CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 2

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
1

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@
VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
Cho hàm số
()
yfx
=
( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có 2 cách :
Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lý : Đạo hàm của hàm số
()
yfx
=
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị tại điểm M
(;())
ooo
xyfx
= :
'()
o
kfx
=

Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

Tiếp tuyến tại
(;)()
oo
MxyC
∈
'().()
ooo
yfxxxy
=−+
(1)
'()
o
kfx
=
:hệ số góc
Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
_Gọi
(;)()
oo
MxyC
∈
_Giải pt :
'()
ooo
fxkxy
=⇒⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
cho trước :

d
ykxb
=+

_Gọi
(;)()
oo
MxyC
∈
_Giải pt :
'()
odoo
fxkxy
=⇒⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)
trước :
d
ykxb
=+

_Gọi
(;)()
oo
MxyC
∈
_Giải pt :
1
'()

ooo
d
fxxy
k
=−⇒⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến đi qua điểm
(;)()
AA
AxyC
∉ cho
trước
_Gọi
(;)()
oo
MxyC
∈ ,tt tại M là
()
∆
: (1)
_
()
∆
qua A: thay tọa độ A vào
(1)
oo
xy
⇒⇒
PTTT

⇒


Cách 2 : dùng đk tiếp xúc :hai đths
()
()
yfx
ygx
=


=

tiếp xúc với nhau
()()
'()'()
fxgx
fxgx
=

⇔

=



Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )
Tiếp tuyến tại
(;)()
oo

MxyC
∈
'().()
ooo
yfxxxy
=−+
(1)

'()
o
kfx
=
:hệ số góc
Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
_PTTT có dạng
(*)
ykxC
=+

_ĐKTX
()
'()
fxkxC
fxk
=+


=


_Giải hệ
C
⇒

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
2

Tiếp tuyến song song với đư
ờng thẳng (d) cho
trước :
yaxb
=+

_PTTT có dạng
(*)
yaxC
=+

_ĐKTX
()
'()
fxaxC
fxa
=+


=


_Giải hệ

C
⇒

Tiếp tuyến vng góc với đư
ờng thẳng (d) cho
trước :
yaxb
=+

_PTTT có dạng
1
(*)
yxC
a
=−+

_ĐKTX
1
()
1
'()
fxxC
a
fx
a

=−+





=−



_Giải hệ
C
⇒


Tiếp tuyến đi qua điểm
(;)()
AA
AxyC
∉ cho trước
_PTTT có dạng: ()
AA
ykxxy
=−+

_ĐK TX
()()
'()
AA
fxkxxy
fxk
=−+


=



_Thế pt dưới vào trên
xk
⇒⇒

ứng với 1 giá trị
x
sẽ có 1 giá trị
k



Lưu ý : hai đt :
11
22
ykxc
ykxc
=+


=+

vng góc với nhau
12
.1
kk
⇔=−
,song song
12

kk
⇔=

Với
12
,
kk
là hệ số góc
Bài tập có HD
Bài toán 1: Cho hàm số (C)
2
2
43
2
−
+−
=
x
xx
y . M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:
()
(C) 1x ≠
−
+−=
−
+−

=
1
1
1
2
2
2
43
2
x
x
x
xx
y

(
)
(
)
⇒
∈
CbaM ; tiếp tuyến tại M là (d)
()
(
)
baxyy
a
+
−
′

=







−
+−=
1
1
1
2 a
a
b
()
()
1
1
1
2
1
1
2
1
2
−
+−+−







−
−=⇔
a
a
ax
a
y
Tiệm cận đứng của (C) là (d
1
) : x = 1
()()






−
+−=∩⇒
1
2
2
1
;1
1

a
Add
Tiệm cận xiên của (C) là (d
2
) :
()()






−−=∩⇒−=
2
3
;121
2
2
aaBdd
x
y
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
3

Ta có :
()()
MBA
xaaxx ==−+=+ 121
2
1

2
1


()
MBA
y
a
a
a
a
yy =
−
+−=






−+
−
+−=+
1
1
1
22
3
1
2

2
1
2
1
2
1

Vậy M là trung điểm của AB
Giao điểm của 2 tiệm cận là
IBIAIAB
xxyySI −−=⇒






−
2
1
2
1
;1
222.
1
2
.
2
1
=−

−
= a
a

Vậy S
IAB
không phụ thuộc vào M

Bài toán 2: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : Gọi M(x
0
; y
0
)
(
)
C
∈
: hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x
0
) = 963
0
2
0
−

