Đề thi HSG môn toán 9

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (7,0 điểm)
a) Giải phương trình:
( )
2
8 3 2 8x x x x+ − = +
b) Giải hệ phương trình:
( )
3 3
2 2
4 2
1 3 1
x y x y
x y

− = +


− = −


Câu 2. (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n để
4 3 2
n n n+ +
là số chính phương.

Câu 3. (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong. Trên đoạn AD lấy hai điểm
M, N (M, N khác A và D) sao cho
·
·
ABN CBM=
. Đường thẳng BM cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai là F.
Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì trên cung
nhỏ BC (M khác B, C). Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại
điểm M (với R’ < R). Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’)
tại điểm thứ hai là D, E, F. Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn
(O’; R’) trong đó I, J, K là các tiếp điểm.
Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK.
Câu 5 (4,0 điểm)
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn:
3a b c
+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
a b b c c a abc+ + −
.
b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng
hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi
qua 3 điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại.
--------------------------- Hết ----------------------------

Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh:.......................
Đề thi chính thức