giáo án bồi duong HSG toan 9

Nội dung bồi dỡng học sinh giỏi toán 9
Năm học 2011-2012
Stt Nội dung Số buổi
1 Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng 1
2 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai 1
3 Bất đẳng thức 1
4 Phơng trình bậc cao 1
5 Hàm số bậc nhất 1
6 Các bài toán nâng cao về diện tích tứ giác 1
7 Các bài toán về hệ thức lợng trong tam giác vuông 1
8 Các bài toán tổng hợp về đờng tròn 1
9 Luyện tập một số đề tổng hợp 1
Cẩm Văn, ngày 12 tháng 9 năm 2011
Giáo viên lập kế hoạch
Trần Văn Toản
Phân tích đa thức thành nhân tử
Phần 1: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Các phơng pháp cơ bản
I/ Ph ơng pháp đặt nhân tử chung
Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử.
Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong
dấu ngoặc.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy + x
2
y
2
5x
2
y

b) 2x(y z) + 5y(z y)
c) 10x
2
(x + y) 5(2x + 2y)y
2
Bài laứm
a) 3xy + x
2
y
2
5x
2
y = xy(- 3 + xy 5x)
b) 2x(y x) + 5y(z y) = 2x(y z) 5y(y z) = (y z)(2x 5y)
c) 10x
2
(x + y) 5(2x + 2y)y
2
= 10x
2
(x + y) 10y
2
(x + y) = 10(x + y)(x
2
y
2
)
= 10(x + y)(x + y)(x y) = 10(x + y)
2
(x y)

II) Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một
đa thức đơn giản.
Những hằng đẳng thức :
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
A B = (A + B)(A B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A

3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
AB + B
2
)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
(A + B + C)
2
= A
2
+ B

2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA
A
n
B
n
= (A B)(A
1n
+ A
2n
B + + AB
2n
+ B
1n
)
A
k2
B
k2
= (A +B)(A
12 k
- A
22 k
B + - B
12 k
)
A
12 +K

+ B
12 +K
= (A + B)(A
k2
A
12 k
B + A
22 k
B
2
- +B
k2
)
(A + B)
n
= A
n
+ n A
1n
B -
2.1
)1( nn
A
2n
B
2
+ +
2.1
)1( nn
A

2
B
2n
+ nAB
1n
+ B
n
(A - B)
n
= A
n
- n A
1n
B +
2.1
)1( nn
A
2n
B
2
- +(-1)
n
B
n
Ví dụ 1 Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x
2
+ 6xy
2
+ 9y

4
b) a
4
b
4

c) (x 3)
2
- (2 3x)
2
d) x
3
3x
2
+ 3x - 1
Bài Làm
a) x
2
+ 6xy
2
+ 9y
4
= x
2
+ 2x3y
2
+ (3y)
2
= (x + 3y
2

)
2
b) a
4
b
4
= (a
2
)
2
(b
2
)
2
= (a
2
+ b
2
) (a
2
b
2
) = (a
2
+ b
2
) (a + b) (a b)
c) (x 3)
2
- (2 3x)

2
= [(x 3) + (2 3x)][(x 3) (2 3x)]= (- 2x 1)(- 5 + 4x)
d) x
3
3x
2
+ 3x - 1 = (x 1)
3
VD 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
Bài Làm
a) a
3
+ b
3
+ c

3
3abc = (a + b)
3
3ab(a + b) + c
3
3abc
= ( a + b + c)[(a + b)
2
(a + b)c + c
2
] 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= (a + b)
3
+ c
3

+ 3c(a + b)(a + b + c) a
3
b
3
c
3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c
2
) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
Ap dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
3xy + x 3y
b) 7x
2
7xy 4x + 4y
c) x
2
+ 6x y
2
+ 9
d) x
2
+ y
2
z

2
9t
2
2xy + 6zt
Bài Làm
a) x
2
3xy + x 3y = (x
2
3xy) + (x 3y) = x(x 3y) + (x 3y)= (x 3y) (x + 1)
b) 7x
2
7xy 4x + 4y = (7x
2
7xy) (4x 4y) = 7x(x y) 4(x y)=(x y) (7x 4)
c)x
2
+ 6x y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9) y
2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 y)
d)x
2

+ y
2
z
2
9t
2
2xy + 6zt = (x
2
2xy + y
2
) (z
2
6zt + 9t
2
)
= (x y)
2
(z 3t)
2
= (x y + z 3t)(x y z + 3t
Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y

2
z + yz
2
+ 2xyz
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
Bài Làm
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2

+ 2xyz
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz
2
+ yz
2

= z(x + y)
2
+ xy(x + y) + z
2
(x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
2
)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z
2
)]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x
2
y + xy
2

+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
= (x
2
y + x
2
z + xyz) + ( xy
2
+ y
2
z + xyz) + (x
2
z + yz
2
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều ph ơng pháp
1. Ph ơng pháp
Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử

2. Vớ dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x
3
- 45x
b) 3x
3
y 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy
Bài làm
a) 5x
3
45x = 5x(x
2
9) = 5x(x +3) (x 3)
b) 3x
2
y 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a

2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
2y y
2
2ay a
2
+ 1)
= 3xy [( x
2
2x + 1) (y
2
+ 2ay + a
2
)]
= 3xy [(x 1)
2
(y + a)
2
]
= 3xy [(x 1) + (y + a)] [(x 1) (y + a)]
= 3xy(x + y + a 1) (x y a 1)
Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z)
3
x
3
y
3
- z

3
H ớng dẫn
(x + y + z )
3
x
3
y
3
- z
3
=[(x + y + z)
3
x
3
] (y
3
+ z
3
)
= (x + y + z x) [(x+ y + z)
2
+ (x + y + z)x + x
2
] (y + z)(y
2
yz + z
2
)
= (y+z)[ x
2

+ y
2
+ z
2
+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x
2
+ x
2
y
2
+ yz z
2
]
= (y + z)(3x
2
+ 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1. P h ơng pháp
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng
mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x
2
6x + 8
Bài làm
Caựch 1: x
2
6x + 8 = (x
2