+
xx
Ta có
(
)
121213
2
0
−≥−+= xk . Dấu “=” xảy ra khi x
0
= – 1
Vậy Min k = – 12
⇔
M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1

⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

()



−<
>
⇔



≠=
>−=∆
⇔
2
2
010
04
2

m
m
g
mg

Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0




==
−=+=
⇒
1
CB
CB
xxP
mxxS

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc

(
)
(
)
1

−
=
′
′
⇔
BC
xfxf

(
)
(
)
12323
−
=
+
+
⇔
mxmxxx
CBCB


(
)
[
]
1469
2
−
=

+
+
+
⇔
mxxmxxxx
CBCBCB


(
)
[
]
14691
2
−=+−+⇔ mmm

10
2
2
=
⇔
m

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
4

5±=⇔ m (nhận so với điều kiện)

Bài toán 4: Cho hàm số y = x
3

– 3x – 2 (H)
Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lït là giao
điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh rằng
A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng.
Giải: Gọi M(x
0
; y
0
) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M

(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
12132313
32
00
3
0
2
0
+
−
−
=
−
−
+
−
−
=
xxxxxxxxyd


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)

(
)
(
)
121323
32

0
3
+
−
−
=
−
−
xxxxx

(
)
(
)
02
0
2
0
=+−⇔ xxxx

(
)



−=
=
⇔
0
0

2xx
xx
ùp
nghiệm ke

Gọi A(a; y
A
) , B(b; y
B
) , C(c; y
C
)

⇒
giao điểm A
1
, B
1
, C
1
của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)

(
)
268;2
3
1
−
+
−

−
=
aaaA
(
)
268;2
3
1
−
+
−
−
=
bbbB
(
)
268;2
3
1
−
+
−
−
=
cccC
* A, B, C thẳng hàng :

(
)
()

acac
abab
ac
ab
−−−
−−−
=
−
−
⇔
3
3
33
33


3
3
1
22
22
−++
−++
=⇔
ac
a
c
abab

ab
b
ac
c
+
=
+
⇔
22


(
)
(
)
0
=
+
+
−
⇔
cbabc

(
)
b
c

≠
=

+
+
⇔
0cba
* A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng :

(
)
(
)
()
()
caca
baba
ca
ba
−−−
−−−
=
−
−
⇔
68
68

22
22
33
33


(
)
()
34
34
1
22
22
−++
−++
=⇔
caca
baba


ab
b
ac
c
+
=
+
⇔
22

(
)
(
)
0
=
+
+
−
⇔
cbacb

(
)
b
c

≠
=
+
+
⇔
0cba
Vậy : A, B, C thẳng hàng
⇔
A
1
, B

1
, C
1
thẳng hàng

Bài Tập :
Bài 1 : Cho hàm số
()
yfx
=
có đồ thị là ( C ) .Tìm hệ số góc và viết pttt với ( C ) tại điểm
o
M

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
5

1) ( C ) :
2
33
1
xx
y
x
++
=
−
với
()
o

MC
∈ có hoành độ
2
o
x
=

2) ( C ) :
3
1
yxx
=++
với
(2;9)()
o
MC
−−∈
3) ( C ) :
42
25
yxx
=−+
với
()
o
MC
∈ có tung độ
8
o
y

=

4) ( C ) :
2
,
1
o
x
yM
x
+
=
−−
là giao điểm của ( C ) và Oy
5) ( C ) :
2
32
,
3
o
xx
yM
x
−+
=
−
là giao điểm của ( C ) và Ox
6) ( C ) :
3
22,

o
yxxM
=−+ là giao điểm của ( C ) với đt
2
y
=

7) ( C ) :
3
2,
yxx
=−
với
o
M
là giao điểm của ( C ) và Oy
8) ( C ) :
42
253
yxx
=−+
với
()
o
MC
∈ là giao điểm của ( C ) và Ox
Bài 2 : Cho hàm số
3
2
x

y
x
−
=
+
( C ),viết pttt với đths :
1) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ
2) Biết tiếp tuyến song song với đt
52
yx
=+

