Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán 9

PHẦN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHẦN I.I. PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT
SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN.
Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số:
I. Cơ sở lí thuyết:
Để tìm chữ số tận cùng của 1 số nào đó. người ta thường tìm số dư của phép chia số
đó cho 10
Nhận xét 1: Nếu số nguyên a có tận cùng là các chữ số: 0; 1; 5; 6. thì a
n
cũng có tận
cùng là 0; 1; 5; 6
Nhận xét 2: ta có:
2
4k
= 16
k
≡ 6 ( mod 10)
3
4k
= 81
k
≡ 1 ( mod 10)
7
4k
= 49
2k
≡ 1 (mod 10)
Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nếu nâng lên luỹ thừa 4n + 1 thì chữ số tận cùng
của nó không thay đổi
Các nhận xét 1 và 2 là hiển nhiên. Nhận xét 3 dễ dàng chứng minh.
Xem số tự nhiên : A=n

k
với n, k
N
∈
.
1.Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:
A = 10a + b =
ab

⇒
b là chữ số cuối cùng của A.
Ta viết:
A = n
k
= (10q + r)
k
= 10
t
+ r
k
với r
∈
N; 0
≤
r
≤
9
Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r
k
- Nếu A = 100a +

bc
=
bca
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của A.
- Nếu A = 1000a +
bcd
=
dbca
thì
dbc
là ba chữ số cuối cùng của A.
- Nếu A=10
m
.a
m
+
0...1
aa
m
−
=
01
... aaa
m
thì
0...1
aa
m

−
là m chữ số cuối cùng của A.
2.Vận dụng nhị thức Newtơn:
(a+b)
n
=
nn
n
nn
n
n
nn
bcbacbacac .........
1.1110
+++
−−−
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A=
9
9
9

Giải:
Xem số M = 9
k
; k
∈
N
- Nếu k chẵn
mk 2

=⇔
ta có:
M =9
2m
= 81
m
= (80+1)
m

=(10q +1)
m
= 10 t + 1 ( với m, q, t
∈
N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn.
- Nếu k lẽ
⇔
k=2m+1 ta có:
M =9
2m+1
= 9
2m
.9 = (10t + 1).9

=10q + 9 ( với m, t, q
∈
N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 9
9
là một số lẻ.

Do đó: A =
9
9
9

có chữ số cuối cùng là 9.
Bài 2: tìm chữ số cuối cùng của số: B =
4
3
2
Giải:
B =
4
3
2

= 2
81
= (2
5
)
16
.2 = 32
16
.2
= (30+2)
16
.2 = 10q +2
17

= 10q + (2
5
)
3
.2
2
= 10q + (10q + 2)
3
. 2
2
= 10t + 2
5
= 10t + 2
Vậy B có chữ số cuối cùng là 2.
Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.
I. Cơ sở lý thuyết: nhận xét về lũy thừa
- a
n
là một lũy thừa.
Các trường hợp đặt biệt:
1.các số có dạng:
+ (
0a
)
n
tận cùng bằng 0.
+ (
`1a
)
n

; (
5a
)
n
; (
6a
)
n
tận cùng lần lược là 1; 5; 6
+ (
3a
)
4
; (
7b
)
n
; (
9b
)
n
tận cùng lần lược là 1
+ (
2a
)
4
; (
4a
)
4

; (
8a
)
4
tận cùng lần lược là 6
2. Các số 3
20
, 81
5
, 7
4
, 51
2
, 99
2
tận cùng là 01
26
4
, 6
5
, 18
4
, 24
2
, 68
4
, 74
2
có hai chữ số tận cùng là 76.
125

n
, 25
n
, 5
2
tận cùng là 25.
3. Các số có dạng:
(
`01a
)
n
; (
25a
)
n
; (
76a
)
n
có hai chữ số tận cùng lần lượt là: 01, 25, 76.
Bài 1: tìm chữ số cuối cùng của số A =
9
9
9
Giải:
Ta có: 9
2m
tận cùng là 1
9
2m+1

tận cùng là 9
Suy ra: 9
9
tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)
Vậy A=

9
9
9
tận

cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6
2002
, D = 2
2001
.
Giải:
Ta có: 6
1
tận cùng là 6
6
2
tận cùng là 6
6
3
tận cùng là 6
Vậy 6
n
tận cùng là 6 suy ra 6

2002
tận cùng là 6
Ta có: 2
4
= 16 tận cùng là 6
Suy ra 2
2002
= (2
4
)
500
.2
2
=
44).6( ka
=
với a, k
∈
N
⇒
2
2002
tận cùng là 4
Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 7
1999
, G = 18
177
Giải:
*Ta có 7
4

