TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
Phần Hình Học
Cho hình lăng trụ tam giác
.'''
ABCABC
, đặt
===
uuurruuurruuurr
',,
AAaABbACc
. Gọi
I là trung điểm của B’C’.
a. Phân tích véctơ
uur
AI
theo các vétơ
rrr
,,
abc
.
b. Phân tích vétơ
uuur
AO
theo các véctơ
rrr
,,
abc
, với O là tâm của
hình bình hành BB’C’C.
c. Phân tích vétơ
uuur
AG
theo các véctơ
rrr
,,
abc
, với G là trọng tâm
của
∆
'''
ABC
.
d. Chứng minh rằng:
(
)
(
)
=+=+
uuuuruuuuruuuuuruuuruuuuur
11
''''''
22
MNACABABAC
, với M, N lần lượt
là trung điểm của AA’, B’C’.
e. Chứng minh rằng:
(
)
=+++
uuuruuuruuuruuuuruuur
1
''
4
AOABABACAC
1/
(
)
(
)
1111
''
2222
AIABACabacabc
=+=+++=++
uuruuuuruuuurrrrrrrr
()()
()()
()
11
'
1
22
11
4
'
22
AOACABacb
AOacb
AOACABacb
=+=++
⇒=++
=+=++
uuuruuuuruuurrrr
uuurrrr
uuuruuuruuuurrrr
()()
11
'''
33
212
333
AGAAABACaabac
abc
=++=++++
=++
uuuruuuruuuuruuuurrrrrr
rrr
d/Chứng minh rằng:
(
)
(
)
=+=+
uuuuruuuuruuuuuruuuruuuuur
11
''''''
22
MNACABABAC
,
với M, N lần lượt là trung điểm của AA’, B’C’.
Chứng minh:
(
)
(
)
11
''''''''''''
22
''''''''''
ACABABACACABACAC
ACABACABBCBC
+=+⇔+=+
⇔−=−⇔=
uuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruu
uuur
uuuuruuuuruuuuuruuuuuruuuuuruuuuur
2/
3/ Cho hình chóp S.ABC có AB =
2
a
, SA = SB = SC =a, SA, SB, SC
đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của
∆
ABC
.
a. Chứng minh rằng:
⊥⊥
,
SABCSBAC
b. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
SHABC
.
c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Ta có
SB =SC suy ra SN
⊥
BC, AH
⊥
BC suy ra BC
⊥
SA
Tương tự AC
⊥
SB
c
r
a
r
b
r
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
Ta có
SNBC
BCSH
AHBC
⊥
⇒⊥
⊥
Tương tự AB
⊥
SH
b/ Từ câu a Suy ra
(
)
⊥
SHABC
c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
Ta có
(
)
HSABC
⊥
suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)
Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA
()
3
3
3
cos
2
2
3
b
AHb
SAH
a
SAa
===
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng •
trong đó α là góc sao cho
3
cos
2
b
a
α =
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
(
)
⊥
SAABCD
, SA = a,
!
=°
120
BAD
.
a. Tính số đo góc của BD và SC.
b. Gọi H là trung điểm của SC. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
OHABCD
c. Tính số đo của góc SB và CD.
a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra
ACBD
⊥
(
)
SAABCD
⊥⇒
AC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
Suy ra góc giữa chúng bằng 90
0
b/ Ta có OH là đường trung bình của tam giác CSA suy ra HO //
SA
mà
(
)
(
)
SAABCDOHABCD
⊥⇒⊥
c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB
bằng 45
0
vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A
5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O,
!
=°
30
BAC
,
====
SASBSCSDa
.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
SOABCD
.
b. Tính góc giữa SC và (ABCD).
c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
MNSBD
.
d. Tính khoảng cách giữa SB và AC.
a/ Vì O là trong điểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên
()
SOAC
SOABCD
SOBD
⊥
⇒⊥
⊥
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
b/ Ta có
(
)
SOABCD
⊥
suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
vì
!
0
30
BCA =
suy ra tam giác ACD là tam giác đều suy ra
3
2
a
CO =
!
()
!
0
3
cos30
2
OC
SCOSCO
SC
==⇒=
.Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 30
0
c/ Ta có
(
)
()
()
()
SOABCDSOBD
BDSO
BDSAB
DBAC
BDSAB
MNSAB
MNAC
⊥⇒⊥
⊥
⇒⊥
⊥
⊥
⇒⊥
!
d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB
Ta có
(
)
ACSBDACHO
⊥⇒⊥
. Đoạn thẳng OH là đoạn
vuông góc chung của AC và SB
Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH =
2
a
7/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là
∆
ABC
cân tại A, đường cao AH là đường
cao của tam giác ABC và AH= a, góc
!
