Cac Chuyen de thi dai hoc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.58 MB, 47 trang )
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
1
! , hãy
-3-5-
Chuyên Đề: PHƢƠNG TRÌNH HỆ PT
1. DẠNG CƠ BẢN:
1)
0
2
B
AB
AB
2)
0( 0)A hayB
AB
AB
3)
3
3
A B A B
4)
0
0
2
()
A
A B C B
C A B
2. CÁC DẠNG KHÁC:
Đặt điều kiện cho
2n
A
là A
0 nâng cả 2 vế lên
luỹ thừa tương ứng để khử căn thức.
Lƣu ý:
A = B
A
2n+1
=B
2n+1
A = B
.0
22
AB
nn
AB
Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hpt đơn
giản.
Bài 1:Dạng cơ bản:
1.
2
4 2 2x x x
Đs: x=3
2.
7 1 2 4xx
Đs: x=5
3.
2
4 6 4x x x
Đs: x=-1
4.
11 3 2 9 7 2x x x x
Đs: x=2
Bài 2:Bình phƣơng 2 vế(có thể đặt ẩn số phụ):
1.
1 2 6 3x x x
Đs: x=5
2.
5 5 4xx
Đs: x=4,x=-4
3.
9 1 4x x x x
Đs: x=0
4.
3 1 4 1xx
Đs: x=5
5.
10 3 4 23x x x
Đs: x=6
6.
3 4 1 2 3x x x
Đs: x=-1/2
7.
11 11 4x x x x
Đs: x=5
8.
22
1 1 2x x x x
Đs: x=1
9.
22
3 2 8 3 2 15 7x x x x
Đs: x=1;-1/3
10.
2 2 2
7 2 3 3 19x x x x x x
Đs: x=1;-2
11.
22
3 2 1x x x x
Đs: x=
15
2
12.
2
( 1)(2 ) 1 2 2x x x x
Đs: x =
1
2
13.
2
10x x x x
14. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt:
2
2 2 1x mx x
(B-2006) Đs:m
9/2
Bài 3: Đặt ẩn số phụ đƣa về phƣơng trình bậc
hai,ba,4:
1.
2
( 4)( 1) 3 5 2 6x x x x
Đs: x=-7;2
2. (x+5)(2-x)=3
2
3xx
Đs: x=1;-4
3. (x-3)(x+1)+4(x-3)
1
3
x
x
= 5 Đs:
x=
1 13 4 5
4.
4
22
1 1 2x x x x
Đs: x= 1
5. x
2
+
2
6x
= 12 Đs: x=
10
6.
2
2 1 3 1 0,( )x x x x R
Đs:x=1,x= 2 -
2
.
7. x
2
+x +12
1x
= 36 Đs:x=3
8.
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x
Đs:x=
7 21
2
9.
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x
10.
3
2 2 5 1 12 0xx
Đs: x= 3
11.
3
4
22
17 2 1 1xx
Đs: x =
1
Bài 4: Đặt t là tổng căn biểu diển tích theo tổng:
1.
2
9 9 9x x x x
Đs:x=0;9;…
2.
2
2
11
3
x x x x
Đs:x=0;1
3.
1
2
1
2
x x x x x
Bài 5: Đặt ẩn số phụ còn x coi là tham số:
1. (4x-1)
2
1x
=2x
2
+2x+1
2. x
2
+3x+1=(x+3)
2
1x
Đs:x=
22
3.
22
2 1 3 1 1x x x x
Bài 6: Dùng hằng đẳng thức đƣa ra ngoài căn:
1.
3
2 1 2 1
2
y
y y y y
2.
2 2 2 1 1 4x x x
3.
5
2 2 1 2 2 1
2
x
x x x x
4.
2 1 2 1 2x x x x
5.
1 2 2 1 2 2 1x x x x
6.
48
4
x
xx
7. Bài 7: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm duy
nhất:
1.
22
15 3 2 8x x x
Đs:x=1
2.
22
2 1 2 ( 1) 2 3 0x x x x x x
Đs:x=1/2
( 1) ( ); '( ) 0f x f x f x x
Bài 8: Đoán nghiệm phân tích thành tích:
1.
2
3 2 1
32
x
xx
x
2. (x+3)
2
10 x
=x
2
-x-12
3.
22
2 8 6 1 2 2x x x x
4. x-2
2
1 ( 1) 0x x x x x
5.
2
(1 ) 16 17 8 15 23x x x x
6.
2
( 1) 2 2 2x x x x
7.
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x
Bài 9: Đặt ẩn số phụ đƣa về hệ đối xứng loại I:
1.
22
17 17 9x x x x
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
2
2.
33
12 14 2xx
Bài 10: Đặt ẩn số phụ đƣa về hệ đối xứng loại II:
1.
3
3
3 2 3 2xx
2.
2
55xx
3.
3
3
1 2 2 1xx
Bài11: Đặt ẩn số phụ đƣa về hệ phƣơng trình:
1.
3
71xx
2.
3
31xx
3. x
2
+
1x
=1
4.
3
2 3 2 3 6 5 8 0xx
5.
3
2 1 1xx
6.
33
22
3
(2 ) (7 ) (2 )(7 ) 3x x x x
7. a)
17 17 2xx
b)
1 1 6xx
8.
22
2 5 2 2 2 5 6 1x x x x
Bài12: Đặt ẩn số phụ đƣa về phƣơng trình đồng
bậc:
1.
23
2 4 5 1xx
Đs:
5 37
2
2.
2
4 16 12 2 8x x x
( ) 4 x
2
5 x 3 ( ) x
2
5 x 3
Bài13: Dùng phƣơng pháp …
1.
2
2 4 6 11x x x x
2.
2
2 3 5 2 4 6 0x x x x
3.
2
22
2 12 22 3 18 36 2 12 13x x x x x x
Bài 14:Dùng lƣợng liên hợp phân tích thành tích
đặt u,v:
1.
3
4 1 3 2
5
x
xx
2. 3(2+
2x
) = 2x+
6x
3.
2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4x x x x x x x
Bài 15: Dựa và điều kiện phân tích thành tích
1.
2
( 1) ( 2) 2x x x x x
2.
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x
Bài 16:Phƣơng trình chứa căn bậc 3
1.
33
12 14 2xx
2.
33
12 4 4xx
3.
3 3 3
1 2 2 3x x x
Bài 17:Phƣơng pháp lƣợng giác hoá:
1.
2 3 3 2
1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2 1x x x x
Đs:
2
2
Bài 18: Dùng phƣơng pháp đạo hàm lập bảng
biến thiên
(tìm m để các phương trình sau có nghiệm)
1.
2
99x x x x m
2.
7 2 (7 )(2 )x x x x m
3.
2
31
2 1 x
21
x
xm
x
4.
1 8 (8 )(1 )x x x x m
5.
44
2 2 2 6 2 6x x x x m
,tìm m pt có đúng 2
nghiệm thực phân biệt.(A-2008)
Đs:2
4
6 2 6 3 2 6m
6. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực
phân biệt:
2
2 2 1x mx x
.
7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
4
2
3 1 1 2 1x m x x
(A-2007) Đs:-1<m
1/3
BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1. DẠNG CƠ BẢN:
1)
0
0
2
A
A B B
AB
2)
0
0
2
0
B
A
A B hay
B
AB
3)
0A
AB
AB
3)
33
A B A B
4)
0
0
2
()
A
A B C B
C A B
2. CÁC DẠNG KHÁC:
Đặt điều kiện cho , nâng cả 2 vế lên luỹ thừa
tương ứng để khử căn thức lưu ý điều kiện khi
luỹ thừa bậc chẵn.
Đặt ẩn phụ bất phương trình đơn giản.
A
B
0
B =0(A có nghĩa) hoặc
0
0
B
A
Bài 1:Dạng cơ bản:
a)
2
5 3 2 1x x x
b)
2
21x x x
c)(x
2
-3x)
2
2 3 2xx
0 d)
2
2( 16)
7
3
33
x
x
x
xx
e)
22
12 12
11 2 9
x x x x
xx
f)
22
66
2 5 4
x x x x
xx
Bài 2:Bình phƣơng 2 vế(có thể phải đặt ẩn số phụ
trƣớc):
a)
22
1 1 3xx
b)
21x x x
c)
3 1 2x x x
d)
2 8 7 3x x x
e)
2
1 3 2( 3) 2 2x x x x
f)
22
3 6 4 2 2x x x x
Bài2’: Nhận xét qui đồng bỏ mẫu(đƣa về bài 2):
a)
xx
1
2
1 2(x x 1)
A2010
Bài 3:Phân tích thành tích:
a) (x
2
+x-2)
2
21x
<0 b)
2
3(4 9)
23
2
33
x
x
x
c)
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x
d)
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x
e)
22
2 8 6 1 2 2x x x x
Bài 4: Dựa vào điều kiện có nghĩa suy ra nghiệm
bpt:
a)
7 1 3 18 2 7x x x
b)
2 2 2
3 2 4 3 5 4x x x x x x
c) (x-3)
22
49xx
d)
2
(4 )(6 ) 2 12x x x x
e)
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x
Bài 4: Dùng hằng đẳng thức đƣa ra ngoài căn:
a)
42
2 1 1x x x
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
3
b)
3
2 1 2 1
2
x x x x
c)
48
4
x
xx
Bài 5: Nhân lƣợng liên hợp:
a)
2
1 1 4
3
x
x
b)
22
4( 1) (2 10)(1 3 2 )x x x
c)
2
2
21
2
(3 9 2 )
x
x
x
d)
2
9
21
2
(1 1 3 )
x
x
x
Bài 6: Đặt ẩn phụ đƣa về BPT bậc 2,3:
a)
22
5 10 1 7 2x x x x
b) 2x
2
+4x+3
2
32xx
>1
c)
1
23
1
xx
xx
d)
( 5)( 2) 3 ( 3) 0x x x x
e)
21
4 2 2
2
xx
x
x
f)
31
3 2 7
2
2
xx
x
x
g)
22
( 4) 4 ( 2) 2x x x x x
h)
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x
k)Tìm nghiệm bpt x+
22
11x x x
trong đoạn [0;1]
Bài 7:Khảo sát hàm dựa vào GTLN, GTNN:
a)Tìm a để bpt
1x x a
có nghiệm với a dương.
