mot so de thi HSG mon Toan K10 Vinh Phuc

Đề thi HSG lớp 10 (năm hoc 2006-2007)
Câu 1: Cho PT bậc hai
( )
2 2
4 3 3 0x m x m m+ + + =
. Tìm m để PT có hai nghiệm
1 2
,x x
đều khác 1
Khi đó chứng minh rằng:
2 2
1 2
1 2
49
7
1 1 9
mx mx
x x
< +

Câu 2: Giải PT
2 2
3 2
4
3 2 2 2
x x
x x x x
+ =
+ +
Câu 3: Giải hệ PT:
3 2 1 1

3 2 1 1
x y
y x

+ + =


+ + =


Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đờng tròn tâm O. D là trung điểm AB, E là trọng tâm
tam giác ADC. Chứng minh OE vuông góc với CD.
Câu 5: Cho x, y, z dơng và xyz=32. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
4 2 4P x y z xy= + + +

Đề thi HSG năm học (2005-2006)
Câu 1 : Cho PT
2 2
4 5 2 3 0x mx m m + + =
Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của PT. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2
1 1 2 2
3 3A x x x x= +
Câu 2
1) Giải hệ PT

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y

=


+ + =


2) Giải PT:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
+
+ + = +
+
Câu 3: 1) Với giá trị nào của m các nghiệm
1 2
,x x

của PT:
2 2
2 1 0x x m + + =
và các nghiệm

3 4
,x x
của PT:
( )
2
3 1 2 4
2 1 ( 1) 0 thoả mãnx m x m m x x x x + + =
2) Tìm m để bất PT:
( )
2
2 1 3( 2) 0 nghiệm đúng mọi x 2 m x m x m + =
Câu 4: Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c thoả mãn:
4 4 4
c a b= +
cmr:
1) Tam giác ABC nhọn
2)
2
2sin tan .tanC A B=
Câu 5: Chứng minh rằng:
Nếu
2 2 2 2 2
0thì ta luôn có BĐT 16y 13 9 0y x x y x x y x +
Đề thi HSG năm học (2004-2005)
Câu 1 :Cho PT bậc hai với tham số a:

2
1 2
2a 4 0 ,x x có nghiệm là x x+ + =
a) Xác định các giá trị của a để
1 2
,x x
là các số dơng
b) Hãy tính các biểu thức M, N theo a

4 4
1 2 1 2
,M x x N x x= + = +
c) Xác định a sao cho
2 2
1 2
2 1
4
x x
x x

+
ữ ữ


Câu 2: Cho hệ PT :
2
2
2 3 1 0
2 0
x ax a

y by x

+ =


+ =


a) Giải hệ PT khi a=-3, b=2
b) Xác định các giá trị nguyên của a và b để hệ có đúng3 nghiệm
Câu 3: a) Cho hàm số
( ) ( )
2
p p
f x x và g x x
x
x
= + = +
trong đó p là một số thực cho trớc.
Với x>0 hãy xác định giá trị nhỏ nhất của f(x) và g(x)
b) Giả sử x, y, z là ba số thực dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh :
3
4
3
x xy xyz+ +
Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn .Gọi (O
1
),(O
2
) lần lợt là đờng tròn bàng tiếp trong góc C và B của tam

giác ABC . Đờng tròn tâm O
1
tiếp xúc với AB, AC và BC lần lợt tại C
1
, G và E, đờng tròn tâm O
2
tiếp xúc
với AC, BC và AB lần lợt là B
1
, F và H. Gọi P là giao của EG và FH; I là giao của PA và BC. Chứng minh
rằng:
a) Ba điểm O
1
, A, O
2
thẳng hàng.
b)
1
2
O A
IE
IF O A
=
.
Đề thi HSG năm học (2003-2004)
Câu 1 : Giải hệ PT:
3
3
3
3 4

2 6 6
3 9 8
x y x
y z y
x x z

+ = +


+ = +


+ = +



Câu 2:
a) Chứng minh rằng với bất kỳ số thực p, q ta đều có :
( )
2 2
1 1p q p q+ + > +
b) Tìm số thực b lớn nhất sao cho với mọi số thực p, q bất đẳng thức sau luôn đúng
( )
2 2
1 1p q bp q+ + +

Câu 3: Giải PT nghiệm nguyên sau:
3 3 2
2 1x y y= + +
Câu 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) . Tiếp tuyến với đờng tròn (C) tại các điểm A và C

cắt nhau tại P. Giả sử PA
2
= PD.PB và P không nằm trên đờng thẳng BD. Cmr:
a) Tam giác APD đồng dạng với tam giác BPC
b) Giao điểm của AC vàBD là trung điểm AC
Đề thi HSG năm học (2002-2003)
HD(năm 2006-2007)
Câu 1: PT có nghiệm
( )
1 2
2
0
2
, 1
3
1 0
0, 2
m
x x
f
m m

(*)
Khi đó theo viet ta có
1 2
2
1 2
4
. 3 3
x x m
x x m m
+ =



= +


Khi này ta có
2 2
3 2
2
1 2
1 2
8 13 2
6 1
1 1 2
mx mx
m m m

m m
x x m
+
+ = = +

Đặt
( )
2
6 1f m m m= +
với m thoả mãn điều kiện (*) ta thấy f(m) là hàm nghịch biến trên
( ) ( )
2 2
;2 2 đpcm
3 3
f f m f

<
ữ ữ


Câu 2: Do x=0 không là nghiệm của PT, nên chia cả tử và mẫu vế trái của PT cho x ta đợc PT tơng đơng
3 2
4
2 2
3 2x x
x x
+ =
+ +
Đặt
4

2 3 2
ta được PT : 4
9
3 2
4
t
t x
x t t
t
=


= + + =


=

Với t=4
2 2x =
Với
2
9
4 9 8 0
4
t x x VN= + =
Vây PT có nghiệm
2 2x =
Câu 3:
Xét hệ:
( )

( )
3 2 1 1 1
3 2 1 1 2
x y
y x

+ + =


+ + =


Điều kiện của ẩn
1
,
2
x y
. Lấy (1) trừ (2) ta đợc
( )
3 2 1 3 2 1 3x x y y+ + + = + + +
Ta thấy hàm
( )
1
3 2 1 là hàmđồng biến / ; )
2
f x x x

= + + +

Khi ®ã tõ (3) suy ra f(x)=f(y)
x y
⇔ =
Khi ®ã ta cã tõ (1)
( ) ( )
2
1
1
2
2 2 1 1 5 2 7
4 2 1 1
x
x x x
x x

− ≤ ≤

⇒ + = − ⇔ ⇔ = −


+ = −

VËy nghiÖm cña hÖ lµ:
5 2 7
5 2 7
x
y

= −



= −


C©u 4:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2
1 1 1 1
3 2
3 3 2 6
CD CA CB OA OB OC
OE OA OD OC OA OA OB OC OA OB OC
= + = + −
 
= + + = + + + = + +
 ÷
 
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Do ®ã
( ) ( )
( )
2 2 2
2 .6 2 3 2
3 4 4 . 4 .
4 4 . 0
CD OE OA OB OC OA OB OC

OA OB OC OA OB OA OC
OA OB OC OA CB
= + − + +
= + − + −
= − = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
VËy OE vu«ng gãc víi CD
C©u 5:

( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
3
256
Ta cã 2 2 8 2 2
2 4 8
48 128
2 48 96 96
MinP=96, dÊu = x¶y ra khi x=4, y=2, z=4
P x y z xy z z
z
z z
z z
z z
= = + ≥ + = +
− +

 
− +
= + = + ≥
 ÷
 
⇒
A
C
D
B
E