bài giảng đồ hoạ và hiện thực ảo - chương 7 đường cong trong không gian 3d curve

CNTT-DHBK Hanoi

1
(c) SE/FIT/HUT 2002
Đường cong trong không gian
3D CURVE
(c) SE/FIT/HUT 2002
2
Đường cong - Curve
 Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong
không gian
 Đường cong biểu diễn Điểm -curve represents points:
 Điểm Biểu diễnvà kiểm soát đường cong -Points represent-
and control-the curve.
 Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric
Design (CAGD).
(c) SE/FIT/HUT 2002
3
Phân loại
 Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cảứng dụng khoa học và
thiết kế ta co thể phân làm 2 loại:
 Xấp xỉ-Approximation -
 Được ứng dụng trong mô hình hoá hình học
 Nội suy-Interpolation
 Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không phù hợp
với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“.
(c) SE/FIT/HUT 2002
4
Biểu diễn Đường cong
 Tường minh y=f(x)
 y = f(x), z = g(x)

 impossible to get multiple values for a single
x
• break curves like circles and ellipses
into segments
 not invariant with rotation
• rotation might require further segment
breaking
 problem with curves with vertical tangents
• infinite slope is difficult to represent
 Không tường minh f(x,y)=0 - Implicit equations:
 f(x,y,z) = 0
 equation may have more solutions than we
want
• circle: x² + y² = 1, half circle: ?
 problem to join curve segments together
• difficult to determine if their tangent
directions agree at their joint point
(c) SE/FIT/HUT 2002
5
Đường cong tham biến
 Biểu diễn các đường cong tham biến Parametric representation:
 x = x(t), y = y(t), z = z(t)
 overcomes problems with explicit and implicit forms
 no geometric slopes (which may be infinite)
 parametric tangent vectors instead (never infinite)
 a curve is approximated by a piecewise polynomial curve
 Define a parameter space
 1D for curves
 2D for surfaces
 Define a mapping from parameter space to 3D points

 A function that takes parameter values and gives back 3D points
 The result is a parametric curve or surface
0
t
1
Mapping F :t → (x, y, z)
(c) SE/FIT/HUT 2002
6
Parametric Curves
 We have seen the parametric form for a line:
 Note that x, y and z are each given by an equation that
involves:
 The parameter t
 Some user specified control points, x
0
and x
1
 This is an example of a parametric curve
10
10
10
)1(
)1(
)1(
zttzz
yttyy
xttxx
−+=
−+=
−+

=
CNTT-DHBK Hanoi

2
(c) SE/FIT/HUT 2002
7
Đường cong đa thức bậc ba
 Phải đảmbảolàđường cong không gian với 3 trụctoạđộx, y, z
 tránh đượcnhững tính toán phứctạpvànhững phầnnhấp nhô ngoài ý
muốnxuấthiện ở những đường đathứcbậc cao
 Why cubic?
(c) SE/FIT/HUT 2002
8
P0
P1
p2
p3
P0
P'0
P1
P'1
Đường cong bậc 3
 x = a
1
+ b
1
u + c
1
u
2

+ d
1
u
3
 y = a
2
+ b
2
u + c
2
u
2
+ d
2
u
3
 z = a
3
+ b
3
u + c
3
u
2
+ d
3
u
3
 Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình
xác định

(c) SE/FIT/HUT 2002
9
Hermite Spline
 A spline is a parametric curve defined by control points
 The term spline dates from engineering drawing, where a spline was a piece
of flexible wood used to draw smooth curves
 The control points are adjusted by the user to control the shape of the curve
 Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons
năm 60
 A Hermite spline is a curve for which the user provides:
 The endpoints of the curve
 The parametric derivatives of the curve at the endpoints
• The parametric derivatives are dx/dt, dy/dt, dz/dt
 That is enough to define a cubic Hermite spline, more derivatives are required
for higher order curves
(c) SE/FIT/HUT 2002
10
Đường cong Hermite
 p = p(u) = k
0
+ k
1
u + k
2
u
2
+ k
3
u
3

