
;
2;0x
c)
2
34y x x
;
2;3x
f)
2
62y x x
;
1;4x
23) Cho hàm số:
22
4 4 2y x mx m m
a)Tìm m để hàm số đồng biến trên
2;
b) Tìm m để hàm số đạt GTNN bằng 2 trên
2;0
c) Tìm quỹ tích đỉnh I của parabol
24)
a/ Tìm parabol y = ax
2
+ bx + 2 biết rằng parabol đó đi qua hai điểm A(1, 5) và B( 2, 8).
b/ Tìm parabol y = ax
2
4x + c biết rằng parabol đó đi qua
điểm C(1, 1) và có trục đối xứng là x = 2.
c/ Tìm parabol
P
có trục đối xứng
D : x 2
, qua gốc tọa
độ và đỉnh có tung độ bằng 4 là :
d/ Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 3 và parabol y = x
2
4x + 1 .
25) Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) lần lượt có phương trình
01698244765 TP BMT
9
0)2m(2y)1m(mx
,
04m5y)1m3(mx3
.
Xác định các giá trị m để (d
1
) và (d
2
) :
a/ Song song nhau ; b/ Cắt nhau tại một điểm ; c/ Vuông góc nhau.
26) Tìm phương trình của parabol (P): y = ax
2
+ bx + c
biết parabol đó thoả điều kiện :
a) Đi qua ba điểm A( 2 ; 1), B(3 ; 2), C(0 ; 1) ;
b) Đi qua điểm A(2 ; 3) và có đỉnh là I(1 ; 1) ;
c) Nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng, qua M(5 ; 6) và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 2.
27) Cho hàm số y = 3x
2
6x 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ồ thị (P) của hàm số.
b) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng y = 4x 8.
28) Xác định phương trình Parabol:
a) y = ax
2
+ bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x =
2
3
b) y = ax
2
+ bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2
c) y = ax
2
+ bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)
d) y = ax
2
+ bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)
e) y = x
2
+ bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh y
I
= - 1
29) Vẽ đồ thị của hàm số
2
56y x x
. Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm
chung của parabol
2
56y x x
và đường thẳng y = m
30) Khảo sát sự biến thiên và vẽ các Parabol (P) sau:
a/ y = x
2
– 4x b/ y = 2x
2
+ 4x c/ y = - x
2
+ 4x d/ y = - 2x
2
+ 4x
e/ y = x
2
– 4x + 3 f/ y = x
2
+ 4x - 5
31) Giải và biện luận phương trình theo tham số m:
a/ m(x - m ) = x + m - 2 b/ (m
2
+2)x - 2m = x -3 c/ m(x -m+3) = m(x -2) + 6
d/ m
2
(x- 1) + m = x(3m -2) e/ m
2
x = m(x + 1) -1 f/ m
2
(x – 3) +10m = 9x + 3
g/ m
3
x –m
2
- 4 = 4m(x – 1) h/ (m+1)
2
x + 1 – m = (7m – 5)x
32) Giải và biện luận phương trình theo tham số m:
a) mx
2
+ 2x + 1 = 0 b) 2x
2
-6x + 3m - 5 = 0
c) (m
2
- 5m -36)x
2
- 2(m + 4)x + 1 = 0
33) Cho phương trình sau (m là tham số):
x
2
2 (m + 1) x + m 4 = 0. (1)
1) Giải phương trình khi m = 5.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
4) Chứng minh rằng biểu thức M = x
1
(1 x
2
) + x
2
(1 x
1
)
không phụ thuộc m (x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình (1)).
Bài 56. Cho phương trình :
2
mx 2 m 1 x m 0
. (1)
Tìm
m
để (1) có hai nghiệm thoả :
01698244765 TP BMT
10
a)
12
21
4
xx
xx
b/
22
12
22
21
xx
2
xx
; c/
12
x 4x
.
34) Cho phương trình : x
2
-2(m-1)x +m
2
– 3m = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm x
1
= 0. Tính nghiệm x
2
.
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa x
1
2
+ x
2
2
= 8
35) Cho phương trình : mx
2
-2(m-3)x +m – 6 = 0
a) CMR phương trình luôn có nghiệm x
1
= 1 m. Tính nghiệm x
2
.
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa
12
11
1
xx
36) Cho phương trình x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3m + 4 = 0
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x
1
2
+ x
2
2
= 20
b) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
c) Tìm hệ thức độc lập giữa 2 nghiệm. Suy ra giá trị nghiệm kép
DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
BT1:Xét dấu các biểu thức sau: a/ f(x)=2x+3 b/f(x)=2-4x c/f(x)=1-x d/f(x)= 3x+1
e/y=
1
3
2
x
g/f(x)= 2x-3. h/ y= -x+1.i/ y=
3
x k/ y=
3
3
x+
2
1
. l/ y=-x m/ y= x.