Bài 3 : Cho hàm số
32
34
yxx
=−+
( C ),viết pttt với đths :
1) Tại
()
o
MC
∈ có hoành độ
2
o
x
=−

2) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm
(2;0)

A
Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :
1)
2
36
,
1
xx
y
x
++
=
+
biết tiếp tuyến vuông góc với đt
1
3
yx
=
2)
2
3,
yxx
=+ biết tiếp tuyến qua
(1;4)
A
3)
32
3,
yxx
=− biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt

1
3
yx
=
4)
2
22
,
1
xx
y
x
−+
=
−
biết tiếp tuyến song song với đt
3
15
4
yx
=+

5)
3
2
231
3
x
yxx
=−+−

, biết tiếp tuyến đó qua
(0;1)
K
−

6)
2
31
,
2
xx
y
x
−+
=
−
biết tiếp tuyến song song với đt
23
yx
=+

Bài 5 : cho ( C ) :
2
4
,
1
xx
y
x
−

=
−
tìm pttt với ( C ) trong các trường hợp sau :
1) Tiếp xúc với ( C ) tại
(2;4)
A
−

2) Song song với
1
():131
dyx
=+

3) Vuông góc với
2
1
():
4
dyx
=−
4) Vẽ từ
(1;5)
M
Bài 6 : cho ( C ) :
32
32
yxx
=−+

1) Lập pttt với ( C ) tại điểm có hòanh độ
3
o
x
=−

2) Lập pttt của ( C ) qua
i.
(2;2)
A
−
ii.
(0;3)
B
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
6

3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng
1
19
9
yx
=−+

4) Lập pttt tại điểm uốn của ( C ) .Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất
5) (khó) Tìm trên đt
2
y
=
các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Bài 7 : cho ( C )
2
.
1
x
y
x
−
=
+
Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến :
1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm
(2;1)
A
Bài 8 : cho ( C )
32
352.
yxxx
=−+−+
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó :
2) Song song với đt :
230
xy
+−=
3) Vuông góc với đt :
2920
xy
−+=

Bài 9 :

2
2
21
x
y
x
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :
1) Tại điểm có hoành độ
1
o
x
=

2) Song song với đt
8910
xy
−+=

3) Vuông góc với đt
252420
xy
+−=

Bài 10 : cho ( C ) :
32
441
yxxx
=+++

và điểm
()
AC
∈
với
1
A
x
=−
. Viết pttt với ( C ) biết
tiếp tuyến qua A
Bài 11 : cho ( C ) :
3
2
23
3
x
yxx
=−+
có đồ thị là ( C ). Viết pttt với ( C ) tại điểm uốn. Chứng
minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 12 :
32
11
():
323
m
m
Cyxx
=−+

.Gọi M là điểm thuộc
()
m
C
có hoành độ bằng -1 .Tìm m để
tiếp tuyến của
()
m
C
tai điểm M song song với đt
50
xy
−=

Bài 13 :
2
1
1
xx
y
x
−+
=
−
( C ) .Viết pt đường thẳng đi qua
(1;0)
M và tiếp xúc với đths ( C )
Bài 14 : cho hàm số
()
m

C
32
3(1)1
yxxmmx
=++++
.Tìm m để
()
m
C
tiếp xúc với parabol (P)
:
2
321
yxx
=++
.( đs :
12
mm
=∨=−
)
Bài 15 : ( C ) :
2
1
1
xx
y
x
−+
=
−

và (P)
2
yxa
=+
.Định a để ( C ) tiếp xúc với (P)
Bài 16 : Định tham số m để đồ thị
1)
2
33
yxx
=++
và
21
yxm
=+−
tiếp xúc
2)
32
32
yxxx
=−+−
và
ymx
=
tiếp xúc
3)
32
(23)(2)
yxmxmxm
=−++++

tiếp xúc với trục hoành ( Ox )
4)
2
1
x
y
x
+
=
−
và 3
yxa
=−+
tiếp xúc
*Bài 17 :
2
2(1)1
():,
m
xmxm
Cy
xm
+−++
=
−
CMR với mọi
1
m
≠−
thì đths luôn tiếp xúc với 1

