slide bài giảng đồ hoạ và hiện thực ảo - lê tấn hùng chương 5 các phép biến đổi đồ hoạ

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
1
1
Bài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ
Transformations
Le Tan Hung
Email:
2
Phép biến đổi - Transformations
z Trong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: Mô hình, Tô trát
và Hiên thị (modeling, rendering, displaying)
z Với Modeling ( Mô hình hóa) :
z Transformation: là phép ánh xạ tọa độ điểm hay
vector thành tọa độ hay vector khác
modeling
coordinate
Modeling
transformation
Viewing
transformation
world
coordinate
viewing
coordinate
(eye
coordinate)
3
Phép biến đổi Transformations
z Biến đổi mô hình hoá - Modeling transformations

– build complex models by positioning simple
components
z Biến đổi tạo góc nhìn - Viewing transformations
– placing virtual camera in the world
– transformation from world coordinates to camera
coordinates
z Biến Phép chiếu – Projection Transform
4
Transformations - Modeling
world
5
Phép biến đổi Affine
Affine Transformations?
z Phép biến đổi Affine là phép biến đổitọa độ
điểm đặctrưng của đốitượng thành tậptương
ứng các điểmmới để tạoracáchiệu ứng cho
toàn đốitượng.
– Vídụ: phép biến đổitọa độ vớichỉ 2 điểm đầucuốicủa
đoạnthẳng tạo thành 2 điểmmớimàkhinối chúng với
nhau tạo thành đoạnthẳng mới.
z Các điểmnằmtrênđoạnthẳng sẽ có kếtquả là
điểmnằmtrênđoạnthẳng mớivới cùng phép biến
đổi thông qua phép nộisuy.
6
Modeling Transformations
Transform
objects/points
Transform coordinate system
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
2
7
Biểu diễn Ma trận
z Việc biến đối các đối tượng làm thay đổi các
điểm P thành các điểm Q theo thuật toán
z Việc biến đổi P sử dụng tọa độ của P (P
x
,P
y
) ánh
xạ thành các tọa độ mới Q (Q
x
,Q
y
)
z Việc biến đổi có thể biểu diễn thông qua hàm T,
hàm ánh xạ của điểm:
– T(P
x
,P
y
) = (Q
x
,Q
y
)
– or:
– T(P) = Q
8

Matrix Representation
z Phép biến đổi đồ họa - affine transformation T ánh xạ
tập P sang tập Q:
–
–
–
where a, b, c, d, tx and ty là các hệ số
z Biểu diễn ma trận:
z i.e.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
y
x
y
x
y
x
t
t
P
P
dc
ba
Q
Q
xxxx
t bP aP Q +
+

=
yyyy
t dP cP Q ++=
Tr MP Q +
=
9
Các phép biến đổihìnhhọchai
chiều
z Phương pháp biểudiễn đốitượng P = [ x y ]
z Phép biến đổivị trí điểm
z Thực thi phép biến đổi đúngtrên1 điểm ảnh sẽđúng
trên toàn bộđốitượng
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
dc
ba
T
[][][ ]
()( )
[]
[]
''
y dybx *y * xcyax
dc
ba

xTX =++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
y
x
z
p
M
p
W
10
Phép biến đổi
z Phép bấtbiến
z Phép biến đổitỉ lệ - Scaling
z A scaling changes the size of an object with two scale
factors, S
x
and S
y
z Phép biếndạng
z A shearing shears an object in a particular direction, (in
2D, it’s either in the x or in the y direction
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
=
10
01
T
[][][ ]
()
[][]
''
10
0
** yxyax
a
yxTX ==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
[][][ ] [ ][ ]
''
10
1
** yxdybx
b
yxTX =+=