 p(u) = ∑kiui i∈n
 p
0
và p
1
ta có hai độ dốc p
0
’vàp
1
’với u = 0 và u = 1 tại hai
điểm đầu cuối của đoạn [0,1].
 We have constraints:
 The curve must pass through p
0
when u=0
 The derivative must be p’
0
when u=0
 The curve must pass through p
1
when u=1
 The derivative must be p’
1
when u=1
(c) SE/FIT/HUT 2002
11
Basis Functions
 A point on a Hermite curve is obtained by multiplying each control point
by some function and summing
 The functions are called basis functions

(c) SE/FIT/HUT 2002
12
 Thay vào:
 p = p(u) = p
0
(1-3u
2
+2u
3
) + p
1
(3u
2
-2u
3
)
+ p
0
’(u-2u
2
+u
3
) + p
1
’(-u
2
+u
3
)
p = p(u) = [ 1 u u

2
u
3
]
CNTT-DHBK Hanoi

3
(c) SE/FIT/HUT 2002
13
Đường cong Bezier
 Sử dụng điểm và các vector kiểmsoátđược độ dốccủa đường
cong tạinhưng điểmmànóđiqua.(Hermit)
 không đượcthuậnlợi cho việcthiếtkế tương tác, không tiếpcận
vào các độ dốccủa đường cong bằng các giá trị số (Hermite).
 Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt UNISURF
(c) SE/FIT/HUT 2002
14
 po, p
3
tương đương với p
0
, p
1
trên đường Hermite. diểm trung
gian p
1
, p
2
được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp
tuyến tại điểm po và p

3
 p
0
’= 3(p
1
–p
0
)
 p
3
’= 3(p
3
–p
2
)
 p = p(u) = p
0
(1-3u2+2u3) + p
1
(3u2-2u3) + p
0
’(u-2u
2
+u
3
) + p
1
’(-
u
2

+ u
3
)
 p = p(u) = p
0
(1 - 3u + 3u
2
-u
3
) + p
1
(3u-6u
2
-3u
3
)
+ p
2
(3u
2
-3u
3
) + p
3
u
3
(c) SE/FIT/HUT 2002
15
Biểu diễn Ma trận
p = p(u) = [ 1 u u

2
u
3
]
























−−
−

−
3
2
1
0
1331
0363
0033
0001
p
p
p
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
B0
B1
B2
B3
(c) SE/FIT/HUT 2002
16
Ưu điểm
 dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn vector tiếp
tuyến tại p
0

’vàp
1
’của Hermite.
 Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý( số
bậc tuỳ ý)
 đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với
cặp hai vector của đầu cuối đó
(c) SE/FIT/HUT 2002
17
Example
Bezier Curves

[UW]
(c) SE/FIT/HUT 2002
18
Sub-Dividing Bezier Curves
P
0
P
1
P
2
P
3
M
01
M
12
M
23

M
012
M
123
M
0123
CNTT-DHBK Hanoi

4
(c) SE/FIT/HUT 2002
19
Sub-Dividing Bezier Curves
P
0
P
1
P
2
P
3
(c) SE/FIT/HUT 2002
20
Sub-Dividing Bezier Curves
 Step 1: Find the midpoints of the lines joining the original control vertices.
Call them M
01
, M
12
, M
23

 Step 2: Find the midpoints of the lines joining M
01
, M
12
and M
12
, M
23
. Call
them M
012
, M
123
 Step 3: Find the midpoint of the line joining M
012
, M
123
. Call it M
0123
 The curve with control points P
0
, M
01
, M
012
and M
0123
exactly follows the
original curve from the point with t=0 to the point with t=0.5
 The curve with control points M

0123
, M
123
, M
23
and P
3
exactly follows the
original curve from the point with t=0.5 to the point with t=1
(c) SE/FIT/HUT 2002
21
de Casteljau’s Algorithm
 You can find the point on a Bezier curve for any parameter value t with a similar
algorithm
 Say you want t=0.25, instead of taking midpoints take points 0.25 of the way
P
0
P
1
P
2
P
3
M
01
M
12
M
23
t=0.25

