Tổng hợp bài tập hình sơ cấp theo chủ đề

BÀI TẬP HÌNH HỌC SƠ CẤP
sưu tầm: Huỳnh Văn Thơ
Phần I
GÓC ĐỊNH HƯỚNG
1. Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của ABC.
(a) CMR: ba đường tròn (AEF ), (BF D), (CDE) có một điểm chung
gọi là M
(b) Tìm quỹ tích của M khi D, E, F thẳng hàng.
2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Lấy 4 điểm A

, B

, C

, D sao cho các tứ giác
AA

BB

, BB

CC

, DD

AA

nội tiếp. CMR: tứ giác A

B


C

D

nội tiếp.
3. Cho ABC và điểm P . CMR ba đường tròn đối xứng của các đường
tròn (P CB), (P CA), (P AB) theo thứ tự qua BC, CA, AB có một điểm
chung.
4. Đường tròn Euler của một tam giác là đường tròn đi qua trung điểm các
cạnh của tam giác. CMR trong một tứ giác ABCD , các đường tròn Euler
của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB có một điểm chung.
5. Cho tứ giác ABCD và một điểm M lưu động trên đường thẳng BC .
Các đường tròn (ABM), (CDM ) cắt nhau tại điểm thứ hai P . Tìm quỹ
tích điểm P .
6. Cho ba đường tròn cố định (DAB), (DAC), (DBC) và điểm M thay đổi
trên đường tròn (DBC) . MB cắt (DAB) tại N và MC cắt (DAC)
tại P . CMR: NP đi qua một điểm cố định.
7. Cho M
1
, M
2
là hai điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC và 
1
, 
2
là
hai đường thẳng Simson ứng với M
1
, M
2

.
(a) Tính góc giữa


1
, 
2

theo

AM
1
, AM
2

(b) Suy ra vị trí của M
1
, M
2
để 
1
và 
2
vuông góc với nhau
8. Cho điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC. A

, B

, C


lần lượt
là các điểm đối xứng của M qua cạnh BC, CA, AB. CMR: A

, B

, C

nằm
trên một đường thẳng đi qua trực tâm của ABC.
Phần II
CÁT TUYẾN
1. CMR chân ba đường phân giác ngoài của tam giác thẳng hàng.
1
2. Cho ba điểm M, N, P lần lượt trên cạnh BC, CA, AB của ABC sao
cho AM, BN, CP đồng quy. Gọi M

, N

, P

lần lượt là giao điểm thứ hai
của đường tròn (M NP ) với các cạnh BC, CA, AB của ABC. CMR
AM

, BN

, CP

đồng quy.
3. Cho ABC và hai cát tuyến MNP và M


N

P

sao cho MN

//AB,
M

P//AC (M, M

∈ BC; N, N

∈ CA ; P, P

∈ AB). CMR: NP

//BC.
4. Cho hình bình hành ABCD và điểm M trên AC. Gọi E là điểm đối
xứng của B qua M . Trên DC và AD lần lượt lấy P và Q sao cho
EP//AD, EQ//CD. CMR: P, Q, M thẳng hàng.
5. Trên các cạnh của ABC vuông tại A dựng các hình vuông ABDE và
ACF G về phía ngoài. CMR: CD và BF cắt nhau trên đường cao hạ từ
A của ABC.
6. Cho ABC và ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh BC, CA, AB sao
cho AP, BQ, CR đồng quy tại O. CMR:
P O
P A
+

QO
QB
+
RO
RC
= 1
7. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. Mặt phẳng α cắt SA, SB,
SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. CMR:
MA
MS
+
P C
P S
=
NB
NS
+
QD
QS
Phần III
HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA
1. Cho A, B, C, D thẳng hàng. M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
CMR (ABCD) = −1 ⇔ MN
2
= MA
2
+ NC
2
2. Cho hình vuông và một đường tròn nội tiếp hình vuông. Một tiếp tuyến
bất kỳ của đường tròn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A, B và

C, D. CMR: (ABCD) = −1
3. Cho đường tròn đường kính CD tâm O. Trên CD lấy A
1
, A
2
sao cho
(A
1
A
2
CD) = −1. Qua A
1
, A
2
lần lượt kẻ các đường thẳng d
1
, d
2
vuông
góc với CD. Một tiếp tuyến thay đổi của đường tròn cắt d
1
, d
2
lần lượt
tại M
1
, M
2
. CMR:
OM