BT2:Xét dấu các biểu thức tích các nhị thức sau:
a/ f(x)=(2x+3)(1-x) b/f(x)=(2-x)x c/f(x)=(1-x)(2-x)x d/f(x)= (x+1)(5x+2)(3-x) e/y=
22
( 1)( )
53
x
x
.i/ y=
2
( 2 1)xx
k/ y=
2
3
( 1)
3
xx
l/ y=
2
32xx
m/ y=
2
9x
x. n/y=
2
54xx
p/
2
f(x)= (x+1) (5x+2)
q/
3
f(x)= (x-1) (4x+2)
r/
25
f(x)= (x-1) (2-x) (x+2)
o/
76
f(x)= 8x (1-x) (6x+2)
BT3:Xét dấu các biểu thức thƣơng các nhị thức sau:
1)
9
()
1
x
fx
x
2)
()
1
x
fx
x
3)
9
()
x
fx
x
4/
2
29
()
x
fx
x
5)
( 3)(3 2 )
()
1
xx
fx
x
6)
8
( ) 2
2
fx
x
7)
2
( ) 3
34
x
fx
x
8)
1
()
2
fx
x
9)
1
()fx
x
10)
1
( ) 1
2
fx
x
11/
2
1 1 2
()
1
x
fx
x x x x
12/
13
( ) 2
1
fx
xx
13)
4 2 2 1 5
()
3 2 4
xx
fx
14)
2
32
()
1
xx
f x x
x
15)
2
2
( ) 10
2
xx
fx
x
16)
9
( ) 4
2
f x x
x
17)
22
()
3 1 2 1
xx
fx
xx
18)
1 2 3
()
22
fx
xxx
01698244765 TP BMT
11
19)
2
31
()
2
xx
f x x
x
20)
9
( ) 4
2
f x x
x
21)
23
2
( 1) ( 2) (3 2 )
()
(1 )
x x x
fx
xx
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
BT1:Xét dấu các tam thức bậc hai: . a/f(x)=
43
2
xx
b/f(x)=
44
2
xx
c/f(x)=
32
2
xx
d/f(x)=
4
2
x
e/f(x)=
2
2
x
f/f(x)=
xx 2
2
h/f(x)=
2
2
1
x
i/f(x)
2
21xx
k/
14
2
xxy
l/
1
2
xxy
m/.
64
2
xxy
n/.y=
2
2x
p/ y=
2
(1 2) 2 1xx
q)
2
2( 3) 5yx
b)
2
(2 1) 4yx
o/.
2
24y x x
BT2:Xét dấu các biểu thức tích,thƣơng các tam thức (tích các tam thức với nhị thức) sau:
1/
22
f(x)= (x - 4)(5x -4x-1)
2/
22
f(x)= (x -3x+2) (12+x-x )
3/
22
f(x)= x (2-x-x )(x+2)
4/
2
2
3 2 1
()
4 12 9
xx
fx
xx
5/.
2
21
()
4 12 9
x
fx
xx
6/.
4 3 2
2
32
()
30
x x x
fx
xx
7/.
2
( ) (3 10 3)(4 5)f x x x x
8/.
22
( ) (3 4 )(2 1)f x x x x x
9/.
22
( ) (4 1)( 8 3)(2 9)f x x x x x
10/.
22
2
(3 )(3 )
()
43
x x x
fx
xx
BT3. Giải các bất PT bậc hai.
1).
2
30xx
2).
2
3 4 0xx
3).
2
5 4 0xx
4).
2
10xx
5).
2
2 3 0xx
6).
2
2 1 0xx
7)
2
2(1 2) 3 2 2 0xx
8).
2
2 3 0xx
9).
2
40x
10).
2
14 0x
11).
2
90x
12).
2
0x
12/.
2
4 1 0xx
13/.
2
3 4 0xx
14/.
2
60xx
BT4. Giải các hệ bất pt bậc hai.
1)
2
2
12 0
10
xx
x
2)
2
2
3 10 3 0
6 16 0
xx
xx
3)
2
2
4 7 0
2 1 0
xx
xx
4)
2
2
50
6 1 0
xx
xx
5)
2
2
3 8 3 0
17 7 6 0
xx
xx
6)
2
2
2
4 3 0
2 10 0
2 5 3 0
xx
xx
xx
7)
2
2
27
41
1
xx
x
8)
2
2
1 2 2
1
13 5 7
xx
xx
9)
2
2
10 3 2
11
32
xx
xx
12)
2
2
2
34
0
3
20
xx
x
xx
13)
2
2
20
0
x
x
13).
22
(4 )( 4 3) 0x x x
14).
2
(4 )( 4 3) 0x x x
5).
2
21
0
4 7 3
x
xx
16).
2
2
2
0
45
xx
xx
17).
2
2
67
0
( 1)( 3)
xx
x x x
18).