2x) (4x 8) = x(x 2) 4(x 2) = (x 2)(x 4)
Caựch 2: x
2
6x + 8 = (x
2
6x + 9) 1 = (x 3)
2
1 = (x 3 + 1)(x 3 1) = (x 2)(x 4)
Caựch 3: x
2
6x + 8 = (x
2
4) 6x + 12 = (x 2)(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x + 2 6) = (x 2)
(x 4)
Caựch 4: x
2
6x + 8 = (x
2
16) 6x + 24 = (x 4)(x + 4) 6(x 4) = (x 4)(x + 4 6) = (x 4)
(x 2)
Caựch 5: x
2
6x + 8 = (x
2
4x + 4) 2x + 4 = ( x 2)
2
2(x 2)= (x 2)(x 2 2) = (x 2)
(x 4)
VI/ Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử .
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà

ta có thể phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng
đẳng thức,
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.
x
4
+ 64 = x
4
+ 64 + 16x
2
16x
2
= (x
2
+ 8)
2
(4x)
2
= (x
2
+ 4x + 8)(x
2
4x + 8)
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
4
+ 4y
4

b) x
5

+ x + 1
Bài làm
a) x
4
+ 4y
4
= x
4
+ 4y
4
+ 4x
2
y
2
4x
2
y
2
= (x + 2y)
2
(2xy)
2
= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x
5
+ x + 1 = (x
5
+ x
4
+ x

3
) (x
4
+ x
3
+ x
2
) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) x
2
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
x
2
+1)
VII/ Ph ơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ)
Ph ơng pháp

Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện
nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân
tích thành nhân tử hơn.
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 6x
4
11x
2
+ 3
b) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x 3) 5
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm
a) 6x
4
11x
2
+ 3
- Đặt x
2
= y
- Đa thức đã cho trở thành: 6y
2
11y + 3 = (3y 1)(2y 3)
- Trả lại biến cũ:
6x
4

11x
2
+ 3 = (3x
2
1) (2x
2
3) = (
3
x 1)(
3
x + 1)(
2
x -
3
)(
2
x +
3
)
b) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x 3) 5
- Đặt x
2
+ 3x + 1 = y x
2
3x 3 = y 4
- Đa thức đã cho trở thành

y(y 4) 5 = y
2
4y 5 = (y + 1)(y + 5)
- Trả lại biến cũ.
(x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x 3) 5 = (x
2
+ 3x + 1 + 1)(x
2
+ 3x + 1 5)
= (x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 3x 4)= (x + 1)(x + 2)(x 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- Đặt x
2
+ 8x + 7 = y x
2
+ 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đã cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15 = y
2

+ 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x
2
+ 8x +7 + 5)(x
2
+ 8x + 7 + 3)
= (x
2
+ 8x + 12)(x
2
+ 8x + 10) = (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
VIII/ Ph ơng Pháp hệ số bất định
1. Ph ơng Pháp : Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tơng ứng của chúng
phải bằng nhau.
a
n
x
n
+ a
1=n
x
1n
+ + a
2
x
2
+ a

1
x + a
0
= b
n
x
n
+ b
1=n
x
1n
+ + b
2
x
2
+ b
1
x + b
0
a
i
= b
i
i = 1; n
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Vớ duù 1: A = x
3
+ 11x + 30
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích đợc thì A có dạng.
A = (x + a)(x

2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có





=
=+
=+
30
11
0
ac
cab
ba
Chọn a = 2

c = 15; b = -2
Vậy (x
3
+ 11x + 30) = (x + 2)(x
2
2x + 15)
2.2 Ví dụ 2: B = x
4
14x
3
+ 15x
2
14x +1
Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích đợc thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
B = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số, ta có:

14
15

14
1
a c
ac b d
ad bc
bd
+ =


+ + =


+ =


=











=
=
=

=
1
13
1
1
d
c
b
a
hoặc
13
1
1
1
a
b
c
d
=


=


=


=

Do vậy B = (x

2
x + 1)(x
2
13x + 1) hoặc B = (x
2
13x + 1)(x
2
x + 1)
IX/ Ph ơng pháp xét giá trị riêng
Ph ơng phá p: Khi các biến có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: Vớ duù 1: P = (x + y + z)
3
- x
3
y
3
z
3
Bài Làm
Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y thì P = 0

P (x + y)
Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên.
P (x + z)
P (y + z)

P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số.

Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
Ví dụ 2:
M = a(b + c)(b
2
- c
2
) + b(c + a)(c
2
- a
2
) + c(a + b)(a
2
- b
2
)
Bài Làm
Coi M là đa thức biến a
Khi a = b thì M = 0
M (a - b)
Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên :
M (b - c)
M (c - a)
M = (a - b)(b c)(c a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a.
Nhng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R là hằng số)
M = (a - b)(b c)(c a)(a + b + c)R
Chọn a = 0, b = 1, c = 2 R = 1
Vậy B = (a b)(b c)(c a)(a + b + c)

X. Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức
1. Ph ơng pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0.
Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức.
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
2. Ví dụ: x
3
+ 3x - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x
2
+ bx
= c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ớc của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng t không đổi.
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức
chứa nhân tử (x - 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x 1)
* Cách 1:
x
3
+ 3x
2
4 = x
3
x
2
+ 4x
2
4 = x
2
(x 1) + 4(x 1) (x + 1)= (x 1) (x

2
+ 4x + 4) = (x 1) (x +
2)
2
* Cách 2:
x
3
+ 3x
2
4 = x
3
1 + 3x
2
3 = (x
3
1) + 3(x
2
1) = (x 1) (x
2
+ x + 1) + 3(x
2
1)= (x 1) (x +
2)
2
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x 1).
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức
chứa nhân tử (x + 1).
XI. Ph ¬ng ph¸p tÝnh nghiƯm cđa tam thøc bËc hai
a) Ph ¬ng ph¸p : Tam thøc bËc hai ax

2
+bx + c
NÕu b
2
– 4ac lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû th× cã thĨ ph©n tÝch tam thøc thµnh thõa sè b»ng mét
trong c¸c ph¬ng ph¸p ®· biÕt .
NÕu b
2
– 4ac kh«ng lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû nµo th× kh«ng thĨ ph©n tÝch tiÕp ®ỵc n÷a .
b) VÝ dơ: 2x
2
– 7x + 3 Víi a =2 , b =- 7 , c = 3
XÐt b
2
- 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 5
5
Suy ra Ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư : 2x
2
- 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chó ý: P(x) = ax
2
+ bx + c = 0 cã nghiƯm lµ x
1
, x
2
th×
P(x) =a( x- x
1
)(x - x
2