1
OM
2
= const
4. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định và A thay đổi. EF là
đường kính vuông góc BC. AB, AC cắt EF lần lượt tại G, H. CMR:
OH.OG = const
5. Cho ABC cân tại A, d là đường thẳng song song với BC và cắt tam
giác. M là điểm thay đổi trên d nhưng ở trong tam giác. BM cắt AC tại
E, CM cắt AB tại F . CMR:
1
BF
+
1
CE
= const
6. Cho ABC. Qua điểm M trên BC sao cho MB = kMC người ta kẻ các
đường thẳng song song với AC và AB cắt AB tại P và AC tại Q. BC lần
lượt cắt P Q tại R và đường thẳng Ax song song P Q tại N.
2
(a) CMR: RM
2
= RB.RC
(b) Tính
RB
RC
theo k
7. Cho hai đường thẳng cố định đồng quy Ox, Oy và điểm A không nằm trên
Ox, Oy và phân giác góc xOy. Hai đường thẳng di động qua A, đối xứng
qua OA một đường cắt Ox tại M đường kia cắt Oy tại N. CMR: M N đi

qua điểm cố định
8. Cho ABC có trọng tâm G. Một đường thẳng d thay đổi qua G cắt
BC, CA, AB theo thứ tự M, N, P . CMR:
1
GM
+
1
GN
+
1
GP
= 0
Phần IV
PHƯƠNG TÍCH
1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định. (K) là một đường tròn thay đổi
qua A và có tâm nằm trên đường tròn (C) đồng tâm với (O). CMR: trục
đẳng phương của (O) và (K) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2. Gọi R, r; O, I lần lượt là bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp và
nội tiếp một tam giác. CMR: OI
2
= R
2
− 2Rr
3. Cho ABC có trực tâm H. CMR: các đường tròn đướng kính AH và BC
trực giao.
4. Một cát tuyến thay đổi song song với BC của ABC cắt AB và AC lần
lượt tại D và E. Tìm trục đẳng phương của đường tròn đường kính BE
và CD
5. Qua điểm P cố định vẽ ba đường tròn đôi một cắt nhau tại A, B, C. Đường
tròn thứ tư qua P cắt (P AB), (P BC), (P CA) lần lượt tại C


, A

, B

. Gọi
E là giao điểm của AB và P C’, F là giao điểm của BC và P A

, G là giao
điểm của CA và P B

. CMR: E, F, G thẳng hàng.
6. Cho tứ giác ABCD, AC cắt BD tại O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
AB, CD. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của OAD và OBC. CMR:
IJ⊥HK.
7. Cho ba đường tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
) thuộc một chùm và O
2
là trung điểm
của O
1
O
3
. CMR: P
M/(O

2
)
=
1
2

P
M/(O
1
)
+ P
M/(O
3
)

Phần V
CỰC VÀ ĐỐI CỰC
1. CMR: điều kiện và đủ để hai điểm M và N liên hiệp với nhau đối với
đường tròn (O) là P
M/(O )
+ P
M/(O )
= MN
2
3
2. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D và D

là chân đường phân
giác trong của góc A, P là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và
C. CMR: cực của AP đối với (O) là trung điểm DD


.
3. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB
tại I. Điểm M thay đổi trên (O), MA, M B cắt d lần lượt tại P, Q.QA cắt
(O) tại N. CMR: M N đi qua điểm cố định.
4. Từ trung điểm I của dây cung AB của đường tròn (O) kẻ hai dây cung
MN và PQ.MP và NQ lần lượt cắt AB tại J và K. CMR: I là trung
điểm của JK
5. Ba cạnh BC, CA, AB của ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tại
M, N, P . Đường kính qua M cắt N P tại Q. CMR: AQ qua trung điểm
của BC.
6. Hai cát tuyến thay đổi đi qua điểm M cố định và cắt đường tròn cố định
(O) lần lượt tại A, A

vB, B

. CMR: nếu AB đi qua một điểm cố định thì
A

B

cũng đi qua một điểm cố định.
7. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn ta vẽ cát tuyến PA và P B với đường
tròn ấy. Từ B hạ đường vuông góc BD với đường kính AC. CMR: PC đi
qua trung điểm BD.
8. Cho ABC và điểm O. Các đường thẳng qua O và vuông góc với OA.
OB, OC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P . CMR: M, N, P thẳng
hàng.
Phần VI
TỊNH TIẾN VÀ ĐỐI XỨNG

1. Dựng đường thẳng có phương cho trước và bị hai đường tròn cho trước
chắn thành hai dây cung bằng nhau.
2. Trên hai đường tròn bằng nhau (O) và (O

) lần lượt lấy hai cung AM và
A

M

bằng nhau nhưng khác hướng. A, A

cố định còn M, M

thay đổi.
Tìm quỹ tích trung đoạn của MM

.
3. Hình vuông ABCD, E là điểm trong hình vuông sao cho CDE cân tại
E và góc đáy là 15
0
. Chứng mimh ABE đều.
4. Cho tam giác ABC. Gọi Bx, Cy lần lượt là các tia đối của các tia BA, CA.D
và E là các điểm chuyển động lần lượt trên hai tia Bx, Cy sao cho
BD = CE. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE.
5. Cho ABC cố định có trực tâm H. Dựng hình thoi BCDE thay đổi. Từ
D và E kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB, AC chúng cắt
nhau tại M. Tìm quỹ tích M
6. Dựng đường gấp khúc gồm năm đoạn khép kín. Biết trung điểm của năm
đoạn đó.
4

7. Cho A, B về cùng phía đối với đường thẳng xy. Tìm M trên xy thỏa

AMx = 2

BM y.
8. Dựng hình vuông ABCD biết A, C thuộc đường thẳng d
1
cho trước và
B, C lần lượt thuộc hai đường thẳng d
2
và d
3
cho trước
9. Cho ABC có các góc nhọn. Lấy điểm D, E, F lần lượt nằm trên BC, CA, AB.
Tìm vị trí D, E, F để chu vi DEF nhỏ nhất.
Phần VII
PHÉP QUAY
1. Từ điểm M trên cạnh BC của ABC cân tại A kẻ các đường thẳng lần
lượt song song với AB, AC cắt AC tại D và AB tại E.
(a) Xác định phép quay biến
−→
AC thành
−−→
BA
(b) CMR: trung trực DE đi qua một điểm cố định và các đường tròn
(ADE) đi qua một điểm cố định khác A.
2. Cho ABC đều và điểm M nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại
tiếp tam giác. CMR: MA = M B + M C.
3. Cho ABC và vẽ về phía ngoài các tam giác đều BCA
1

, CAB
1
, ABC
1
có tâm lần lượt là A

, B

, C

. CMR: A

B

C

đều.
4. Trên các cạnh của một hình bình hành dựng về phía ngoài các hình vuông.
Chứng minh tâm các hình vuông này tạo thành một hình vuông.
5. Cho cung tròn AB và điểm C lưu động trên đó. Trên AC lấy đoạn AD =
BC. Tìm quỹ tích D.
6. Dựng về phía ngoài ABC các tam giác ABD và ACE lần lượt vuông
tại B và C. M là trung điểm của DE. Xác định dạng của BMC.
7. Dựng trên cạnh AB, BC, CD, DA và ở bên ngoài tứ giác ABCD những
hình vuông có tâm lần lượt là O
1
, O
2
, O
3

, O
4
. Gọi I, J, H, K lần lượt là
trung điểm các đoạn AC, BD, O
1
O
3
, O
2
O
4
.
(a) Chứng minh rằng O
1
O
3
= O
2
O
4
và O
1
O
3
⊥O
2
O
4
, xét hình dạng tứ
giác IKJH

(b) Tìm điều kiện cần và đủ để tứ giác O
1
O
2
O
3
O
4
là hình vuông.
8. Cho ABC nhọn. Tìm điểm M bên trong tam giác sao cho:
(MA + M B + M C)
min
9. Cho ABC, dựng về phía ngoài tam giác hai tam giác ABD và ACE
vuông cân tại A. GọiM, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CE, ED,
DB, CD, BE. CMR:
(a) Tứ giác MN PQ là hình vuông.
5
(b) CD = BE và AIJ vuông cân.
10. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và
ACGH có tâm lần lượt là M, N . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của
BC, F H. CMR: MP NQ là hình vuông.
11. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác ABP, BCM,
CAN vuông cân lần lượt tại B, M, C. I là trung điểm của PN .
(a) Chứng minh IBMC là hình vuông
(b) Chứng minh P N⊥AM và P N = 2AM
12. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác này các hình vuông ABM N, BCEF ,
ACP Q có tâm lần lượt là K, G, H. Gọi D là trung điểm của BC. CMR:
(a) NC = PQ và NC⊥P Q
(b) Tam giác KDH vuông cân
(c) AG, BQ, CN đồng quy.

