Chuyen de ung dung dao ham

HÀM SỐ
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định.
B3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
3 2 2

4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x
x d
− − + + + −
− +
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.

Chứng minh hàm số
2
2y x x= −
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a. Chứng minh hàm số
2
9y x= −
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
b. Hàm số
4
y x
x
= +
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a. Hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số
2

2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c. Hàm số
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho
trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
1
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x= + + +
đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số
2 2

5 6
( )
3
x x m
f x
x
+ + +
=
+
đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x= − + − + +
đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10

Cho hàm số
4mx
y
x m
+
=
+
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )+∞
c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1)−∞
Ví dụ 11
Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
. Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng
(2; )+∞
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a= − − − + + − −
đồng biến trên
[2:+ )∞
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.

+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠
Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
b. Chứng minh rằng

2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) tanx - xf x =
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
b. Chứng minh
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
π
> + ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
4
( ) t anx, x [0; ]
4
f x x

π
π
= − ∈
2
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4
π
b. Chứng minh rằng
4
tan , [0; ]
4
x x x
π
π
≤ ∀ ∈
 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc
f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu
là x

i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i
) < 0
thì hàm số có cực đại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
Qui tắc I.
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −

+
∞
-
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞
-
∞

y
y'
x
Vậy x = -3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −


y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và
y
cđ
=71
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5

9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
3
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a)
= 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m= − + −
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m⇔ − + − = ⇔ =
Với m = 1 ta được hàm số: y = x
3
– 3x

2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= − ⇒ = ⇔

=

tại x = 2 hàm số đạt giá trị
cực tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác định m để hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + +
Bài 2. Tìm m để hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − +
Bài 3. Tìm m để hàm số
2
1

®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 4. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và
đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x

x
= − ∀ ≠
+
+ Nếu
0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.q ≤ ∀ ≠
+ Nếu q > 0 thì:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q
f x
x
x q

= − −
+ + −
= = ⇔

+

= − +

Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’

Phương pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:
• Hàm số
3 2
ax ( 0)y bx cx d a= + + + ≠
có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
4
Cc tr ca hm phõn thc
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Gi s x
0
l im cc tr ca y, thỡ giỏ tr ca y(x
0
) cú th c
tớnh bng hai cỏch: hoc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( ) hoặc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x

Q x Q x
= =
Vớ d . Xỏc nh m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+
+ + +
+
Hng dn.
a. TX: R

2
' 2 6y x mx m= + + +
.
hm s cú cc tr thỡ phng trỡnh:
2
2 6 0 có 2 nghiệm phân biệtx mx m+ + + =
2
3
' 6 0
2
m
m m
m

>

= >

<

b. TX:
{ }
\ 2Ă

2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
àm số có cực đại, cực tiểu khi ' 0 ó hai nghiệm phân biệt khác -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
+ + + + + +
= =
+ +

= + + + =
> >

<

+ +

Bi 1. Tỡm m hm s
3 2
3 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT?y x mx= +
Bi 2. Tỡm m hm sụ
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ + +
=

luụn cú cc i v cc tiu.
Bi 3. Cho hm s
3 2
2 ã 12 13y x x= +
. Tỡm a hm s cú cc i, cc tiu v cỏc im cc tiu ca
th cỏch u trc tung.
Bi 4. Hm s
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= + +

. Tỡm m hm s cú cc i cc tiu.
Bi 5. Cho hm
2
1
x mx
y
x
+
=

. Tỡm m hm s cú cc tr
Bi 6. Cho hm s
2
2 4
2
x mx m
y
x
+
=
+
. Xỏc nh m hm s cú cc i v cc tiu.
Dng 4. Tỡm tham s cỏc cc tr tho món tớnh cht cho trc.
Phng phỏp
+ Tỡm iu kin hm s cú cc tr
+ Vn dng cỏc kin thc v tam thc, h thc Viet tho món tớnh cht.
Vớ d .
5
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3

3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +

− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Bài 5. Xác định m để hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + +

Bài 6. Tìm m để hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − +
Bài 7. Tìm m để hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 8. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + −
Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và
đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x

= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Bài 11. Tìm m để hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx= − +
Bài 12. Tìm m để hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
2 · 12 13y x x= + − −
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của
đồ thị cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1

x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
( )
;a b
:
6
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x
0
thì f’(x