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
x
z
y
11
Phép quay- Rotation
x = ρ cos α, y = ρ sin α ;
x’ = ρ cos (θ +α ), y’ = ρ sin (θ +α ) ;
x’ = ρ ( cosθ cosα - sinθ sinα )
= x cosθ - y sinθ
y’ = ρ ( sinθ cosα + cosθ sinα )
= x sinθ + y cosθ
[x' y']= [xcosθ - ysinθ xsinθ + ycosθ]
y
( x, y )
x
α
ρ
θ
ρ
( x’, y’ )
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
−
=
θθ
θθ
cossin
sincos
][T
12
Thuộc tính cơ bản của phép biến
đổi
Affine Transformations
z Preservation of lines:
– They preserve lines, so the image of a straight line is
another straight line.
– This vastly simplifies drawing transformed line
segments.
– We need only compute the image of the two endpoints
of the original line and then draw a straight line between
them
– Preservation of collinearity guarantees that polygons will
transform into polygons
– Affine transformations map lines to lines;
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
3
13

Thuộc tính
z Preservation of parallelism
– Preservation of parallelism guarantees that
parallelograms will transform into parallelograms
z Preservation of proportional distances
– Preservation of proportional distances means that mid-
points of lines remain mid-points
z
Affine transformations change volume by |
Det(M) |;
14
Kếthợp các phép biến đổi
Composition of Affine Transforms
z Any affine transformation can be
decomposed into elementary
transformations.
z Mọi phép biến đổiphứctạp đều
có thể tạo thành từ các phép biến
đổicơ sở như:
– Dịch chuyển - Translation
– Tỉ lệ - Scaling
– Quay- Rotation
– Biếndạng - Shearing
15
Affine transformations preserve
affine combinations
z It is rare that we want to perform just one elementary
transformation.
z Usually an application requires that we build a
complex transformation out of several elementary

ones
– e.g. translate an object, rotate it, and scale it, all in one move
z These individual transformations combine into one
overall transformation
z This is called the composition of transformations.
z The composition of two or more affine transformations
is also an affine transformation
16
Thuộc tính
z Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối
tượng tạo thành phép biến đổi cho đối tượng
z We have defined each transformation by their effects on
single points
z In practice these will be applied to multiple points to
transfer entire scenes or objects made up of many
defining points
T
17
Điểm gốc - Pivotal points
Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling
z The simple versions of rotation and scaling have been based around the
origin.
z This means that when we rotate or scale, the object will also move, with
respect to the origin
z Translate all points through (-c1,-c2)
z Rotate all points about the origin by
z Translate all points back through (c1,c2)
(c
1
,c

2
)
(0,0)
18
Pivotal points
z Often we wish to rotate or scale with respect to some
pivotal point, not the origin
z Most significantly, we often wish to rotate or scale an
object about its centre, or midpoint
z In this way, the object’s location does not change
z To do this, we relate the rotation or scaling about the
pivotal point V, to an elementary rotation or scaling about
the origin
– We first translate all points so that V coincides with the origin
– We then rotate or about the origin
– then all points are translated back, so that V is restored to its
original location
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
4
19
Hệ toạ độ đồng nhất
z Vấn đề gặp phải:
z An affine transformation is composed of a linear
transformation followed by a translation
z Unfortunately, the translation portion is not a
matrix multiplication but must instead be added as
an extra term, or vector
z What we need is a “trick”, so that translations can

be represented in matrix multiplication form
z This then means that they can be easily
composed with other transformations, by simply
multiplying the matrices together
20
Tọa độ đồng nhất
Homogeneous Transform
– x' = ax + by + n
– y' = cx + dy + m
z Phương pháp biểudiễnmở rộng thông qua
tọa độ đồng nhấtcủa các vector vị trí
z Với ứng dụng của phép chiếuhìnhhọcmà
ở đótọa độ điểm đượcmôtả dướima trận[
x* y* h]
– với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là mộtsố
thựctuỳ ý
21
Ưu điểmcủaHệ tọa độ đồng nhất
Homogeneous Transform
z Ðưaracáinhìnhợpnhấtcủa các phép biến đổi
dưới phép nhân ma trận, hỗ trợ cho việcxử lý
bằng cả phầncứng và phầnmềm
z Kếthợp các các phép biến đổitạo thành ma trận
tích đơngiản duy nhất. Tránh nhầmlẫnvề thứ tự
của các phép nhân khi sử dụng.
– Order matters: AB is generally not the same as BA
z Cho phép kếthợpvớicả các phép biến đổi đặc
biệt không tuyến tính khác(non-affine) như:
– Phép chiếuphốicảnh - Perspective projections!
– Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v