(c) SE/FIT/HUT 2002
22
BiểuthứcBezier-Bernstain
 Tổng quát hoá vớin+1 điểmkiểm soát
 p
0
pn : vector vị trí của đagiácn+1 đỉnh
))(()(
)()(
1
0
1,
0
,
ii
n
i
ni
i
n
i
ni
PpuBnup
puBup
−=
′
=
+
=
−

=
∑
∑
ini
ni
uuinCuB
−
−= )1(),()(
,
)!in(!i
!n
)i,n(C
−
=
(c) SE/FIT/HUT 2002
23
Tính chất
 P0 và Pn nằm trên đường cong.
 Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các bậc
 Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1 và tại
Pn là đường Pn-1Pn .
 Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của các
điểm kiểm soát.
 This is because each successive Pi(j) is a convex
combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1) .
 P1 ,P2 , … ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi
đường cong là đoạn thẳng.
(c) SE/FIT/HUT 2002
24
Review:

Bézier Curve Prop’s [1/6]
 We looked at some properties of Bézier curves.
 Generally “Good” Properties
 Endpoint Interpolation
 Smooth Joining
 Affine Invariance
 Convex-Hull Property
 Generally “Bad” Properties
 Not Interpolating
 No Local Control
CNTT-DHBK Hanoi

5
(c) SE/FIT/HUT 2002
25
Problem with Bezier Curves
 To make a long continuous curve with Bezier segments
requires using many segments
 Maintaining continuity requires constraints on the control
point positions
 The user cannot arbitrarily move control vertices and automatically
maintain continuity
 The constraints must be explicitly maintained
 It is not intuitive to have control points that are not free
(c) SE/FIT/HUT 2002
26
Invariance
 Translational invariance means that translating the control points and then
evaluating the curve is the same as evaluating and then translating the curve
 Rotational invariance means that rotating the control points and then evaluating

the curve is the same as evaluating and then rotating the curve
 These properties are essential for parametric curves used in graphics
 It is easy to prove that Bezier curves, Hermite curves and everything else we will
study are translation and rotation invariant
 Some forms of curves, rational splines, are also perspective invariant
 Can do perspective transform of control points and then evaluate the curve
(c) SE/FIT/HUT 2002
27
Longer Curves
 A single cubic Bezier or Hermite curve can only capture a small class of curves
 At most 2 inflection points
 One solution is to raise the degree
 Allows more control, at the expense of more control points and higher degree
polynomials
 Control is not local, one control point influences entire curve
 Alternate, most common solution is to join pieces of cubic curve together into
piecewise cubic curves
 Total curve can be broken into pieces, each of which is cubic
 Local control: Each control point only influences a limited part of the curve
 Interaction and design is much easier
(c) SE/FIT/HUT 2002
28
Piecewise Bezier Curve
“knot”
P
0,0
P
0,1
P
0,2

P
0,3
P
1,0
P
1,1
P
1,2
P
1,3
(c) SE/FIT/HUT 2002
29
Continuity
 When two curves are joined, we typically want some degree of continuity
across the boundary (the knot)
 C
0
, “C-zero”, point-wise continuous, curves share the same point where they
join
 C
1
, “C-one”, continuous derivatives, curves share the same parametric
derivatives where they join
 C
2
, “C-two”, continuous second derivatives, curves share the same parametric
second derivatives where they join
 Higher orders possible
 Question: How do we ensure that two Hermite curves are C
1

across a
knot?
 Question: How do we ensure that two Bezier curves are C
0
, or C
1
, or C
2
across a knot?
(c) SE/FIT/HUT 2002
30
Đường bậc ba Spline
 Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đường bậc ba
độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát
hay điểm nút
 Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ số 4(n-1) cho
n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên và n-2 điều kiện về độ dốc
cùng n-2 về độ cong
 Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm
thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện
liên tục tại các điểm đầu nút
CNTT-DHBK Hanoi