13. Cho ABC vẽ theo chiều dương. Dựng về phía ngoài tam giác này MAB
và NAC cân tại C với góc ở đỉnh bằng 120
0
. Gọi I là trung điểm của
MN và J là điểm đối xứng của I qua BC.
(a) Tính các góc của BIC
(b) Chứng minh MN = 2AJ.
14. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác đều ABM, BCN, CAP .
I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác ABM. CMR:
(a) Tam giác GIP là nửa tam giác đều.
(b) NP ⊥CG và NP =
√
3CG
15. Cho ABC vẽ theo chiều dương. Dựng về phía ngoài tam giác này ba
tam giác MAB, N BC, P AC lần lượt cân tại M, N, P với các góc nhọn ở
đỉnh tương ứng là α, β, γ thỏa α + β + γ = π . Gọi tâm đường tròn ngoại
tiếp của ba tam giác này là I, J, K.
(a) Cho α = β = γ. Chứng tỏ AN = BP = CM
(b) Cho biết IJK đều, hãy tính các góc α, β, γ
16. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác đều A

BC, AB

C,
ABC

có tâm lần lượt là A
1
, B
1

, C
1
. CMR:
(a) Tam giác A
1
B
1
C
1
đều.
(b) AA

= BB

= CC

và AA

, BB

, CC

đồng quy.
17. Cho hình vuông ABCD và E là điểm ở trong đoạn BC. Đường phân giác
trong của

DAE cắt CD ở F . CMR: BE + DF = AE.
6
Phần VIII
PHÉP VỊ TỰ

1. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C cố định trên AB. MN là
đường kính lưu động, AN cắt CM tại P . Tìm quỹ tích điểm P
2. Cho đường tròn (O) và ba dây cung MA, MB, BC. CMR: giao điểm của
BA đường tròn đường kính MA, MB, MC khác M lấy từng đôi một thẳng
hàng.
3. Cho ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. S là điểm
thay đổi trên đường tròn (ABC). Gọi I, J, K lần lượt là điêm đối xứng
của S qua M, N, P .
(a) CMR: AI, BJ, CK đồng quy tại điểm S

(b) Tìm quỹ tích S’
4. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc trong tại A. Đường kính qua A
cắt (O) và (O

) lần lượt tại B và C. Từ A vẽ đường thẳng cắt (O) và (O

)
lần lượt tại M và N. Tìm quỹ tích giao điểm I của BN và CM .
5. Dùng phép vị tự để chứng minh lại phần thuận của định lý Menelayus
6. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng
d. M là một điểm thay đổi trên d. Từ M kẻ hai tiếp tuyến M N và MP
đến đương tròn (O). AN và AP lần lượt cắt (O) và (O

) tại N

và P


.
CMR: N

P

đi qua một điểm cố định.
7. Chứng minh rằng trong một tam giác ba trung điểm của ba cạnh, ba chân
đường cao và ba trung điểm của ba đoạn nối từ đỉnh đến trực tâm nằm
trên một đường tròn (đường tròn Ueler)
8. Dựng hình vuông nội tiếp một tam giác đã cho. (có hai đỉnh liên tiếp nằm
trên một cạnh của tam giác còn hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh còn lại).
9. Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A lần lượt có đường kính lần lượt
là AB và AC. Từ điểm A người ta vẽ một cát tuyến cắt hai đường tròn
trên lần lượt tại B

và C

. Tìm quỹ tích giao điểm của B

C và BC

.
10. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O

) cắt nhau tại A, B. Một đường
thẳng thay đổi qua A cắt hai đường tròn tại P, Q. Tìm quỹ tích những
điểm M thỏa
−−→
AM = 2


−→
AP +
−→
AQ

11. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; 2R) và A là một điểm nằm
ở ngoài hai đường tròn này. M là điểm thay đổi trên (O; 2R). Từ M kẻ
hai tiếp tuyến MB và MC đến (O; R) (B, C thuộc (O; R)). Chứng minh
rằng :
(a) BC =
√
3R
(b) Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường tròn cố định.
7
12. Cho hai đường tròn (O) và (O