2 2 2
( 1)( 4 3)( 4)( 1) 0x x x x x
19)
42
20x x x
Các dạng toán có chứa tham số:
Bài1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
a)
2
45x x m
b)
2
2 8 1x m x m
c)
2
2
42x x m
d)
2
3 1 3 1 4m x m x m
e)
2
1 2 1 3 2m x m x m
01698244765 TP BMT
12
Bài 2: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:
a)
2
4 1 2 1m x m x m
b)
2
2 5 4m x x
c)
2
12 5mx x
d)
22
4 1 1x m x m
e)
22
2 2 2 1x m x m
f)
2
2 2 3 1m x m x m
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:
a)
2
1 2 1 3 3 0m x m x m
b)
22
4 5 2 1 2 0m m x m x
c)
2
2
8 20
0
2 1 9 4
xx
mx m x m
d)
2
2
3 5 4
0
4 1 2 1
xx
m x m x m
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình:
a)
2
2 1 9 5 0x m x m
có hai nghiệm âm phân biệt
b)
2
2 2 3 0m x mx m
có hai nghiệm dương phân biệt.
c)
2
5 3 1 0m x mx m
có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình :
4 2 2
1 2 1 0x m x m
a) vô nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt
Bài 6 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:
4 2 2
1 1 0m x mx m
có ba nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phương trình:
42
2 2 1 2 1 0m x m x m
. Tìm các giá trị của tham số m để pt trên có:
a) Một nghiệm b) Hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
2
2
1
1
2 2 3
x mx
xx
b)
2
2
24
46
1
x mx
xx
c)
2
2
5
17
2 3 2
x x m
xx
Bài 9: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm:
2
10 16 0
31
xx
mx m
Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
a)
2
2 15 0
13
xx
mx
b)
2
3 4 0
1 2 0
xx
mx
PHƢƠNG TRÌNH - BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
CÁC DẠNG CƠ BẢN
2
0B
AB
AB
0B
AB
AB
2
0
0
B
A B A
AB
2
0
0
0
A
B
AB
B
AB
Ngoài ra, ta có thể dùng phƣơng pháp đặt ẩn phụ để giải
01698244765 TP BMT
13
Đối với những những phƣơng trình, bất phƣơng trình không có dạng chuẩn nhƣ trên, ta thực thực
hiện các bƣớc:
- Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa,
- Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm,
- Bình phƣơng cả hai vế để mất căn ( đôi khi ta phải bình phƣơng 2 lần thì mới mất căn)
Bài tập:
1. Giải các phƣơng trình:
a.
2 5 2xx
b.
2
2 8 7 2x x x
c.
2
4 6 4x x x
d.
2
3 6 2 4 3 0x x x
e.
2 1 2xx
f.
423
2
xxx
2. Giải các bất phƣơng trình:
a.
7xx
b.
21 xx
c.
2
3 3 2 1x x x
d.
3 2 2 3 x x x
e.
2
31xx
f.
2
53 x x x
g.
6 12 1x x x
h.
2
2x 3x 5 x 1
3. Giải các bất phƣơng trình:
a.
2 xx
b.
2 14 3 xx
c.
2
24x x x
d.
2
5 24 2x x x
e.
3 4 6x x x
f.
2
8 12 4 x x x
g.
2
13xx
h.
2
4 3 2 3x x x
i.
1572
2
xxx
4. Giải các phƣơng trình:
a.
7 1 2 4xx
b.
5 5 4xx
c.
3 3 2 7xx
d.
1341231 xxx
e.
453413 xxx
5. Giải các phƣơng trình: ( đặt ẩn phụ)
a.
22
2 9 9 2 6 0x x x x
b.
22
2
xx
c.
01133362
22
xxxx
d.
2152153
22
xxxx
6. Giải các bất phƣơng trình: ( đặt ẩn phụ)
a.
22
4 5 2 8x x x x
b.
22
6 12 7 2x x x x
c.
22
4 2 8 3x x x x
d.
22
22463 xxxx
e.
285541
2
xxxx ))((
f.
123342
22
xxxx
7. Giải các bất phƣơng trình:
a.
1232 xx
b.
2111 xx
c.
2 x 2 2 x 1 x 1 4
d.
8273 xxx
e .
xxx 2372
f.
431 xx
g.
xxx 2532
h.
x 3 1 x x 2
i.
5x 1 x 1 2x 4
HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Giải và biện luận hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức:
' ' '
ax by c
a x b y c
01698244765 TP BMT
14
Tính
' ' ' ' ' '
xy
a b c b a c
D D D
a b c b a c
Nếu
0D
thì hệ có nghiệm duy nhất
x
y
D
x
D
D
y
D
Nếu
D0
: -
0
x
D
hoặc
0
y
D
hệ pt vô nghiệm.