6
(c) SE/FIT/HUT 2002
31
Đường cong bậcba
Spline
 u
0

= 0 với : (u
0
un
-1
) uj
+1
> uj
 ui
+1
= ui + di
+1
 C
0
để không có sự gián đoạngiữa hai đoạn cong.
 C
1
tính liên tụcbậcnhất hay đạo hàm bậcnhấttại điểmnối.
 C
2
đạo hàm bậc hai liên tụccủa đường cong tại điểmnối
(c) SE/FIT/HUT 2002
32
Achieving Continuity
 For Hermite curves, the user specifies the derivatives, so C
1
is achieved
simply by sharing points and derivatives across the knot
 For Bezier curves:
 They interpolate their endpoints, so C
0

is achieved by sharing control points
 The parametric derivative is a constant multiple of the vector joining the
first/last 2 control points
 So C
1
is achieved by setting P
0,3
=P
1,0
=J, and making P
0,2
and J and P
1,1
collinear, with J-P
0,2
=P
1,1
-J
 C
2
comes from further constraints on P
0,1
and P
1,2
(c) SE/FIT/HUT 2002
33
Bezier Continuity
P
0,0
P

0,1
P
0,2
J
P
1,1
P
1,2
P
1,3
Disclaimer: PowerPoint curves are not Bezier curves, they are
interpolating piecewise quadratic curves! This diagram is an
approximation.
(c) SE/FIT/HUT 2002
34
B-splines
 B-splines automatically take care of continuity, with exactly one control
vertex per curve segment
 Many types of B-splines: degree may be different (linear, quadratic,
cubic,…) and they may be uniform or non-uniform
 We will only look closely at uniform B-splines
 With uniform B-splines, continuity is always one degree lower than the
degree of each curve piece
 Linear B-splines have C
0
continuity, cubic have C
2
, etc
(c) SE/FIT/HUT 2002
35

Đường cong B-spline
 Đường cong B-spline là đường cong được sinh ra từ đa giác
kiểm soát mà bậc của nó không phụ thuộc vào số đỉnh của đa
giác kiểm soát.
(c) SE/FIT/HUT 2002
36
B-Splines:
The Idea [1/2]
 The repeated-lirping idea that produced the Bézier curves has the
drawbacks that is produces polynomials with high degree that are nonzero
almost everywhere.
 Using functions defined in pieces, we can fix these two.
 Start: An order-1 B-Spline has blending functions that are always either 1
or 0. When a function is 1, all the rest are zero.
 So an order-1 B-spline is just a sequence of points.
 Any number of control points may be used.
 Now we make higher-order B-splines using a repeated-lirping procedure.
 But this time, we can use any number of control points.
CNTT-DHBK Hanoi

7
(c) SE/FIT/HUT 2002
37
B-Splines:
The Idea [2/2]
 We form an order-2 B-Spline by lirping between the order-1 blending functions.
 As discussed, we get functions that start at 0, ramp up to 1 and back down, then stay at
zero. Each function is 0 most of the time.
 So each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of degree 1
(graph is a line).

 So an order-2 B-spline is just the control polygon.
 Again, any number of control points may be used.
 We form an order-3 B-Spline by lirping between the order-2 blending functions.
 Now blending functions are smooth. They start at 0, curve up to 1 then back down.
Again, each function is 0 most of the time.
 Again, each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of
degree 2.
 We continue this repeated-lirping procedure to define B-splines of higher order.
 See the blue book for details and graphs.
(c) SE/FIT/HUT 2002
38
Types of B-Splines Approximation Curves Used
B-Spline approximations can be classified based on the
spacing of the knot vector and the use of weights.
1. Uniform/Periodic B-splines : The spacing is
unform and the knots (control points) are equispaced e.g.
[0,1,2,3,4,5] These have satisfactory smoothness but lack
local control and the starting and ending poits are ill
defined as above.
2. Non-periodic: The knots are repeated at the ends m
times and the interior is equispaced. e.g. [0 0 0 1 2 3 3 3
] These can be used to force the control point to start
and finish at a control point.
3. Non-uniform B-Splines : The spacing is non-
uniform and or repeated knots e.g. [0 1124566
] These can be used to obtain local control
B-Splines
(c) SE/FIT/HUT 2002
39
Ví dụ: Uniform Cubic B-spline on