)
PhÇn 2: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
I). Bµi to¸n rót gän biĨu thøc
1. Ph ¬ng ph¸p
+Ph©n tÝch tư thøc vµ mÉu thøc thµnh nh©n tư nh»m xt hiƯn nh©n tư chung.
+¸p dơng tÝnh chÊt c¬ b¶n cđa ph©n thøc ®¹i sè: Chia c¶ tư thøc vµ mÉu thøc cho nh©n tư chung.
⇒ Häc sinh thÊy ®ỵc sù liªn hƯ chỈt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc gióp ph¸t triĨn t duy suy ln l«gic,
s¸ng t¹o.
2)VÝ dơ: Rót gän biĨu thøc
A =
342
1573
23
23
+−−
−+−
xxx
xxx
B =
1
3
1
12
1
3
2
−
−
−
−

−
−
+
+
x
x
x
x
x
x
Bµi Lµm
a) A =
3322
14433
223
223
+−−+−
−++−−
xxxxx
xxxxx
A =
)1(3)1()1(2
)1()1(4)1(3
2
2
−−−+−
−+−−−
xxxxx
xxxxx
A =

)1)(32)(1(
)13)(1)(1(
)32)(1(
)143)(1(
2
2
−+−
−−−
=
−+−
+−−
xxx
xxx
xxx
xxx
A =
32
13
)32()1(
)13()1(
2
2
+
−
=
+−
−−
x
x
xx

xx
b) MTC = x
2
- 1 = (x + 1)(x - 1)
B =
)1)(1(
)3()1)(12()1)(3(
−+
−−+−−−+
xx
xxxxx
B =
)1)(1(
31232
22
−+
+−++−−+
xx
xxxxx
B =
2
1
1
( 1)( 1)
x
x x
−
= −
+ −
Rót gän biĨu thøc chøa c¨n thøc bËc hai

Bài 1: Chứng minh đẳng thức:
5 3 29 12 5− − −
= cotg45
0
Bài 2: Cho biểu thức
( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1
1
4 1
x x x x
Q
x
x x
− − + + −
 
= × −
 ÷
−
 
− −
a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức Q
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 4y x x y
M
xy

− + −
=
Híng dÉn gi¶i
5 3 29 12 5− − −
( )
2
5 3 2 5 3
= − − −

5 6 2 5= − −

( )
2
5 5 1
= − −
= 1
= cotg45
0
Q có nghĩa
1x
⇔ >
và
2x
≠
( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1

1
4 1
x x x x
Q
x
x x
− − + + −
 
= × −
 ÷
−
 
− −
( ) ( )
2
1 2 1 1 1 2 1 1
2
1
4 4
x x x x
x
Q
x
x x
− − − + + − + − +
−
= ×
−
− +
( ) ( )

( )
2 2
2
1 1 1 1
2
1
2
x x
x
Q
x
x
− − + − +
−
= ×
−
−
1 1 1 1
2
2 1
x x
x
Q
x x
− − + − +
−
= ×
− −
* Nếu 1 < x < 2 ta có:
1 1 1 1 2

2 1
x x x
Q
x x
− − + − + −
= ×
− −
2
1
Q
x
=
−
* Nếu x > 2 ta có:
1 1 1 1 2
2 1
x x x
Q
x x
− − + − + −
= ×
− −
2
1
Q
x
=
−
Với điều kiện
1, 4x y

≥ ≥
ta có:
M =
4
1
y
x
x y
−
−
+
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có:
( )
1 1
1 1 1
2 2
x x
x x
+ −
− = − ≤ =

1 1
2
x
x
−
⇒ ≤
(vì x dương)
V:

( )
1 1 4 4
4 4 4
2 2 2 4
y y
y y
+
= ì =

4
1
4
y
y


(vỡ y dng)
Suy ra: M =
4
1 1 1 3
2 4 4
y
x
x y


+ + =
Vy giỏ tr ln nht ca M l
3
4

x = 2, y = 8
Bài 4
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =
51
1
+
+
95
1
+
+
139
1
+
+
20052001
1
+
+
20092005
1
+
b) B = x
3
- 3x + 2000 với x =
3
223 +

+
3
223
Bi 5 Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) 3x
2
+ 4x + 10 = 2
2
14 7x
b)
2 4 2 2
4 4
4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y + + + + =
c) x
4
- 2y
4
x
2
y
2
4x
2
-7y
2
- 5 = 0; (vi x ; y nguyờn)
Hớng dẫn giải
Bài 4 a)Có A =
15
15

+
59
59


+
913
913


+ +
20012005
20012005


+
20052009
20052009



Rút gọn, đợc A =
4
12009
.
b)áp dụng công thức (a+b)
3
=a

3
+b
3
+3ab(a+b), với a=
3
223 +
, b=
3
223
và biến đổi => x
3
= 6 + 3x
Suy ra B = 2006
Bài 5
Gii, xỏc nh ỳng iu kin:
2 2
;
2 2
x x

<

2 2 2
4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + +
= 0
2
( 2) ( 2 1 7) 0x x + + =
2
2
2 0

2
2
2 1 7 0
2
x
x
x
x
x
x
=

+ =


=
=


=




=


(Tha món)
iu kin :
2

2
2 2
4 0 (1)
16 0 (2)
4 1 0 (3)
2 3 0 (4)
x
x
x
x y y






+


+

T (2)

(x
2
4)(x
2
+ 4)
2
0 4 0x

kt hp vi (1) v (3) suy ra x = 2
Thay vo (4): y
2
2y + 1
0
; ỳng vi mi giỏ tr ca y.
Thay x = 2 vo phng trỡnh v gii ỳng, tỡm c y = 1,5
Vy nghim ca phng trỡnh: (x = 2; y = 1,5)
Bin i a c pt v dng: (x
2
2y
2
5)(x
2
+ y
2
+1) = 0

x
2
2y 5 = 0

x
2
= 2y
2
+ 5

x l
t x = 2k + 1 ; ( k

Z
)

4k
2
+ 4k +1 = 2y
2
+ 5

2y
2
= 4k
2
+ 4k 4

y
2
= 2(k
2
+ k 1)

y chn
t y = 2n; (n
Z
)