22
Phép biến đổivớitọa độ đồng nhất
z Ma trậnbiến đổi đồng nhất
z Phép tịnh tiến
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
][
nm
dc
ba
T
]1[
1
010
001
]1[]1''[ nymx
nm
yxyx ++=

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
(t
x
, t
y
, t
z
)
23
Phép tỉ lệ
]12.1.[
100
020
001
]1[]1''[ SySxS
S
yxyx =
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
24
Phép quay
y
( x, y )
x
α
ρ
θ
ρ
( x’, y’ )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100

0cossin
0sincos
]1[]1''[
φφ
φφ
yxyx
]1cos.sin.sin.cos.[
φφφφ
yxyx +−=
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
5
25
Phép biến đổitổng hợp
26
Ma trận biến đổi 3 chiều
3D Matrix Transformations
z Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệ-
scaling và quay-rotation sử dụng trong không
gian 2D đều co thể mở rộng trong không gian 3D
z Again, using homogeneous coordinates it is
possible to represent each type of transformation
in a matrix form
z In 3D, each transformation is represented by a
4x4 matrix
27
Các phép biến đổihìnhhọc3 chiều
z Biểudiễn điểm trong không gian 3 chiều
z [ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ]. [ T ]

z [x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ]
z Ma trậnbiến đổi
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
snml
rjig
qfed
pcba
][T
28
Phép tịnh tiến
– [X'] = [ X ] . [ T(dx,dy,dz) ]
– [ x' y' z' 1 ] =
– [ x y z 1 ].[ T(dx,dy,dz) ]
z
= [ x+dx y+dy z+dz 1 ]
⎥
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0100
0010
0001
)],,([
dzdydx
dzdydxT
29
Phép tỉ lệ
z s1, s2, s3 là các hệ số tỉ lệ
tương ứng trên các trụctoạ độ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
=
1000
0300
0020
0001
11
s
s
s
zyxzyx ][]'''[
]13.2.1.[ szsysx=
30
Rotation
z In 2D, the only rotation possible was about the
origin.
z In 3D, there are 3 possible rotations, one about
each of the x, y and z axes
z Positive rotations are anti-clockwise, negative
rotations are clockwise, when looking down a
positive axis towards the origin
x
y
z
x
y
z
x

y
z
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
6
31
Phép quay 3 chiều
z Quay quanh các trụctoạđộ
z Quay quanh trụcx
z Quay quanh trụcz
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
00
00
0001
φφ

φφ
cossin
sincos
][Tx
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
0100
00cossin
00sincos
][
ϕϕ
ϕϕ
Tz
32
Quay quanh trụcy
⎥
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
][
θθ
θθ
Ty
33
Phép biếndạng
(secondary translation)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
01
01
01
11
ig
fd
cb
zyxzyx ][]'''[
]1[ zfycxizybxgzydx ++++++=
34
Phép lấy đốixứng
(reflections-secondary translation)
35
Quay quanh mộttrụcbấtkỳ song song với
các trụctọa độ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
=
10
0100
0010
0001
][
zy
Tr
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
00
00

0001
φφ
φφ
φ
cossin
sincos
)]([T
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
−
10
0100
0010
0001
1
zy
Tr][

