Đề thi cao học môn Toán 2011

DAI
HQC
QUOC
GIA HA NQI
DE
THI TUYEN
SINH
SAU DAI
HOC
XATU 2OII
ruOx rHr
coBAN:
ToAx
rOcrc
Thcri
gian
lim
bni: 180
phrit
C0u 1.
Xdt
tinh d6ng
ntrAt
bang nhau
trong
dai
s6 mOnh
d€
cria
cdc
c6ng

thric
:
Av(A&B)
vlr A-+B
CAU
2.K!
hiQu
g4
lA hdm
sau
ddy
trong
l6p
hdm
P2
1)
Chring
minh
rdng
m5i
hdm
trong
l6p
P2
dOu
co
thO
biOu
diSn
qua

cdc
hdm
{ e4,
&} trong
d6
& ld
tich
l6gic
\
HAy
biOu diSn
cdc hdm
sau
ddy
qua
hg
{ 94,
&.}
:
a)
(A,B):
,((-A)-+(A&B))
b)
h(A,B)
:
Arr(-'(AvB))
cflu
3. Dua
cdng thuc
sau ddy

trong
l6gic
vi
tu
ve
dpng
r
i
,3 / ,, r\ r, a , a
' a
chu6n
tac
(
tfc
ld
dun
g
cdc
phdp
biOn
d6i
tucrng
ducrng,
dua
tdt
ch
cdc
4eu
lugng
tu

dring trudc
cdng
thric,
kh6ng
cdn
d6u
liOn
k6t
-+,
vd
d6u
phu
dinh
chi dung trpc
ti6p
voi
cdc
bie;
m6nh
eO
ho4
c
cdc
vf
tu)
:
tx(P(x,y)-+R(x,y))
v
Vz(P
(r,y)-+Q(r,y))

(
P,
Q
vaR
ld
cfrc
vi
tu bAtki,
x,y,zld
c6c
UiOtr
tu
)
Cdn
bo
coi thi
khong
giai
thfch
gi
thAnt
u
oay
tro
XY
94(X,Y)
00
01
10
11

I
0
1
0
DAI
HQc
QuOc
GIA ue mOT
oE
rHI
TUvEN
srxH
sAU DAI Hoc
xAnt
zoLL
vtOx
THr
cd sd'
crAr ricH
Thdi
gian
ldm
bhi:
180
phfrt
CAu I.
1.
Ph6t
bieti v),
chfing minh

ti€u chud,n
Cauchy v€
dicu ki6n
ca,n vb,
dii dd
dav s6
hOi
tu.
2.
Cho day
s6
{r(nliP,
trong R",
tLong cl6
/k)
-
(rro,r2kt
. .
.,x,rk),
(k
:
I,2,.
. .).
Chfing
minh
rhng
diy
{r(k)}P,
hOi
tu trong R'khi

vd
chi hhi
c6c
day
{r'*ip,,
j
:
I,2,
.
,
n
irOi
tu trong
R.
Cdu II.
'
.I.
Cho
,4 1d
tQp hOp
mo, l6i
trong
IR'
vb,
f
, A
+
R
Id h),m
kh6

vi
trong
A.
Gie
/
af(r\
/
-
thlct
rXng
dao hb,m ri€ng
c6p mot
#,
i
:
r,2, ,71ld
cac
hd,m
bi
ch6,n
trong A.
Chftng minh
r6ng
/
ld, hd,m li€n
tuc
cl€u
tron
g
A.

2.
Cho
.f
(r)
lb,
hb,m
x5,c
dinh vb, khA
vi c6.p hai
trong
khoAng (a,+-).
Gie thiet
r5,ng
gi6i
han
,ITL
f
@)
t6n
tai hrfu han va
tOn
tai s6 M
>
0
sao
cho
lf"
(r)l
<
M

lr
e
(a,,
+oo).
Chfing minh
rXng iim
f
'(r)
-
0.
CAu III.
1. Ph5,t
bi6u vb,
chr'rng minh
dinh
lf
vC
tinh li€n
tuc
cria tdng
crfa
chu6i hb,m.
2.
Cho chu6i
hdm
oo
\-o
J|
,
.,"rcLg

^r.
m-l
tu, r6t tfnh
li€n
tuc
va
tfnh
khA vi
cria tcing
cria
chrr6i
cria no.
CAU IV.
Xet
tinh hOi
tu
ctia tidh
phAn
+oo
l'
sin:r
| -ch,
a)0,
!3>0.
,l
ro*rn
0
rr
L
fiet

Giri
chir:
Can bocoz
thi l;hAng gidz
thiclt
gi
t,h€nt
Hiy
x5,c
dinh
mi€n hOi
ham
trong
mi€n hOi
tU
r,r
)-
P'J
'i()t
l'/ t /
-
il
L-hlt
Dai
hoc
Qudc
Gia Ftrh Ndi
\?
Dtr THI TUYEN
SINH

SAU
DAI
HQC
NAM
2OL1
Mon
thi
Co
b6,n:
Dai
s6
Thdi
gi,an
ld,m bd,i,:
180
phtt
Gqi
,4 la
rna
tr6,n
cua
phdn
tod,n
phrrong
cua ,5
d5i
vOi
hO
toa
do

dA cho. Tirn
cac
gi6
tri ri€ng
ciia .4.
Tim
mot
ma
trdn
trdc
giao
Q
sao cho
Q-t
lQ Id mot
ma
tr6.n
ch6o.
T)m
phr-tong
trinh
cr-ra ,9
trong
h€ toa
dO
mdi sau
ph6p
bicn
doi thi-rc
hi€n

b6i
ma
trd,n
8.
Ttl d6 ket
lr-r6,n ,9
t'6
bi chdn
hay khOng.
(I\6i
cach
khdc. co
chd,ng
m6t
hinh
cS,u
chfta tobn
bO
S?)
Cdn
bo coi thi
kh6ng
giai
thich gi
rh/m.
)
Cdu 1.
Cho
phan
trt o

-
(1,3,5)-'(2,1,4)(1,3,5)3
trong
nh6m
d6i xfing
,g5.
(u)
Viet
o thd,nh tfch cfra nhrlng
xich rdi
rac.
(b)
Tinh
c6p vh,
d6,u cria, o.
C6.u
2.Ki
hi€u
Q
chi trudng
s5 hiru
ty.
(u)
Gi6 sit
/
,
Q
+
Q
ld mOt

dong
c6u
vbnh.
Tim
tat
c6
cd,c
gi5,
tri
md,
/(1)
c6 thc
nhdn.
TrOn
co sd d6. tim tdt,
ch c5,c d6ng
c6u
vb.nh
tl)
Q
vdo
e.
(b)
T)m
tdt
cit c5,c dong
c6u nh5m
til nh6m
cong
Q

vdo
chinh
n6.
Cd.u
3.
Chrlng
minh rang
n€u a
+
b th\
dinh thfic
cria ma
trA,n
c6p
n
drrdi
ddy
/a-tb
ab
0
0
\
I
r
a*b
ab
o
I
I
g

L a+b
ab
I
|
"
L r.tr-Tu
u,v
I
Mn_l
I
ll
t
atb
ab
I
\
o
L
a+b/
bbng
{H::.
Ncu
a: b
thi dinh thirc nay
bang
bao nhicu?
CAu 4.
Cho
/
id

rn6t
ph6p
bi€n dOi tuyen
tfnh
tr€n khOng gian
v6c
td
ihuc
V
c6 nra
tr6,n
trong
cd sd
("t,"z,eg,ea)
Ib"
/t
o
2
1\
fl
l-r
2
1
3
|
/
11
2
5
5f

_,tr/
,
\z
-2
r
-2/
(
(u)
Tim
hat
nhdn
crta
f
.
fia f
"t
-
f
,;;
,,
lt
t,i,
.r
,
i
(b)
Tim
khOng gian
5nh cria
/.

'
'r7
-'l
'
r
Cdu
5.
Cho 3 didm
n
-
@r,a)
('i
-
r,2,3)
trong
mAt
phd,ng
Org
v6i
cd,c
tung dO doi
mOt
kh6c
nhau.
Chrlng
minh
rAng t6n
tai
duy nh6t
mOt

drrdng
cong
bac
hai
xd,c
dinh b,6i
phuongtrinh
r:aU2
*ba
*cdi
qrra
3
di6m
ndy.
,,
i,
t.,
C6.u
6.
Gie
si? ,S
lb,
mat bac
hai x6c dinh
bdi
ptrrrong
trinh
{ !
4r2
+

4a'
+
422
+
4ry
-t
4gz
*
4zr
-3
:
0.
(a,)
(b)
(.)