Đề thi HSG môn Toán 9-tham khảo

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Năm học 2010 - 2011
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (2 điểm):
Rút gọn biểu thức:
Bài 2 (5 điểm):
 [*] Giải phương trình
 [*] Cho các số thực thay đổi và thoả mãn . Tìm khi lần lượt
đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (5 điểm):
 [*] Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của
chúng.
 [*] Cho các số thực không âm thay đổi và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác nội tiếp đường tròn đường kính .
 [*] Vẽ về phía ngoài tam giác nửa đường tròn đường kính và nửa đường tròn đường kính
. Đường thẳng qua cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại các điểm ( khác và
khác ). Tính các góc của tam giác khi diện tích tam giác bằng 3 lần diện tích tam giác
.
 [*] Cho và điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi điểm là hình chiếu của điểm
trên đường thẳng và điểm là hình chiếu của điểm trên đường thẳng . So sánh và với
.
Bài 5 (2 điểm):
Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với .
Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.
 [*] Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng?
 [*] Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương?

NKL-Sưu tầm