0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò x
i

[ ]
;a b∈
(i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2: Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
B3: GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y x
x

= +
trên khoảng
(0; )+∞
Hướng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )+∞
2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )x = − ∉ +∞
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x= + + −
trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn

Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈
∈
= −

= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

= −


− −
− = − = − − = = −
= −
−
=
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a ∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
π π
 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
• y = y
0

là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn:
0 0
lim ( ) ,hc lim ( )
x x
f x y f x y
→+∞ →−∞
= =
• x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞
7
GTLN
-
+
y
y'
b
x
0
a
x
GTNN
+
-

y
y'
b
x
0
a
x
+
∞
+
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
1
0
x
• Đường thẳng y = ax + b (
0a
≠
) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0
x x
f x f x
→+∞ →−∞

− −
II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=
Phương pháp
• Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
• Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng
cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )x
ε
với
lim ( ) 0
x
x
ε
→∞
=
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2
2x- 1 x 7 x + 2

. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x
− −
− −
Hướng dẫn
a. Ta thấy
2 2
2 1 2 1
lim ; lim
2 2
x x
x x
x x
− +
→− →−
− −
= −∞ = +∞
+ +
nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2
2
1

x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim
3
x
x x
x
−
→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
1

2
3
y x
x
= + −
−
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
x x
x
→∞ →∞
−
=
−
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số.
c. Ta thấy
2
1
2
lim .
1
x
x
x
+
→
+
= = +∞

−
Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+
2
2
2
1 2
2
lim 0
1
1
1
x
x
x x

x
x
→+∞
+
+
= =
−
−
. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ
2
ax ( 0)y bx c a= + + >
Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi đó

( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→−∞
=
khi đó
( )
2
b
y a x
a
= − +
có tiệm cận xiên bên tr ái
VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè:
2
9 18 20y x x= − +
Híng dÉn
2
9( 2) 6y x= − +
8

Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=
lim ( )
0
f x
x x
lim ( )
0
g x
x x
Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0
f x
x x
g x

L

Tuỳ ý 0
L > 0 0
+ +

- -

L < 0 0
- +

+ -

Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y = d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1
Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3
x x x
a

x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x
g. y = x- 3 + h. y =
2(x- 1) 1
x
x

+
Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1
1
.
4
x

a
x
x
c y
x
+

+
=

Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y
x m x m

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
2 2
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +

+
Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
+ +
=

tạo với hai trục
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x
+ +
=

(1)
a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)A
b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
y x=
tại hai điểm phân biệt.

9
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +
Phơng pháp
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.

+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phơng trình:
3 2
3 1x x m + =
Hớng dẫn
a.
1. TXĐ:
D = Ă
2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực
3 3
2 3
3 3
2 3
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
+ +

+ = + = +
+ = + =
c. Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=

= + = + =

=

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) và (2; + )
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y
CĐ
=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y
CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0y =
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+

'' 0 6 6 0 1y x x= + = =
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
3 2
3 1y x x= +
và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Phơng trình có 1 nghiệm.

3 ph ơng trình có 2 nghiệm
-1< m < 3: Ph ơng trình có 3 nghiệm.
m = -1: Ph ơng trình có 2 nghiệm
m < -1: Ph ơng trình có 1nghiệm
m =
Các bài toán về hàm bậc ba
Bài 1(TNTHPT 2008)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1x x m+ =
Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m =
có 3 nghiệm phân biệt.
10
3
-

+

-1
-
-
+
0
0
2
0
+

-

y
y'
x
2
-2
-5
5

Bi 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hm s y=
3
3 2x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .
Bi 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hm s y=
3 2
3x x +
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3x x +
-m=0 .
Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)
Cho hm s y=
3 2
6 9x x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng y=x+m
2
-m i qua trung im ca on thng ni cc i vo
cc tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=

3 2 3
3 4x mx m +
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .
Bài 7 (ĐH- A- 2002)
Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1
b. Tìm k để phơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phơng trình đờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
Bài 9 (ĐH-B- 2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)

Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b. Tìm m để nghiệm của phơng trình y= 0 thuộc đờng thẳng y = x+ 1
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 3
Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)
Cho hàm số
3
3 2y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đờng thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm
phần biệt. (Gợi ý đờng thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x

0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
11
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
2 2x mx m x +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
12
Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng
Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho
0a

Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu

2
' 0 2 (2 ) 0y x ax b = + =
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
<
Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.
Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)
Cho hàm số
4 2
2y x x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b. Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị
13
Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +

2 2
a x x x
d x x
+ + +
= 1
Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải phơng trình
4 2
2 1 0x x + =
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1x x +
c. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
4 2
2 1 0x x m + =
Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số
4 2
m
2 (C )y x mx= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

4 2
5 4y x x= +
2. Xác định m để phơng trình
4 2 2
5 3 0x x m + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2y k x=
Bài 7
Cho hàm số
4 2 3 2
2y x mx m m= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)

Cho hàm số
4 2
2 2y x x m= +
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
14
HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
),(:)( mxfyC
m
=
( m là tham số )
Biện luận theo m số đường cong của họ
)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM
cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Ta có :

Họ đường cong
)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM

⇔

),(
00
mxfy =
(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0
Cụ thể:
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0
• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0
• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0
Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong
)(
m

C
D¹ng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
),(:)( mxfyC
m
=
( m là tham số )
Tìm điểm cố đònh của họ đường cong (C
m
)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Gọi
);(
000
yxM
là điểm cố đònh (nếu có) mà họ (C
m
) đi qua. Khi đó phương trình:

),(
00
mxfy =
nghiệm đúng
∀
m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0=+ BAm

m∀
Dạng 2:
0
2
=++ CBmAm

m
∀
Áp dụng đònh lý:
0
=+
BAm



=
=
⇔∀
0
0
B
A
m
(2)







=
=
=
⇔∀=++
0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx
Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (C
m
)
3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − +
. CMR: Khi m thay ®ỉi th× hä ®êng cong
lu«n qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (C
m
):

1mx
x m
+
=
+
. T×m c¸c ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cđa hµm sè lu«n ®i qua víi mäi
1m
≠ ±
Bµi 3. Cho hä (C
m
) cã ph¬ng tr×nh:
2
1
1
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Chøng minh r»ng (C
m
) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè
®Þnh.
Bµi 4. Cho hµm sè (C
m
):
3
3 2y x mx m= − +
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.

b. Chøng minh r»ng hä ®êng cong lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
15
Bài 5. Cho hàm số:
1
, m 1
mx
y
x m

=

. Gọi (H
m
) là đồ thị của hàm số đã cho.
a. Chứng minh rằng với mọi
1m

, họ đờng cong luôn qua 2 điểm cố định.
b. Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
3 2
m
( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )y m x m x m x m= + + + + +
. Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua
ba điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đờng thẳng.
Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Phơng pháp:
B1: Giả sử M(x
0
; y

0
) là điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.
B2: Khi có phơng trình:
),(
00
mxfy =
vô nghiệm với m từ đó tìm đợc (x
0
; y
0
)
B3: Kết luận về điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.
Bài 1. Cho hàm số
2 2
m
( 2)( 2 1) (C )y x x mx m= +
. Tìm các điểm mà (C
m
) không thể đi qua.
Bài 2. Cho hàm số
2
(3 1)m x m m
y
x m
+ +
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi qua.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số

3 2
m
2 3( 3) 18 8 (C )y x m x mx= + +
. Chứng minh rằng trên đờng cong y = x
2
có
hai điểm mà (C
m
) không đi qua với mọ m.
16
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình
a) Phương pháp
 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :
A B C D+ = +
, ta thường bình phương 2 vế ,
điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau

( )
3 3 3 3
3 3
3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + =

và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C+ =
ta được phương trình :
3
3 . .A B A B C C+ + =

b) Ví dụ
Bài 1. Giải phương trình sau :
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
Giải: Đk
0x
≥
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
( ) ( ) ( )
1 3 3 1 2 2 1x x x x x+ + + = + +
, để giải
phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3 1 2 2 4 3x x x x+ − + = − +
Bình phương hai vế ta có :
2 2
6 8 2 4 12 1x x x x x+ + = + ⇔ =
Thử lại x=1 thỏa
 Nhận xét : Nếu phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +

Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x k x+ = +
, thì ta biến đổi phương trình về dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả
Bài 2. Giải phương trình sau :
3

2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
Giải:
Điều kiện :
1x ≥ −
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :
3
2
1
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
+
+ = − + +
+
, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
3
2