b)Tìm m để bpt
31mx x m
có nghiệm.
c)
2
1 1 2
4
x
xx
d)
3 2 3
3 1 ( 1)x x a x x
,tìm a để bpt có nghiệm
(HD:xét sự biến thiên của 2 hàm số ,suy ra hàm
tích,suy ra min)
HỆ PHƢƠNG TRÌNH:
Hệ đối xứng loại I
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
g x y
với
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
f x y f y x
g x y g y x
Cách giải: Đặt S= x+y và P =xy giải tìm S,P điều
kiện
S
2
4Psuy ra x,y là nghiệm của phương trình t
2
–St
+P=0.
Hệ đối xứng loại II
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
f y x
Cách giải:ta biến đổi về hệ tương đương
( ; ) ( ; ) 0 ( ; ) ( ; ) 0
( ; ) 0 ( ; ) ( ; ) 0
f x y f y x f x y f y x
hay
f y x f x y f y x
Hệ phƣơng trình
đẳngcấp
( ; )
( ; )
f x y a
g x y b
với
2
( ; ) ( ; )
2
( ; ) ( ; )
f tx ty t f x y
g tx ty t g x y
Cách giải: Tìm nghiệm thoả x =0 hay (y =0)
Với x
0
đặt y =tx. Với y
0
đặt x =ty
Đối với hệ
22
ax 0
22
a x 0
1 1 1 1
bxy cy d
b xy c y d
ta có thể khử y
2
hay x
2
rồi rút y theo x hay x theo y thay và phương trình còn
lại của hệ .
Bài 1: Giải hệ bằng phƣơng pháp rút thế:
1.
8
2
x y x y
y x y
2.
22
6 7 57
2 2 2
2 7 7 86
xy
x y x y
3.
2 2 2
2 3 4 41
1; 3 , 1; 3
2
(4 3 ) 45
x y x y
Kq
y x y
4.
3
31
: (1;1),( ; )
22
2
x y x y
Kq
x y x y
B-2002
5.
32
2 5 4
: (0;1),(2;4)
1
42
22
x
yy
Kq
xx
y
x
D-2002
6.
11
1 5 1 5 1 5 1 5
: (1;1),( ; ),( ; )
2 2 2 2
3
21
xy
xy
Kq
yx
A3
7.
1
log ( ) log 1
4
1/4
: (3;4)
22
25
yx
y
Kq
xy
A2004
8.
23
3log (9 ) log 3
93
: (1;1),(2;2)
1 2 1
xy
Kq
xy
B2005
9.
33
34
22
9
x y xy
xy
10.
4 3 2 2
2 2 9
17
: ( 4; )
2
4
2 6 6
x x y x y x
Kq
x xy x
B2008
Bài 2: Giải hệ bằng cách phân tích thành tích rút
thế:
1.
22
2
: (5;2)
2 1 2 2
xy x y x y
Kq
x y y x x y
D2008
2.
5
2 3 2
5 25 3
4
3
3
: ( ; ),(1; )
5
4 16 2
42
(1 2 )
4
x y x y xy xy
Kq
x y xy x
A2008
Bài 3: Giải hệ bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ rút
thế:
1.
4 2 0
: ( 1;3),(3; 1),(3;5),(5;3)
22
2 8 18
xy x y
Kq
x x y y
2.
22
6
1
(1;2),( ;1)
2 2 2
2
51
x y xy
Kq
x x y
3.
17
1
: (1; ),(3;1)
2 2 2
3
1 13
xy x y
Kq
x y xy y
B2009
4.
( 1) 3 0
3
: (1;1),(2; )
5
2
( ) 1 0
2
2
x x y
Kq
xy
x
D2009
Bài4: Hệ đối xứng loại I:
1. a)
22
4
2
x y xy
x y xy
b)
3 3 3 3
17
5
x y x y
x y xy
c)
13
6
5
xy
yx
xy
2. a)
22
3( )
2
x y x y
xy
b)
6
22
20
x y y x
x y y x
3. Tìm m để hệ có nghiệm
1
1
:0
4
13
xy
Kq m
x x y y m
D04
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
4
4.
3
: (3;3)
1 1 4
x y xy
Kq
xy
A-2006
5. Tìm m để hệ có nghiệm
11
5
7
: 2 22
11
4
33
15 10
33
xy
xy
Kq m m
x y m
xy
D-2007
Bài5: Hệ đối xứng loại II:
1. a)
2
34
2
34
x x y
y y x
b)
2
32
2
32
x x y
y y x
c)
22
22
22
22
x y x y
y x y x
d)
3
2
3
2
x x y
y y x
2.
3
(3 2) 1
3
( 2) 3
yx
yx
3.
2
2
3
2
(1;1)
2
2
3
2
y
y
x
Kq
x
x
y
B-2003
Bài 6:Đặt ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại II:
1.
11
22
11
22
x
y
x
y
Bài 7:Hệ phƣơng trình đẳngcấp:
1. a)
22
31
22
3 3 13
x xy y
y xy x
b)
22
3 5 5 37
22
3 9 5 15
x xy y
y xy x
c)
2
2
12
28
xy y
x xy
Bài8Hệ phƣơng trình đẳng cấp và đối xứng loại I:
1.
3 3 3
(9 )
22
6
y x x
x y y x
Bài 9: Phƣơng pháp dung hàm số sử dụng đạo
hàm:
1.
2
22
3
3
3
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
21
21
21
x x y y
x y x
x x y
y y z
z z x
(x, y R). A-2010
Chuyên Đề:
PHƢƠNG TRÌNH LÔGA RIT
Loại1
1. log
5
(7-2x) = log
5
(x
2
-3x-5)
2. log
2
(x
2
+3x+2)+log
2
(x
2
+7x+12) =
3+ log
2
3
3. log
4
(x+1)
2
+2 =
2
log 4 x
+log
8
(4+x)
3
4. log
2
(x
2
-1) = log
1
2
(x-1)
5. log
3
(x
2
+4x+3)+log
3
(x
2
+6x+8)=1
6. log
3
(x
4
+4) = log
3
5x-log
1
3
(x
2
-2)
7. log
2
(3x-1)+
3
1
log 2
x
=2+log
2
(x+1)
8. log
27
(x
2
-5x+6)
3
=
3
1 x 1
log
22
+log
9
(x-3)
2
9. log
2
(4
x
+4)=x-log
1
2
(2
x+1
-3)
10. log
2
(x
2
+x+1)+log
2
(x
2
-x+1) = log
2
(x
4
+x
2
+1)
+log
2
(x
4
-x
2
+1)
11. 2(log
9
x)
2
= log
3
xlog
3
(
2x 1 1)
Loại 2
12. 11. log
x+3
(3-
2
1 2x x
)=
1
2
13. log
(x+1)
(2x
2
+1) =2
14. log
2
x
-x+1
2
2x 2x 1
=
1
2
Loại 3
15.
24
log x 4 log x 5 0
16. lg
4
(x-1)
2
+lg
2
(x-1)
3
= 25
17. lg
2
x+lgx+1 =
7
x
lg
10
18.
2
2
log 16 log 64 3
x
x
19. log
5
(5
x
-1)log
25
(5
x+1
-5) =1
20. log
4
(log
2
x)+log
2
(log
4
x) = 2
21.
22
23
2
6
log (x x 1)log (x x 1)
log (x x 1)
22. log
5
x+log
3
x = log
5
3log
3
225
23. log
3x+7
(9+12x+4x
2
)
+log
2x+3
(6x
2
+23x+21) = 4
24. log
1-2x
(1-5x+6x
2
)-log
1-3x
(4x
2
- 4x+1)
=2
25. log
2x+1
(5+8x- 4x
2
)+ log
5-2x
(4x
2
+4x+4)
. = 4
26. log
5x-1
(1-7x+10x
2
)
4
-log
2x-1
(25x
2
- 10x+1)
=2
27.
2
2 x 2
2
2 x 2
log 2x log 2x log x
x2
log log log x 2
2x
28.
23
x 16x 4x
2
og x 14log x 40log x 0l
Loai 4
29. log
2
(1+
x
) = log
3
x (dùng ĐH)
30. log
2
(1+
3
x
) = log
7
x
31. 2
log
5
(x+3)
=x
32. 29 x+x
log
2
3
= x
log
2
5
!
33.
2
66
xx
log log
6 x 12
!