) bằng nhau và cắt nhau tại A, B. C là một
điểm cố định ở ngoài (O). Một đường thẳng thay đổi qua C cắt (O) tại
M, N. BM và BN lần lượt cắt (O

) tại M

, N

. Chứng minh rằng:
(a) Tam giác AMM

cân.
(b) Trọng tâm tam giác AM M


thuộc một đường tròn cố định
(c) Đường thẳng M

N

đi qua một điểm cố định.
13. Cho hai điểm M, A cố định nằm ngoài đường tròn (O) cố định. Một đường
thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại B, C. Chứng minh rằng.
(a) Trung điểm I của BC thuộc một đường tròn cố định
(b) Trọng tâm G của ABC thuộc một đường tròn cố định.
14. Cho tứ giác ABCD với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA. I là điểm thay đổi trên một đường tròn (O) cố định. M

, N

, P

, Q

lần lượt là đối xứng của I qua M, N, P, Q. Chứng minh rằng.
(a) MP và NQ có cùng trung điểm.
(b) MP

, NQ

, P M

và QN


đồng quy tại một điểm J.
(c) J thuộc một đường tròn cố định.
15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R). D là điểm xuyên tâm của
A trên (O). H là điểm đối xứng của D qua trung điểm BC.
(a) CMR: H là trực tâm của tam giác ABC.
(b) Cho A, (O) cố định; B, C thay đổi trên (O) sao cho

BAC = 60
0
.
Chứng minh H thuộc một đường tròn cố định.
(c) CMR: HBDC là hình bình hành.
(d) Cho (O), H cố định còn A, B, C thay đổi. chứng minh trung điểm M
của BC chạy trên một đường tròn cố định.
16. Cho ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O) có tâm O. D là
điểm xuyên tâm của A trên (O).
(a) Chứng minh HBDC là hình bình hành.
(b) Cho A, (O) cố định; B, C thay đổi trên (O) sao cho

BAC = 45
0
.
Chứng minh H thuộc một đường tròn cố định.
17. Cho hai đường tròn (O) và (O

) bằng nhau và cắt nhau tại A, B. Một
đường thẳng thay đổi qua B cắt (O) và (O

) lần lượt tại M, N . Dựng hình
bình hành AMCN. Chứng minh rằng:

(a) Góc

MCN có số đo không đổi
(b) C thuộc một đường tròn cố định.
18. Trong mặt phằng, góc nhọn xOy và một điểm P nằm trong góc này. Hãy
tìm trên cạnh Ox điểm M sao cho khoảng cách MP bằng khoảng cách từ
M tới cạnh Oy
8
19. Cho đường tròn (O, R) và (O

, R

) cắt nhau tại A, B thỏa

OAO

= 135
0
. M điểm thay đổi trên (O), MA và MB lần lượt cắt lại (O

) tại C, D.
CMR.
(a) Hai tamg giác MAD và OAO

đồng dạng và CD = const
(b) Trọng tâm G của tam giác ACD thuộc một đường tròn cố định.
20. Cho O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC. Gọi O
1
, O
2

, O
3
lần lượt là các điểm đối xứng của O qua các cạnh BC, CA, AB. CMR: các
đường thẳng AO
1
, BO
2
, CO
3
đồng quy.
21. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng của tâm đường tròn nội tiếp
ABC qua trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. CMR: AM, BN, CP
đồng quy và ABC = MNP bằng nhau.
Phần IX
PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, CD và về phía ngoài tứ giác ta
dựng các tam giác MAB, NCD vuông cân lần lượt tại M, N. Trên các
cạnh BC, DA và về phía trong tứ giác ta dựng các tam giác P BC, QAD
vuông cân tại P, Q. Chứng minh MP NQ là hình bình hành.
2. Cho hai đường tròn (O) và (O

) cắt nhau tại A, B. Một đường thẳng thay
đổi qua B cắt (O) và (O

) lần lượt tại M và M

. Gọi I là trung điểm của
MM

. Tìm quỹ tích của I.