1
(2) 3 1 1
3
x
x x x x
x
+
⇔ − + = − + − +
+

Bình phương 2 vế ta được:
3
2 2
1 3
1
1 2 2 0
3
1 3
x
x
x x x x
x
x

= −
+
= − − ⇔ − − = ⇔

+
= +



Thử lại :
1 3, 1 3x x= − = +
l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
. .f x h x k x g x=
thì ta biến đổi
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm
0
x
như vậy phương trình luôn đưa về được
dạng tích
( )
( )
0
0x x A x− =
ta có thể giải phương trình
( )
0A x =
hoặc chứng minh

( )
0A x =
vô nghiệm ,
chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
( )
0A x =
vô nghiệm
17
b) Ví dụ
Bài 1 . Giải phương trình sau :
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
Giải:
Ta nhận thấy :
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − −
v
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x− − − + = −
Ta có thể trục căn thức 2 vế :
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4

3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=
− + − +
− + + − +
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
Giải: Để phương trình có nghiệm thì :
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
( ) ( )
2 0x A x− =
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2

12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 ÷
+ + + +
 
Dễ dàng chứng minh được :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − < ∀ >

+ + + +
Bài 3. Giải phương trình :
2 33
1 1x x x− + = −
Giải :Đk
3
2x ≥
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
( )
( )
( )
( )
2
2 3
3
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 

− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 
− +
− + − +
 
 
Ta chứng minh :
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x

x
+ +
<
− +
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp
 Nếu phương trình vô tỉ có dạng
A B C+ =
, mà :
A B C
α
− =

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
x
. Ta có thể giải như sau :
A B
C A B
A B
α
−
= ⇒ − =
−
, khi đĩ ta có hệ:
2
A B C
A C
A B
α

α

+ =

⇒ = +

− =


b) Ví dụ
Bài 4. Giải phương trình sau :
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +
Giải:
Ta thấy :
( ) ( )
( )
2 2
2 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = +
4x = −
không phải là nghiệm
Xét
4x
≠ −
Trục căn thức ta có :
2 2
2 2
2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1

x
x x x x x
x x x x
+
= + ⇒ + + − − + =
+ + − − +
18
Vậy ta có hệ:
2 2
2
2 2
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x
=


+ + − − + =


⇒ + + = + ⇔



=
+ + + − + = +



Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
8
7
Bài 5. Giải phương trình :
2 2
2 1 1 3x x x x x+ + + − + =
Ta thấy :
( ) ( )
2 2 2
2 1 1 2x x x x x x+ + − − + = +
, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt
1
t
x
=
thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
( )
2 2
3 1 3 1x x x x+ + = + +
4 3 10 3 2x x− − = −
(HSG Toàn Quốc

2002)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 5 2 10x x x x x− − = + − −
23
4 1 2 3x x x+ = − + −
2 33
1 3 2 3 2x x x− + − = −
2
3
2 11 21 3 4 4 0x x x− + − − =
(OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − +
2 2
2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = +
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
3. Phương trình biến đổi về tích
 Sử dụng đẳng thức
( ) ( )
1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − =
( ) ( )
0au bv ab vu u b v a+ = + ⇔ − − =
2 2
A B=
Bài 1. Giải phương trình :
23
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
Giải:

( ) ( )
3 3
0
1 1 2 1 0
1
x
pt x x
x
=

⇔ + − + − = ⇔

= −

Bi 2. Giải phương trình :
2 23 3
3 3
1x x x x x+ + = + +
Giải:
+
0x
=
, không phải là nghiệm
+
0x
≠
, ta chia hai vế cho x:
( )
3 3 3
3 3

1 1
1 1 1 1 0 1
x x
x x x x
x x
 
+ +
+ = + + ⇔ − − = ⇔ =
 ÷
 
Bài 3. Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
Giải:
: 1dk x ≥ −
pt
( ) ( )
1
3 2 1 1 0
0
x
x x x
x
=

⇔ + − + − = ⇔

=

Bài 4. Giải phương trình :

4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
Giải:
Đk:
0x ≥
Chia cả hai vế cho
3x +
:
2
4 4 4
1 2 1 0 1
3 3 3
x x x
x
x x x
 
+ = ⇔ − = ⇔ =
 ÷
+ + +
 
 Dùng hằng đẳng thức
19
Biến đổi phương trình về dạng :
k k

A B=
Bài 1. Giải phương trình :
3 3x x x− = +
Giải:
Đk:
0 3x≤ ≤
khi đó pt đ cho tương đương :
3 2
3 3 0x x x+ + − =
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
x x
−
 