= 2401 tận cùng là 1
M = 7
1999
= (7
4
) = (
1n
).343
=
⇒
3c
tận cùng là 3
Vậy M = 7
1999
tận cùng là 3
*Ta có 18
4
=
6n
tận cùng là 6
Suy ra: G = 18
177
= (18
4
)
44
.18
1
=
6t

.18 =
8k
Vậy G = 18
177
tận cùng là 8.
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a/
9
9
7
b/
14
14
14
c/
7
6
5
3
Giải:
a/ có: 9
9
= (8+1)
9
= 4k + 1. nên
9
9
7
= 7
4k+1

= 7.7
4k
= 7. 49
2k
có chữ số tận cùng là 7.1 = 7
b/ ta có 14
14
= 196
7
= (49.4)
7
= 4k
nên:
14
14
14
= 2
4k
.7
4k
= 16
k
.2401
k
nên tận cùng của nó là 6
c/ có
7
6
5
= (4+1)

7
6
= 4k+1 . nên
7
6
5
3
= 3
4k+1
= 3.3
4k
= 3.81
k
có tận cùng là 3.1 = 3.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:
T = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ .....+ 2004
8009
Giải:
Chú ý rằng tất cả các số mũ đều có dạng 4(n-2) +1 với n
≥
2. nên tất cả các số
hạng của tổng đều có tận cùng là tận cùng của chính số đó khi không lấy luỹ thừa.
Mặt khác ta có: T = 2
1

+ 3
5
+ 4
9
+ .....+ 2004
8009
= 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ 5
13
+6
17
+ 7
21
+ 8
25
+ 9
29

+
  
sè1990
79923733
2000.................1110
+++
+ .... + 2004

8009

vậy nên T có chữ số tận cùng là chữ số của tổng sau
T’ = ( 2+3+....+9) +199(0+1+2+....+9) + (1+2+3+4) = 9009
Vậy chữ số tận cùng của T là 9.
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng: T = 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ .......+ 2004
8011
Giải:
Nhận xét rằng các số mũ của các số hạng trong tổng trên đều có dạng 4(n-2) +3
với n
≥
2
Vậy nên ta đi tìm quy luật của chữ số tận cùng của số a
4k+3
với a = {0,......9}
Ta có : các số có tận cùng là : 0; 1; 5; 6. thì a
k
cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6
xét 2
4k+3
= 8.2
4k
= 8.16
k

có tận cùng là 8
3
4k+3
= 27.81
k
có tận cùng là 7
4
4k+3
= 64.2
8k
=64.16
2k
có tận cùng là 4
7
4k+3
= 343.2401
k
có tận cùng là 3
8
4k+3
= 512.16
2k
có tận cùng là 2.
Vậy chữ số tận cùng của T cũng là chữ số tận cùng của T’ =
(8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019
Vậy chữ số tận cùng của T là 9.
Bài 7: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho số n
2
+ n

+ 1 chia hết cho 2005
2005
Giải:
Số 2005
2005
có tận cùng là 5. nên nó chia hết cho 5
ta có n
2
+ n + 1 = n(n+1) +1 chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 1, 3, 7. nên nó không
chia hết cho 5
Vậy không tồn tại n.

Bài 8: chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương
a/ M = 19
k
+ 5
k
+ 1995
k
+1996
k
( với k tự nhiên chẵn)
b/ N = 2004
2004k
- 2003
Giải:
a/ vì k chẵn nên k = 2n
19
k
= 19

2n
=361
n
có tận cùng là 1
5
k
+ 1995
k
có tận cùng là 0
1996
k
có tận cùng là 6
vậy tổng M có tận cùng là 7 nên nó không là số chính phương. vì các số chính phương
chỉ có thể có tận cùng là 0; 1;4;9;6;5.
b/ ta có: 2004
2004k
= (2000 + 4)
2004k
= 10n + 4
2004k
= 10n + 16
1002k
có tận cùng là 6
Nên N có tận cùng là 3. nên N không thể là số chính phương.
Bài 9: cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. chứng minh rằng ( P
8n
+ 3p
4n
- 4 )⋮5.
Giải:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 nên tận cùng của p chỉ có thể là các chữ số: 1; 3; 7; 9
Nếu P có tận cùng là 1 thì P
8n
+ 3p
4n
– 4 có tận cùng là 0 nên nó chia hết cho 5
Nếu P có tận cùng là 3 thì p
4n
= 10k+ 3
4n
= 10k + 81
n
có tận cùng là 1. p
8n
có tận cùng là
1. nên: P
8n
+ 3p
4n
– 4 có tận cùng là 0. nên nó chia hết cho 5
Nếu p có tận cùng là 7 thì tương tự. tận cùng của p
4n
và p
8n
cũng có tận cùng là 1. nên
tổng chia hết cho 5
Nếu p có tận cùng là 9 thì:p
4n
= 10k + 9
4n