3. Cho hình thang ABCD vuông cân tại A và D có AB = 2AD = 2CD. M
là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt
BC tại N. Chứng minh trung điểm I của M N thuộc một đường thẳng cố
định.
4. Trên ba cạnh của ABC vẽ ba tam giác BCD, CAE và ABF đồn dạng
thuận với nhau.
(a) Tính tổng
−−→
BD +
−−→
CE +
−→
AF
(b) Suy ra hai tam giác ABC và BEF có cùng trọng tâm.
5. Cho bốn tam giác đồng dạng thuận ABM, CDN, ADP và CBQ.
(a) Chứng minh tứ giác MP NQ là hình bình hành.
(b) Dựng hai hình bình hành AMBR và CNDS. CMR:
−→
AR +
−−→
BQ +
−→
CS +
−−→
DP =

0
6. Cho điểm A thay đổi trên nửa đường tròn đường kính BC. Gọi H là hình
chiếu của A lên BC. I và J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABH
và ACH. CMR: đường thẳng qua A và vuông góc với IJ đi qua một điểm

cố định.
9
7. Dựng tứ giác ABCD biết độ dài bốn cạnh và tổng số đo của hai góc B
và D
8. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác đều ABM và
CAN. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AM, CN. Lấy K thuộc cạnh
BC thỏa KB = 3KC. Tính các góc của IJK
Phần X
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1. Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. P là điểm thay đổi trên (O). gọi
(C), (C

) là hai đường tròn qua P , lần lượt tiếp xúc với AB tại A và B.
Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn này.
2. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O). Hai cát tuyến lưu động
qua S lần lượt cắt (O) tại A, A

và B, B

. Gọi M là giao điểm thứ hai của
hai đường tròn (SAB

) và (SBA

). Tìm quỹ tích M.
3. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O), AB là đường kính thay
đổi.
(a) CMR: đường tròn (SAB) đi qua điểm cố định khác S.
(b) SA, SB lần lượt cắt (O) tại M, N. CMR: M N đi qua điểm cố định.
4. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc với nhau tại A. Gọi (ω)

là đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O) và d tại điểm khác A. CMR: (ω)
trực giao với đường tròn cố định.
5. Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai B của hai đường tròn thay đổi (O) và
(O

) cùng qua A cố định, cùng tiếp xúc với đường tròn (C) cố định và
trực giao với nhau. (A nằm trong (C) và khác tâm của nó)
6. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc ngoài ở A và M chạy trên tiếp
tuyến tại A. Chứng minh rằng thường có haid đường tròn qua M và tiếp
xúc với (O) và (O

). Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường
tròn này.
7. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc ngoài ở A và M chạy trên tiếp
tuyến tại A. CMR: thường có hai đường tròn qua M và tiếp xúc với (O)
và (O

). Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn này.
8. Cho đường tròn (O) và hai đường thằng Ox, Oy vuông góc nhau. Tiếp
tuyến tại M thay đổi trên (O) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B. Trục đẳng
phương của (O) và (OAB) cắt Ox, Oy lần lượt tại C, D. Tìm quỹ tích
trung điểm CD.
9. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung
ngoài của (O) và (O


) là BC (B, C là tiếp điểm). D là điểm cố định trên
(O), M là điểm thay đổi trên (O

). tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai
đường tròn (MBC) và (MAD)
10
10. Dựng đường tròn qua hai điểm cho trước và tiếp xúc với một đường tròn
cho trước.
11. Cho hai đường tròn (ω) và (ω

) tiếp xúc nhau tại O. Từ điểm A trên (ω)
vẽ tiếp tuyến cắt (ω

) tại B, C. CMR: OA là phân giác của

BOC.
12. Cho hai đường tròn (O) và (O

) ngoài nhau. (ω) là đường tròn thay đổi
tiếp xúc (O) và trực giao (O

). CMR: (ω) tiếp xúc với một đường tròn thứ
hai cố định khác (O).
13. Cho tứ giác ABCD. CMR:
ABCD nội tiếp ⇔ AB.CD + AD.BC = AC.BD
14. (O) là một đường tròn nội tiếp tam giác thường ABC và tiếp xúc với ba
cạnh BC, CA, AB lần lượt tại a, b, c. (O) cắt aA, bB, cC lần lượt tại α, β, γ
. Gọi m, n, p lân lượt là trung điểm bc, ca, ab. CMR:
(a) Các đường tròn (aαm), (bβn), (cγp) đi qua O.