⇔ + = ⇔ =
 ÷
 
Bài 2. Giải phương trình sau :
2
2 3 9 4x x x+ = − −
Giải:
Đk:
3x ≥ −
phương trình tương đương :
( )
2
2
1

3 1 3
1 3 9
5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
x
x x
=


+ + =

+ + = ⇔ ⇔

− −

=
+ + = −




Bài 3. Giải phương trình sau :
( ) ( )
2
2
3

3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + +
Giải : pttt
( )
3
3 3
2 3 0 1x x x⇔ + − = ⇔ =
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt
( )
t f x=
và chú ý điều kiện của
t
nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến
t
quan trọng hơn ta có thể giải được
phương trình đó theo
t
thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể
đặt hoàn toàn
( )
t f x=
thường là những phương trình dễ .
Bài 1. Giải phương trình:
2 2
1 1 2x x x x− − + + − =
Điều kiện:
1x
≥

Nhận xét.
2 2
1. 1 1x x x x− − + − =
Đặt
2
1t x x= − −
thì phương trình có dạng:
1
2 1t t
t
+ = ⇔ =
Thay vào tìm được
1x =
Bài 2. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5x x x− − = +
Giải
Điều kiện:
4
5
x ≥ −
Đặt
4 5( 0)t x t= + ≥
thì
2
5
4
t
x
−

=
. Thay vào ta có phương trình sau:
4 2
2 4 2
10 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t
t t t t t
− +
− − − = ⇔ − − + =
2 2
( 2 7)( 2 11) 0t t t t⇔ + − − − =
Ta tìm được bốn nghiệm là:
1,2 3,4
1 2 2; 1 2 3t t= − ± = ±
Do
0t ≥
nên chỉ nhận các gái trị
1 3
1 2 2, 1 2 3t t= − + = +
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l:
1 2 2 3 vaø x x= − = +
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện
2
2 6 1 0x x− − ≥
Ta được:
2 2 2
( 3) ( 1) 0x x x− − − =
, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt :
2 3 4 5y x− = +
và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6x x+ + − =
20
Điều kiện:
1 6x
≤ ≤
Đặt
1( 0)y x y= − ≥
thì phương trình trở thnh:
2 4 2
5 5 10 20 0y y y y y+ + = ⇔ − − + =
( với
5)y ≤
2 2
( 4)( 5) 0y y y y⇔ + − − − =
1 21 1 17
,
2 2
(loaïi)y y
+ − +
⇔ = =
Từ đó ta tìm được các giá trị của
11 17
2
x
−
=

Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :
( )
(
)
2
2004 1 1x x x= + − −
Giải: đk
0 1x≤ ≤
Đặt
1y x= −
pttt
( )
( )
2
2
2 1 1002 0 1 0y y y y x
⇔ − + − = ⇔ = ⇔ =
Bài 5. Giải phương trình sau :
2
1
2 3 1x x x x
x
+ − = +
Giải:
Điều kiện:
1 0x− ≤ <
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
1 1
2 3x x
x x

+ − = +
Đặt
1
t x
x
= −
, ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình :
2 4 23
2 1x x x x+ − = +
Giải:
0x =
không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:
3
1 1
2x x
x x
 
− + − =
 ÷
 
Đặt t=
3
1
x
x
−
, Ta có :
3
2 0t t+ − = ⇔

1 5
1
2
t x
±
= ⇔ =
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
2 2
15 2 5 2 15 11x x x x− − = − +
2
( 5)(2 ) 3 3x x x x+ − = +
2
(1 )(2 ) 1 2 2x x x x+ − = + −
2 2
17 17 9x x x x+ − + − =
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
2 2
11 31x x+ + =
2 2 2
2 (1 ) 3 1 (1 ) 0
n
n n
x x x+ + − + − =
2
(2004 )(1 1 )x x x= + − −
( 3 2)( 9 18) 168x x x x x+ + + + =
3
2 2

1 2 1 3x x− + − =
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi
phương trình đối với
t
lại quá khó giải
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biết cách giải phương trình:
2 2
0u uv v
α β
+ + =
(1) bằng cách
Xét
0v ≠
phương trình trở thành :
2
0
u u
v v
α β
   
+ + =
 ÷  ÷
   
0v
=
thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

( ) ( ) ( ) ( )

. .a A x bB x c A x B x+ =

2 2
u v mu nv
α β
+ = +
21
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo
dạng này .
a) . Phương trình dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
. .a A x bB x c A x B x+ =
Như vậy phương trình
( ) ( )
Q x P x
α
=
có thể giải bằng phương pháp trên nếu
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.P x A x B x
Q x aA x bB x
 =


= +


Xuất phát từ đẳng thức :

( )
( )
3 2
1 1 1x x x x+ = + − +
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1x x x x x x x x x+ + = + + − = + + − +
( ) ( )
4 2 2
1 2 1 2 1x x x x x+ = − + + +
( ) ( )
4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1x x x x x+ = − + + +
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
2 4
4 2 2 4 1x x x− + = +
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai
2
0at bt c+ − =

giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình :
( )
2 3
2 2 5 1x x+ = +
Giải: Đặt
2
1, 1u x v x x= + = − +

Phương trình trở thành :

( )
2 2
2
2 5
1
2
u v
u v uv
u v
=


+ = ⇔

=

Tìm được:
5 37
2
x
±
=
Bài 2. Giải phương trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x− + = − + +
Bài 3: giải phương trình sau :
2 3

2 5 1 7 1x x x+ − = −
Giải:
Đk:
1x
≥
Nhận xt : Ta viết
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 7 1 1x x x x x x
α β
− + + + = − + +
Đồng nhất thức ta được:
( )
( )
( )
( )
2 2
3 1 2 1 7 1 1x x x x x x− + + + = − + +
Đặt
2
1 0, 1 0u x v x x= − ≥ = + + >
, ta được:
9
3 2 7
1
4
v u

u v uv
v u
=


+ = ⇔

=

Ta được :
4 6x = ±
Bài 4. Giải phương trình :
( )
3
3 2
3 2 2 6 0x x x x− + + − =
Giải:
Nhận xét : Đặt
2y x= +
ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y
=

− + − = ⇔ − + = ⇔


= −

Pt có nghiệm :
2, 2 2 3x x= = −
b).Phương trình dạng :
2 2
u v mu nv
α β
+ = +
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì
đưa về được dạng trên.
Bài 1. giải phương trình :
2 2 4 2
3 1 1x x x x+ − = − +
Giải:
22
Ta đặt :
2
2
1
u x
v x

=


= −


khi đó phương trình trở thành :

2 2
3u v u v+ = −
Bài 2.Giải phương trình sau :
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
Giải
Đk
1
2
x ≥
. Bình phương 2 vế ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − −
Ta có thể đặt :
2
2
2 1
u x x
v x

= +

= −


khi đó ta có hệ :
2 2
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v

−
=


= − ⇔

+
=


Do
, 0u v ≥
.
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
+ +

= ⇔ + = −
Bài 3. giải phương trình :
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x− + − − − = +
Giải:
Đk
5x ≥
. Chuyển vế bình phương ta được:
( )
( )
2 2
2 5 2 5 20 1x x x x x− + = − − +
Nhận xét : không tồn tại số
,
α β
để :
( )
( )
2 2
2 5 2 20 1x x x x x
α β
− + = − − + +
vậy ta không thể đặt
2
20
1
u x x
v x

= − −


= +

.
Nhưng may mắn ta có :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
20 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x− − + = + − + = + − −
Ta viết lại phương trình:
( )
( )
2 2
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x− − + + = − − +
. Đến đây bài toán được giải
quyết .
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ những phương trình tích
( ) ( )
1 1 1 2 0x x x+ − + − + =
,
( ) ( )
2 3 2 3 2 0x x x x+ − + − + =
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương
trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ
sau .
Bài 1. Giải phương trình :

(
)
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x+ − + = + +
Giải:
2
2t x= +
, ta có :
( )
2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x
t x
=

− + − + = ⇔

= −

Bài 2. Giải phương trình :
( )
2 2
1 2 3 1x x x x+ − + = +
Giải:
Đặt :
2
2 3, 2t x x t= − + ≥

Khi đó phương trình trở thnh :
( )
2
1 1x t x+ = +
( )
2
1 1 0x x t⇔ + − + =
23
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có
∆
chẵn :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
=

− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔

= −

Từ một phương trình đơn giản :
( ) ( )
1 2 1 1 2 1 0x x x x− − + − − + + =
, khai triển ra ta sẽ được pt
sau

Bài 3. Giải phương trình sau :
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x+ − = + − + −
Giải:
Nhận xét : đặt
1t x= −
, pttt:
4 1 3 2 1x x t t x+ = + + +
(1)
Ta rút
2
1x t= −
thay vào thì được pt:
( ) ( )
2
3 2 1 4 1 1 0t x t x− + + + + − =
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t
( ) ( )
2
2 1 48 1 1x x∆ = + + − + −
không
có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo
( ) ( )
2 2
1 , 1x x− +
Cụ thể như sau :
( ) ( )
3 1 2 1x x x= − − + +
thay vào pt (1) ta được:

Bài 4. Giải phương trình:
2
2 2 4 4 2 9 16x x x+ + − = +
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình:
( )
( )
( )
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x+ + − + − = +
Ta đặt :
( )
2
2 4 0t x= − ≥
. Ta được:
2
9 16 32 8 0x t x− − + =
Ta phải tách
( )
( )
2 2 2
9 2 4 9 2 8x x x
α α α
= − + + −
làm sao cho
t
∆
có dạng chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải
nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
3a b c a b c a b b c c a+ + = + + + + + +
, Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
0a b c a b c a b a c b c+ + = + + ⇔ + + + =
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
2 23 3
3
7 1 8 8 1 2x x x x x+ − − − + − + =
3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0x x x x+ + − + − − − =
Bài 1. Giải phương trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x= − − + − − + − −
Giải :
2
3
5
u x
v x
w x

= −



= −


= −


, ta có :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
3 3
5
5
u v u w
u uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu
v w u w
 + + =

− = + +


− = + + ⇔ + + =

 
 
− = + +
+ + =
 
, giải hệ ta được:
30 239
60 120
u x= ⇔ =
Bài 2. Giải phương trình sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − +
24
Giải . Ta đặt :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2
a x
b x x
c x x
d x x

= −



= − −


= + +


= − +


, khi đó ta có :
2 2 2 2
2
a b c d
x
a b c d
+ = +

⇔ = −

− = −

Bài 3. Giải các phương trình sau
1)
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −
2)
( ) ( ) ( )
3
3 2
4

4
4
4
1 1 1 1x x x x x x x x+ − + − = − + + −
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
 Đặt
( ) ( )
,u x v x
α β
= =
và tìm mối quan hệ giữa
( )
x
α
và
( )
x
β
từ đó tìm được hệ theo u,v
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
3 3
3 3
25 25 30x x x x− + − =
Đặt
3
3 3 3
35 35y x x y= − ⇒ + =

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:
3 3
( ) 30
35
xy x y
x y
+ =



+ =


, giải hệ này ta tìm được
( ; ) (2;3) (3;2)x y = =
. Tức là nghiệm của phương trình là
{2;3}x∈
Bài 2. Giải phương trình:
4
4
1
2 1
2
x x− − + =
Điều kiện:
0 2 1x≤ ≤ −
Đặt
4
4
2 1

0 2 1,0 2 1
x u
u v
x v

− − =

⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −

=


Ta đưa về hệ phương trình sau:
4
4
2
2 4
4
4
1
1
2
2
1
2 1
2 1
2
u v
u v
u v

v v

= −


+ =
 
⇔
 
 
 
+ = −
− + = −

 ÷

 

Giải phương trình thứ 2:
2
2 2
4
1
( 1) 0
2
v v
 
+ − + =
 ÷
 

, từ đó tìm ra
v
rồi thay vào tìm nghiệm của phương
trình.
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6x x+ + − =
Điều kiện:
1x
≥
Đặt
1, 5 1( 0, 0)a x b x a b= − = + − ≥ ≥
thì ta đưa về hệ phương trình sau:
2
2
5
( )( 1) 0 1 0 1
5
a b
a b a b a b a b
b a

+ =

→ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −

− =


Vậy
11 17

1 1 5 1 1 5
2
x x x x x
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ =
Bài 8. Giải phương trình:
6 2 6 2 8
3
5 5
x x
x x
− +
+ =
− +
Giải
Điều kiện:
5 5x− < <
25