đường thẳng cố định tại một điểm cố định
*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay đồ thị sau :
1)
2
1
():
Cyx
=
và
2
2
():21
Cyxx
=−−

2)
2
1
():56
Cyxx
=−+
và
2
2
():511
Cyxx
=−+−

Lưu ý :
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

7

• Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm của
chúng có nghiệm kép
• Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Bài 19 : ( C ) :
3
.
1
x
y
x
−
=
+
Viết pttt với ( C ) biết :
1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy
2) Tại K có hồnh độ bằng -2
3) Tiếp tuyến song song với đt
42
yx
=+

4) Vng góc với đt
430
xy
+−=

*Bài 20 : Tìm trên đt
2

y
=
mà qua đó có đúng ba tiếp tuyến với ( C ) :
32
32
yxx
=−+−

Bài 21 : Tìm trên Ox những điểm mà qua đó có đúng một tiếp tuyến với ( C ) trong các trường
hợp sau :
1)
2
222
():
1
xx
Cy
x
−+
=
−
2)
2
3
():
2
xx
Cy
x
+−

=
+


VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ
Lý Thuyết : cho hai hàm số
()
yfx
=
có đồ thị là (C) và
()
ygx
=
có đồ thị là (C’). Muốn xét sự tương
giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hồnh độ giao điểm :
()()
fxgx
=
(*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C)
và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm.

Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau
tại M thì điểm
M
x
chính là nghiệm kép của pt (*)
, và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến

Bài tập có HD
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x
3
– 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x
3
– 3x + 2 = m(x – 2) + 4
ó (x – 2)( x
2
+ 2x + 1 – m) = 0 (1)
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x
2
+ 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0
⇔
m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
8

Ta có
m
=
∆
′

m < 0
0
<
∆
′
⇔ : (2) vô nghiệm
m = 0
0
=
∆
′
⇔ : (2) có nghiệm kép x = – 1
0 < m ≠ 9
0
>
∆
′
⇔ : (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
- Kết luận:
m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm

0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4)

Bài toán 2: Cho hàm số y =
2
x 4x 1
()
x 2
fx
++
=
+
(C)
Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x
2
+ 4x + 1 = mx
2
+ 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)

⇔
(1 – m)x
2
+ (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C)

⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt x

1
; x
2
sao cho x
1
< x
2
< – 2 V – 2 < x
1
< x
2

(
)
()()
()()()()
[]







>−+−−−−=−
>−−−+−=∆
≠
−
=
⇔

032221412
03214
2
44
01
mmmmaf
mmmm
ma







>−
>+
⇔
m) (
m m
013
01624
2
9







>
≠
⇔
1.
3
4
m
m

Kết luận :





>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng
một nhánh của (C)
Bài toán 3:Cho hàm số
1
2
−
=

x
x
y . Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc
đường thẳng (d’) y = –x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)
x
2
= (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
⇔
2x
2
– (m + 1)x + m = 0 (*)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
9

Ta có
∆
= (m + 1)
2
– 8m > 0

⇔
m
2
– 6m + 1 > 0






+>
−<
⇔
53
53
m
m

Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:








−
=+−=
+
=
+
=
⇒
4
13
4
1

2
m
mxy
mxx
x
II
BA
I

A và B đối xứng qua (d)
⇒
I thuộc (d): y = x – 1
⇒
1
4
1
4
13
−
+
=
−
mm

⇒
m = – 1
Lúc đó (*) thành trở thành : 2x
2
– 1 = 0
⇔

x =
2
1
±
Vậy








+−
−
2
2
1;
2
1
A








−−

2
2
1;
2
1
B
Bài toán 4:Cho (P) y = x
2
– 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao
cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B
a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc
b) Viết phương trình (d) khi AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x
2
– 2x – 3 = 2x + m
⇔
x
2
– 4x – 3 – m = 0
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

⇔

∆
′
= 7 + m > 0
⇔
m > –7

Lúc đó gọi x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1) ta có
S = x
A
+

x
B
= 4
P = x
A
x
B
= – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc ó f’(x
A
)f’(x
B
) = –1