(b) Ba đường tròn trên còn có điểm chung thứ hai.
15. Gọi (O, R) và (I, r) lần lượt là hai đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của
ABC với OI = d. CMR: d
2
= R
2
− 2Rr
16. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD thay đổi qua điểm P . Các
đường tròn (PAD) và (P BC) cắt nhau tại điểm thứ hai M, các đường
tròn (P AC) và (P BD) cắt nhau tại điểm thứ hai N .
(a) Tìm quỹ tích M, N
(b) CMR: MN qua điểm cố định.
17. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Một tiếp tuyến
thay đổi của (O) cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A tại B, C. CMR: đường tròn
(ABC) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
18. Cho đường tròn (O) và hai dây cung thay đổi AA

, BB

vuông góc với
nhau tại P cố định trong đường tròn. M là chân đường vuông góc kẻ từ
P đến AB.
(a) CMR: P H đi qua trung điểm của A

B

và PH.P I = const
(b) Đường tròn (ω) qua A, P và tiếp xúc (O) cắt đường tròn (ω

) qua

A

, P và tiếp xúc (O) tại điểm thứ hai M . Tìm quỹ tích M.
19. Cho tứ giác ABCD. CMR:
(ABC)⊥(ABD) ⇔ AB
2
.CD
2
= BC
2
.AD
2
+ BD
2
.AC
2
20. Cho hai đường thẳng Ox, Oy vuông góc nhau. Đường tròn (ω) tiếp xúc
với Oy tại O và cắt Ox tại A. Đường tròn (ω

) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp
xúc (ω) tại C và cắt Ox tại D, D

. CMR: tiếp tuyến của (ω) tại A, BD,
đường tròn đường kính OD. Hai đường tròn (OBC) và (ACD) có một
điểm chung.
11
21. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó và BA nửa đường tròn
đường kính AB, AC, BC nằm về một phía của đường thẳng AB. Dựng
đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn trên.
22. Cho đường tròn (O) và đường thẳng cố định d cắt (O) tại A, B. M là

điểm chạy trên d. (ω) và (ω

) là hai đường tròn thay đổi qua M và lần
lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Hai đường tròn này còn cắt nhau tại điểm
thứ hai là P . Tìm quỹ tích P.
23. Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d. Hai đường thẳng
thay đổi tạo với nhau một góc α không đổi, quay quanh O và lần lượt cắt
d tại A, B. CMR: (OAB) tiếp xúc với một đường tròn cố định
24. Cho phép nghịch đảo cực I, phương tích k biến đường (O) thành đường
tròn (O

). CMR: điểm O biến thành chân đường đối cực của I đối với (O

)
25. Cho hai điểm A, B trên đường thẳng d. Hai đường tròn (ω), (omega

) lần
lượt tiếp xúc với d tại A, B và trực giao nhau tại M, N. Tìm quỹ tích M
và N.
26. Cho hai đường tròn (O

) và (O”) cùng tiếp xúc với đường tròn (O) và cắt
nhau tại A, B. (ω) là đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O

), (O

) và cắt
(O) tại M, N . CMR: tâm của đường tròn (AMN ) chạy trên một đường
tròn cố định.
27. Cho hai đường tròn (O) và (O


) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung
ngoài của (O) và (O

) là BC (B, C là tiếp điểm). D là điểm cố định trên
(O), M là điểm thay đổi trên (O

). Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của
hai đường tròn (MBC) và (MAD)
28. Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài (O). Một tiếp tuyến thay đổi
của (O) (không qua A) cắt hai tiếp tuyến của (O) kẻ từ A tại B, C.
(a) Tìm ảnh của (O), A, B, C qua phép nghịch đảo cực O, phương tích
nghịch đảo R
2
(b) CMR: đường tròn (ABC) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
29. Cho đường tròn (O; R) và điểm S thỏa OS =
√
2R. Hai đường tròn (α), (β)
cùng qua S, cùng tiếp xúc với (O) tại B, C và trực giao nhau. (α), (β) cắt
nhau tại S và A. CMR:
(a) Đường tròn (ABC) đi qua một điêm cố định.
(b) A chạy trên một đường thẳng cố định
(c) Đường tròn (SBC) tiếp xúc với một đường tròn cố định
30. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm M chạy trên đường
thẳng d vuông góc với AB tại H. MA và MB lần lượt cắt đường tròn tại
P và Q.
(a) CMR: P Q đi qua điểm cố định.
(b) Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn (MAB) và
(MP Q).
12