[0,1]
 Four control points are required to define the curve for 0
≤
t<1 (t is the
parameter)
 Not surprising for a cubic curve with 4 degrees of freedom
 The equation looks just like a Bezier curve, but with different basis functions
 Also called blending functions - they describe how to blend the control points to
make the curve
()()()()
3
3
32
2
32
1
32
0
3
0
4
6
1
3331
6
1
364
6
1
331

6
1
tPtttPttPtttP
tBPtP
i
ii
+−++++−+−+−=
=
∑
=
)()(
,
(c) SE/FIT/HUT 2002
40
Basis Functions on [0,1]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
.5

0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
 Does the curve interpolate its endpoints?
 Does it lie inside its convex hull?
B
0,4
B
1,4
B
2,4
B
3,4
()
()
()
()
3
3
32
2
32
1
1
32
0
6

1
3331
6
1
364
6
1
331
6
1
tP
tttP
ttP
tttPtP
+
−+++
+−+
−+−=)(
(c) SE/FIT/HUT 2002
41
Uniform Cubic B-spline on [0,1)
 The blending functions sum to one, and are positive everywhere
 The curve lies inside its convex hull
 The curve does not interpolate its endpoints
 Requires hacks or non-uniform B-splines
 There is also a matrix form for the curve:
[]

























−
−
−−
=
1
0001
1333
4063
1331

6
1
2
3
3210
t
t
t
PPPPtP
)(
(c) SE/FIT/HUT 2002
42
Uniform - B-spline
 Ni,k(u) đa thức B-Spline cơ bản
 Vớin+ 1 sô điểmkiểmsoát
 Pi điểm kiểm soát thứ i
 k bậc của đường cong 1<k<n+2
 Ui vector nút của đường cong U=[U1,U2 Un+k+1]
i
n
i
ki
PuNuP
∑
=
=
0
,
).()(
)(

)(
)(
)(
)(
)(
1,
21
1
1,1
1
1
,
uN
UU
uU
uN
UU
Uu
uN
ki
kii
i
ki
kii
ki
ki −
−++
+
−−
−+

−+
−
−
+
−
−
=



∈
=
+
others0
],[1
)(
1
1,
ii
i
uuu
uN
CNTT-DHBK Hanoi

8
(c) SE/FIT/HUT 2002
43
Using Uniform B-splines
 At any point t along a piecewise uniform cubic B-spline, there
are four non-zero blending functions

 Each of these blending functions is a translation of B
0,4
 Consider the interval 0≤t<1
 We pick up the 4th section of B
0,4
 We pick up the 3rd section of B
1,4
 We pick up the 2nd section of B
2,4
 We pick up the 1st section of B
3,4
(c) SE/FIT/HUT 2002
44
Uniform Cubic B-spline Blending Functions
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
B
0,4
B
1,4
B
2,4

B
3,4
B
4,4
B
5,4
B
6,4
(c) SE/FIT/HUT 2002
45
Computing the Curve
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-3
-2.7
-2.3
-2
-1.6
-1.3
-0.9
-0.6
-0.2
0.1
0.5
0.8
1.2

1.5
1.9
2.2
2.6
2.9
3.3
3.6
4
4.3
4.7
t
() ()
∑
=
=
n
k
kk
tBPtX
0
4,
P
0
B
0,4
P
1
B
1,4
P

2
B
2,4
P
3
B
3,4
P
4
B
4,4
P
5
B
5,4
P
6
B
6,4
The curve can’t start until there are 4 basis functions active
(c) SE/FIT/HUT 2002
46
(c) SE/FIT/HUT 2002
47
Đặc điểm
 B-spline không đi qua hai điểm đầu và cuối trừ khi hàm hợp
được dùng là tuyến tính.
 B-spline có thể được tạo qua hai điểm đầu, cuối và tiếp xúc với
vector đầu và cuối của đa giác kiểm soát. Bằng cách thêm vào
các nút tại vị trí của các nút cuối của vector tuy nhiên các giá

trị giống nhau không nhiều hơn bậc của đường cong.
 Tính chất bao lồi của đa giác kiểm soát và tính chất chuẩn
được thoa mãn.
 Số lượng các nút, bậc của đường cong và số điểm điều khiển
luôn có các quan hệ ràng buộc:
 0 ≤ u ≤ n - k + 2
1(u)N
n
0i
ki,
=
∑
=
(c) SE/FIT/HUT 2002
48
()



≤≤
=
+
otherwise 0
1
1
1,
kk
k
ttt
tB

B-Spline Blending Functions
 The recurrence relation starts with the 1st order B-splines,
just boxes, and builds up successively higher orders
 This algorithm is the Cox - de Boor algorithm
() ()
()
tB
tt
tt
tB
tt
tt
tB
dk
kdk
dk
dk
kdk
k
dk
1,1
1
1,
1
,
−+
++
+
−
−+









−
−
+








−
−
=
CNTT-DHBK Hanoi

9
(c) SE/FIT/HUT 2002
49
B
k,1
B 0,1

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
B0,1(t)

B 2,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-
2.
8
-
2
.
6
-
2
.
4
-2.
2
-2
-
1.
8
-
1.
6
-

1
.
4
-
1
.
2
-
1
-0.
8
-
0.
6
-
0.
4
-
0.
2
0
0.2
0.4
0.
6
0.
8
1
t
B2,1

(
t
)
B 3,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-
3
-2 .
8
-2
.
6
-2
.
4
-2 .
2
-
2
-1
.
8
-1
.

6
-1 .
4
-
1.
2
-1
-0 .
8
-0 .
6
-0
.
4
-0
.
2
0
0.
2
0.
4
0
.
6
0.
8
1
t
B3

,
1
(
t
)
B 1,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2.
8
-2.
6
-2.
4
-2.
2
-
2
-1.
8
-
1
.
6

-1.
4
-1.
2
-1
-
0
.
8
-0.
6
-0.
4
-0.
2
0
0.2
0
.4
0.6
0.8
1
t
B1,1
(
t
)
(c) SE/FIT/HUT 2002
50
B

k,2
B 0,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

t
B0,2(t)
B 1,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8

1
t
B1,2(t)
B 2,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6

0.8
1
t
B2,2(t)



−<≤−−−
−<≤−+
=
12 1
23 3
)(
2,0
tt
tt
tB
(c) SE/FIT/HUT 2002
51
B
k,3
B 0,3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7

0.8
-3
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
B0,3(t)
B 1,3
0
0.1
0.2
0.3
0.4

0.5
0.6
0.7
0.8
-3
-2
.8
-2.
6
-2.4
-2
.2
-2
-1.
8
-1.
6
-1
.4
-1
.2
-1
-0.
8
-0.6
-0
.4
-0.
2
0

0
.2
0
.4
0.6
0.8
1
t
B1,3(t)
()





<≤−
−<≤−−−−
−<≤−+
=
01
12 362
23 3
2
1
)(
2
2
2
3,0
tt

ttt
tt
tB
(c) SE/FIT/HUT 2002
52
B
0,4
B 0,4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-3
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4

-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
B0,4(t)
(c) SE/FIT/HUT 2002
53
B
0,4
()
()