⇔
(2 x
A
–2)(2 x
B
–2) = – 1

⇔
4P – 4S + 5 = 0
⇔
4(–3 –m) –16 + 5 = 0
⇔
m =
4
23
− (nhận vì m > –7)
b) A, B thuộc (d)
⇒
y
A
= 2 x
A
+ m
y
B
= 2 x
B
+ m
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
10

Ta có AB
2
= 100
⇔
(x
A

– x
B
)
2
+ (y
B
– y
A
)
2
= 100

⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (2 x
A
–2 x
B
)
2
= 100

⇔
(x
A

– x
B
)
2
= 20

⇔
S
2
– 4P = 20

⇔
16 + 4(3+m) = 20

⇔
m = – 2 (nhận vì m > –7)

Bài toán 5 : Cho hàm số
() ()
H
m
x
mxxfy
+
+−+==
1
3
Tìm a để đường thẳng
(
)

∆
: y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành
độ trái dấu
Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và
(
)
∆
:

()()
111
1
1
2 −≠++=
+
++ x:đk xa
x
x

(
)
11233
22
++++=++⇔ xxxaxx

(
)
(
)
(

)
(
)
*

02121
2
=
−
+
−
+
−
=
⇔
axaxxxg

(
)
∆
cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu

⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt
2121
01, xxxx
<
<
Λ
−

≠




(
)
(
)
()
()()
()()
21
012121
021
01
01
001
<<⇔



≠=−+−−−
<−−
⇔






≠−
≠−
<
−
⇔ a
aaa
aa
a
g
ga


Bài 1 : tìm tọa độ giao điểm ( nếu có ) của đồ thị 2 hàm số sau
a) (C) :
2
31
yxx
=++
và (d) :
1
yx
=+

b) (P
1
) :
2
1
yx
=−+

và (P
2
) :
2
yxx
=+

c) (C) :
1
3
x
y
x
+
=
−
và (d) :
26
yx
=−

d) (C) :
32
21
yxxx
=−++
và (d) :
21
yx
=−

Bài 2 : định m để
a)
22
(2)(3)
yxxmxm
=−++−
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
b)
32
32
yxx
=−+
cắt (d) :
2
ymx
=+
tại 3 điểm phân biệt
Bài 3 : 1)cho hàm số
32
231
yxx
=−−
có đồ thị là (C), và đt (d) :
1
ykx
=−
. Tìm k để (C) cắt (d) tại 3
đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hồnh độ dương
2)Tìm k để đồ thị y=x

3
+x
2
-2x+2k và y=x
2
+(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm.
3)Tìm m để đồ thị y=x
3
-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đó tại 2
trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau.

Bài 4 :
a) cho hàm số
3
32
yxx
=−+
có đồ thị là (C), và đt (d) qua
(3;20)
A có hệ số góc là m. Tìm m để
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt.
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
11

b) cho hàm số
2
1
1
xx
y

x
−−
=
+
(C), gọi (d) là đường thẳng qua
(3;1)
A có hệ số góc là k, Tìm k để
(C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt
c) cho hàm số
2
1
mxxm
y
x
++
=
−
(C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ dương .
Bài 5 : cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
a)Tìm m để (D) :

1
ymx
=+
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
b)Tìm m để (D) :
1
ymx
=+
cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)
Bài 6 : cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) :
yxm
=−+
tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất


VẤN ĐỀ 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Lý Thuyết : xét bài toán sau đây : vẽ đồ thị (C) của hàm số
()
yfx

=
sau đó biện luận theo tham số m
số nghiệm của phương trình :
(;)0
hxm
=
(*)
Ta đưa (*) về dạng
()()
fxm
ϕ
=
trong đó
()
m
ϕ
là biểu thức theo m, không chứa x
Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng
()
ym
ϕ
=
mà ta nhìn thấy qua đồ
thị

Chú ý : do m là tham số tùy ý nên ta không nên lầm tưởng
()
ym
ϕ
=

là 1 hàm số , đường cong…
mà nó mãi mãi chỉ là đường thẳng mà thôi (các em hay có nhận định sai khi làm dạng này)