- D
x
= D
y
= 0 hpt vô số nghiệm
1. Giải các hệ phương trình:
a)
2x + y =3
x +3y = 1
; b)
2x+3y =3
2x+ 3y =1
; c)
2x 4y =3
x+2y =1
;
d)
3x 2y 5
9x 6y 15
; e)
2 1 1
x y
3 6 5
3 1 4
xy
2 3 7
; f)
y 11 2x
5x 4y 8
;
g)
4 ( 3 -1) 1
( 3 1) -3 5
xy
xy
h)
11
2
-
34
7
-
x y x y
x y x y
i)
12 5
- 63
-3 2
8 15
- 33
-3 2
xy
xy
q)
28
3 3 100
4 5z 107
x y z
5x y z
2x y
r)
22
55
4z 8
x-3y z
-2x y z
3x-7y
s)
2
28
z5
-x+5y z
2x-9y z
3x-4y
k)
x y z 2
x 2y 3z 18
2x y z 9
; l)
x y 5
y z 1
z x 2
p)
(3) 4xz
(2) 262z3y
(1) 28y2x
2. Giải và biện luận các hệ phương trình:
a)
2
1
ax y a
x ay
b)
2 2 1
25
mx y m
x my
c)
3
-0
-1 0
mx y m
x my
d)
2 -( 1) 2
3 -2
x m y
mx y m
e)
2
2 3( -1) 3
( )-2 -2 0
m x m y
m x y y
f)
2
2
2 2 1
2 - -1
m x my m
mx m y m
3. Giải và biện luận các hệ phương trình:
a)
1
1
ax by a
bx ay b
b)
( ) ( - )
(2 - ) (2 )
a b x a b y a
a b x a b y b
c)
32
32
( -1) ( -1) -1
( 1) ( 1) 1
a x a y a
a x a y a
4. Tìm tất cả các giá trị của m để mỗi hệ phương trình sau thỏa mãn yêu cầu cho trước :
a)
-4 1
( 6) 2 3
x my m
m x y m
có nghiệm duy nhất.
b)
( 4) -( 2) 4
(2 -1) ( -4)
m x m y
m x m y m
có vô số nghiệm.
01698244765 TP BMT
15
c)
2
-1
( - ) 2
mx my m
m m x my
vô nghiệm.
d)
22
( 1) -2 -1
-2
m x y m
m x y m m
(
m
) có nghiệm duy nhất x, y là các số nguyên.
5. Cho hệ phương trình :
21
2 2 5
mx y m
x my m
(I)
a) Giải phương trình và biện luận hệ (I) theo tham số m .
b) Khi hệ (I) có nghiệm (x,y) , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m.
6. Xác định m để hệ pt
-2 4-
2 3 3
x y m
x y m
có nghiệm duy nhất (x, y) mà biểu thức x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ
nhất
7. Xác định m để hệ pt
25
- 2 10 5
xy
x y m
có nghiệm duy nhất (x, y) mà biểu thức x.y đạt giá trị lớn nhất
8. Định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
a) 2x
2
+ mx – 1= 0 , mx
2
– x + 2 = 0 . b) 2x
2
+ (m-1)x - 2m – 1 = 0 , 3x
2
– mx = 0 .
Hệ phƣơng trình bậc hai:
Dạng 1: Hê gồm một phương trình bậc nhất và một pt bậc hai
Cách giải: Dùng pp thế, từ phương trình bậc nhất rút x (hoặc y), thế x (hoặc y) vào pt thứ 2 giải tìm y
(hoặc x).
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
22
21
19
xy
x xy y
2.
22
36
2 3 18 0
xy
x xy y
3.
22
2 2 2 1 0
3 32 5 0
x y x y
xy
4.
22
2 7 0
2 2 4 0
xy
y x x y
5.
2
4 9 6
3 6 3 0
xy
x xy x y
6.
2
2
2 1 0
12 2 10 0
x x y
x x y
7.
2
2 1 2 2 0
3 1 0
x y x y
xy y y
8.
164yx
2yx
22
9.
1y2x
7y5xyx
22
Bài 2.Cho hệ phƣơng trình:
22
x 4y 8
x 2y m
a) Giải hệ phương trình với m= 4
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
Bài 3. Giải hệ phương trình:
22
9x 4y 36
2x y 5
Bài 4. Tìm m để hệ phương trình:
22
x y mx my m 1 0
x y 4
có nghiệm hai nghiệm phân biệt (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) sao cho:(x
1
– x
2
)
2
+ (y
1
– y
2
)
2
= 4
Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
22
9x 16y 144
x y m
Bài 6. Cho hệ phương trình:
22
x y 1
x y m
xác định các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy
nhất.
01698244765 TP BMT
16
Dạng II. Hệ đối xứng loại 1 : Hệ thay x bởi y và y bởi x thì từng pt của hệ không đổi
Cách giải:
Đặt S = x + y,P = xy giải hệ tìm S,P x,y là nghiệm phương trình: X
2
-SX+P=0
Chú ý hệ có nghiệm: (x;y) và (y;x)
( Hoặc đặt S = x – y, P = xy, giải hệ tìm S, P rồi tìm x, y)
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
22
5
7
xy
x xy y
2.
22
xy x y 11
x y xy 30
3.
22
5
5
x y xy
xy
4.
22
7
5
x xy y
x xy y
5.
33
19
82
xy
xy x y
6.
30
35
x y y x
x x y y
7.
7
2
5
2
x y xy
xy x y
8.
22
1 1 3
1 1 6
x x y y
xy
9.
33
2
26
xy
xy
10.
22
4
2
x xy y
x xy y
11.
33
2
26
xy
xy
12.
22
4
2
x xy y
x xy y
13.
22
x + y = 1 - 2xy
x + y = 1
14.
22
5
42
xy
x y x y
15.
2 2 3 3
4
280
xy
(x y )(x y )
16.
22
x + y + xy = 11
x + y + 3(x + y) = 28
17.