<≤−
<≤−+−+
−<≤−−−−−
−<≤−+
=
10 1
01 1333
12 521153

23 3
6
1
)(
3
23
23
3
4,0
tt
tttt
tttt
tt
tB
Note that the functions given on slides 5 and 6 are translates of this
function obtained by using (t-1), (t-2) and (t-3) instead of just t, and then
selecting only a sub-range of t values for each function
(c) SE/FIT/HUT 2002
54
B Spline - Đềuvàtuần hoàn
 Vecto nút là đều khi giá trị của chúng cách đều nhau một
khoảng ∇ xác định. Trong các bài toán thực tế, vecto nút đều
được bắt đầu từ 0 và tăng 1 cho đến giá trị lớn nhất
 Ví dụ: [ 0 1 2 3 4 5 ] với ∇ xác định = 1
 [ -2 -1/2 1 5/2 4 ] với ∇ xác định = 3/2
 Với cấp là k, số điểm kiểm soát là n+1 thì vecto nút đều là
 U=[0 1 2 n+k] khoảng tham số (k-1)≤u≤(n+1).
 Khi vecto nút là đều thì ta có Ni,k(u)=Ni-1,k(u-1)=Ni+1,k(u+1)
CNTT-DHBK Hanoi

10
(c) SE/FIT/HUT 2002
55
Không tuần hoàn
Open – Non Uniform
 Một vector không tuần hoàn hoặc mở là
vector nút có giá trị nút tại các điểm đầu
cuối lặp lại với số lượng các giá trị lặp
lại này bằng chính cấp k của đường cong
và các giá trị nút trong mỗi điểm lặp này
là bằng nhau
 Nếu một trong hai điều kiện này hoặc cả hai
điều kiện không được thoả mãn thì vecto nút
là không đều.
 Cách tính Ui
Ui = 0 1=<i<=k
Ui = i-k k+1<i<=n+1
Ui = n-k+2 n+1<i<=n+k+1
2 6 [0 0 1 2 3 3]
3 7 [0 0 0 1 2 2 2]
4 8 [0 0 0 0 1 1 1 1]
Cấp
k
số lượng nút (m
= n + k)
Vector nút
không tuần
hoàn
(c) SE/FIT/HUT 2002
56

B-Splines:
Properties
 The most used B-splines are:
 Order 3 (“quadratic B-splines”).
• Smooth.
 Order 4 (“cubic B-splines”).
• Smoother, but control is a little less local.
 B-splines have the following properties.
 An order-k B-spline has blending functions that are defined in pieces, using
polynomials of degree k–1.
• This is true for any number of control points. We can choose the number of control points and
the polynomial degree separately. ☺
 B-splines are affine invariant (of course).
 They have the convex-hull property. ☺
 They have local control. ☺
 A B-spline (of order 3 or more) does not interpolate any of its control points.  But we
can deal with this …
(c) SE/FIT/HUT 2002
57
Kếtluận
 B-spline là một dòng của Bezier
 Thực tế khi ta chọn bậc k cho tập hợp k điểm thì thi B-spline chuyển thành
Bezier
 Khi bậc của đa thức giảm sựảnh hưởng cục bộ của mỗi điểm nút càng rõ
ràng hơn.
 Khi tồn tại anh hưởng cục bộ càng lớn và đường cong phai đi qua điểm đó.
 Chúng ta có thể thay đổi hình dạng đường cong B-spline bằng cách:
 Thay đổi kiểu vecto nút : đều tuần hoàn, mở, không đều
 Thay đổi cấp k của đường cong
 Thay đổi số đỉnh và vị trí các đỉnh đa giác kiểm soát

 Sử dụng các điểm kiểm soát trùng nhau
(c) SE/FIT/HUT 2002
58
Rational Curves
 Each point is the ratio of two curves
 Just like homogeneous coordinates:
 NURBS: x(t), y(t), z(t) and w(t) are non-uniform B-splines
 Advantages:
 Perspective invariant, so can be evaluating in screen space
 Can perfectly represent conic sections: circles, ellipses, etc
• Piecewise cubic curves cannot do this






→
)(
)(
,
)(
)(
,
)(
)(
)](),(),(),([
tw
tz
tw

ty
tw
tx
twtztytx
(c) SE/FIT/HUT 2002
59
Rational Spline - NURBS
 A Rational Spline is like a B-Spline
but the designer can add weightings
to the blending functions to modify
the curve.
 The blending functions produce a
ratio of the polynomials used.
∑
=
=
L
k
kk
t
RPP
t
0
)(
)(
∑
=
=
L
k

mkk
mkk
k
t
t
t
Nw
Nw
R
0
,
,
)(
)(
)(
(c) SE/FIT/HUT 2002
60
OpenGL and NURBS
 NURBS: Non-uniform Rational B-splines
 The curved surface of choice in CAD packages
 Support routines are part of the GLu utility library
 Allows you to specify how they are rendered:
 Can use points constantly spaced in parametric space
 Can use various error tolerances - the good way!
 Allows you to get back the lines that would be drawn
 Allows you to specify trim curves
 Only for surfaces
 Cut out parts of the surface - in parametric space
CNTT-DHBK Hanoi

11
(c) SE/FIT/HUT 2002
61
Non-uniform Rational B-Splines(NURBS)
The last 3 types are good for representing free form curves but also introduce
unnecessary approximations in the representation of conic sections. NURBS build on
non-uniform B-Splines and introduce a weight function to obtain an approximation
that retains all the advantages of the non-uniform B-Splines and is also capable of
exact representation of conic sections (circles, parabolas etc.).The general form is
given below:
The curve is described as rational since it is expressed as the ratio of two
polynomials. w
i
defines a weight function. If w
i
is set to 1 we get back the non-
uniform B-Spline. Other values of the w
i
can be used to produce curves for straight
line, parabola, ellipse and hyperbola.
(c) SE/FIT/HUT 2002
62
Other Splines:
NURBS, etc.
 There are any number of other types of splines.
 Often we want a very general type of curve that will do whatever we want.
 One such type of curve that has been very successful is the NURBS.
 NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline.
 A NURBS is defined using rational functions.
• A rational function is a polynomial divided by a polynomial.

 Control points can be given weights, so some are more important than others.
 NURBS curves (and surfaces) are built into GLU, but can be rather complex to use.
 One important issue when defining curves and surfaces:
 In advanced rendering the technique of ray tracing is often used.
 In ray tracing, we determine the color of a pixel by tracing a ray of light backward from
the viewer’s eye, through the pixel, and we see where the ray came from.
 In order to do ray tracing efficiently, we must be able to test quickly whether a
particular ray hits a particular object and, if so, where.
 Types of surfaces in which this test can be done quickly will be more useful in 3-D
graphics.
(c) SE/FIT/HUT 2002
63
Tính chất cả đường cong đa thức
 Tham biến – parametric sử dụng tham biến ngoài để biểu diễn cho các
tham biến trong
 Độ mượt - smooth. Với đường cong Hermite and Bézier tính liên tục
continuity của đường cong hay đạo hàm bậc 1-first derivative tại các điểm
kiểm soát-control point. Với B-splines tính liên tục trên đạo hàm bậc 2
second derivative hay độ cong được đảm bảo curvature.
 Độ biến đổi -"variation diminishing." đường cong ít bị khuếch đại sai
số bởi các điểm kiểm soát hay tính nhấp nhô của đường cong hạn chế -
oscillate.
 Ví dụ Bézier curve, for instance, lies within the convex hull (polygon
envelope) of the set of control points.
 Điêm kiểm soát cục bộ-local control. đường cong bịảnh hưởng mạnh
nhất với chính các điểm kiểm soát gần chúng nhất.
(c) SE/FIT/HUT 2002
64
How to Choose a Spline
 Hermite curves are good for single segments where you know the

parametric derivative or want easy control of it
 Bezier curves are good for single segments or patches where a user
controls the points
 B-splines are good for large continuous curves and surfaces
 NURBS are the most general, and are good when that generality is useful,
or when conic sections must be accurately represented (CAD)