31. Cho điểm S nằm ngoài đường tròn (O), khác điểm O và một đường thẳng
 không cắt (O). Từ một điểm M thay đổi trên  kẻ hai tiếp tuyến
MP, MQ đến (O) với P, Q là hai tiếp điểm và P Q không qua S. P S, QS
cắt (O) lần lượt P

, Q

. Dựng hai đường tròn (α), (β) qua S và tiếp xúc
với (O) lần lượt tại P

và Q

. (α), (β) cắt nhau tại điểm thứ hai N. CMR:
(a) N chạy trên một đường tròn cố định
(b) Đường tròn (SP

Q

) đi qua một điểm cố định
(c) Đường thẳng P

Q

đi qua một điểm cố định.
32. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định ở ngoài (O) và điểm B thay đổi
trên (O). Hai đường tròn (α), (β) trực giao nhau tại A, B và cắt (O) tại
C, D. CMR:
(a) Đường tròn (ACD) và (O) trực giao nhau
(b) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định
33. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định sao cho OA = R

√
2 . (ω), (ω

)
là hai đường tròn hay đổi trực giao nhau tại A, B và tiếp xúc với (O) lần
lượt tại C, D. CMR:
(a) Điểm B chạy trên một đường thẳng cố định
(b) Hai đường tròn (ACD) và (BCD) trực giao nhau
(c) Đường tròn (ACD) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
34. Cho đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. B là một điểm
thuộc  và khác A. CMR:
(a) Tồn tại duy nhất một đường tròn (ω) tiếp xúc  tại B và trực giao
với (O)
(b) (ω) cắt (O) tại M, N. CMR: hai đường tròn (ABM ) và (ABN ) trực
giao và có bán kính bằng nhau.
(c) Khi B thay đổi trên  . CMR: (ω) tiếp xúc với một đường tròn cố
đinh.
35. Cho điểm S nằm ngoài đường tròn (O). M là một điểm thay đổi trên (O).
Dựng hai đường tròn (α), (β) qua S, M trực giao nhau và cắt (O) lần lượt
tại A, B. CMR:
(a) Đường tròn (SAB) luôn đi qua một điểm cố định khác S
(b) Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
36. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc d. Trong một nửa mặt phẳng
có bờ là d cho hai đường tròn thay đổi (O), (O

) lần lượt tiếp xúc với d
tại A, B và tiếp xúc nhau tại C. Đường tròn (ω) tiếp xúc với (O), (O

) và
d lần lượt tại M, N, P . CMR:

(a) Hai đường tròn (ANP ) và (AN M) trực giao nhau
(b) M, N thuộc một đường tròn cố định.
13
37. Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt trên
(O). M là một điểm trên (O) và M khác A, B. (ω
1
) là đường tròn qua M
và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, (ω
2
) là đường tròn qua M và tiếp
xúc với đường thẳng AB tại B. Gọi N là giao điểm thứ hai của (ω
1
) và
(ω
2
) . CMR: khi M thay đổi trên (O) thì điểm N chạy trên một đường
tròn cố định. Hãy dựng đường tròn đó.
38. Cho đường tròn (O : R) và điểm A cố định thỏa OA = 2R. Một đường
thẳng d thay đổi qua A. Hai đường tròn (α), (β) cùng tiếp xúc với d tại
A và tiếp xúc với (O) lần lượt tại M, N. CMR:
(a) Đường tròn (AMN ) trực giao với (O)
(b) Đường thẳng MN đi qua một điểm cố định
(c) (γ) là đường tròn tiếp xúc với (α), (β) và (O). CMR: (γ) tiếp xúc với
một đường tròn cố định khác (O)
39. Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB. (ω) là
đường tròn đường kính AO. (γ) là một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc
với cả (O) và (ω) ( không qua A). CMR: đường tròn (γ) luôn trực giao với
một đường tròn cố định. (gợi ý: dùng PNĐ cực A, phương tích OA.OB)
Mục lục
I GÓC ĐỊNH HƯỚNG 1

II CÁT TUYẾN 1
III HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA 2
IV PHƯƠNG TÍCH 3
V CỰC VÀ ĐỐI CỰC 3
VI TỊNH TIẾN VÀ ĐỐI XỨNG 4
VII PHÉP QUAY 5
VIII PHÉP VỊ TỰ 7
14
IX PHÉP ĐỒNG DẠNG 9
X PHÉP NGHỊCH ĐẢO 10
15