= 10k + 81
2n
có tận cùng là 1
và p
8n
=
24
)(
n
p
có tận cùng là 1
Nên tổng trên cũng chia hết cho 5.
Tóm lại với p nguyên tố lớn hơn 5 thì tổng luôn chia hết cho 5
Nhận xét chung về phương pháp:
1. Tách a
n
dưới dạng (10k + a
1
)
n
với a
1
= {0, 1, .....9}
2. Viết n dưới dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3)
3. Sử dụng nhận xét 1, 2, 3 đã chứng minh ở trên.
Phương pháp 3: Dùng đồng dư
I.Cơ sở lý thuyết:
1. Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a và chia cho m có cùng số dư ta
nói a đồng dư với b theo mô đun m và viết a ≡ b(mod m).
2. Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau:

a.a đồng dư với b theo mô đun m
b.a-b chia hết cho m
c.có một số nguyên t sao cho a = b + m.t
3.Tính chất:
1. a
≡
a(mod m)
2. a
≡
b(mod m); b
≡
c (mod m) Suy ra: a
≡
c (mod m)
3.



≡
≡
)(mod
)(mod
mdc
mba
suy ra:
)(mod
)(mod
mbdac
mdba
≡

±≡±
Hệ quả: a+c
≡
b (mod m)
⇒
a
≡
b - c (mod m)
a
≡
b (mod m)
⇒
a
m
≡
b
n
(mod m)
4. Nếu a
≡
b (mod m); k
∈
ƯC(a,b), (k,m) = 1 thì
)(mod m
k
b
k
a
=
.

5.



>Ζ∈
≡
0,
)(mod
kk
mba
suy ra ka
≡
kb (mod m).
6. d
∈
ƯC(a,b,m) thì : a
≡
b (mod m) suy ra
)(mod
d
m
d
b
d
a
=

7. Nếu a
≡
b (mod m

1
) và a
≡
b (mod m
2
) suy ra a
≡
b (mod m)
M = BCNN(m
1
,m
2
)
Hệ quả: (m
1,
m
2,
…, m
n
) = 1 và nguyên tố từng đôi
Suy ra: a
≡
b (mod m
1
), a
≡
b (mod m
2
),……a
≡

b (mod m
n
)
a
≡
b (mod m
1
, m
2
, ….M
n
).
II. Bài tập
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6
195
và 2
1000

Giải:
Tìm chữ số tận cùng của một số N có nghĩa là phải tìm số dư trong phép chia số N cho
10, Tức là tìm số tư nhiên nhỏ hơn 10 dồng dư với N theo mod 10
* Ta có: 6
2
= 36
≡
6 mod 10 suy ra 6
n
= 6 mod 10
* Với N là số tự nhiên khác 0
* Suy ra: 6

195
≡
6 (mod 10) vây cữ số tận cùng của 6
195
là 6.
*Tacó: 2
1000
= 2
4 . 250
= (2
n
)
250
Vì 2
n

≡
16
≡
6 (mod 10)
Suy ra: (2
n
)
250

≡
16
250

≡

6 (mod 10)
Do đó: 2
1000
≡ 6
250
≡ 6(mod 10)
Nghĩa là hữ số tận cùng của 2
1000
là 6.
Vậy ta tận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của
số N với:
Một chữ số tận cùng là N
≡
a (mod 10) suy ra: tận cùng là a: a<10
Hai chữ số tận cùng là N
≡
b (mod 100) suy ra tận cùng là b: b<100
Ba chữ số tận cùng là N
≡
c (mod 1000) suy ra tận cùng là c: c<1000
………………….
m chữ số tận cùng là N
≡
K (mod 10…0) suy ra tận cùng là k: K<10…0
Phương pháp 3: Dùng các tính chất
I.Cơ sở lý thuyết:
1.Tính chất 1
-Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng
bằng 0; 1; 5; 6
-Các số có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6

-Các số có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thưa 4 thì được số có tận cùng bằng 1
(Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ
đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên lũy thừa chẳn có chữ số tận cùng lần
lượt là 6 và 1)
Việc chứng minh tính chất trên là không khó, xin dành cho các bạn. Như vậy muốn
tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x=a
m
trước hết ta xác định chữ số tận cùng của
a.
- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6