4n
2
= 2(k
2

+ k 1)

2n
2
+ 1 = k(k + 1) (*)
Nhỡn vo (*) ta cú nhn xột: V trỏi nhn giỏ tr l, v phi nhn giỏ tr chn (Vỡ k v k + 1
l hai s nguyờn liờn tip)

(*) vụ nghim

pt ó cho vụ nghim
Bài 6
a) Rút gọn các biểu thức sau:
+
=
+
2 4 5 21 80
A
10 2
;
5 7 5 7 10 6 2B = + +
b) Tìm
*
n Ơ
thoả mãn:
1 1 1 2010 1

1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1) 2010
A
n n n n

= + + + =
+ + + + +

Hớng dẫn giải
a.
+
+
= =
+ +
+
+
= =
+ +
+ + +
= = =
+ + +
+ +
= = =
+ +
2
2
2
2 4 5 (2 5 1)
2 4 5 (2 5 1)
A
10 2 10 2
2 4 ( 5 1)
2 4 6 2 5
10 2 10 2

2 4 5 1 2 3 5 6 2 5
2( 5 1) 5 1 5 1
( 5 1) 5 1
1
5 1 5 1
5 7 5 7 10 6 2B = + +
Đặt
5 7 5 7 0C C= + <
2 2
( 5 7 5 7 )
5 7 5 7 2 (5 7)(5 7) 10 2 18 10 6 2
C = +
= + + + = =
mà
0 10 6 2 10 6 2 0C C C< = + =

Vậy B = 0
b.
Nhận xét: Với mọi
*
n N
ta có:
1 1
1 ( 1) ( 1)( 1)
1 1 1 1
( 1)( 1 ) ( 1) ( 1) 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1 1
n n n n n n n n

n n n n
n n n n n n n n n n
A
n n n
=
+ + + + + +
+ +
= = =
+ + + + +
= + + + =
+ +
Mặt khác
2010 1 1
1 2010 1 2009
2010 2010
A n n

= = = + =
Bài 7 Gii phng trỡnh
2 2
2 7 10 2 4 3( 1)x x x x x+ + + + + = +
.
Hớng dẫn giải
2 2
2 2
7 31 1 31
2 7 10 2 0, 2 4 2 0,
4 8 4 8
x x x x x x x

+ + = + + > + + = + + >
ữ ữ

Ă
Vy TX:
Ă
- Nu
1 0 1x x+
thỡ VP(1)
0, VT(1) 0 >
(khụng tha món)
- Nu
1 0 1x x
+ > >
thỡ (1)
( )
2 2
6 6 3 1 2 7 10 2 4x x x x x x + = + + + + +
2 2
2 7 10 2 4 2 (2)x x x x + + + + =
T (1) v (2) suy ra
2
2 2 4 3 1x x x+ + = +
2 2
2
1
1
3 1 0
3
3

3
4(2 4) 9 6 1
3, 5
2 15 0
x
x
x
x
x x x x
x x
x x


+




=

+ + = + +


= =
+ =


Th li. Vi x = 3 thỡ VT(1) = VP(1) = 12
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 3
Bài 8 Cho biểu thức A =

2
x 2 4x 16 x 16x 64
8 16
1
x x
+ +
+
a) Rút gọn biểu thức A.
b)Tìm những giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Hớng dẫn giải
a) * ĐKXĐ: x > 4
* Rút gọn : A =
x
4
1
24x24x

++
* Với 4 < x

8 ta có A =
4x
x4

* Với x > 8 ta có A =
4x
x2

b) * Với 4 < x

8 & x

Z ta có
A =
4x
x4


Z

A = 4+
4x
16


Z và 0 < x- 4

4
(1)
Để A nguyên thì x 4 phải là Ư
(16)
& thoả mãn (1)
=> x 4 nhận các giá trị 1; 2; 4
=> x nhận các giá trị 5; 6; 8
Thử lại: A nhận các giá trị 20; 12; 8(nhận)
* Với x > 8; x

Z để A =
4x
x2

x

Zthì trớc hết
4x
phải nguyên. Do vậy x - 4
= k
2
(k

N
*
)

x = 4 + k
2
=> A =
k
8
k2
k
k28
2
+=
+
Vì x > 4 => k
2
> 4 => k > 2. Để A

Z thì k

Ư
(8)

& k > 2
Do vậy k nhận các giá trị 4; 8 => x nhận 20; 68
Thử lại: A = 10; 17(nhận)
Kết luận: x = 5; 6; 8; 20
Các phơng pháp cm bất đảng thức và ứng dụng
i: các kiến thức cần nắm vững
1-Định nghĩa:
Hai số a và b bất kỳ:
a > b

a - b > 0
a < b

a - b < 0
Chú ý: với dấu
hay
cũng tơng tự.
2 . Tính chất:
2.1 a > b

b < a
2.2 nếu a > b và b > c thì a > c
2.3 nếu a > b, c bất kỳ thì a + c > b + c
3. Hệ quả:
a + c > b + c

a > b
a + c > b

a > b - c
a > b; c > 0

ac > bc
a > b; c < 0

ac < bc
4. Một số kiến thức bổ sung :
4.1 a > b; c > d

a + c > b + d
4.2 a > b; c < d

a c > b - d
4.3 a > b

0; c > d

0

ac > bd
4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì
<
a
1
b
1

4.5 a > b > 0

a
n
> b
n
( n


N*)
4.6 a > b

a
n
> b
n
(n

N*, n lẻ )

ba >

a
n
> b
n
(n

N*, n chẵn )
4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

m > n, m; n


N*
Nếu a > 1 thì a
m
> a
n

Nếu a = 1 thì a
m
= a
n

Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
4.8 a
2


0

a ;- a
2


0

a dấu = xảy ra

a = 0
4.9
a0a
dấu = xảy ra

a = 0
4.10 -
aaa
a
dấu = xảy ra

a = 0
4.11
baba ++
dấu =xảy ra

ab

0

baba
dấu = xảy ra

ab

0 và
ba
4.12 a

2
+b
2


2ab

a ,b
4.13
ba,ab
2
ba
2
ba
2
2222









+

+
0)2(ab
b

a
a
b
4.15
0)b0,(a
ba
4
b
1
a
1
4.14
>+
>>
+
>+
4.16 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2

a,b
4.17 3(a
2
+b
2

+c
2
)