VD như hình bên , ta thấy (*) có :
3 nghiệm khi
5()1
m
ϕ
−<<−

2 nghiệm khi
()1()5
mm
ϕϕ
=−∨=−

1 nghiệm khi
()1
()5
m
m
ϕ
ϕ
>−


<−


Bài tập có HD
Baøi toaùn 1: Cho haøm soá y = x
3
– 3x (C)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
12

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số xxy
3
sin33sin
−
−
=

Giải: a) Đồ thò (C)
-4-3-2-11234
-4
-2
2
4
x
y

b) xxy
3
sin33sin
−
−
=


(
)
xxxy
33
sin3sin4sin3
−
+
−
=
⇔

xxy
33
sin3sin
−
=
⇔

Đặt t = sinx ,
[
]
1;1

−
∈
t
Xét y = t
3
– 3t với
[
]
1;1
−
∈
t
Nhìn vào đồ thò (C) ta thấy

[]
Π+
Π
−=⇔−=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
kxtMaxy
t


[]
()
Zlk, ∈Π+

Π
=⇔=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
lxtMiny
t

Bài toán 2: Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
b) Tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
1cos
1coscos2
2
+
++
=
x
xx

y
Giải: a)Đồ thò (C)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
13

-8-6-4-22468
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y

b) Đặt 10cos
≤
≤
⇒
=
txt
Vậy
1
12
2
+
++

=
t
tt
A
với
[
]
1;0
=
D
Nhìn vào đồ thò hàm số (1) ở trên khi xét
[
]
1;0
∈
t ta thấy:

Π=⇔=⇔



−=
=
⇔




−=
=

⇔= kxx
x
x
t
t
MaxA 0sin
1cos
1cos
)(
2
1
1
2
loại

()
Zlk, ∈Π+
Π
=⇔=⇔=⇔= lxxtMinA
2
0cos01


Bài toán 3: Cho hàm số
2
3
2
+
−+
=

x
xx
y (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm
của:
(
)
(
)
0231
24
=
−
−
−
+
=
mtmttf
Giải: a)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
14

-6-5-4-3-2-1123
-6
-4
-2
2
x
y

b)
(
)
0231
24
=−−−+ mtmt (*)

(
)
23
234
+=−+⇔ tmtt
m
t
tt
=
+
−+
⇔
2
3
2
24

Xét hàm số
2
3
2

+
−+
=
x
xx
y với
0
2
≥=
t
x

Nhìn vào đồ thò ta thấy khi
2
3
−≥m thì (d) cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ
không âm
Vậy khi
2
3
−=m có nghiệm x = t
2
= 0

⇒
(*) có nghiệm kép 0
21
=
=
tt

2
3
−>m thì (*) có 2 nghiệm

2
3
−<m thì () vô nghiệm

Bài toán 4:Cho hàm số
()
1
2
−
==
x
x
xfy (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của
(
)
02
=
−
−
mxm với
[
]
2;1

−
∈
x
Giải:a) Đồ thị (C)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
15

-3-2-1123456
-2
2
4
6
x
y

b) Xét phương trình
(
)
02
=
−
−
mxm với
[
]
2;1
−
∈
x

(
)
xxm 21
=
−
⇔
(*)
Vì 1
=
x không là nghiệm của (*)
Vậy
1
2
−
=
x
x
m với
[
]
2;1
−
∈
x
Xét đường y = m và
1
2
−
=
x

x
y
với
[
]
2;1
−
∈
x
-4-3-2-11234
-4
-2
2
4
x
y


Nhìn vào đồ thò ta thấy

(
)
0;
∞
−
∈
m : (*) có 2 nghiệm

{
}

)
[
∞
+
∪
∈
;40m
: (*) có 1 nghiệm

(
)
4;0
∈
m : (*) vô nghiệm
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
16


Bài toán 5: Cho hàm số
()
1
2
−
==
x
x
xfy (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C)
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
(

)
(
)
0111
2
=+−−− xxxm
Giải: a) Đồ thò (C)
-3-2-1123456
-2
2
4
6
x
y
y=-3x+1


b)
(
)
(
)
0111
2
=+−−− xxxm (*)
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có
()
1
1
*

2
+=
−
⇔ mx
x
x

Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :
(C) :
1
2
−
=
x
x
y
(d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép

()()



=−−−
≠
−
⇔
0141
01
2

mm
m




=−+
≠
⇔
032
1
2
mm
m

()



=
−
=
⇔
loại1
3
m
m

3
−

=
⇔
m

Vậy tiếp tuyến của (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1
* Kết luận

3
−
=
m
: (d) tiếp với (C)
⇔
phương trình (*) có nghiệm kép

(
)
(
)
+∞
∪
−
∞
−
∈
;13;m :(d) cắt (C) tại 2 diểm phân biệt
⇔
phương
trình
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

17

(*)có 2 nghiệm đơn

(
]
1;3
−
∈
m :
(
)
(
)
Φ
=
∩
Cd phương trình vô nghiệm

Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình
0212164
2
=−−+− mxxx
Giải:
(
]
[
)
+∞
∪

∞
−
=
;31;D
m
x
xxmxxx +=+−⇒=−−+−
2
340212164
22

Đặt (d) : m
x
y +=
2

Xét (C) : 34
2
+−= xxy

-2-1123456
-2
2
4
6
x
y
2
1
2

−=
x
y
2
3
2
−=
x
y


* Dựa vào đồ thò ta có







−∞−∈
2
3
;m : phương trình đã cho vô nghiệm








−−∈
2
1
;
2
3
m : phương trình có 1 nghiệm







+∞−∈ ;
2
1
m : phương trình có 2 nghiệm

Bài toán 7: Cho hàm số
42
23 xxy −+= (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2424
2
2
m
m
x

x
−=−
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
18

Giải: a) Đồ thò (C) :
42
23 xxy −+=
-2-1.5-1-0.50.511.52
1
2
3
4
x
y
y=4
y=3


b)
2424
2
2
m
m
x
x
−=−
3
2

3
2
2424
++−=++−⇔
x
m
x
x

Xét
(
)
32
24
++−== xxxfy (C)
(
)
mfmmty =++−== 32
24

Nhìn vào đồ thò ta thấy :
Khi
1
4
±
=
⇔
=
m
t

: (*) có 2 nghiệm kép
1
±
=
x


2
0
3
±==⇔=
m
m
t

V

: (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x = 0
và 2 nghiệm đơn
2
±=
x







≠

±≠
<<−
⇔<<
0
1
22
43
m
m
m
t : (*) có 4 nghiệm phân biệt






>
−<
⇔<
2
2
3
m
m
t : (*) có 2 nghiệm đơn
Bài 1 : a) khảo sát và vẽ (C) :
32
31
yxx

=−−

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
32
31
xxm
−−=
(*)
Bài 2 : a) khảo sát và vẽ (C) :
32
125
yxx
=−+

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
32
1253
xxm
−+=+
(*)
Bài 3 : a) khảo sát và vẽ (C) :
1
1
yx
x
=+
+

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
19

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
1
xm
x
−+=
+
(*)
Bài 4 : a) khảo sát và vẽ (C) :
42
21
yxx
=−++

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
42
234
xxm
−+=−
(*)
Bài 5 : cho hàm số
32
39
yxxxm
=+−+

()
m

C

a) khảo sát và vẽ (C) khi
6
m
=

b) với giá trị nào của m thì phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
32
390
xxxm
+−+=
(đS :
275
m
−<<
)


VẤN ĐỀ 4 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết :
AA
=
nếu
0
A
≥


AA

=−
nếu
0
A
<

Đồ thị hàm số
()
yfx
=
và
()
yfx
=−
đối xứng nhau qua trục hoành
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẽ nhận tâm O làm tâm đối xứng
Bài toán : cho (C)
()
yfx
=


Dạng 1: từ (C) suy ra
1
():()
Cyfx
=

Ta có

()()
fxfx
=
nếu
()0
fx
≥
(1)

()()
fxfx
=−
nếu
()0
fx
<
(2)
Cách vẽ :
ü Giữ nguyên phần (C) nằm trên Ox (do (1))
ü Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
ü Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox (do (2)) ta sẽ có
1
():()
Cyfx
=

Lưu ý :
()
fx
là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

3
32
yxx
=−+

3
32
yxx
=−+

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
20

Dạng 2: từ (C) suy ra
2
():()
Cyfx
=

Ta có
()()
fxfx
=
nếu
0
x

≥
(1)

