TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG :
Phương pháp 1 :
Giả sử có hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) lần lượt có phương trình
như sau :
M1
1M2
M3
xxat
(d):yyat
zzat
=+
=+
=+
và
N1
2N2
N3
xxbt'
(d):yybt'
zzbt'
=+
=+
=+
Ø Lấy điểm M ∈ (d
1
) ; N ∈ (d
2
)
M(
M1
xat
+
;
M2
yat
+ ;
M3
zat
+ )
N(
N1
xbt'
+
;
N2
ybt'
+
;
N3
zbt'
+
)
Ø MN là đường vuông góc chung :
11
2
2
MN(d)MNa
MN(d)
MNa
⊥⊥
⇔
⊥
⊥
uuuur
uuuur
Ta có hệ phương trình sau :
MN .
1
a
= 0
MN .
1
a
= 0
Ø Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào (d
1
) có
tọa độ của M, t’ thế vào (d
2
) có tọa độ N.
Ø Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình
đường vuông góc chung cần tìm.
Phương pháp 2 :
Ø Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d
1
) và (d
2
) :
1
a(a
=
;
2
a
;
3
a
)
b
=
(
1
b
;
2
b
;
3
b
)
Ø Viết phương trình mp(α) chứa (d
1
) và đường vuông góc chung
:
mp():
na,u
α
α
=
⇒ MN =
(*
)
(d
1
)
M
N
Ÿ
Ÿ
(d
2
)
⇒
233112
233112
aaaaaa
u;;
bbbbbb
=
u là vectơ chỉ
phương của đường
qua điểm A
∈
α
β
d
d
A
B
Ÿ
Ÿ
u
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
Ø Viết phương trình mp(β) chứa (d
2
) và đường vuông góc chung :
mp():
nb,u
β
β
=
Ø Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai
mp(α) và mp(β) .
II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp 1 :
Độ dài MN ở phần I chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau
Phương pháp 2 :
Ø Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với
(d
2
)
mp(P):
na,b
β
=
Ø Lấy điểm B ∈ (d
2
) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :
(
)
(
)
12
d,dB,(P)
δ=δ = BH
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt
phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0
()
000
0
222
AxByCzD
M,()
ABC
+++
δα=
++
Phương pháp 3 :
(d
1
) đi qua A và có vectơ chỉ phương a
1
(d
2
) đi qua B và có vectơ chỉ phương a
2
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
được tính theo
công thức :
()
12
12
12
a,a.AB
d,d
a,a
δ=
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D’ lần
lượt có phương trình :
qua điểm B
∈
qua điểm A
∈
P
d
d
B
Ÿ
H
Ÿ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
x2z20
(D):
y30
+−=
−=
và
x2t
(D'):y1t
z2t
=+
=−
=
1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau
nhưng vuông góc với nhau
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ .
(Trích đề thi tuyển sinh khối D 2006)
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – y + 2z
– 3 = 0 và 2 đường thẳng
1
x4y1z
(d):
221
−−
==
−
và
2
x3y5z7
(d):
232
++−
==
−
a) Chứng tỏ (d
1
) song song với (α) và (d
2
) cắt (α)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
c) Viết phương trình đường thẳng (∆) // với mp(α), cắt (d
1
) và
(d
2
) lần lượt tại M, N sao cho MN = 3 (Trích đề thi
tuyển sinh cao đẳng khối A 2007)
Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x7y5z9
(d):
314
+−−
==
−
và
2
xy4z18
(d):
314
++
==
−
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
)
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
) (Trích đề thi Đại Học
Kiến Trúc Hà Nội 1998)
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x1y2z3
(d):
123
−−−
== và
2
x2yz0
(d):
2xy3z50
+−=
−+−=
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x7y3z9
(d):
121
−−−
==
−
và
2
x3y1z1
(d):
723
−−−
==
−−
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Lập phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
(Trích đại học Y Dược 1998)
Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
1
x2y3z4
(d):
235
−−+
==
−
và
1
x1y4z4
(d):
321
+−−
==
−−
a) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung (d)
của (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ giao điểm H, K của (d) với (d
1
), (d
2
).
(Trích đề thi đại học Quốc Gia TPHCM 1997)
Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau (d
1
)
và (d
2
) có phương trình :
1
x1
(d):y42t
z3t
=
=−+
=+
và
2
x3t'
(d):y32t'
z2
=−
=+
=−
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
(d
1
) và (d
2
).
(Trích đề thi đại học thương mại 1997)
Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x1t
(d):yt
zt
=−
=
=−
và
2
x2t'
(d):y1t'
zt'
=
=−
=
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau .
b) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau,
lần lượt chứa (d
1
) và (d
2
).
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
(Trích đề thi đại học Nông Lâm 1995)
Bài 8 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x2t
(d):y1t
z2t
=+
=−
=
và
2
x2z20
(d):
y30
+−=
−=
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và
(d
2
).
(Trích đề thi đại học Sư Phạm Hà Nội 1998)
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
1
xy2z0
(d):
xyz10
++=
−++=
và
2
x22t
(d):y5t
z2t
=−+
=−
=+
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau .
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
c) Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M(1 ; 1 ; 1) và cắt
cả hai đường thẳng (d
1
), (d
2
)
(Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 1997)
Bài 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x8z230
(d):
y4z100
−+=
−+=
và
2
x2z30
(d):
y2z20
−−=
++=
a) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần
lượt chứa (d
1
), (d
2
).
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
c) Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với Oz và cắt
cả hai đường thẳng (d
1
), (d
2
).
(Trích đề thi đại học Kinh Tế 1995)
Bài 11 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x2t1
(d):yt2
z3t3
=+
=+
=−
và
2
xt'2
(d):y2t'3
z3t'1
=+
=−
=+
a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
), (d
2
).
(Trích đề thi đại học Tổng Hợp Hà Nội khối A 1994)
Bài 12 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
có phương trình :
1
x3t7
(d):y2t4
z3t4
=−
=−+
=+
và
2
xt'1
(d):y2t'9
zt'12
=+
=−
=−−
a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
đó.
(Trích đề thi đại học Cảnh Sát Nhân Dân 2000)
Bài 13 : Đường thẳng (d
1
) qua điểm P
1
(1 ; 2 ; 1) có vectơ chỉ
phương a
1
= (1 ; 0 ; 1), đường thẳng (d
2
) đi qua điểm P
2
(0 ; 1
; 2) có vectơ chỉ phương a
2
= (–1 ; –1 ; 0). Viết phương
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
trình đường vuông góc chung (d) của (d
1
) và (d
2
) (theo dạng
giao tuyến của hai mặt phẳng).
(Trích đề thi Cao Đẳng Công Nghiệp 4 – 2000)
Bài 14 : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ; 1 ;
1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1).
a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
(Trích đề thi Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế TPHCM – 1999)