(a+b+c)
2
4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm:
21
2
21
aa
2
aa







+

Dấu= xảy ra

21
aa =
Mở rộng đối với n số không âm :
n21
n
n21

a aa
n
a aa







+++
.
Dấu = xảy ra
n21
a aa ===
4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì:

)bb)(aa()baba(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2211
+++
Mở rộng đối với 2n số bất kì :

)b bb)(a aa()ba baba(
n
2
2
2
1
2
n
2
2
2
1
2
nn2211
+++++++++
Dấu = xảy ra

n1; với ==== i0a
a
b

a
b
a
b
i
n
2
2

2
1
1
II: một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thờng dùng
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A
> B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tơng tự
1. Dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0
*Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)
2

4ab với mọi a, b

R
Hớng dẫn:
Xét hiệu: (a + b)
2
- 4ab = a
2
+ 2ab + b
2
- 4ab= a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
Vì (a b)
2

0 với mọi a, b

R nên (a + b)
2

4ab với mọi a, b

R
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Vậy (a + b)
2

4ab với mọi a, b

R
*Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b
R
ta có :
3344
abbaba ++
Hớng dẫn:
Xét hiệu : a
4
+b
4
a
3
b - ab
3

= a
3
(a-b) - b
3
( a-b)
= (a-b) (a
3
- b
3
)
= (a b)
2
(a
2
+b
2
+ab)
= (a-b)
2
Rba,0
4
3b
)
2
b
(a
2
2

++
Dấu = xảy ra khi a = b.Vậy a
4
+ b
4

a
3
b + ab
3
2. Dùng các phép biến đổi tơng đơng
Muốn chứng minh A > B ta biến đổi
A > B (1)

A
1
> B
1



A
n
> B
n

(2)
Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh.
(2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức).
*Ví dụ 3:
Cho các số dơng a và b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
( )
1 9






+






+
b
1
1
a
1
1
Hớng dẫn:
9

b
1b
a
1a
(1)
++
.


ab +a+b+1

9ab (vì ab > 0)


a+b+1

8ab


2

8ab (vì a + b =1)


1

4ab


(a+b)

2


4ab (vì a + b =1)


(a-b)
2

0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tơng đơng .
Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
*Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng:
4
ab
ba
ab2

+
(1)
Hớng dẫn:
Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho
4
ab
(1)
1
ba
ab 2
4

+



2
4
ab
ba +
( Do
0ba >+
)


bab2a0
4
+


( )
2
44
ba0
(2)
Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0.
Do đó (1) đúng
Dấu = xảy ra

a = b
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
*Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0.Chứng minh rằng:

( )
22
ba2ba ++
(1)
Hớng dẫn:
Vì a > 0; b > 0
0ba >+
Cả hai vế của (1) không âm, bình phơng hai vế ta đợc

( )
( )
( )
( )
( )
)2(0ba
2

+
+++
++
0b2aba
2b2ab2aba
ba2ba(1)
22
2222
2
22
2
Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng
Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì

( )
22
ba2ba ++

Dấu = xảy ra

a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho
thành điều phải chứng minh.
- Sử dụng tính chất bắc cầu
Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > > M > B.
Từ đó suy ra A > B.
Chú ý: Một số bớc trung gian có thể xảy ra dấu = hoặc

*Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2

3
1


H ớng dẫn
Từ các bất đẳng thức:
a
2

2ab +b
2

0

với mọi a, b (1)
a
2
2ac +c
2

0
với mọi a, c (1)
b
2
2bc +c
2

0

với mọi b, c (3)
Do a + b + c = 1
( )
1cba
2
=++

12ac2bc2abcba
222
=+++++

(4)
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta đợc

( )
1cba3
222
++
3
1
cba
222
++
*Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng
4
b
1
a
1
b)(a






++
Hớng dẫn:
Vì a > 0 , b > 0 nên
0
b

1
;0
a
1
>>
Với hai số dơng a, b và hai số dơng
b
1
;
a
1
ta có:
)2(
ab
1
2
b
1
a
1
)1(ab2ba


+
+
(Theo Côsi)
Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng, nhân từng vế ta đợc:
ab
1
2.ab2

b
1
a
1
)ba(






++
= 4
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b
Vậy với a, b > 0 thì
4
b
1
a
1
b)(a






++
*Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1.
Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1)

Hớng dẫn:
Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab
Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1)
Do c <1 nên 1- c > 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta đợc :
(1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc
Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c
Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2)
Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta đợc :
(1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d)
Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d
(vì ad + bd + cd > 0)
Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d
*Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4

abc(a + b + c) với mọi a, b, c
H ớng dẫn
áp dụng ví dụ 1

)2)(cba(abccbcaba
)bc)(ac()bc)(ab()ac)(ab(cbcaba
)1(cbcabacba
222222
222222
222222444
++++

++++
++++
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
*Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức:
nn
1

2n
1
1n
1
222
+
++
+
+
+
<1
*)Nn(
Hớng dẫn
Ta có:

hạngsố n

n
1

n
1
n

1
nn
1

2n
1
1n
1
)n;1k(
n
1
n
1
kn
1
222
22
+++<
+
++
+
+
+
==<
+

suy ra
1
nn
1

2n
1
1n
1
222
<
+
++
+
+
+
4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđã biết
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết nh bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức
Bunhiacôpxki, để chứng minh bất đẳng thức đã cho.
Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đã cho cần xét đến điều kiện.
* Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dơng. Chứng minh (a + b) .(ab + 1)

4ab.
* Hớng dẫn:
Vì a > 0, b > 0 ab > 0
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp số dơng (a, b) và (ab;1) ta có:
( )
( )
2 ab2 ab.12 1
1 ab2 b
=+
+
ab
a

Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng nên ta có

( )( )
4ab ab2 1 b =++ ab2.aba
Vậy (a + b) . (ab + 1)

4ab
Dấu "=" xảy ra khi
1 b a
1 ab
b
==



=
=a
* Ví dụ 13: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki chứng minh:
a - Cho x, y

R thoả mãn x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh:
2 y x + 2
b- Cho x, y

R thoả mãn x + 2y = 2. Chứng minh:
5

4
y
2
+
2
x
Hớng dẫn:
a) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
(x + y)
2
= (1 . x + 1 . y)
2
(1
2
+ 1
2
) . (x
2
+ y
2
)
(x + y)
2
2(x
2
+ y
2
)
(x + y)
2

2 ( Vì x
2
+ y
2
= 1)
Đó là điều phải chứng minh:
b) Từ đầu bài x + 2y = 2 suy ra (x + 2y)
2
= 4
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
4 = (x + 2y)
2
= (1x + 2y)
2
(1
2
+ 2
2
)(x
2
+ y
2
) = 5(x
2
+ y
2
)
Vậy
5
4

y
2
+
2
x
(Điều phải chứng minh)
Đẳng thức xảy ra khi
* Ví dụ 14:
Chứng minh:
Với a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC; p = (a + b + c) / 2.

"" 2 y x 2
2
1
y xra yxảDấura Suy ===+

5
4
y ;
5
2
x 2 2y xmà
2
y
1
x
===+=
)
c
1

b
1

a
1
( 2
c)-(p
1

b) - (p
1

a) - (p
1
++++
Hớng dẫn:
Do P là nửa chu vi của tam giác ABC nên.
p a > 0; p - b > 0; p - c > 0
áp dụng bất đẳng thức
ba
4

+
+
b
1
a
1
ta có:

Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
Vậy
Đó là điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c
5. Dùng phản chứng:
Muốn chứng minh A > B (1)
Ta giả sử A

B, từ đó ta chỉ ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc một
tính chất đúng nào đó. Do đó điều giả sử trên là sai.
Vậy bất đẳng thức (1) đúng.
*Ví dụ 15: Cho x
2
+ y
2


2.
Chứng minh rằng: x + y

2
Hớng dẫn:
Giả sử x + y > 2 x
2
+ y
2
+ 2xy > 4
Mà x
2
+ y
2

2xy 2(x
2
+ y
2
) x
2
+ y
2
+ 2xy > 4
x
2
+ y
2
> 2 (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy giả sử trên là sai.
Do đó nếu x
2
+ y
2
2 thì x + y 2.
6. Dùng bất đẳng thức trong tam giác.
Tam giác ABC bất kỳ luôn có BC AC < AB < BC + AC
*Ví dụ 16 :
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
a
2
(b + c) + b
2
(c + a) + c
2

(a + b) a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3abc.
Hớng dẫn:
( 1)
c
4

b) - (pa) - (p
4

b - p
1

a - p
1
=
+
+
( 2)
b
4

c) - (pb) - (p
4

c - p
1

b - p
1
=
+
+

( 3)
c
4

c) - (pa) - (p
4

c - p
1

a - p
1
=
+
+
) 4( )
c
1
b
1
a

1
c - p
1

b - p
1

a - p
1
2( ++++
) 2(
c
1
b
1
a
1
b - p
1

c - p
1

a - p
1
++++
Vì a, b, c có vai trò nh nhau, không giảm tính tổng quát.
Giả sử: a b c > 0
Xét hiệu 3abc + a
3

+ b
3
+ c
3
- a
2
(b + c) - a
2
(b + c) - b
2
(c + a) - c
2
(a + b)
= 3abc + a
3
+ b
3
+ c
3
- a
2
b - a
2
c - b
2
c - b
2
a - c
2
a - c

2
b
= a
2
(a - b) + b
2
(b - a) + c(2ab + a
2
- b
2
) + c (c
2
- bc + ab - ac)
= (a - b) (a
2
+ b
2
) - c(a - b)
2
+ c(c - a)(c - b)
= (a - b)
2
(a + b - c) + c(b - c)(a - c) 0
(Vì: a b; a + b > c; a c; b c; c > 0)
Vậy bất đẳng thức đã cho đã đợc chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
*Ví dụ 17:
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
a
3

+ b
3
+ c
3
+ 2abc < a
2
(b + c) + b
2
(c + a) + c
2
(a + b) (1)
Hớng dẫn:
Ta có:
(1) [a
3
- a
2
(b + c)] + [b
3
+ c
3
- b
2
c - c
2
b] + [2abc - b
2
a - c
2
a] < 0

a
2
(a - b - c) + (b - c) (b
2
- c
2
) - a(b - c)
2
< 0
a
2
(a - b - c) + (b - c)
2
(b + c - a) < 0
(a - b - c) [a
2
- (b - c)
2
] < 0
(a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) < 0 (2)
Vì b + c > a ; a + b > c ; a + c > b nên (2) đúng.
Vậy chứng tỏ (1) đúng (Điều phải chứng minh)
7. Phơng pháp quy nạp
áp dụng với các bài tập tổng quát
Ta thử vào bất đẳng thức với giá trị nhỏ nhất theo dữ kiện của bài.
Giả sử bất đẳng thức đúng với k.
Chứng minh bất đẳng thức đúng với k + 1.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
*Ví dụ 18:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n > 1.

Ta đều có:
24
13
n2
1

2n
1
1n
1
>++
+
+
+
Hớng dẫn:
Đặt:
Xét n = 2 ta có:
Bất đẳng thức đúng khi n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 2
Nghĩa là:
24
13
k2
1

2k
1
1k
1
>++

+
+
+
Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

n
S
2n
1

2 n
1

1 n
1
=++
+
+
+

24
13

12
7

2 2
1

1 2

1
S
2
>=
+
+
+
=
Thật vậy với n = k + 1 ta có:
Do đó Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh.
*Ví dụ 19:
Chứng minh rằng: 2
n
> n
2
(1) (

n

N, n

5)
Hớng dẫn:
+ Với n = 5 bất đẳng thức (1) đúng vì 2
5
> 5
2
+ Giả sử bài toán đúng với n = k; k 5
Tức là ta có: 2
k

> k
2
Ta phải đi chứng minh: 2
k+1
> (k+1)
2
Thật vậy: Ta có 2
k
> k
2
2
k+1
> 2k
2
(2)
Ta đi chứng minh: 2k
2
> (k+1)
2
Xét hiệu: 2k
2
- (k+1)
2
= k
2
- 2k - 1 = k(k - 2) - 1
Do k 5 k - 2 3 k(k - 2) 15 k (k - 2) - 1 > 0
2k
2
> (k+1)

2
(3)
Từ (2), (3) 2
k+1
>(k+1)
2
Vậy bất đẳng thức (1) đúng n 5, n N.
8. Phơng pháp xét khoảng.
Ta xét các khoảng và chỉ ra bất đẳng thức luôn đúng trong các khoảng đó
của biến.
*Ví dụ 20 :
Chứng minh rằng:f(a) = 2003a
4
- 2001a + 2002 > 0

a
Hớng dẫn:
+ Xét: a < 1: f(a) = 2003a
4
+ 2001(1 - a) + 1 > 0
(Vì: 2003a
4
0 a; 2001(1 - a) > 0 a<1; 1 > 0
+ Xét a 1: f(a) = 2a
4
+ 2001a(a
3
- 1) + 2002 > 0 a
(Vì: 2a
4

0 a' 2001a(a
3
- 1) 0 a 1; 2002 > 0).
Vậy f(a)= 2003a
4
- 2001a + 2002 > 0 a.
9. Phơng pháp đặt biến phụ
Ta đặt một biểu thức nào đó có liên quan đến biến của bất đẳng thức đã
cho bằng một biến mới.
Sau đó chứng minh bất đẳng thức theo biến mới là đúng.
Kết luận bất đẳng thức đã cho là đúng.
*Ví dụ 21: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2


3
1

2 2k
1

1 2k
1

3 k
1

2 k
1

1) 2(k
1

2 1 k
1

1 1 k
1
S
1 k
+
+
+
++
+
+
+
=
+
++
++
+
++
=
+

1) 1)(2k 2(k
1

1 k
1
-
2 2k
1

1 2k
1
S - SXét
k1 k
++
=
++
+
+
=
+
1 k khi0
1) 1)(2k 2(k
1
S -S Hiện
k1 k
>>
++
=
+

42
13
S S
k1 k
>>
+
Hớng dẫn:
Đặt a =
3
1
+x, b =
3
1
+y, c =
3
1
+z. Vì a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.
a
2
+ b
2
+c
2
= (
3
1
+x)
2
+(
3

1
+y)
2
+(
3
1
+z)
2

z,y,x
3
1
zyx
3
1
zyx)zyx(2
3
1
zz2
9
1
yy2
9
1
xx2
9
1
222
222
222

+++=
++++++=
++++++++=
Dấu ''=''

x = y = z = 0
3
1
cba ===
+Ta cũng có bài tán tổng quát
Cho

n
k
a aa
:.ka aa
2
2
n
2
2
2
1
n21
+++
=+++ minh Chứng
một số bài toán chứng minh bất đẳng thức
Trong phần này tôi trình bày theo hớng sau:
1. Nêu các bài toán cụ thể, hớng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp, suy luận và
đi đến áp dụng theo từng dạng đã đợc cụ thể ở phần II.

2. Với từng bài toán, lựa chọn các phơng pháp giải ngắn gọn, hợp với khả năng
của học sinh.
3. Đi vào giải từng dạng cụ thể và đánh giá kết quả.
Bài số 1: Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
+ Cách 1: Lựa chọn phơng pháp dùng định nghĩa:
Hớng dẫn:
Xét hiệu
(Vì: ab > 0; bc > 0; ac > 0) do a, b, c > 0
Từ đó suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0
a - b = b - c = a - c = 0
a = b = c
Phơng pháp này đơn giản nhng chỉ áp dụng đợc với các bài toán dễ.
9 )
c
1

b
1

a
1
( c) b (a ++++
9 )
c
1

b
1

a
1
( c) b (a A ++++=
2) -
b
c

c
b
( 2) -
a
c

c
a
2) -
a
b
( A +++++= (
b
a
0
ac
c) -(a

bc
c) - (b

ab
b) -(a

222
++=
9
c
1
b
1

a
1
c)( b (a ++++ )
+ Cách 2 : Lựa chọn phơng pháp bất đẳng thức Côsi, kết hợp với tính chất của
bất đẳng thức.
Hớng dẫn:
ở đây bất đẳng thức cần chứng minh là tích của hai tổng không âm vì a, b, c > 0.
Do vậy chúng ta có thể kết hợp với tính chất của bất đẳng thức:
BD AC >



>
>
0DC
0BA
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng a, b, c và 3 số dơng
c
1
;
b

1
;
a
1
Ta có:
3
3
c
1
.
b
1
.
a
1
3
c
1
b
1
a
1
abc3cba
++
++
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có:
Điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Nhận xét:
+ Học sinh phải biết suy đoán và tổng hợp các kiến thức cơ bản và các bất

đẳng thức đặc biệt để áp dụng. Dùng phơng pháp này ngắn gọn, nhng phải lý luận
chặt chẽ đối với từng bài toán, tránh mắc phải sai lầm.
+ Mở rộng từ bài toán trên với 3 số a, b, c dơng ta có bài toán tổng quát sau:
Cho a
1
, a
2
, a
3
a
n
là n số dơng thì ta có:
Bài số 2:
Cho a, b, c là cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac)
Hớng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Vì là 3 cạnh của 1 tam giác nên.
(a + b) > c (a + b) c > c
2
(1)
(a + c) > b (a + c) b > b
2
(2)
(b + c) > a (b + c) a > a

2
(3)
Cộng từ vế của (1); (2); (3) ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac). Điều phải chứng minh.
Bài số 3:Cho hàm số f(x) = (x + 3) (5 - x) với -3 x 5
Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Chú ý:
1. Tổng của hai số không âm mà không đổi thì tích hai số lớn nhất khi hai số
bằng nhau.
9. )
c
1

b
1
a
1
c)( b (a >++++

n
a a a "" Dấu . n)
a
1

a
1
a
1
)(a a (a
21
2
n21
n21
====+++++
0 b a, vớiab2 b a +
2. Tích của hai số không âm là một số không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất
khi hai số bằng nhau.
Hớng dẫn:
Nhận xét: Với - 3 x 5 thì
(x + 3) và (x - 5) đều là hai số không âm.
Vậy áp dụng vào bài toán cụ thể trên ta có tổng hai số (x + 3) + (5 - x) = 8 là
một hằng số thì tích (x + 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi.
x + 3 = 5 - x


2x = 2

1x =
Vậy với x = 1 thì f(x) = (x - 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là:
f
max
= 16.
Bài số 4:Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2.Gọi S là diện tích của tam giác.

Hãy chứng minh a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc
27
52
Hớng dẫn: Bài toán đặt ra là tam giác ABC có chu vi bằng 2 nghĩa là a + b + c
= 2. Suy ra: Max (a; b; c) < 1.
Suy ra 1 - a > 0; 1 - b > 0; 1 - c > 0
Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng 1 - a; 1 - b; 1 - c.
Mà: a + b + c = 2
Trong bất đẳng thức (1) thì dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) = 1 + ab + ac + bc - (a + b + c) - abc
Mà a + b + c = 2; Do đó ta có:
Dấu = xảy ra khi a = b = c =
3
2
Hay

ABC là tam giác đều có cạnh là
3
2
Bài số 5: Giả sử: x + y + z = a; xy + yz + zx = b
Chứng minh rằng:
Max {x; y; z
}
- min {x; y; z

}

Hớng dẫn:
Đây là bài toán mà khi giải cần phải suy luận, phán đoán, tổng hợp các dạng
mà chọn ta thấy rằng 3 số x, y, z đóng vai trò nh nhau.
c) - b)(1 - a)(1 - (1
3
c) - (1 b) - (1 a)- (1
3

++
(1) c) - b)(1 - a)(1 - (1
27

1

3
2

27
1
abc - 1 - bc ac ab ++

27
56
abc 2- bc) ac 2(ab ++

27
56
2abc) c b (a - c) b (a

2222
+++++

27
56
2abc) c b (a - 4
222
+++
(2)
27
52
2abc c b a
222
+++
3b - a
3
4
2
c) - b)(1 - a)(1 - (1
3
c) b (a - 3
3

++

c) - b)(1 - a)(1 - (1
3
1

3

2 - 3
3
=
Nên có thể giả sử: x

y

z
Ta nhận thấy a
2
- 3b = (x + y + z)
2
- 3(xy + yz + zx)
= x
2
+ y
2
+ z
2
- (xy + yz + zx) 0.
Khi có bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tơng đơng sau:
9(z - x)
2
16(x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - xz)

9(z - x)
2
8[(x - y)
2
+ (z - y)
2
+ (z - x)
2
]
(z - x)
2
8[(x - y)
2
+ (z - y)
2
] (1)
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy số (x - y); (y -
z) và 1; 1. Ta có:
2.[(x - y)
2
+ (y - z)
2
] (x - z)
2
(2)
Từ (2) suy ra (1) hiển nhiên đúng. Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét:
- Nhìn vào bài toán học sinh tởng rằng rất khó và rất phức tạp. Nhng chỉ cần
nhìn nhận rằng vai trò của x, y, z là đối xứng thì mấu chốt của bài toán đã đợc tháo
gỡ.

- Đi đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Học sinh phải phân tích và tìm đợc
hai dãy số x - y; y - z và 1; 1 thì mới áp dụng và đi đến kết quả đợc.
Bài số 6:
Cho 3 số dơng a, b, c. Hãy chứng minh.
Hớng dẫn:
Nhìn vào bài toán này học sinh có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi nhng sẽ
phức tạp và sẽ không đi đến lời giải đợc. Vậy ở đây chúng ta giải nh sau:
Vì a; b; c > 0 nên:
( ) ( )
( )
(1)
4
1

a
1
1

4
1

ba
ab

ba
b
1
baab4ba
2
+

+

+
+
+

( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2 ; 3
1 1 1 1
4 4
a c b c
a c b c
+ +
+ +
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
Đó là điều phải chứng minh: Dấu "=" a = b = c
Bài số 7: Chứng minh rằng nếu n 3 , n là số tự nhiên. Thì
1nn
1nn
+
+>
xz) yz (xy -z y x
3
4
x- z
222
++++
2
c b a

a
1
c
1
1

c
1
b
1
1

b
1
a
1
1 ++

+
+
+
+
+
2
c b a

a
1
c

1
1

c
1
b
1
1

b
1
a
1
1 ++

+
+
+
+
+
Hớng dẫn:Nhìn vào bài toán học sinh cảm nhận rất khó, cha biết áp dụng cách giải
nào. Nhng ở đây ta biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng đơn giản hơn:
Vì 2 vế đều dơng luỹ thừa cả hai vế bậc n(n + 1) ta có:
n
n + 1
> (n + 1)
n
n > (1 +
n
1

)
n
(1)
áp dụng phơng pháp quy nạp:
- Với n = 3 thì (1) có dạng:
27
64
3
4
3
3
=






>
Vậy (1) đúng với n = 3.
- Giả sử (1) đúng khi n = k > 3 tức là k > (2)
- Phải chứng minh đúng với n = k +1
Ta có k >
Do đó (1) đúng với n = k + 1.
Vậy nếu n 3, n là số tự nhiên. Thì
1nn
1nn
+
+>
Bài số 8: Giải phơng trình: x

2
+ y
2
+ z
2
= x(y + z)
Hớng dẫn:
Ta chứng minh: x
2
+ y
2
+ z
2
xy + xz (1)
Bất đẳng thức (1) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2xz 0
(x y)
2
+ (y - z)
2
+ y
2
+ z
2
0 (2)

Xảy ra dấu "=" x = y = z = 0
Vậy x = y = z = 0 là nghiệm của phơng trình.
Bài số 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A = x - 2006+x - 2007
Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức a + b a + b
Ta có:A = x - 2006 + x - 2007
= x - 2006 + 2007 - x x - 2006 + 2007 - x = 1
A 1
Dấu "=" xảy ra (x - 2006)(2007 - x) 0
2006 x 2007
Vậy Min A = 1 2006 x 2007
Bài số 10: Cho x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất của A = 3x + 4y
Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki.
(3x + 4y)
2
(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
) = 25 . 1 = 25
3x + 4y 5
Max A = 5 x
2

+ y
2
= 1
Max A = 5 (x, y) =
Bài số 11: Chứng minh: Trong một tam giác ABC ta có h
a
+ h
b
+ h
c


9r trong đó h
a
,
h
b
, h
c
là 3 chiều cao của tam giác còn r là bán kính đờng tròn nội tiếp.
Hớng dẫn:
k
)
k
1
(1 +
1k
)
k
1

(1 )
k
1
k(1
+
+>+
1k
)
k
1
(1 1 k
+
+>+
;
4
y

3
x
=

5
4
.
5
3
;
5
4
.

5
3


















1

h
1

h
1

h
1

r
=++
c
b
a
k
)
k
1
(1 +