22
33
30
35
x y xy
xy
18.
22
33
1
1
xy
xy
19.
22
13
3( ) 2 9 0
xy
x y xy
20.
33
8
2 2
xy
x y xy
21.
22
208
96
xy
xy
22.
22
8
5
x y x y
xy x y
23.
2
22
2( ) - 1
0
x y xy
x y xy
24.
22
22
7
- 3
x y xy
x y xy
25.
22
3( )
160
x y xy
xy
26.
22
- - 102
69
x y x y
xy x y
27.
22
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
28.
22
4 2 2 4
5
- 13
xy
x x y y
29.
3 3 2 2
1
xy
x y x y
30.
55
9 9 4 4
1
xy
x y x y
31.
44
66
1
1
xy
xy
32.
13
6
5
xy
yx
xy
33.
1 1 7
2
2( ) 3
xy
xy
x y xy
34.
22
- - 1
- 6
x y xy
x y xy
35.
22
1
- - 3
x xy y
x y xy
36.
22
- 4
( - 1) ( - 1) 2
x x y y
x x y y y
37.
22
- 2
- -1
x y x y
xy x y
38.
22
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y
39.
22
22
11
4
11
4
xy
xy
xy
xy
01698244765 TP BMT
17
40.
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
41.
22
22
1
1 5
1
1 49
( )( )
( )( )
xy
xy
xy
xy
42.
2
2
4
28
xy
y
x
43.
2
2
2
4
x y xy
xy
y
x
44.
2
2
3
6
xy x y
x y xy
y
x
45.
2
2
2
164
xy
y
x
46.
3
3
1
61
xy
y
x
47.
3
3
2
2
()xy x y
y
x
48.
2
2
6
22()
xy
xy
y
x
49.
2
2
1 1 18
65
( )( )xy
y
x
50.
0
12
22
2
xyyx
xyyx )(
51.
160
3
22
yx
xyyx )(
52.
22
22
x - y x - y 3
x y x y 15
53.
9
3
411
xy
yx
54.
13
5
4224
22
yyxx
yx
Dạng III. Hệ đối xứng loại 2: hệ thay x bởi y và y bởi x thì pt1 thành pt 2 và ngƣợc lại.
Cách giải:
-Trừ vế theo vế hai phương trình ta được một phương trình.
-Đặt (x-y) nhân tử chung được phương trình tích trường hợp x = y thay vào hệ để giải và xét trường
hợp còn lại.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x
2.
2
2
13 4
13 4
y x y
x y x
3.
2
2
2
2
xy
yx
4.
3
3
5
5
x x y
y y x
5.
24
42
20
20
xy
xy
6.
2
2
2x xy 3x
2y xy 3y
7.
2
2
x - 2x y
y -2y x
8.
22
22
x - 2y 2x y
y - 2x 2y x
9.
2
2
x = 3x+2y
y =3y+2y
10.
22
22
2 3 2
2 3 2
x y y
y x x
11.
2
2
1
3
1
3
xy
x
yx
y
12.
2 3 2
2 3 2
32
32
y x x x
x y y y
13.
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
14.
32
32
x 2x 2x 1 2y
y 2y 2y 1 2x
Dạng IV. Hệ đẳng cấp:
Cách giải:
Phƣơng pháp 1: Khử số hạng tự do dẫn tới phương trình
22
Ax Bxy Cy 0
. Đặt y = kx
22
x (Ak Bk C 0)
Xét x = 0 thay vào hệ. Xét
2
Ak Bk C 0
nếu có nghiệm k
0
thì thế y = k
0
x vào hệ để xét hệ với một
ẩn x.
Phƣơng pháp 2: Từ hệ khử số hạng x
2
(hoặc y
2
) để dẫn tới phương trình khuyết x
2
(hoặc y
2
). Từ phương
trình này tính x qua y (hoặc y qua x) rồi thế vào một trong hai phương trình ban đầu ta có phương trình
trùng phương ẩn y (hoặc ẩn x).
01698244765 TP BMT
18
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
22
22
x 3xy y 1
3x xy 3y 13
2.
22
22
3 5 4 3
9 11 8 6
x xy y
y xy x
3.
22
2 3 0
2
x xy y
x x y y
4.
22
22
30
2 3 1
x xy y
x xy y
5.
22
22
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
6.
22
22
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
7.
22
22
3 8 4 0
5 7 6 0
x xy y
x xy y
8.
2
22
3 2 160
3 2 8
x xy
x xy y
9.
32
32
10
5
x xy
y x y
10.
3
7
22
22
xyyx
xyyx
11.
22
22
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
12.
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
13.
32
32
2 3 5
67
x x y
y xy
14.
22
22
x -2xy 3y 9
2x -13xy 15y 0
15.
22
22
2x 3y -4xy 3
2x - y 7
16.
22
22
x 2xy 3y 9
2x 2xy y 2
Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình:
a)
22
22
x 4y 17
x xy 4y m
b)
2
22
x xy 2
2x 4xy 2y m
Bài 3: Tìm m để hệ phương trình
x y 1
x x y y 1 3m
có nghiệm.