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−+−
−
=
1sin)cos1(sin)cos1(0
0cossin0
0sincos0
0001
][
φφφφ
φφ
φφ
yzzy
Tth
36
Quay quanh mộttrụcbấtkỳ
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
7
37
Solution
z ChuyểnP1 về gốctọa độ.
z Quay quanh trục y sao cho P1P2 nằmtrênmặtphẳng
(y, z)
z Quay quanh trục x sao cho P1P2 trùng vớitrụcz.
z Quay quanh trục z sao cho P1P3 nằmtrênmặtphẳng
(y, z)
z Euler’s Theorem: Every rotation around the origin
can be decomposed into a rotation around the x-axis
followed by a rotation around the y-axis followed by a
rotation around the z-axis.
38
Biến đổi góc nhìn
Viewing Transformation
Lê Tấn Hùng
39
Nội dung
z Phép biến đổi nhìn cơ bản
z Biến đổi hệ thống tọa độ
z Camera
z Biến đổi 3D viewing
z Ví dụ
40
Hệ tọa độ thực
(WCS-World Coordinate System)
z Là hệ tọa độ của đốitượng

được các chương trình
ứng dụng sử dụng để mô
tả tọa độ của các đối
tượng trong thế giớithực.
z Đơnvị trong hệ thống tọa
độ phụ thuộc vào không
gian và kích thướccủa đối
tượng đượcmôtả, có thể
từ A
0
, nm, mm đếnm,
km
z Modeling Coordinate
41
Hệ tọa độ thiếtbị
(DCS-Device Coordinate System)
z Là hệ thống tọa độ củathiếtbị nơihiểnthị
hình ảnh và không gian của đốitượng mà
ứng dụng mô tả.
ThiÕt bÞ hiÓn thÞ
subselect.me
Vïng täa ®é thiÕt bÞ
VGA=640x480
42
Hệ tọa độ chuẩn
(NCS - Normalized Coordinate System)
z Chuyển đổi hệ tọa độ
z Giải quyếtvấn đề khi ứng dụng chạytrêncác
thiếtbị khác nhau
z Có kích thước1x1

Wcs
chuyÓn ®æi 1
NCS Dcs
chuyÓn ®æi 2
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
8
43
Phép biến đổi nhìn cơ bản
Basic Viewing Transform
z Phép biến đổi góc nhìn cơ bản là chuyển đổi từ
hệ tọa độ mô hình sang hệ tọa độ mà hình
(Modelling co-ordinates to Screen Coordinates)
z Vấn đề:
z Thay đổi tỷ lệ hình ảnh
z Hiệu ứng về tỉ lệ khi Zoom hình ảnh
z Phần nào của hình vẽ sẽ hiển thị ?
z Hiển thị tại đâu trên màn hình ?
z Chuyển đổi sẽ được thực hiện ra sao?
44
2-Dimensional Views
z A Window : Cửa sổ, Phần hình ảnh của thế giới
thực sẽ được hiển thị
z A Viewport : Cổng nhìn, vùng màn hình nơi hình
ảnh thế giới thực sẽ hiển thị
(wx
min
,wy
min

)
(wx
max
,wy
max
)
(vx
min
,vy
min
)
(vx
max
,vy
max
)
(wx,wy)
(vx,vy)
45
Phép chuyển đổi
46
Phép biến đổitheoma trận
z Ma trậnchuyểnvị theo Window
z Ma trậnbiến đổitỉ lệ
z Ma trậnchuyểnvị theo tọa độ viewport
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
1
010
001
1
YwXw
T ][
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−

−
=
100
0
minmax
minmax
0
00
Xwmin-Xwmax
Xvmin-Xvmax
]1[
YwYw
YvYv
S
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
010
001
]2[
YyXv

T
47
Ma trậnbiến đổitổng hợpcủaphép chuyển đổi
tọa độ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
−
=
=
1
minmax
minmax

minmin
Xwmin-Xwmax
Xvmin-Xvmax
minmin
0
minmax
minmax
0
00
Xwmin-Xwmax
Xvmin-Xvmax
][
]2[]1[]1[][
YwYw
YvYv
YwYvXwXv
YwYw
YvYv
T
TxSxTT
48
Ví dụ OpenGL - Windows and Viewports
z Plotting a function revisted
//set the viewing coordinates
setWindow(xmin, xmax, ymin,
ymax);
setViewport(0,640,0,480);
glBegin(GL_POINTS);
for(GLdouble x = xmin; x
< xmax; x+=0.005 )