34. x
lg9
- 4.3
lgx
+ 3 = 0 !
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
5
35. 2log
3
cotgx = log
2
cosx
36. (x+2)
2
2
log (x 1)
+4(x+1)log
3
(x+1)
-16 =0 !
34. log
7
x = log3(
x
+2)
Loại 5
35. (2+
2
)
log
2
X
+x(2-
2
)
log
2
X
=1+x
2
36. log
3
(x
2
+x+1)-log
3
x =2x-x
2
37.
2
2
3
2
x x 3
log x 3x 2
2x 4x 5
đg
38. log
5
(9+12x+4x
2
)-log
5
(6x
2
+23x+21)đg
= 2x
2
+11x+12
39. log
2
x+2log
7
x = 2 + log
2
xlog
7
x
40. log
3
x+5log
5
x = 5 + log
3
xlog
5
x
41.
1 1 2xx
log
2
(x
2
-x) = 0
42. log
2
(log
3
(log
2
x))=1
43.
22
33
2log ( 16) log ( 16) 1
2 2 24
xx
thỏa
cos
31
0
4
x
x
Bất phương trình lôgarit
1.
2
lg(x 3x 2)
2
lgx lg2
2.
23
log (x 1) log (x 1)
23
0
2
x 3x 4
3.
3
log
x
(5x
2
–18x+16)>2
4. log
2x
64+log
2
x
16 3
5.
2
log x 5x 6
3
1
log x 2 log (x 3)
11
2
33
6. log
2
x+log
3
x<1+log
2
xlog
3
x
7. 2x +log
2
(x
2
4x+4)>
2(x+1)log
0,5
(2x)
8.
11
log (x 1)
2
log 2x 3x 1
1
1
3
3
9.
log 2 log 2
21x x x
10. log
4
2 1 1
12
x
x
11. (4
x
12.2
x
+32)log
2
(2x1) 0
12.
2x 3
log 1
3
1x
13.
2
log (3x 4x 2) 1
9
2
log (3x 4x 2)
3
14.
x2
log
3
x
51
15.
log x log x 1 log x 2
2 2 2
2 3 5 12
16.
2
3x x
log 3x 1 1
17. log
2
2
x 8x 1
2
x1
18.
3
log (35 )
3
log (5 )
x
a
x
a
19.
22
11
22
3
x 32
4
log (x) log ( ) 9log 4log x
2
2
8
x
20. Tìm a >1 để bất phương trình :
2
lg(2x a 1)
1
lg(a a) lgx
nghiệm đúng với
x thoả
0<x 2
21. Với những giá trị nguyên nào của a thì bất
phương trình :
2
2log a 3 2xlog a x 0
11
22
thoả mãn với mọi x
22. Giải và biện luận bất phương trình
log
a
(26–x2) 2 log
a
(4x) a>0, a1
23. Cho bất phương trình :
1+log
5
(x
2
+1) log
5
(mx
2
+4x+m)
tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi x
24. Biết rằng x=1 là nghiệm của bất phương trình
log
m
(2x
2
+x+3) log
m
(3x
2
x) .Hãy giải bất
phương trình này
25. Tìm m dể bất phương trình
2
1
2
og (x 2x m) 3l
có nghiệm
26. Cho bất phương trình: log
2
(x
2
+ax) 2*
Giải bất phương trình * khi a=3
Tìm giá trị lớn nhất của a để cho x=1 là nghiệm
của bất phương trình *
27. Cho bất phương trình: log
2
2
x1
<log
2
(ax+a)
* Giải bất phương trình khi a=2
* Tìm a để bất phương trình có nghiệm
28. Trong các nghiệm của bất phương trình
log (2 ) 1
22
2
xy
xy
hãy chỉ ra nghiệm có
tổng (2x+y) lớn nhất !!!
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
6
Chuyên Đề : PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.
2sin 3x 3
6
b.
00
sin 2x 45 c x 60 0os
c.
tan3x cot 2x
e.
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
g.
4sinx+cosx = 2 sin x
h.
2
cos( ) sinxx
Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:
a.
0
tan(2x 15 ) 1
, với
00
x 180 ;90
b.
s 3cinx = osx
, với
2
x;
3
Bài 3. Giải các phương trình
a.
2
cc
2
os os x-
24
b.
sin c 1os2x
c.
tan c 1
4
osx+sinx
c. 3sinx + 4cosx = 5
II. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác.
Bài 5. Giải các phương trình
a.
3tan3x 3 0
b.
s 2c 0inx+1 os2x - 2
c.
2
3 2 7 os2x - 3 = 0sin x c
d.
2
3 4 3 0 cot x cot x
Bài 6. Giải các phương trình
a.
cos2x - sinx +2 =0
b.
2 2 2 3tan x cot x
c.
2
2
cos2x + sin x cosx +1 = 0
d.
2
4 2 8 9 0
2
sin x cos x
Bài 7. a. Tìm các nghiệm của phương trình
2
3 3 0sin x sin x
thỏa mãn
24
33
x;
b. Tìm m để phương trình
2
21mtan x m t anx - 2 = 0
, có nghiệm duy nhất
22
x;
III. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c)
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a.
3cosx + 4sinx = -5
b.
5 2 6 13
2
sin x cos x
c.
3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x
d.
sin8 cos6 3(sin6 cos8 )x x x x
e.
(3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x
g.
2cos cos( ) 4sin2 1
3
x x x
Bài 9. Giải phương trình:
a.
22
cos 2 3sin cos 3sin 1x x x x
.
b.
33
4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3x x x x x
. (HV CNBCVT-2001).
c.
cos7 sin5 3(cos5 sin7 )x x x x
.
d.
2
4sin ( ) sin 2 1
6
xx
e.
2
2sin(2 ) 4sin 1
6
xx
Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
a.
22
2sin ( ) 2cos cos2
6
y x x x
b.
2sin( )cos( ) sin2
63
y x x x
c.
2sin(2 ) 4cos cos( )
33
y x x x
d.
66
sin cos sin4y x x x
.
Bai 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
7
a.
sin 2cos 1
sin cos 2
xx
y
xx
. b.
sin
cos 3
x
y
x
c.
2
4sin
2 sin(2 )
6
x
y
x
.
Bài 11’. Tìm các giá trị của x để
1 sin
2 cos
x
y
x
là số nguyên.
IV. Phƣơng trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx
Bài 12. Giải các phương trình:
a.
2
62
2
sin x sinxcosx - cos x
b.
2
2 2 3 2 2
2
sin x sin2xcos2x + cos x
c.
2 3 6
2
cos x sinxcosx = 3 + 3
d.
2
4 3 3 2 2 4
2
sin x sin x cos x
e.
4 4 1
3
sinxcos x - sin x cosx + 2sin x cos x +
22
Bài 13. Giải các phương trình
a.
2
3 8 9 0
2
sin x sinxcosx + 8 3 cos x
b.
2
1
2
2
2
sin x sin2x - cos x
c.
2
2 3 3 1 1
2
sin x sinxcosx + 3 cos x
d. 4sinx + 6cosx =
1
cosx
Bài 14. Giải các phương trình b. 2sin
3
x = cos3x c.
3
2
4
sin x sinx
d. 2sin
3
x = cosx
e.
33
sin cos sin cosx x x x
g.
1
12
t anx
sin x
1+tanx
Bài 15. Giải các phương trình
a.
2 3 6
3
sin xsin x sin x cos x
b.
3
40sin x sin x cosx
c.
3
43
32
cos x sin x cosxsin x sinx=0
d.
32
sin 3cos 3sin cos 2sinx x x x x
e.
3
cos2 sin cos cos sinx x x x x
g.
3
sin3 cos cos sinx x x x
V. Phƣơng trình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx
Bài 16. Gải các phương trình
a.
3 2 2 3 0sinx+cosx sin x
b.
sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
c.
2 12 12 0sin x sinx - cosx
d.
33
1sin x cos x
e. 1 + sin
3
2x + cos
3
2x =
3
4
2
sin x
g.
3
4
3
sin x sin x cos x
h.
1 tanx = 2 2 sinx
i. sinx +
1
sinx
+ cosx +
1
cos x
=
10
3
Bài 17. Giải các phương trình
a.
sin cos 4sin2 1x x x
b.
sin 1 cos 1 1xx
c.
sin2 2 sin 1
4
xx
. d.
2 sin3 cos3 sin cosx x x x
.
e.
33
sin cos sin2 sin cosx x x x x
. g.
cos sin sin cos 1x x x x
.(ĐH QGHN 97)
Bài 18. Giải các phương trình
a.
tanx+7 tanx + cot x+7 cot x = -14
b.
22
1
tan cot tanx + cotx 1
2
xx
c.
22
tan cot tanx + cotx 2xx
` d.
3 3 2 2
tan cot tan cot 1x x x x
e.
33
1
tan cot 3
sin 2
xx
x
g.
3 tan 3 cot 4xx
.
VI. Phƣơng trình lƣợng giác khác
Bài 19. Giải các phương trình
a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x
c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
e. tanx + tan2x = tan3x g.
2
sinx+sin3x+sin5x
tan 3
osx+cos3x+cos5x
x
c
Bài 20. Giải các phương trình
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
8
a.
2 2 2
5 2 3sin x sin x sin x
b.
3
345
2
2 2 2
cos x cos x cos x
c. 8cos
4
x = 1 + cos4x d. sin
4
x + cos
4
x = cos4x
e. 3cos
2
2x - 3sin
2
x + cos
2
x g. sin
3
xcosx - sinxcos
3
x =
2
8
h.
1 tan 1 sin2 1 tanx x x
i. tanx + tan2x = sin3xcosx
Bài 21.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phương trình
a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 15
0
)cot(x - 15
0
) =
1
3
c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin
4
x + 5cos
4
x - 3 = 0
e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin
2
x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x
h. sin
2
xtanx + cos
2
xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx i. sin
2
x + sinxcos4x + cos
2
4x =
3
4
.
VII. Tổng hợp các phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác
1. Đặt ẩn phụ
Áp dụng cho các loại phƣơng trình :
Phƣơng trình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lƣợng giác
Phƣơng trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx)
Phƣơng trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t =
sinx cosx
) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t
=
tanx cotx
)
Một số phƣơng trình khác…….
VD1. Giải phương trình :
x
2 osx = 2tan
2
c
(đặt
x
tan
2
t
)
VD2. GPT :
2
sinx + 3 osx + 3
sinx + 3 osx
c
c
VD3. GPT :
2
2
42
2 os 9 os 1
os os
c x c x
c x c x
(HD : Đặt t =
2
os
os
cx
cx
)
VD4 . GPT :
66
sin cos sin2 1x x x
(đặt t sin2x)
VD5.
3
8 os os3x
3
c x c
(Đặt t =
3
x
).
VD6.
22
sin 2 sin sin 2 sin 1 0x x x x
Bài tập vận dụng :
Bài 22. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau
1.
1 3sin 2 2tanxx
2.
1 tanx 1 sin2 1 tanxx
(chia cho cos
2
x đặt t)
3.
22
tanx.sin 2sin 3 os2x+sinx.cosxx x c
(Chia cho sin
2
x và đặt cotx=t)
4.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
xx
xx
5.
2
4
tan 5 0
cos
x
x
6.
2
2
4 2 2
cos cos 3 0
cos 3 cos
xx
xx
7.
22
2
4
4tan 10 1 tan tan 0
cos
x x x
x
8.
2
cos cos cos sin 1x x x x
(Khó)
9.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
xx
(
1 9 3
sin
2 10 2
x
VP
10.
2
cos9 2cos 6 2 0
3
xx
chú ý
3
os 9
3
cx
2. Biến đổi lƣợng giác
Sử dụng công thức hạ bậc
Đƣa về phƣơng trình tích
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
9
VD1:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x
VD2:
22
21
sin 4 cos 6 sin 10
2
x x x
VD3:
2
34
1 2cos 3cos
55
xx
VD4:
3
2sin cos2 cos 0x x x
VD5:
2sin cot 2sin 2 1x x x
VD6:
22
7
sin cos4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
Bài tập vận dụng
Bài 23 : Giải các phƣơng trình
1.
3 3 3
cos 4 cos3 .cos sin sin3x x x x x
2.
22
1 sin sin sin cos 2cos
2 2 4 2
x x x
xx
3.
10 10 6 6
22
sin cos sin cos
4 4sin 2 cos 2
x x x x
xx
4.
cos cos3 2cos5 0x x x
5.
sin3 sin5
35
xx
! biến đổi thông thường 6.
2
2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x
3.Phƣơng pháp không mẫu mực
Vd1 :
44
sin cos cos2x x x
Vd2 :
2008 2009
sin cos 1xx
Vd3 :
sin 3cos sin3 2x x x
Vd4 :
88
2
2
11
sin 2 cos 2 sin cos
8
2
nn
n
x x x x
Vd5 :
2
8cos4 cos 2 1 sin3 1 0x x x
(hạ bậc + đánh giá)
Bài tập vận dụng
Bài 24 : Giải các phƣơng trình dùng phƣơng pháp đánh giá.
1.
2
cos4 3cos 4sin
2
x
xx
2.
33
cos sin
2cos2
cos sin
xx
x
xx
!
3.
22
4 cos 3cos 1 2 3tan 3tan 0x x x x
(HĐT+ĐG) 4.
2 2 2 2
2sin cos 4 sin cos 4x x x x
5.
2
2 sin cos 2 cot 2x x x
VIII. Phƣơng trình lƣợng giác trong một số đề thi ĐH
1.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
( A-2008)2.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin .cosx x x x x x
( B-2008)
3.
2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x
( D-2008)4.
22
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x
( A -2007)
5.
2
2sin 2 sin7 1 sinx x x
(ĐH B - 2007) 6.
2
sin cos 3cos 2
22
xx
x
(ĐH D - 2007)
7.
66
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x
x
(ĐH A - 2006) 8.
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
(ĐH B - 2006)
9.
cos3 cos2 cos 1 0x x x
(ĐH D - 2006) 10.
22
cos 3 cos2 cos 0x x x
(ĐH A - 2005)
11.
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
(ĐH B - 2005) 12.
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x
(ĐH B - 2004)
13.
44
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
(ĐH D - 2005)
14.
2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x
(ĐH D - 2004)
15.
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
(ĐH A - 2003) 16.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
(ĐH B - 2003)
17.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
xx
x
(ĐH D - 2003)
18. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt:
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin2
xx
xx
x
(ĐH A - 2002)
19.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x
(ĐH B - 2002) 20.
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x
(ĐH D - 2002)
20/2 Hoàng Hoa Thám TP Buôn Ma Thuột
10
21.
11
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
xx
23.
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cosx x x x x
24.
53
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
25.
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
xx
xx
xx
26.
2 2sin cos 1
12
xx
27.
44
sin cos 1 1
cot 2
5sin2 2 8sin2
xx
x
xx
28.
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
xx
x
x
29. Cho phương trình
2sin cos 1
sin 2cos 3
xx
m
xx
(m là tham số).
a. Giải phương trình với m =
1
3
b. Tìm m để pt có nghiệm
30.
2
1
sin
8cos
x
x
31.
2
2 3 cos 2sin
24
1
2cos 1
x
x
x
Một Số Bài Tập Luyện Thêm
1)
33
sin x cos x
cos2x
2cosx sin x
+
=
-
2)
( )
2
cos2x cos x 2tan x 1 2+ - =
3)
( )
sin 2 x 4
4
3 2sin x 3 3tan x
cosx
æö
p
÷
ç
++
÷
ç
÷
÷
ç
èø
+ = +
5)
82cos2sin3cos6sin9 xxxx
6)
2sin 2 3sin cos 2
4
x x x
7)
2sin 2 4sin 1
6
xx
9)
23
os cos 2sinx-2=0c x x
10)
44
sin cos 1
tan cot
sin2 2
xx
xx
x
11)
sin4x 2 cos3x 4sinx cosx
12)
6
sin8cos
3
xx
13) Cho phương trình
mxx sin2cos3
2
c)
sin
cos
x
x
a) Giải phương trình với
2m
b) Tìm
m
để phương trình có ít nhất 1 nghiệm
4
;
4
14)
2
9
cos2
2
5
4
sin27sin3cos
22
xx
xx
15)
02cos2sincossin1 xxxx
16)
xxxx cos212sin2cos1sin2
17)
xxxx
2
sintan31tan3
3
2cos2
18)
xxx
2
cos4312sin21sin2
(ĐG) 19)
xxxx 6cos3cos2coscos4
20)
0cos1sintantan
3322
xxxx
21)
1sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
xxx
22)
xxx sin212cos22sin43
2
(HĐT) 23)
4
tan
4
tan2coscossin
33
xxxxx
24)
4
sin2sin
4
3sin
xxx
25)
2
1
3cos12cos1cos1 xxx
(Phân tích)
26)
xxx 3cos2tantan1
27)
xxxxx 2sinsin3sin
3
tan
6
tan
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
11
Khảo Sát- Tiếp Tuyến
1.
a) Khảo sát và và vẽ đồ thị hàm số
2
2
()
1
xx
yC
x
b)Vẽ đồ thị hàm số
2
2
1
xx
y
x
b) Tìm những điểm M trên đường thẳng
1y
sao cho từ M kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị
hàm số.
2.Cho hàm số
32
( 1) (2 ) 1 ( )
m
y mx m x m x m C
a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m=1
b)Tìm trên đường thẳng y=2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến C
1
c)Tìm những điểm cố định mà đồ thị C
m
luôn đi qua với mọi m.
3. Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1) ( )
m
y x mx m x m C
a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với
2m
b)Dựa và đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của phương trình
3 2 3 2
6 9 6 9x x x m m m
b)Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có đúng hai điểm có hoành độ
âm
4.Cho hàm số
2
1
x
y
x
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b)Vẽ đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
c)Biện luận số nghiệm của phương trình
( 2) 0m x m
5. Cho hàm số
32
3 1 ( )
m
y x x mx C
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m=0
b)Chứng minh rằng với mọi m, C
m
luôn cắt đồ thị hàm số
32
27y x x
tại 2 điểm phân biệt A và
B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi.
c)Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng
1y
tại ba ddiemr phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp
tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
I. Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến
1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại
1) Cho (C
m
): y= x
3
+mx
2
-m-1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C
m
) tại các điểm cố định của (C
m
).
2) Cho (C) y=x
3
+1-k(x+1).Viết phương trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy. Tìm k để (t) chắn
trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
3) Cho (C):y=-x
4
+2x
2
. Viết phương trình tiếp tuyến tại A(
2
; 0).
4) Cho (C):
4
9
2
4
1
24
xxy
. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox.
5) Cho (C):
3
1
x
x
y
. Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến vuông góc với (d): y=x+ 2009 với d
6) Cho (C):
1
22
2
x
xx
y
.
a) Điểm A thuộc (C) với x
A
=a. Viết phương trình tiếp tuyến (t
a
) tại A.
b) Tìm a để (t
a
) đi qua B(1;0). CMR: có hai giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tương
ứng vuông góc nhau. !!
12
.1kk
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
12
7) Cho đồ thị (C):
2
212 xxy
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đường
thẳng: y=-1.
2. Viết phƣơng trình tiếp biết tiếp tuyến kẻ từ
1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A
4;
12
19
đến (C): y=2x
3
-3x
2
+5.
2) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A
2;
9
23
đến (C): y=x
3
-3x
2
+2.
3) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A
1;
3
2
đến (C): y=x
3
-3x+1.
4) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến (C): y=x
3
-x-6.
5) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến (C): y=-x
3
+9x
6) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y=2x
3
+3x
2
-1.
7) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x
3
-3x
2
+2.
8) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;-2) đến (C): y=x
3
-3x
2
+2.
9) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x
3
-3x
10)Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;-1) đến (C): y=2x
3
+3x
2
-1.
11)Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến (C): y=3x-4x
3
.
12) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;
4
5
) đến (C):
1
1
2
x
xx
y
.
13) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;0) đến (C):
1
1
2
x
xx
y
.
14) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;0) đến (C):
1
22
2
x
xx
y
.
3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x
2
, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
mxy
3
1
.
2) Cho (C): y=x
3
-3x+7.
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng:y=6x-1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
9
1
xy
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: y=2x+3 một góc 45
0
.
12
12
tan
1
kk
kk
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=-x
3
+3x
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=-9x+1.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x
2
+2, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 5y-
3x+4=0.
5) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x
2
+2, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
xy
3
1
.
6) Cho đồ thị (C): y=2x
3
-3x
2
- 12x- 5.
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng:y=6x-4
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
3
1
xy
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng:
2
2
1
xy
một góc 45
0
.
7) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):
42
3
1
23
xxxy
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k=-2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dương Ox một góc 60
0
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dương Ox một góc 15
0
.
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
13
d)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với Ox một góc 75
0
.
e)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y=-x+2
f) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= 2x-3.
g) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đường thẳng y=3x+7 một góc 45
0
.
h) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đường thẳng
3
2
1
xy
một góc 30
0
.
8) Cho đồ thị (C):
56
2
xxy
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y=2x-1
9) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
1
1
2
x
xx
y
song song với đường thẳng y=-x.
II. Các dạng toán liên quan đến tiếp tuyến
1. Các dạng toán liên quan đến bài toán cơ bản 1
3
+ bx
2
1) Cho A(x
0
;y
0
) thuộc đồ thị (C): y=x
3
-3x+1. Tiếp tuyến với (C)tại A cắt đồ thị tại điểm B khác A.Tìm tọa độ
điểm B.
2) Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=x
3
- 3x-2. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C
cắt đồ thị (C) tại các điểm A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng.!!
0 0 0 0
( , ) '( 2 ; 8 9)M x y M x y
3) Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=ax
3
+ bx
2
+cx+d. Các tiếp tuyến của (C) tại
A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng !!!
2
' 3 2y ax bx c
PTTT
2
0 0 0 0
(3 2 )( )y ax bx c x x y
PTHĐGĐ
2
0
00
(2 )
( ) (ax 2 ) 0
ax b
x x ax b x
a
2
0
0 0 0 0
22
( ; ) ' ; 8 6 9
ax b b cb
M x y M y c x d
a a a
4
+bx
2
1) Cho (C):
2
5
3
2
1
24
xxy
a) Gọi (t) là tiếp của (C) tại M với x
M
=a. CMR: Hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của
phương trình: (x-a)
2
(x
2
+2ax+3a
2
-6)=0
b) Tìm a để (t) cắt (C) tại P, Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ.
2) Cho (C): y=x
4
-2x
2
. Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M thuộc (C). Tìm M để (d) cắt (C) tại hai điểm
phân biệt P, Q khác M khi đó tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác OPQ !
0
xx
bax
y
0
2
xx
cbxax
y
1
, d
2
1
,d
2
1
và d
2
.
Chú ý tính toán cẩn thận!!!
1) Cho (C):
32
54
x
x
y
và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai
tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
14
2) Cho (C):
3
13
x
x
y
và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai
tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
3) Cho (C):
22
43
2
x
xx
y
và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt
hai tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
4) Cho (C):
2
52
2
x
xx
y
và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai
tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
2. Các bài toán liên quan đến bài toán 2
3
+ bx
2
+cc
1) Cho (C): y=x
3
-3x
2
+2. Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua M nằm trên đồ thị (C).
2) Cho (C): y=x
3
+ ax
2
+bx+c. Tìm các điểm M thuộc (C) để kẻ đúng được một tiếp tuyến đến đồ thị.
3
+ bx
2
xy
1) Cho (C): y=x
3
-3x
2
+2.
Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
2) Cho (C): y=x
3
-12x+12.
Tìm trên đường thẳng: y=-4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
3) Cho (C): y=x
3
-6x
2
+9x-1. Từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng x=2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
(C).
4) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C):y=x
3
+3x
2
trong đó có
hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
5) Cho (C): y=-x
3
+3x
2
-2.
Tìm trên đường thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
6) Cho (C): y=x
3
-3x.
Tìm trên đường thẳng: x=2 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
7) Cho (C): y=x
3
-3x.
Tìm trên đường thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
0
xx
bax
y
0
2
xx
cbxax
y
và d:
xy
1) Tìm trên đường thẳng x=1 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C):
x
xx
y
23
2
.
2) Cho (C):
1
2
x
x
y
.
Tìm trên đường thẳng y=4 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45
0
. !!
3) Cho (C):
1
12
2
x
xx
y
.
Tìm trên đường thẳng y=7 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45
0
!!
4) Cho (C):
1
2
2
x
xx
y
. Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị.
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
15
5) Cho (C):
1
1
2
x
xx
y
. Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị.
6) Cho (C):
2
2
2
x
xx
y
. Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị.
7) Cho (C):
1
33
2
x
xx
y
. Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
3. Các dạng toán liên quan đến hệ số góc
xy
1. Cho (C
m
) :y=f(x)= x
3
+ 3x
2
+mx +1
a. Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y=1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b. Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D, E vuông góc nhau.
2. Cho (C
m
) :y=f(x)= x
3
+ mx
2
+1
a. Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y=-x+1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b. Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D, E vuông góc nhau
3. Cho hàm số (C): y= x
3
- 3x.
a. CMR: Đường thẳng d
m
: y= m(x+ 1)+ 2 luôn cắt đồ thị (C) tại A cố định.
b. Tìm m để d
m
cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau
4. Cho (C):y=-x
4
+2mx
2
-2m+1. Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1; 0) vuông góc nhau.
5) Cho (C
m
):
mx
mmxx
y
2
2
.
a) CMR: Nếu (C
m
) cắt trục hoành tại x=x
0
thì tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm có hoành độ x
0
có hệ số góc là
mx
mx
k
0
0
0
22
. !
b) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau.
xy
.
xy
.
xy
1. Tìm các điểm trên đồ thị (C):
3
2
3
1
3
xxy
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thằng
3
2
3
1
xy
(NN-2001).
2) Cho (C): y=x
3
+3x
2
-9x+5. Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
3) Cho (C):
1
3
1
23
mxmxxy
. Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
4) Cho (C): y=x
3
+3x
2
-9x+3. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất.
5) Cho (C): y=ax
3
+bx
2
+cx+d. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ
số góc nhỏ nhất nếu a> 0 và lớn nhất nếu a< 0.
6) Tìm M thuộc (C): y=2x
3
+3x
2
-12x-1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ.
7) Tìm điểm M thuộc (C):
1
1
2
x
xx
y
để tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác
OAB vuông cân.
1) Cho (C): y=x
3
+3x
2
+3x+5.
a) CMR :Không tồn tại hai điểm nào thuộc (C) để hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
b) Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đường thẳng:
y=kx+ m.
2) Cho đồ thị (C): y=x
3
- 3x
2
+1. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
16
song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định.
3) Cho đồ thị (C): y=ax
3
+bx
2
+cx+d. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó
song song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định.
4) Cho (C):
158
3
1
23
xxxy
. Lấy điểm A bất kỳ thuộc phần đồ thị (C) nằm giữa hai điểm cực đại và
cực tiểu. CMR: Luôn tìm được hai điểm B
1
, B
2
thuộc (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B
1
, B
2
vuông góc
với tiếp tuyến tại A.
1) Cho đồ thị (C): y=-x
4
+2x
2
-1.
Tìm tất cả các điểm A(0;a) thuộc Oy mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2) Cho đồ thị (C): y=x
4
-x
2
+1.
Tìm tất cả các điểm thuộc Oy mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
3) Cho (C): y= x
4
-4x
3
+3.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) mà tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt
4. Cho hàm số
3223
133 mxmmxxy
a. Khảo sát khi m = 2.
b. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó có đúng hai điểm có hoành độ âm.
5. Cho hàm số:
xxmxy 912
23
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt lập cấp số cộng.
6. Cho hàm số:
mxxxy 93
23
1. Khảo sát hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng.
7. Cho hàm số:
1
1
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện
tích không đổi.
3. Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác
có chu vi nhỏ nhất.
8. Cho hàm số:
2
2
x
x
y
1. Khảo sát sự biết thiên của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị những điểm cách đều hai trục toạ độ.
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
17
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Cho hai mp (P
1
): x + y + 2z = 0, (P
2
): x – y + z + 1 = 0, điểm A(1, 1, 1) và đ/thẳng
22
:
2 5 1
x y z
.
a) Chứng minh rằng (P
1
) cắt (P
2
), viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của (P
1
) với (P
2
).
b) Lập phương trình hình chiếu vuông góc của
trên (P
1
).
c) Lập phương trình đường thẳng qua A, cắt và vuông góc với d.
d) Lập phương trình mặt phẳng song song với (P
2
) và cách A một khoảng bằng 3.
e) Xác định giao điểm M của
với (P
2
), viết phương trình đường thẳng qua M, nằm trong (P
2
) và
vuông góc với
.
f) Lập phương trình đường vuông góc chung của d và
.
g) Chứng minh d và
chéo nhau, lập phương trình mặt phẳng chứa d và song song với
.
h) Lập phương trình đường thẳng qua A, cắt cả d và
.
i) Lập phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo bởi (P
1
) và (P
2
).
2. Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
a) Đi qua G(1, 2, 3) và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của
ABC.
b) Đi qua H(2, 1, 1) và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm của
ABC. (Hai vecto
cùng phương).
c) Đi qua M(1, 1, 1) và cắt chiều dương của các trục tọa độ tại A, B, C sao cho
OABC
V
nhỏ nhất.
(PTĐC) BĐT
3. Cho điểm M
1
(2 ; 1 ; -3) và hai mặt phẳng (P
1
) : x + y + 2z + 3 = 0, (P
2
) : x + (m – 2)y + (m – 1)z – 3m = 0
1. Xác định m để (P
1
) // (P
2
).
2. Với m vừa tìm được ở trên
a) Tính khoảng cách giữa (P
1
) và (P
2
).
b) Viết PTMP song song và cách đều (P
1
) và (P
2
).
c) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P
1
) tại M
1
và tiếp xúc với (P
2
). (Xét TH P
1
//P
2
)
d) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P
1
) tại M
1
và cắt (P
2
) theo thiết diện là đường tròn bk
62
(GPT)
4. Cho (P): 2x – 3y + 2z – 3 = 0, (S): (x – 8)
2
+ (y + 8)
2
+ (z – 7)
2
= 68
a) Chứng minh (P) cắt (S), xác định tâm và bán kính đường tròn thiết diện.
b) Viết phương trình mp song song với (P) và tiếp xúc với (S).
c) Viết phương trình mp song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính
51
d) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối với (S) qua (P).
5. Lập phương trình đường thẳng qua A(4 ; 1 ; -1) cắt và tạo với d :
0
1
1
x
yt
zt
một góc 45
0
. GPT
6. Cho A(4 ; -1 ; -1) và d
1
:
1 3 2
2 1 1
x y z
, d
2
:
3 1 1
2 1 3
x y z
a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau. Tính góc của chúng.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
c) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc d
1
và cắt d
2
.
7. Cho (P) : x + y – 6 = 0, d :
1
1
4
x
y
zt
a) Chứng minh d // (P). Tính khoảng cách giữa d với (P).
b) Viết phương trình mp chứa d và song song với (P).
c) Viết phương trình mp chứa d và tạo với (P) một góc
với
3
os
10
c
. GHPT 2A -Chọn
d) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và tiếp xúc d tại A(1; 1; 1).
e) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc d và tiếp xúc với (P) tại E(5; 1; 1) GHPT 2A -Chọn
8. Cho d:
2 4 2
1 3 1
x y z
và (P): 2x + 2y + z – 5 = 0. (Góc giữa 2mp là góc lớn nhất trong số các góc
giữa 1 đt trong mp này tới mp kia) !!
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
18
a) Viết phương trình mp chứa d và tạo với (P) một góc có số đo nhỏ nhất.
b) Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3, tâm thuộc d và tiếp xúc với (P).
9. Cho d:
1 1 1
2 2 1
x y z
và d’:
3 2 4
2 1 2
x y z
a) Chứng minh d cắt d’, tìm tọa độ giao điểm. Viết phương trình đường phân giác góc tạo bởi d, d’.
(Lấy giao với mặt cầu bk 1)
b) Viết phương trình mp chứa d và d’.
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với d’ một góc
với sin
= 4/9. gọi pháp tuyến
(a,b,c) – giải
d) Viết phương trình mặt phẳng chứa d’ và tạo với d một góc lớn nhất.
e) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d, d’ và có tâm thuộc đường thẳng
2
0
12
xt
y
zv
GPT
10. Cho đường thẳng d:
2
3 1 5
x y z
, mp(P): 2x + y – 3z – 5 = 0, A(1, 1, 2), B(2, 1, -3).
a) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với d qua (P).
b) Tìm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất. Khó!!!
c) Tìm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất
d) Tìm M thuộc (P) sao cho
MA MB
lớn nhất.
11. Cho đường thẳng d:
1 2 1
2 1 2
x y z
và mặt cầu (S) : (x – 4)
2
+ (y + 1)
2
+ (z – 2)
2
= 27.
a) Chứng minh rằng d cắt (S) tại 2 điểm A, B. Tính độ dài AB.
b) Viết phương trình đường thẳng song song với d và cắt (S) theo dây cung có độ dài lớn nhất.
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A.
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với d và
d
1
) Tiếp xúc với (S).
d
2
) Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn.
d
3
) Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có diện tích bằng 18
.
e) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn nhất.
f) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có đường kính AB.
12. Cho điểm A(4; 2; 2), và mặt cầu (S): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
+ z
2
= 9.
a) Chứng tỏ A thuộc (S). Tìm B thuộc (S) sao cho AB lớn nhất.
b) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (S) tại A và vuông góc với giá của vectơ
1;0;1
.
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (S) tại A và tạo với đường thẳng
3
:
1 2 2
x y z
một góc 45
0
. GHPT 2A -Chọn
B. GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI THI TUYỂN SINH CÁC NĂM
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d:
32
1
14
xt
yt
zt
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 2:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0)
C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 1. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng
A’C và AC’ lớn nhất !
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P):
x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
19
Bài 3: Cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z
và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a. Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường
thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d.
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a. Tìm toạ độ các đỉnh A
1
,C
1
. Viết PT mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song
với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
Bài 5: Cho hai đường thẳng: d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z
và d
2
:
20
3 12 0
x y z
xy
a. CMR: d
1
// d
2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d
1
và d
2
b. Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ)
Bài 6: Cho điểm A(0; 1; 2) và hai đ/thẳng : d
1
:
11
2 1 1
x y z
d
2
:
1
12
2
xt
yt
zt
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
b. Tìm toạ độ các điểm M d
1
, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
Bài 7: Cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z
, d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z
a. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2
Bài 8: Cho hai đường thẳng d
1
:
12
2 1 1
x y z
và d
2
:
12
1
3
xt
yt
z
a. Chứng minh rằng: d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết PT đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
Bài 9: Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Bài 10: Cho hai điểm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) và đường thẳng :
12
1 1 2
x y z
a. Viết PT đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).
b. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA
2
+ MB
2
- nhỏ nhất
Bài 11Trong không gian Oxyz cho điểm A(2 ;5 ;3) và đường thẳng
12
( ):
2 1 2
x y z
d
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d)
b) Viêt phương trình mặt phẳng () chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới () là lớn nhất.
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) .
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC.
Bài 13 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3)
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 14: Cho mp(P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 11 = 0
CMR mặt phẳng cắt mặt cầu, xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến.
Bài 15 : Cho (P) x – 2y + 2z – 1 = 0, d
1
:
19
1 1 6
x y z
, d
2
:
1 3 1
2 1 2
x y z
. Xác định tọa độ M
thuộc d
1
sao cho M cách đều d
2
và (P).
Bài 16 : Cho A(0, 0, 2) và đường thẳng d :
2 2 3
2 3 2
x y z
. Tính khoảng cách từ A đến d. Viết phương
trình mặt cầu tâm A cắt d tại 2 điểm B, C sao cho BC = 8.
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
20
Bài 17: Cho
12
:
2 1 1
x y z
, (P) : x – 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của
với (P), M là điểm thuộc
.
Tình khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6
.
Bài 18 : Cho A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) trong đó b, c > 0 và mặt phẳng (P) : y – z + 1 = 0. Xác định
b, c biết rằng mp(ABC) vuông góc với mp(P) và khoảng cách từ O đến mp(ABC) bằng 1/3.
Bài 19 : Cho 2 mp (P) : x + y + z – 3 = 0 và (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mp(R) vuông góc với
(P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
Bài 20 : Cho
1
3
:
xt
yt
zt
và
2
21
:
2 1 2
x y z
. Xác định tọa độ điểm M thuộc
1
sao cho khoảng cách
từ M đến
2
bằng 1.
Chuyên Đề Tích Phân
Các Bài Tập Tổng Hợp
1.
2
1
0
(2 1)
xx
x e dx
2. Với
0;
4
x
xác định a,b sao cho
1 cos cos
cos 1 sin 1 sin
a x b x
x x x
3. Tính
/4 /4
3
00
cos cos
dx dx
IJ
xx
4.
/2
0
sin cos 1
sin 2cos 3
xx
dx
xx
5.
1
3
0
(3 1)
( 3)
x dx
x
1
3
0
( 1)
xdx
x
6.
1
2
4
0
1
1
x
dx
x
22
0
sin
x
e xdx
7.
/2
0
cos
2 cos2
xdx
x
8.
1
2
1
,(0< < )
2 cos 1
dx
xx
9.
/2
3
0
4sin
1 cos
xdx
x
22
0
a
x a dx
10.
2
0
1 sin xdx
3 /8
22
/8
sin cos
dx
xx
11.
2
1
11
dx
xx
2
1
ln
b
x xdx
12.
/2
2
0
cosx xdx
2
2
2/ 3
1
dx
xx
13.
0
cos sinx xdx
14. Cho hàm số:
( ) sin .sin2 .cos5f x x x x
a. Tìm họ nguyên hàm của g(x).
b. Tính tích phân:
2
2
()
1
x
fx
I dx
e
c.
ln2
2
0
1
x
x
e
dx
e
1
2
0
1
1
x
dx
x
15.
/4
0
cos 2sin
4cos 3sin
xx
dx
xx
1
3
0
3
1
dx
x
16.
1
42
0
43
dx
xx
17.
/3
22
/6
cot 2tg x g x dx
(ĐH Mỏ_00)
18.
/3
/6
sin sin( / 6)
dx
xx
(ĐH Mỏ_00)
19.
/4
66
/4
sin cos
61
x
xx
dx
(ĐH Mỏ_01)
20.
2
2
1
ln( 1)x
dx
x
(ĐH Hàng Hải_00)
21.
/2
0
sin
sin cos
xdx
xx
dx
(ĐH GT VT_95)
22.
3
52
0
.1x x dx
(ĐH GT VT_96A)
1/9
3
2
5
0
1
5
sin (2 1)
41
x
x
dx
x
x
(ĐH GT VT_97)
23.
7/3
3
0
1
31
x
dx
x
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
21
2
4
2
(10 sin )
x
x dx
(ĐH GT VT_98)
24.
13
10
.
54
x
I dx x arctgxdx
x
(ĐH GT VT_99)
25.
/2
2
/2
cos
4 sin
xx
dx
x
(ĐH GT VT_00)
26.
/2
3
0
5cos 4sin
(cos sin )
xx
dx
xx
(ĐH GT VT_01)
27.
/2
4
44
0
cos
cos sin
x
dx
xx
(ĐH GTVT HCM_99)
28.
/3
2
6
/4
sin
cos
x
dx
x
(ĐH GTVT HCM_00)
29.
2
2
2
2
1
1
x
dx
xx
(HV BCVT_97)
30.
/2
3
2
0
sin cos
1 cos
xx
dx
x
(HV BCVT_98)
31.
1
4
1
12
x
x
dx
(HV BCVT_99)
32.
2
0
sin cosx x xdx
(HV NH_98)
33.
/2
22
0
cos cos 2I x xdx
/2
22
0
sin cos 2J x xdx
(HV NH HCM_98)
34.
/3
2
0
sin
cos
xx
dx
x
1
3
2
0
1
x
dx
xx
(HV NH HCM_00)
14
2
2
00
sin4
ln( 1)
1 cos
x
x x dx dx
x
35.
2
0
1 sin xdx
(ĐH NThương_94)
36.
11
2
22
00
32
( 3 2) 3
dx x x
dx
x x x
(ĐH NThương_99)
37.
/4
3
0
cos2
sin cos 2
x
dx
xx
(ĐH NThương_00A)
38.
1
32
2
0
2 10 1
29
x x x
dx
xx
(ĐH NThương_00)
1
2
2
0
3 10
29
xx
dx
xx
39.
/4
66
0
sin4
sin cos
x
dx
xx
(ĐH NThương_01A)
40.
1
5 3 6
0
(1 )x x dx
(ĐH KT_97)
41.
/4 1
5
42
00
x
J=
cos 1
dx
I dx
xx
(ĐH TM_95)
42.
1
0
1x xdx
(ĐH TM_96)
43.
7 ln2
9
3
2
00
1
J=
1
1
x
x
xe
I dx dx
e
x
(ĐH TM_97)
44.
ln2
0
5
x
dx
e
(ĐH TM_98A)
45.
4
2
1
(1 )
dx
xx
(ĐH TM_99)
46.
/2
3
0
4sin
(sin cos )
x
dx
xx
(ĐH TM_00)
47.
11
0
sin xdx
(HV QHQT_96)
48.
/4
24
0
sin cosx xdx
(ĐH NN_96)
49.
2
1/2
ln
(1 )
e
x
dx
x
(ĐH NN_97)
50.
/4
2
0
cos cos4x xdx
(ĐH NN_98)
51.
7/3
3
0
1
31
x
dx
x
(ĐH NN_99)
52.
1
22
0
(1 )x x dx
(ĐH NN_01D)
53.
/2
2
0
cos
x
e xdx
(ĐH Thuỷ Lợi_96)
54.
0
1 cos2xdx
(ĐH Thuỷ Lợi_97)
55.
32
2
4 2 5
11
1
J=
1 ( 1)
x dx
I dx
x x x x
(ĐH Thuỷ Lợi_99)
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
22
56.
/4
0
ln 1 tgx dx
!!!
(ĐH Thuỷ Lợi_01A)
57.
/2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
(ĐH Thuỷ Lợi_00)
3
32
0
2x x xdx
58.
/4
0
sin .cos
sin2 cos2
xx
dx
xx
(ĐH Văn Hóa_01D)
59.
/2
2 2 2 2
0
sin cos
; , 0
cos sin
xx
dx a b
a x b x
(HV TCKT_95)
60.
2/2
2
2
0
1
x
dx
x
(HV TCKT_97)
61.
/4
2
0
(2cos 1)x x dx
(HV TCKT_98)
62.
/3 1
4
2
/4 0
cos sin x 1
1
3 sin2
xx
dx dx
x
x
(HV TCKT_99)
/2
0
43
0
sin 7cos 6
4sin 3cos 5
cos sin
xx
dx
xx
x x xdx
63.
1
42
0
1
x
dx
xx
(HV TCKT_00)
64.
/2
2
0
( 1)sinx xdx
(ĐH Mở_97)
65.
/2
3
0
4sin
1 cos
x
dx
x
(ĐH Y HN_95)
66.
11
2
2
1/2 0
1
xx
dx
x dx
ee
(ĐH Y HN_98)
67.
4 /3
sin
2
dx
x
(ĐH Y HN_99)
68.
/3 2
2
4
2
/4 1
7 12
x
tg xdx dx
xx
(ĐH Y HN_00)
69.
1
2
0
1x dx
(ĐH Y TB_97B)
70.
/4
2
0
2 cos
dx
x
(ĐH Y TB_00)
71.
1
23
0
(1 )x dx
(ĐH Y HP_00)
72.
2
/2
/2
sin
12
x
xx
I dx
(ĐH Dược_96 )
73.
10
2
1
lgx xdx
(ĐH Dược_01A)
74.
ln3 2
2
00
.
1
x
x
dx
xe dx
e
(HV QY_97)
75.
32
3
24
22
sin
1 4 5
dx x
dx
x x x
(HV QY_98)
76.
1/2
0
1 cos
dx
x
(HV QY_99)
77.
/2
2
/2
cos ln( 1 )x x x dx
!!!
(HV KT Mật Mã_99)
1 /3
4
64
0 /6
1
1 sin cos
x dx
dx
x x x
78.
1
2
0
xtg xdx
1
2
0
( 1)
xdx
x
79.
/4
3
4
0
4sin
1 cos
x
dx
x
80.
/2
3
3
/3
sin sin
cot
sin
xx
gxdx
x
(HV KTQS_97)
81.
1
2
1
11
dx
xx
(HV KTQS_98)
82.
/2
0
cos ln(1 cos )x x dx
(HV KTQS_99)
83.
1/ 3
22
0
(2 1) 1
dx
xx
84.
2
2
2
0
b
ax
dx
ax
(a, b là số thực dương cho
trước) (HV KTQS_01A)
85.
2 2 2
0
, 0
a
x x a dx a
(ĐH AN_96)
86.
2
0
sin
2 cos
x xdx
x
(ĐH AN_97)
87.
/2 4
33
4
00
(cos sin )
cos
dx
x x dx
x
(ĐH AN_98)
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
23
88.
1
22
00
sin
x
xe dx x xdx
89.
4
2
7
9
dx
xx
2
2
1
( ln )x x dx
90.
22
22
00
3sin 1xdx x x dx
91.
3
2
1
ln 2 ln
e
x
dx
x
/4
2
0
1 sin2
cos
x
dx
x
92.
1
3
0
3
1
dx
x
1
22
0
(1 )
x
x e dx
93.
2 /2
00
/2
2
0
1 sin 2
1
(2 1)cos
x
dx dx
x
e
x xdx
94.
12
22
01
ln( 1)
3
x
dx x
dx
ex
95.
/2 1
2
2
/6 0
1 sin2 cos2 (1 )
sin cos 1
x
x
x x e
dx dx
x x e
(ĐH NN I_97)
96.
/2 /2
2
00
cos
sin3
1 cos
x
xdx
e xdx
x
(ĐH NN I_98B)
97.
1
19
0
(1 )x x dx
(ĐH NN I_99B)
98.
2 /4
2
3
10
( 1)
dx
xtg xdx
xx
(ĐH NN I_00)
99.
/2
6
4
/4
cos
sin
x
dx
x
(ĐH NN I_01A)
100.
2
1
ln(1 )x dx
(ĐH Lâm Nghiệp_97)
101.
1
4
2
1
sin
1
xx
dx
x
(ĐH Lâm Nghiệp_98)
102.
/2
0
2 sin cos
dx
xx
(ĐH Lâm Nghiệp_00)
103.
1
2
0
.sinx xdx
(ĐH SP HN I_99D)
104.
2 2 2
0
( 0)
a
x a x dx a
(ĐH SP HN I_00)
105.
1
32
0
1x x dx
(ĐH SP HN I_01B)
106.
2
2
1
2
xdx
x
(ĐH THợp_93)
107.
3
0
sinx xdx
(ĐH THợp_94)
/2
0
sin cos
dx
xx
108.
1
0
1
dx
x
(ĐH QG_96)
109.
/2 1
3
2
00
sin
1 cos
1
xdx dx
x
xx
(ĐH QG_97A, B, D)
11
2
22
00
44
x dx xdx
xx
110.
1 1 /4
3
32
2
0 0 0
sin
1
1 cos
x
dx x
x x dx dx
ex
(ĐH QG_98)
111. Tính
/6
2
0
/6
2
0
sin
;
sin 3cos
cos
sin 3cos
x
I dx
xx
x
J dx
xx
.
Từ đó suy ra:
5 /3
3 /2
cos2
cos 3sin
x
dx
xx
(ĐH QG HCM_01A)
112.
/4 /4
00
2cos
5 sin2
3 2sin
x
xdx
e xdx
x
(ĐH SP II _97)
113. Cho f(x) liên tục trên R :
( ) ( ) 2 2cos2 f x f x x x R
.
Tính
3 /2
3 /2
()f x dx
(ĐH SP II _98A)
114.
/2
10 10 4 4
0
(sin sin cos sin )x x x x dx
(ĐH SP II _00)
115.
30
2
2
11
32
1
42
x dx
dx
x
xx
(CĐ SP HN_00)
116.
1 /4
22
00
(sin 2cos )
1
3sin cos
xx
x x dx dx
xx
(CĐ SP HN_00)
117.
22
0
sin cosx xdx
(CĐ SP MGTW_00)
)
118.
/2 4
01
1 sin
ln( )
1 cos
(1 )
x dx
dx
x
xx
!!
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
24
119.
11
2
2
11
1
1 arcsin
12
x
x
x xdx dx
(CĐ PCCC_00)
120.
2
1
2
1
( sin )
xx
e x e x dx
(ĐH TN_00)
121.
3
3
2
0
21
t
dt
tt
(ĐH SP Vinh_98)
122.
11
2
2
4
1/2 0
1
1
1
x
dx x dx
x
(ĐH SP Vinh_99)
123.
1
2
2
0
()
1
x x dx
x
(ĐH HĐ_99)
124.
/4
3
00
sin cos3
1
dx
x xdx
tgx
(ĐH HĐ_00)
125.
2
2
1
ln x
dx
x
(ĐH Huế_98)
126.
/2
6
66
0
sin
sin cos
x
dx
xx
(ĐH Huế_00)
127.
2
7
21
dx
x
(ĐH ĐN_97)
128.
/2
2
00
cos cos
1 sin
1 cos
x xdx
dx
x
x
(ĐH ĐN_98)
129.
/4 2
4
00
ln
cos
dx
x xdx
x
(ĐH ĐN_99)
130.
/2 /2
/4 0
sin cos sin
sin cos 1 2cos
x x xdx
dx
x x x
(ĐH ĐN_00)
131.
1
2
2
0
1
x x arctgx
dx
x
(ĐH Tnguyên_00)
132.
2
3
0
1
2 10
0
1
32
(1 3 )(1 2 3 )
x
dx
x
x x x dx
(Quy nhơn)
133.
2
11
1
2 ln
sin
2
ln
e
e
x
dx xdx
x
x
dx
x
(Đà Lạt)
134.
23
2
23
00
1
1
1
x
x x dx dx
x
(ĐH Cần Thơ)
/2 /2
33
00
/4
44
0
cos sin
sin cos sin cos
sin4
sin cos
xx
dx dx
x x x x
x
dx
xx
135.
2
11
3
2
1 0 0
ln
(ln 1)
1
e
x
xdx x
x e dx dx
xx
x
136.
/2
23
0
/2
2
0
sin 2 (1 sin )
sin cos (1 cos )
x x dx
x x x dx
137.
2
/2
2
0
3
53
1
0
( 1)sin
2
x
x xdx
xx
dx
ĐH Thuỷ sản NT
138.
/2 /2
2
2
00
sin
cos
cos 3
xdx
dx x xdx
x
(ĐH BK HCM)
139.
/2 1
4
3
00
cos 2
(2 1)
xdx
xdx
x
140.
1
2
00
sin
1
9 4cos
xx
dx x xdx
x
(ĐH Y Dược HCM)
141.
2
-
sin
1 sin
13
x
xdx
xdx
(ĐH Ngoại thương)
142.
1
2 3 2
10
ln 1
e
x xdx x x dx
143.
/3 1
2
00
sin 4 11
sin cos 5 6
xdx x
dx
x x x x
144.
1
3
0 0 0
sin sin
1
x
x
e
dx x xdx x xdx
e
(ĐH QG HCM)
145.
1/2 /2
4
24
00
sin2
1 1 sin
x xdx
dx
xx
146.
/2 1
4
00
sin2
1 cos
21
x xdx
dx
x
x
147.
/2 1
2 3 2
00
sin cos sin ( )
x
x xdx e x dx
148.
21
00
1
x
x dx e dx
20/2 Hoàng Hoa Thám - TP BMT Luyện Thi Đại Học
25
149.
15
2 20
04
1
2
0
1 ( 4)
(1 )
x
x
x dx x x dx
e
dx
e
150.
ln2
22
2
10
1 ln 3
32
e
xx
xx
x e e
dx dx
x e e
151.
ln2
3
0
1
x
x
e
dx
e
(Dự bị_02)
152.
0
2
3
1
1
x
x e x dx
(Dự bị_02)
153.
/2
6
35
0
1 cos .sin .cosx x xdx
154.
23
2
5
4
dx
xx
(Đề chung_03A )
155.
/4
0
1 cos2
xdx
x
(Dự bị_03)
156.
1
32
0
1x x dx
(Dự bị_03)
157.
/4
2
0
1 2sin
1 sin2
x
dx
x
(Đề chung_03B)
158.
ln5
2
ln2
1
x
x
e
dx
e
(Dự bị_03)
159. Cho hàm số:
3
()
( 1)
x
a
f x bxe
x
, tìm
a, b biết rằng:
'(0) 22f
và
1
0
( ) 5f x dx
.
(Dự bị_03)
160.
2
2
0
x x dx
(Đề chung_03D)
161.
2
1
3
0
x
x e dx
(Dự bị_03)
162.
2
1
1
ln
e
x
xdx
x
(Dự bị_03)
163.
2
1
11
x
dx
x
(Đề chung_04A)
164.
1
1 3ln .ln
e
xx
dx
x
(Đề chung_04B)
165.
3
2
2
ln x x dx
(Đề chung_04D)
166.
/2
0
sin2 sin
1 3cos
xx
dx
x
(Đề chung_05A)
167.
/2
0
sin2 .cos
1 cos
xx
dx
x
(Đề chung_05B)
168.
/2
sin
0
cos cos
x
e x xdx
(Đề chung_05D)
169.
7
3
0
2
1
x
dx
x
(Dự bị_05)
170.
/2
2
0
sin xtgxdx
(Dự bị_05)
171.
/2
cos
0
sin2
x
e xdx
(Dự bị_04)
172.
2
42
2
0
1
4
xx
dx
x
(Dự bị_05)
173.
/4
sin
0
cos
x
tgx e x dx
(Dự bị_05)
174.
2
1
ln
e
x xdx
(Dự bị_05)
175.
/2
22
0
sin2
cos 4sin
x
dx
xx
(Dự bị_05)
176.
6
2
2 1 4 1
dx
xx
(Dự bị_06)
177.
1
2
0
2
x
x e dx
178.
/2
0
( 1)sin2x xdx
(Dự bị_06)
179.
2
1
2 lnx xdx
(Dự bị_06)
180.
ln5
ln3
23
xx
dx
dx
ee
(Dự bị_06)
181.
10
5
21
dx
xx
(Dự bị_06)
182.
1
3 2ln
1 2ln
e
x
dx
xx
(Dự bị_06)
183.
ln8
2
ln3
1.
xx
e e dx
(Dự bị_04)
184.
2
0
.sinx xdx
(Dự bị_05)