()()
fxfx
=−
nếu
0
x
<
(2)
Cách vẽ :
ü Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy (do (1))
ü Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)
ü Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có
2
()
C





Dạng 3: từ (C) suy ra
3
():()
Cyfx
=

Ta có :

()0
()
();(1)
();(2)
fx
yfx
yfx
yfx
≥


=⇔
=




=−



Cách vẽ :
ü Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox (do (1))
ü Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
ü Lấy đối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có
3
()
C

3
32
yxx
=−+

3
32
yxx
=−+

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
21


Dạng 4: từ (C) suy ra
4
()
():
()
Px
Cy
Qx
=

Ta có
()()
PxPx
= khi
()0
Px

>
và
()()
PxPx
=− khi
()0
Px
<

Cách vẽ :
ü Giữ ngun phần (C) khi
()0
Px
>

ü Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi
()0
Px
<

Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng
5
()
():
()
Px
Cy
Qx
=

Bài tập có HD
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
()
1
:
2
−
=
x
x
yC
3
32
yxx
=−+

3
32
yxx
=−+

1
1
x

y
x
+
=
−

1
1
x
y
x
+
=
−

1
1
x
y
x
+
=
−

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
22

b) Suy ra đồ thò
()
1

:
2
1
−
=
x
x
yC
Giải: Đồ thò (C)
-4-3-2-112345
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1
y=x+1

Đồ thò (C
1
)
-4-3-2-112345
-3
-2

-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1


Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)
Vẽ đồ thò
()
1
:
2
2
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
2
)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

23

-4-3-2-11234
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x+1
x=-1

Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)
Vẽ đồ thò
()
1
:
2
3
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
3
)
-4-3-2-11234

-2
2
4
6
x
y
x=-1
x=1
y=-x+1
y=x+1


Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)
Vẽ đồ thò
()
1
:
2
4
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
4
)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
24

-4-3-2-11234
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
x=-1

Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)
Vẽ đồ thò
()
1
:
2
5
−
=
x
x
yC

-8-6-4-22468
-10
-8
-6
-4

-2
2
4
6
8
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1

Bài 1 :
a) khảo sát và vẽ (C) :
3
3
yxx
=−+

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau :
3
1
():3
Cyxx
=−+ ;
3
2
():3
Cyxx
=−+ ;
3

3
():3
Cyxx
=−+

c) biện luận theo m số nghiệm pt sau :
3
31
xxm
−+=−
(*)
Bài 2 :
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
25

a) khảo sát và vẽ (C) :
1
2
x
y
x
+
=
−

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau :
1
1
():
2

x
Cy
x
+
=
−
;
2
1
():
2
x
Cy
x
+
=
−
;
3
1
():
2
x
Cy
x
+
=
−

4

1
():
2
x
Cy
x
+
=
−
;
5
1
():
2
x
Cy
x
+
=
−


Bài 3 :
a) khảo sát và vẽ (C) :
2
33
2
xx
y
x

−+
=
−

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau :
2
1
33
():
2
xx
Cy
x
−+
=
−
;
2
2
33
():
2
xx
Cy
x
−+
=
−
;
2

3
33
():
2
xx
Cy
x
−+
=
−

2
4
33
():
2
xx
Cy
x
−+
=
−







Công Thức Cũ :

1) Trung điểm
(;)
II
Ixy
của đoạn thẳng AB :
2
2
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y
+

=



+

=



2) Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là
22
()()

BABA
ABxxyy
=−+−
3) Khoảng cách từ điểm
(;)
MM
Mxy
đếm đường thẳng (D):
0
AxByC
++=
:
22
[;]
MM
AxByC
dMD
AB
++
=
+
với
(;)
nAB
=
r
là pháp vector
4) Điểm cố định :
2
0

(;)(;)0 00
0
A
fxmyfxmyAmBmCBm
C
=


=⇔−=⇔++=⇔=∀


=


5) Tọa độ nguyên : chia hàm số ra , sau đó cho mẫu là các số mà tử chia hết
6) Bất đăng thức Cachy :
2.
abab
+≥ ,dấu “ = “ xảy ra
ab
⇔=