{
glVertex2d(x, pow(2.7183,-x)
*cos(2*3.14*x));
}
glEnd();
// setWindow
void setWindow(GLdouble left, Gldouble
right, GLdouble bottom, GLdouble top)
{
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(left, right, bottom, top);
}
// setViewport
void setViewport(GLdouble left, Gldouble
right, GLdouble bottom, GLdouble top)
{
glViewport(left, bottom, right – left, top -
bottom);}
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
9
49
Biến đổi hệ tọa độ
Coordinate Transforms
(1,1)
u’
v’
(1,1)

u
v
x
y
Hệ tọa độ cục bộ
Đối tượng sau biến đổi trên tđ toàn
cục
z Là phép biến đổi trên hệ tọa độ của đối tượng. Việc thay
đổi hệ tọa độ của đối tượng với hệ thống tọa độ chung
tao nên sự thay đổi toàn cảnh
50
x
y
x
y
Các phép biến đổi
P
100
010
001
Q
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
=
(1,1)
u
v
(1,1)
u’
v’
51
x
y
Translation
x
y
P
100
10
01
Q
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= ty

tx
(1,1)
u
v
(1+tx,1+ty)
u’
v’
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
11
0
0
ty
tx
ty
tx
100
10
01
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
1
1
0
1
ty
tx
ty
tx
100

10
01
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
1
1
1
1
0
ty
tx
ty
tx
100
10
01
origin v (1, 0, 0)
u (0, 1, 0)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
ty

tx
O
52
x
y
Rotation
x
y
P
100
0
0
Q
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
θθ
θθ
cossin
sincos
(1,1)

u
v
u
’
v
’
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
sin
cos
θ
θ
v
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
−
=
1
cos
sin
θ
θ
u
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
O
53
x
y
Scaling

x
y
P
100
0
0
Q
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= sy
sx
0
0
(1,1)
u
v
(sx*1,sy*1)
u
v
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
O
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
syu
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
sx
v
54
Composite Transformations
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+−−
=
100
sin)cos1(cossin
sin)cos1(sincos
11

11
θθθθ
θθθθ
xy
yx
M
x
y
x
y
(1,1)
u
v
u
’
v
’
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+−
1

sin)cos1(
sin)cos1(
11
11
θθ
θθ
yy
yx
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−+
+−+
1
sin)cos1(sin
sin)cos1(cos
11
11
θθθ
θθθ
yy
yx
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−+
+−+−
1
sin)cos1(cos
sin)cos1(sin
11
11
θθθ
θθθ
yy
yx
O =
v =
u =
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
10
55
+
=

+
transform
+
transform
+
transform
Obviously we want
something more
versatile
56
Quan sát 3D - 3D Viewing
z Hiển thị hình ảnh 3D trên các thiết bị
2D
z Mỗi 1 quan sát 3D trên cùng 1 đối
tượng chỉ ra trạng thái chiếu của
điểm quan sát đó.
– HÌnh ảnh chiếu 2D của đối tượng 3D
phụ thuộc vào người quan sát
z Các quan sát khác nhau được phân
biệt bởi thông số: vị trí
position, hướng
orientation, và vùng nhìn field of view
57
Viewing
x
W
z
W
y
W

y
M
x
M
z
M
p
M
y
V
x
V
-
z
V
p
V
p
W
modeling
coordinate
Modeling
transformation
world
coordinate
viewing
coordinate
(eye coordinate)
Viewing
transformation