=°
120
BAC
, SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, =
3
SAa
. Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
AKSBC
.
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC).
c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
a/ Ta có
(
)
SAABCSABC
⊥⇒⊥
HA là đường cao của tg ABC suy ra
AHBC
⊥
()
()
()
AHBC
BCSAH
SABC
BCSAH
BCAK
AKSAH
⊥
⇒⊥
⊥
⊥
⇒⊥
⊂
K là hình chiếu của A lên SH suy ra
AKSH
⊥
()
AKSH
BCAKAKSBC
BCSHH
⊥
⊥⇒⊥
∩=
b/
(
)
()
()()
()()
!
(
)
!
()
!
,,
,
AHACB
SHSBC
ABCSBCSHAHAHS
SBCABCBC
SHAHBC
⊂
⊂
⇒==
∩=
⊥
0
tan360
SA
HH
AH
==⇒=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
Ta có AH là đoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA
và BC bằng a
8/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
!
=°
60
BAD
, =
3
2
a
SA . Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng
với trọng tâm của
∆
ABD
.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
BDSAC
. Tính SH, SC.
b. Gọi
α
là góc của (SBD) và (ABCD). Tính
α
tan
c. Tính khoảng cách giữa DC và SA.
a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH
⊥
BD
ABCD là hình thoi suy ra AC
⊥
BD
()
SHBD
ACBDBDSAC
SHACH
⊥
⊥⇒⊥
∩=
ABCD là hình thoi cạnh a và góc
!
0
60
BAD = nên tam giác ABD là
tam giác đều cạnh a.
33
;
62
aa
OHOAOC===
222
2
222
222
2
222
222
3232335
.
232324312
5
12
545
123123
3
2
aaaaaa
SHSAAHAO
SHa
aaa
SCSHHCAO
a
SC
=−=−=−=−=
⇒=
=+=+=+
⇒=
b/ Ta có
(
)
()()
()()
!
()
,
56
tan.5
12
3
SACBD
SACABCDACOHSO
SACSBDSO
SH
a
HO
a
α
α
⊥
∩=⇒=
∩=
===
9/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là
∆
ABC
đều cạnh 2a,
(
)
⊥
SAABC
, SA
= a. Gọi I là trung điểm của BC.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
BCSAI
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
a/ Ta có
(
)
SAABCSABC
⊥⇒⊥ (1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC
⊥
(SAI)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
Ta có
(
)
(
)
()()
SBCSAI
HSI
SBCSAISI
⊥
⇒∈
∩
Xét tam giác vuông SAI có:
22222
111143
32
a
AH
AHAISAAHa
=+⇒=⇒=
c/ Ta có:
(
)
()()
()()
()()
()()
!
(
)
!
()
!
!
()
!
0
,,
3
tan30
3
3
2
2
BCSAI
ABCABCBC
SBCABCSIAISIA
SBCSAISI
ABCSAIAI
SAa
SIASIA
AI
a
⊥
∩=
⇒==
∩=
∩=
===⇒=
10/ Cho hình chóp S.ABC,
(
)
⊥
SAABC
,
∆
ABC
đều. Gọi I là hình
chiếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên SI và
==
23,2
SAaABa
.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
AHSBC
.
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)
c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
a/ Ta có
(
)
SAABCSABC
⊥⇒⊥ (1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC
⊥
(SAI)
(
)
()
BCSAI
SAAH
AHSAI
⊥
⇒⊥
⊂
23
a
H là hình chiếu của A lên SI nên
AHSI
⊥
()
SAAH
SIAHAHSBC
SIBCI
⊥
⊥⇒⊥
∩=
b/
(
)
()()
()()
()()
()()
!
()
!
()
!!
()
!
23
,,;tan2
3
2
2
BCSAI
ABCABCBC
SAa
SBCABCSIAISIASIASIA
AI
SBCSAISI
a
ABCSAIAI
α
⊥
∩=
⇒=====⇒=
∩=
∩=
Trong đó α là góc sao cho tan α = 2
c/ khoảng cách giữa SA và BC là độ dài đoạn AI =
23
a
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là
∆
ABC
vuông cân với AB = BC =
a,
(
)
⊥
SAABC
, SA = a. Gọi I là trung điểm của AC.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
BISAC
b. Tính số đo của góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).
c. Tính khoảng cách giữa SB và AC.