ĐS:
1
0m
4
.
1. Giải các phương trình
1/
x31xx
2
2/
12x96xx
2
3/ 4x
2
- 12x - 5
01112x4x
2
4/ x
2
+ 4x - 3 x + 2 + 4 = 0
5/ 4x
2
+
06
x
1
2x
x
1
2
6/ x
2
– x +
2
x x 9
=3
7/ x
2
+ 2
2
x 3x 11
=3x + 4 8/ x
2
+3 x - 10 + 3
x(x 3)
= 0
9/ 4x
2
- 12x - 5
01112x4x
2
10/ x
2
+ 4x - 3 x + 2 + 4 = 0
11/ 4x
2
+
06
x
1
2x
x
1
2
12/ x
2
– x +
2
x x 9
= 3
13/ x
2
+ 2
2
x 3x 11
= 3x + 4 14/ x
2
+3 x - 10 + 3
x(x 3)
= 0
15/ 4x
2
- 12x - 5
01112x4x
2
16/ x
2
+ 4x - 3 x + 2 + 4 = 0
17/ 4x
2
+
06
x
1
2x
x
1
2
18/ x
2
– x +
2
x x 9
=3
19/ x
2
+ 2
2
x 3x 11
=3x + 4 20/ x
2
+3 x - 10 + 3
x(x 3)
= 0
01698244765 TP BMT
19
Bất Đẳng Thức
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
22
a b a b
22
b)
3
33
a b a b
22
c)
22
a b 2ab
d)
222
a b b ab bc ca
e)
2 2 2
a b c 3 2 a b c
f)
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
g)
22
a b 1 ab a b
3. Chứng minh các BĐT sau:
a)
2 2 2
a b c 2ab 2ac 2bc
b)
2
22
a
b c ab ac 2bc
4
c)
22
a 2b 2ab 2a 4b 2 0
d)
22
a 5b 4ab 2a 6b 3 0
e)
4 4 2 2
x y z 1 2x xy x x 1
4. Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dương)
a)
11
a b 4
ab
b)
1 1 1
a b c 9
a b c
c)
2 2 2
a b c a b c 9abc
d)
bc ac ab
a b c
a b c
e)
a b c 3
b c a c a b 2
f)
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
g)
4 4 4 9
a 2b c 2a b c a b 2c a b c
; h)
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c
i)
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)
4x 1 4 x
P , x 0
x
b)
2
x 2x 1
Q , x 2
x2
c)
2
2
1
T a 4 a
a a 1
.
THỐNG KÊ
Bài 1: Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A ở trường X được cho ở bảng sau
Điểm
5
6
7
8
9
10
Tần số
1
5
10
9
7
3
Tìm số trung bình, số trung vị và mốt.phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 2: Bạn Lan ghi lại số cuộc điện thoại nhận được mỗi ngày trong 2 tuần
5 6 10 0 15 6 12 2 13 16 0 16 6 10
a. Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn
b. Lâp bảng phân bố tần số ghép lớp với các lớp sau:
0;4 , 5;9 , 10,14 , 15,19
Bài 3: : Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng làm theo sản phẩm của 20 công nhân trong một
tổ sản xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )
Thu nhập (X)
8
9
10
12
15
18
20
Tần số(n)
1
2
6
7
2
1
1
01698244765 TP BMT
20
Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)
Bài 4: Cho bảng phân bố tần số
Điểm kiểm tra toán
1
4
6
7
9
Cộng
Tần số
3
2
19
11
8
43
Tính phương sai, độ lệch chuẩn và tìm mốt của bảng đã cho
Bài 5: Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng của 400 công nhân trong một cơ sở sản xuất (đơn
vị tính : trăm ngàn đồng )
Nhóm
Khoảng
Tần số
Giá tri đại
diện
Tần suất
1
2
3
4
5
[8;10)
[10;12)
[12;14)
[14;16)
[16;18)
60
134
130
70
6
…………
…………
…………
…………
……………
……………
……………
…………
……………
…………
N=400
a) Điền vào dấu …. trong bảng trên . Vẽ biểu đồ tần số hình cột ,đường gấp khúc
b) Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)
Bài 6. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):
145
158
161
152
152
167
150
160
165
155
155
164
147
170
173
159
162
156
148
148
158
155
149
152
152
150
160
150
163
171
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175].
b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
Bài 7: Cho bảng phân bố tần số tiền thưởng (triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên của một công ty
Tiền thưởng
2
3
4
5
6
Cộng
Tần số
5
15
10
6
7
43
Tính phương sai, độ lệch chuẩn, tìm mốt và số trung vị của phân bố tần số đã cho.
Bài 8: Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau đây:
645
650
645
644
650
635
650
654
650
650
650
643
650
630
647
650
645
650
645
642
652
635
647
652
a. Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp là:
630;635
,
635;640
,
640;645
,
645;650
,
650;655
b. Tính phương sai của bảng số liệu trên.
c. Vẽ biểu đồ hình cột tần số, tần suất
01698244765 TP BMT
21
Bài 9 : Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền.
Lớp chiều cao (
cm )
Tần số
[ 168 ; 172 )
[ 172 ; 176 )
[ 176 ; 180 )
[ 180 ; 184 )
[ 184 ; 188 )
[ 188 ; 192 ]
4
4
6
14
8
4
Cộng
40
a). Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?
b). Nêu nhận xét về chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền kể trên ?
c). Tính số trung bình cộng , phương sai , độ lệch chuẩn ?
d). Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu 1.
Bài 10: Khảo sát dân số tại một địa phương ta có bảng kết quả sau:
Dưới 20 tuổi
Từ 20 đến 60
tuổi
Trên 60 tuổi
Tổng cộng
11 800
23 800
4 500
40 100
Hãy biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 11. Để khảo sát kết quả thi môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường
A
,
người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang
điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.
Điểm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần
số
1
1
3
5
8
13
19
24
14
10
2
100N
1. Tìm mốt. Tìm số trung bình (chính xác đến hàng phần trăm).
2. Tìm số trung vị. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm).
3. Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột.
Bài 12. Tiến hành một cuộc thăm dò về số giờ tự học của một học sinh lớp 10 ở nhà trong một tuần, người
điều tra chọn ngẫu nhiên 50 học sinh lớp 10 và đề nghị các em cho biết số giờ tự học ở nhà trong 10 ngày.
Mẫu số liệu được trình bày dưới dạng phân bố tần số ghép lớp sau đây (đơn vị là giờ).
Lớp
Tần số
0;9
5
a) Bổ sung cột tần suất để hình thành bảng phân bố tần số -
tần suất ghép lớp.
b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ tần số hình cột tần suất.
10;19
9
20;29
15
30;39
10
40;49
9
50;59
2
50N
01698244765 TP BMT
22
LƢỢNG GIÁC
I- GÓC VÀ CUNG LƢỢNG GIÁC:
1. Công thức quy đổi độ – Rađian:
180
a
( a tính bằng độ,
tính bằng rad)
2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.
sđ(ox, ot) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(ox, ot) =
+ k2
, k Z. (với 0
0
a < 360
0
, 0
0
< 2)
sđ AB = a
0
+ k360
0
hoặc sđ AB =
+ k2
, k Z. ( với 0
0
a < 360
0
, 0
0
< 2)
3. Công thức tính độ dài cung: l =
.R (
tính bằng rad)
II. NHÓM CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1:
1. Hằng đẳng thức lƣợng giác:
sin
2
x + cos
2
x = 1
22
22
sin x 1 cos x
cos x 1 sin x
2
2
1
1
xx
xx
sin cos
cos sin
1+tan
2
x =
2
1
cos x
cos
2
x =
2
1
1 tan x
cosx =
2
1
1 tan x
1+cot
2
x =
2
1
sin x
sin
2
x =
2
1
1 cot x
sinx =
2
1
1 cot x
tanx.cotx = 1 tanx =
sinx 1
cosx cot x
cotx =
cosx 1
sinx tanx
Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu () , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của
cung x trên đường tròn lượng giác.
2. Cung liên kết:
–x
π
– x
π
2
– x
π
+ x
π
2
+ x
sin
–sinx
sinx
cosx
–sinx
cosx
cos
cosx
–cosx
sinx
–cosx
–sinx
tan
–tanx
–tanx
cotx
tanx
–cotx
cot
–cotx
–cotx
tanx
cotx
–tanx
3. Chú ý:
a + b = 180
0
cosb = –cosa
sinb = sina
0
6
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0
–1
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
–1
0
1
tan
0
3
3
1
3
3
–1
0
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
–1
0
01698244765 TP BMT
23
a + b =
2
90
0
cosb = sina
sinb = cosa
ABC
sin(B + C) = sinA
cos(B + C) = –cosA
tan(B + C) = – tanA
B C A
sin cos
22
B C A
cos sin
22
B C A
tan cot
22
sin(x + k2) = sinx
cos(x + k2) = cosx
tan(x + k) = tanx
cot(x + k) = cotx
III. NHÓM CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 2:
1.Công thức cộng:
cos(a b) = cosa.cosb sina.sinb sin(a b) = sina.cosb sinb.cosa
tan(a b) =
tana tanb
1 tana.tanb
2.Công thức nhân:
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a =
2
2
1 tan a
1 tan a
sin2a = 2sina.cosa =
2
2tana
1 tan a
; tan2a =
2
2tana
1 tan a
3.Công thức hạ bậc:
2
1 cos2a
sin a
2
;
2
1 cos2a
cos a
2
;
2
1 cos2a
tan a
1 cos2a
4.Công thức tính theo t :
a
t tan
2
2
2t
sina
1t
2
2
1t
cosa
1t
2
2t
tana
1t
5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:
a b a b
cosa cosb 2cos cos
22
a b a b
cosa cosb 2sin sin
22
tana + tanb =
ab
ab
sin( )
cos .cos
a b a b
sina sinb 2sin cos
22
a b a b
sina sinb 2cos sin
22
tana – tanb =
ab
ab
sin( )
cos .cos
Hệ quả: cosx + sinx =
2sin( x) 2cos( x)
44
cosx – sinx =
2sin( x) 2cos( x)
44
III. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG ABC:
1. Định lý hàm số sin và cos:
a b c
2R
sinA sinB sinC
2 2 2
a b c 2bc.cosA
2 2 2
b a c 2ac.cosB
2 2 2
c a b 2ab.cosC
2. Chuyển cạnh sang góc:
a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC
3. Chuyển góc sang cạnh:
a
sinA
2R
2 2 2
b c a
cosA
2bc
4. Công thức diện tích:
a b c
1 1 1 1 1 1
S a.h b.h c.h bcsinA acsinB absinC
2 2 2 2 2 2
abc
S pr p(p a)(p b)(p c)
4R
, với
a b c
p
2
01698244765 TP BMT
24
R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ABC
5. Công thức đƣờng trung tuyến và phân giác trong các góc của ABC:
2 2 2
2
a
b c a
m
24
2 2 2
2
b
a c b
m
24
2 2 2
2
c
a b c
m
24
(m
a
, m
b
, m
c
độ dài trung tuyến)
a
2bc A
l cos
b c 2
b
2ac B
l cos
a c 2
c
2ab C
l cos
a b 2
(l
a
, l
b
, l
c
độ dài phân giác)
BÀI TẬP
.
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC.
1. Tính giá trị lƣợng giác của cung sau.
1) sina =
3
5
với 0 < a <
2
2) tana = -
2
với < a <
3) cosa =
5
1
với -
2
< a < 0 4) sina =
3
1
với a (
2
, ) 5) tana = 2 với a (,
2
3
)
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin
2
x + tan
2
x =
2
1
cos x
- cos
2
x 2) tan
2
x - sin
2
x = tan
2
xsin
2
x 3)
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
xx
xx
4)
22
22
cos sin
cot tan
xx
xx
= sin
2
xcos
2
x 5)
2
2
2
1
(1 cot )( 1)
cos
1 tan
x
x
x
= 1
6) cosx + cos(2/3 - x) + cos(2/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2
a
8)
22
22
tan tan
1 tan tan
ab
ab
= tan(a +b)tan(a - b) 9) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
1
4
sin4x
10)
cos sin
cos sin
xx
xx
=
1
cos2x
- tan2x 11)
sin2 2sin
sin2 2sin
xx
xx
= -tan
2
2
x
12) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
3
4
sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
3
2
x
cosxsin
2
x
14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x 15)
4 4 2
2
2
sin cos cos
cos
2(1 cos ) 2
x x x x
x
3. Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = sin(x +
5
2
) - 3cos(x -
7
2
) + 2sin(x + ) 2) B=
11
sin cos 5sin
22
x x x
3)
os os 2 sin os
2
C c c c
4) D= 2cosa-3cos(+a)-5sin(/2-a)+cot(
3
2
- a)
5) cos( - a) - 2sin(3/2 + a) + tan(
3
2
- a ) + cot(2 - a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
01698244765 TP BMT
25
3) C = 2(sin
6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a) 4) D =
1 cot
1 cot
a
a
-
2
tan 1a
5) E =
2
sin4 4cosaa
+
42
cos 4sinaa
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0
- a)
7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a 8) H =
44
66
sin cos 1
sin cos 1
aa
aa
9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b
k và m
1 thì biểu thức:
A =
1
1 sin 2ma
+
1
1 sin 2mb
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
1 cos2
cot tan
22
a
aa
3) Biết
cos( )
cos( )
ab
ab
=
p
q
. Tính tana.tanb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)
k2 tính tan
2
a
.tan
2
b
5) Tính sin2x nếu: 5tan
2
x - 12tanx - 5 = 0 (
4
< x <
2
)
6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
1) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0
2) B = cos
7
.cos
4
7
.cos
5
7
3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
4) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. sin85
0
5) Tính: F = sin
18
.sin
3
18
.sin
5
18
.sin
7
18
. sin
9
18
6) A = sin37
0
.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0
7) A = tan110
0
+ cot20
0
8) Tính sin15
0
và cos15
0
8) A = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o
.tan80
o
b) B =
1
2sin10
o
- 2sin70
o
, M = cos
5
- cos
2
5
c) C = sin
4
16
+ sin
4
3
16
+ sin
4
5
16
+ sin
4
7
16
d) D = tan
2
12
+ tan
2
3
12
+ tan
2
5
12
e) E = tan9
o
- tan27
o
- tan63
o
+ tan81
o
. f) F = cos
6
16
+ cos
6
3
16
+ cos
6
5
16
+
cos
6
7
16
g) G
1
= sin18
o
.cos18
o
; G
2
= sin36
o
.cos36
o
h) H = cos
2
7
+ cos
4
7
+ cos
6
7
i) I = sin
5
+ sin
23
5
+ sin
6
+ cos
13
5
k) K = cos
5
+ cos
2
5
+ cos
3
5
+ cos
4
5
9. Với a ≠ k (k Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a =
sin32
32.sin
a
a
b) cosa.cos2a.cos4a cos2
n
a =
1
1
sin2
2 sin
n
n
a
a