58
The Viewing Process
z Để tạo 1 cảnh nhìn gồm các bước
– Mô tả biểu diễn hình học
– Định nghĩa điểm nhìn – Camera
z Chuyển đổi từ đối tượng 3D sang 2D
z Xác định vùng hiển thị của đố tượng
z Xác định camera để có thể tạo thành phép
chiếu từ 3D thành 2D.
59
Khái quát về - Camera Analogy
z Khái niệm
z camera location: Vị trí trong thế
giới thực
z viewing direction: Hướng chiếu
của Camera.
z up vector: Hướng phía trên của
Camera
z aperture size: Vùng nhìn thấy của
Camera
60
Viewing Coordinates
z Có thể sử dụng mô hình hệ
thống tọa độ quan sát trên các
thông số gồm:
– Điểm nhìn (VRP View Reference
Point ): điểm gốc quan sát. Vị trí của
Camera)
– Vector mặt phẳng quan sát (VPN
View Plane Normal vector ): viewing

direction)
– Vector hướng quan sát (VUP View
UP vector ): establishes orientation of
“camera”
),,(
321
nnn==
N
N
n
),,(
321
uuu=
×
×
=
NV
NV
u
),,(
321
vvv
=
×= unv
Three mutually orthogonal
basis vectors:
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
11

61
61
Ví dụ: Viewing Transformation
(i) simple cases ( always view along negative z-axis )
(0, 0, z)
Điểm nhìn trên trục Z
z
W
-axis
z
W
x
W
y
W
n
M
WC,VC
= T (0, 0, z,)
(a, b, c)
Nhìn ở vị trí (a, b, c) theo trục Z và
ngược hướng z
W
-axis
M
WC,VC
= T (-a, -b, -c )
z
W
x

W
y
W
62
62
.and , ,
3
2
1
3
2
1
3
2
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
n
n
v
v
v

u
u
u
nvu
Ma trận biến đổi tọa độ thế giới sang tọa độ quan sát :
M
WC,VC
= R T
(xw, yw, zw) and (u, v, n) 2 hệ tọa độ với cùng 1 gốc.
Vector đơn vị (u, v, n) được định nghĩa theo WCS
63
3D Viewing Transformation
z Với điểm quan sát VRPoint (x
0
, y
0
, z
0
) the Viewing
Transformation can be defined by composition of the
following two transformations:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
1000
100
010
001
0
0
0
z
y
x
T
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜

⎜
⎜
⎝
⎛
=
1000
0
0
0
321
321
321
nnn
vvv
uuu
R
TRM •=
VCWC,
This is used to determine the location of each vertex in the
camera co-ordinate system
xx
vcwc
r
r
,
M=
′
64
Viewing Transformation
z We might also achieve this in terms of the following

transformation sequence:
– Translate the view reference point to the origin of the world co-
ordinate system
– Apply Rotations to align x
v
, y
v
and z
v
, axes, respectively
(x
0
, y
0
, z
0
)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

⎛
−
−
−
1000
100
010
001
0
0
0
z
y
x
65
65
where
,
1000
0
0
0

321
321
321
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnn
vvv
uuu
R
Verification:
etc , ? =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
=
1

3
2
1
u
u
u
R uR
p
V
= M
WC,VC
p
W
x
W
z
W
y
W
p
M
p
W
p
V
y

V
x
V
-
z
V
66
• Recall we’ve re-expressed our world geometry in eye’s frame
reference.
• To do projection, we use a
synthetic camera
by introducing a
viewing frustum after the viewing transformation.
66
x
W
z
W
y
W
y
M
x
M
z
M
p
M
y
V

x
V
-
z
V
p
V
p
W
x
W
z
W
y
W
p
M
p
W
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
12
67
Camera trong OpenGL
z Các hàm cơ bản
– glOrtho() and gluLookAt()
– these created parallel projections
z We now want to modify a scene to give us
perspective projections.

– lines converge as they get further away
68
68
Demo : Viewing
from Nate Robins
(Utah)
69
The Camera
z Khởi tạo Camera với phép
chiếu phối cảnh
– Thay cho glOrtho() bằng:
– gluPerspective()
z gluPerspective
– viewAngle
– aspectRatio (W/H)
– near plane
– far plane
70
The Camera
z The Perspective Camera
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(viewAngle, aspectRatio, N, F);
71
The Camera
z Positioning the Camera
– The camera is positioned using a combination
of translations and rotations.
– Think if the camera being in the same location
as the viewers eye.

72
The Camera
eye(x,y,z)
lookat(x,y,z)
up(x,y,z)
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
13
73
The Camera
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
gluLookAt(eye.x, eye.y, eye.z,
look.x, look.y, look.z,
up.x, up.y, up.z);
74
The Camera
z The camera can have an arbitrary orientation and
position.
z Therefore we can think of the camera having its own
axes.
75
Camera Movement
z A camera has six degrees of freedom:
1. slid in 3 directions; and
2. rotated in 3 directions
z Camera Movement
– The camera can move along its axes.
– This is called sliding the camera.

76
The Camera
z Camera Movement
– To move the camera along the u axis you would simply perform
z eye = eye + Du
– To move slide the camera in any direction:
eye.x = dU*u.x + dV*v.x + dN*n.x
eye.y = dU*u.y + dV*v.y + dN*n.y
eye.z = dU*u.z + dV*v.z + dN*n.z
z
Camera Movement
– Besides physically moving the camera to another location…
– the camera can be tilted in different directions to look at
different parts of the scene.
u
v
n
77
The Camera
z Camera Movement
– Besides physically moving the camera to another
location…
– the camera can be tilted in different directions to look
at different parts of the scene.
78
The Camera - Camera Movement
We use a plane analogy to describe the cameras
movement.
z a rotation from the horizontal along the length is called PITCH
z a rotation from the horizontal along the width is called ROLL

z a rotation around the vertical is called YAW
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
14
79
The Camera
z Pitch
v’ = cos(θ)v – sin(θ)n
n’ = sin(θ)n + cos(θ)v
n
v
80
The Camera
z Roll
u’ = cos(θ)u + sin(θ)v
v’ = cos(θ)v - sin(θ)u
u
v
81
The Camera
z Yaw
n’ = cos(θ)n - sin(θ)u
u’ = sin(θ)n + cos(θ)u
u
n
82
A 3D Scene
z Notice the presence of
the camera, the

projection plane, and
the world
coordinate axes
z Viewing transformations define how to acquire the image
on the projection plane
83
Viewing Transformations
z Create a camera-centered view
z Camera is at origin
z Camera is looking along negative z-axis
z Camera’s ‘up’ is aligned with y-axis
84
2 Basic Steps
z Align the two coordinate frames by rotation
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
15
85
2 Basic Steps
z Translate to align origins
86
Creating Camera Coordinate
Space
z Specify a point where the camera is located in world
space, the eye point
z Specify a point in world space that we wish to become
the center of view, the lookat point
z Specify a vector in world
space that we wish to

point up in camera
image, the up vector
z Intuitive camera
movement
87
Constructing Viewing
Transformation, V
z Create a vector from eye-point to lookat-point
z Normalize the vector
z Desired rotation matrix should map this
vector to [0, 0, -1]
T
Why?
88
Constructing Viewing
Transformation, V
z Construct another important vector from the
cross product of the lookat-vector and the vup-
vector
z This vector, when normalized, should align with
[1, 0, 0]
T
Why?
89
Constructing Viewing
Transformation, V
z One more vector to define…
z This vector, when normalized, should align with [0, 1, 0]
T
z Now let’s compose the results

90
Compositing Vectors to Form V
z We know the three world axis vectors (x, y, z)
z We know the three camera axis vectors (r, u, l)
z Viewing transformation, V, must convert from world to
camera coordinate systems
Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

8682595
16
91
Compositing Vectors to Form V
z Remember
– Each camera axis vector is unit length.
– Each camera axis vector is perpendicular to others
z Camera matrix is orthogonal and normalized
– Orthonormal
z Therefore, M
-1
= M
T
92
Compositing Vectors to Form V
z Therefore, rotation component of viewing
transformation is just transpose of computed
vectors
93
Compositing Vectors to Form V
z Translation component too
z Multiply it through

94
Final Viewing Transformation, V
z To transform vertices, use this matrix:
z And you get this: