chuyen de dong luc hoc nang cao

 Nguyn Anh Vn. - 1 -
CHUYÊN :
KHO SÁT CHUYN NG CA CÁC VT BNG CÁC PHNG TRÌNH
 BN CA NG LC HC.
I. C S LÝ THUYT:
1. PHNG TRÌNH CHUYN NG CA CHT M:
Cht m M có khi lng m, chu tác dng ca lc
F

, chuyn ng trong h quy
chiu quán tính vi gia tc
a

, tha mãn phng trình sau:

Fam




c gi là phng trình c bn ca ng lc hc.
Trong trng hp cht m chu tác dng ca nhiu lc, thì lc
F

là lc tng hp ca
các lc ó, tc là


k
FF



.
2. PHNG TRÌNH CHUYN NG TNH TIN CA VT RN:
Khi mt vt rn chuyn ng tnh tin bt k thì khi tâm ca vt rn chuyn ng nh
t cht m có khi lng bng khi lng ca c vt, di tác dng ca mt lc
ng tng các ngoi lc t vào vt rn.



k
kc
FFam




Xét phng trình trên trong h ta  cnh oxy ta có:






yyc
xxc
Fma
Fma
vi jFiFF
yx





* Trng hp bo toàn chuyn ng khi tâm ca c h:
u tng hình hc ca các ngoi lc tác dng lên h luôn bng không thì khi tâm ca
 hng yên hoc chuyn ng thng u.
.00 constvaF
cc
k
k






3. PHNG TRÌNH CHUYN NG QUAY CA VT RN:
t rn chuyn ng quay quanh mt trc di tác dng ca momen ngoi lc
M


c mô t bi phng trình sau:
MI





I là momen quán tính ca vt i vi trc quay.
II. BÀI TP ÁP DNG:

Câu 1: Mt vt c truyn vn tc ban u v
0
và ch chu lc cn t l vi  ln vn
c v, F = kv.
1. Tính vn tc v theo quãng ng i c x, tính quãng ng X i c cho
i lúc dng.
2. Tính vn tc theo thi gian i c, tính thi gian  v = v
0
/2.
Gii:
1. Ta vit nh lut II Niutn di dng:
dt
dv
mF 
Ta có:
dt
dv
mkv  hay –kdx = mdv. Ly tích phân ta có:
-kx = mv + C. Ban u x = 0, v = v
0
, => C = -mv
0
.
y
0
vx
m
k
v 
Cho v = 0, ta c:

0
v
k
m
X 
Nguyn Anh Vn. - 2 -
2. Ta cú:
dt
m
k
v
dv
dt
dv
mkv .Ly tớch phõn vi u kin u v = v
0
ta c:
t
m
k
evv


0

cho
2
1
0

v
v
ta c:
2ln
k
m
T .
Cõu 2: Vit phng trỡnh chuyn ng ca mt vt ri t do theo thi gian nu kn
c cn ca khụng khớ vkF
c


, k l mt hng s dng.
ỏp s:
)1(
2
2
t
m
k
e
k
gm
t
k
mg
x
Cõu 3: Mt cht m cú khi lng m chu tỏc dng ca mt lc theo phng ngang
x l F = psinkt, trong p, k l nhng hng só bit. Tỡm chuyn ng ca cht dim
bit rng lỳc ban u t = 0, thỡ cht m v trớ x

0
, v cú vn tc v
0
.
ỏp s:
kt
mk
p
t
km
p
vxx sin
2
00







.
Cõu 4: Mt tu thy cú khi lng l m m mỏy chuyn ng t trng thỏi ng yờn
trờn mt nc yờn tnh. Cho bit lc tng hp bao gm lc phỏt ng v lc cn tỏc
ng vo tu, cú cng l F = A Bv, trong ú A, B l cỏc hng s dng ó bit,
v l tc chuyn ng ca tu.
1. Xỏc nh vn tc gii hn ca tu.
2. Xỏc nh phng trỡnh chuyn ng c tu.
ỏp s:

t
m
B
gh
t
m
B
e
B
mA

t
B
A
x
B
A
ve
B
A
v
1
1
2

Cõu 5: Một quả cầu đ- ợc gắn cố định trên măt bàn nằm ngang. Từ đỉnh A của quả
cầu một vật nhỏ bắt đầu tr- ợt không ma sát với vận tốc ban đầu bằng 0. Hỏi vật sẽ
chạm vào mặt bàn d- ới một góc

bằng bao nhiêu?






Gii:
Giả sử bán kính quả cầu bằng R. Chuyển động của vật trên mặt quả cầu cho đến
khi rời khỏi nó là chuyển động tròn không đều với bán kính quỹ đạo bằng R. Tr- ớc hết
chúng ta tìm góc

và vận tốc V của vật khi rời khỏi mặt quả cầu. Vật chịu tác dụng
của trọng lực gm

và phản lực pháp tuyến
N

của quả cầu. Ph- ơng trình chuyển động của
vật chiếu lên trục X có dạng:

n
maNmg cos ,






X
R
O






1
V

V


N


gm



A
Nguyn Anh Vn. - 3 -
ở đây
R
V
a
2
n
là gia tốc pháp tuyến. Vào thời điểm vật rời khỏi mặt quả cầu thì N=0,
vì vậy ta đ- ợc:
cosgRV
2
.
Để tìm V và

cần có thêm một ph- ơng trình nữa. Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng:
)cos( RRmg
2
mV
2

)cos( 1gR2V
2

Giải hệ hai ph- ơng trình với các ẩn là V và

ta tìm đ- ợc :
;/cos 32


3gR2V / .
Bây giờ chúng ta tìm vận tốc
1
V

của vật khi chạm vào mặt bàn. Dùng định luật
bảo toàn cơ năng: cơ năng của vật tại đỉnh hình cầu bằng cơ năng khi vật chạm bàn.

2
mV
mgR2
2
1
,
từ đó tính đ- ợc
.gR2V
1
Trong khoảng thời gian từ lúc rời mặt quả cầu đến khi
chạm mặt bàn thành phần vận tốc theo ph- ơng ngang của vật không thay đổi. Vì vậy
nếu gọi góc rơi của vật khi chạm bàn là

thì ta có:
coscos
1
VV .
Thay các biểu thức của V,
1
V và

cos
đã tìm đ- ợc ở trên vào sẽ tính đ- ợc:

0
74
9
6
ar cos .
Cõu 6: Cho hệ cơ nh- hình vẽ. Ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng sau đó ng- ời ta đốt
dây nằm ngang giữ
1
m . Xác định gia tốc của
2
m ngay sau khi đốt dây. Biết góc và
các khối l- ợng
21
,mm .

G
G
i
i


i
i
:
:






Ngay tại thời điểm ban đầu các lực tác dụng lên quả cầu 1 gồm : trọng lực gm
1
, lực
căng các dây
1
T và
2
T . Lực tác dụng lên quả cầu 2
gồm: trọng lực gm

2
, lực căng dây
2
T (ta không
biểu diễn trọng lực trên hình)
Khi ấy quả cầu 2 sẽ chỉ có thành phần gia tốc theo
ph- ơng thẳng đứng
2
a . Do dây không giãn nên
thành phần gia tốc theo ph- ơng thẳng đứng của
quả 1 cũng là
2
a .
Các ph- ơng trình Newton theo ph- ơng Y:
)1(cos
21121
amTTgm


)2(
2222
amTgm
Ngay tại thời điểm ban đầu vận tốc của m1 bằng 0: nên thành phần gia tốc của
1
m theo
ph- ơng h- ớng tâm bằng không:
0
2

R

v
a
ht

0coscos
1121

ht
amgmTT

)3(coscos
121

gmTT
Nguyn Anh Vn. - 4 -
)2(0sin
212
gmamT

Từ (1), (2), (3) ta dễ dàng thu đ- ợc:

g
m
m
mm
a
2
2
1
21

2
sin





Cõu 7: Một thanh nhẵn đ- ợc cố định vào t- ờng và làm với đ- ờng nằm ngang góc
. Xâu chiếc nhẫn khối l- ợng m
1
vào thanh. Sợi dây mảnh không giãn khối l- ợng
không đáng kể đ- ợc buộc một đầu vào nhẫn còn đầu kia buộc một quả cầu khối l- ợng
m
2
. Giữ nhẫn cố định sao cho dây ở vị trí thẳng đứng. Tính lực căng dây ngay sau khi
thả nhẫn ra.
Gii:
Ngay sau khi thả nhẫn ra ta có thể khẳng định rằng
gia tốc của
1
m h- ớng theo thanh còn gia tốc của
2
m
h- ớng theo ph- ơng đứng. áp dụng định luật hai
Newton cho vật 1, ta có



)1(sin.
111

amgmT


Trong hệ quy chiếu gắn với vòng nhẫn quả cầu chịu
lực quán tính:
12
amf
qt



p dụng định luật hai Newton cho quả cầu 2 theo
ph- ơng dây:

htqt
amgmfT
22
sin


i t = 0 vận tốc quả u bằng không nên
0
2

l
mv
maF
htht

Từ (1) và (2) ta dễ dàng thu đ-ợc:

gm
tg
m
m
T
2
2
1
2
)1(1
1



Cõu 8: Một thanh AB đồng chất chiều dài 2l khối l- ợng
m đ- ợc giữ nằm ngang bởi hai dây treo thẳng đứng nh-
hình vẽ. Xác định lực căng dây trái ngay sau khi đốt dây
phải.
Gii:
Ngay sau khi đốt dây các lực tác dụng lên thanh gồm:
lực căng dây T, trọng lực mg. Định luật 2 Newton theo
trục y:
)1(.
y
amTmg
Định luật hai Newton cho chuyển động quay của
thanh quanh khối tâm:

)2(
3
1
.
2

mllT
Ta cần tìm mối liên hệ giữa
y
a và gia tốc góc .
Xét sau một khoảng thời gian t rất nhỏ sau khi đốt
dây, dây vẫn còn thẳng đứng, thanh thì bị lệch khỏi
ph- ơng ngang một góc nhỏ. Trong khoảng thời gian
rất nhỏ đó, ta coi nh- gia tốc khối tâm và gia tốc góc
Nguyn Anh Vn. - 5 -

0

của thanh là không đổi. Khi đó độ dịch chuyển của khối tâm là:

.ly


Đạo hàm hai lần hai vế của ph- ơng trình trên theo t, ta đ- ợc:
)3(.

la
y

Từ các ph- ơng trình (1), (2) ,(3) ta thu đ-ợc:

Cõu 9 : Một thanh đồng chất AB dài 2l, trọng l- ợng P, đầu
A tựa trên sàn ngang nhẵn và lập với sàn một góc
0
, đầu B
đ- ợc treo bằng dây DB thẳng đứng, không giãn, không
trọng l- ợng. Tại một thời điểm nào đó dây bị đứt và thanh
bắt đầu chuyển động. Xác định áp lực của thanh lên sàn
ngay tại thời điểm thanh bắt đầu chuyển động.
Gii :
Do không có ngoại lực tác dụng lên thanh theo ph- ơng
ngang nên khối tâm thanh chỉ chuyển động theo đ- ờng
thẳng đứng xuống d- ới. Ngay sau khi thanh bắt đầu
chuyển động các lực tác dụng lên thanh là: trọng lực mg,
phản lực N của sàn.
Định luật 2 Newton theo trục y:
)1(.
y
amNmg
Định luật 2 Newton cho chuyển động quay của thanh
quanh khối tâm:

)2(
3
1
cos
2
0

mllN
Ta cần tìm mối liên hệ giữa a
y
và dựa trên các điều kiện ban đầu của chuyển động.
Xét khi thanh hợp với ph- ơng ngang một góc = 0 - d . Quãng đ- ờng mà khối tâm
đã dịch chuyển là:

sinsin
0
lly ))sin(.(sin
00

dl




ddl sincoscossinsin
000



dly .cos.
0

Đạo hàm hai vế của ph- ơng trình trên ta có : )3(.cos.
0

la
y

Từ (1), (2), (3) ta thu đ- ợc:

mgN .
1cos.3
1
0
2




Cõu 10: Quả cầu M khối l- ợng m đ- ợc nối với một trục thẳng đứng tại hai điểm A,
B bằng hai thanh chiều dài l, khối l- ợng không đáng kể (khoảng cách AB = 2a). Các
chỗ nối đều là các chốt nên hai thanh chỉ bị kéo hoặc nén. Cả hệ quay không ma sát
quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi (xem hình vẽ).
Tính các lực T và T mà vật m tác dụng lên các thanh AM và BM t- ơng ứng. Các
thanh bị kéo hay bị nén?
Gii:
Gọi T
M
,
'
M
T là các lực do các thanh tác dụng lên vật M. Vật M chịu các lực: mg, T
M
,
'
M
T và lực ng tâm: F =

2222
almRm
mgT
4
1

Nguyn Anh Vn. - 6 -
Giả thiết T
M
và
'
M
T có chiều nh- hình vẽ. Gọi
góc AMH = BMH =

; sin
l
a
; cos

=R/l. Chiếu
xuống H
X
và H
Y
có:

mgsinTT
RmcosTT
'
MM
2'
MM



Nhõn pt u vi sin
l
a
, pt th hai vi cos

=R/l,
sau ú cng v tr cỏc pt ta c:

a
g
2
ml
T
a
g
2
ml
T
2'
M
2
M

T
M
>0, chiều giả thiết là đúng. T
M
là chiều do thanh tác dụng lên M. Ng- ợc lại, M
tác dụng lên thanh lực trực đối T. Vậy thanh AM bị kéo.
oT
'
M
nếu
a
g
(quay đủ nhanh), thanh BM bị kéo
0T

'
M
nếu
a
g
thanh BM bị nén
0T
'
M
nếu
l
g
thanh BM không chịu lực nào
Cõu 11: Cho cơ hệ nh- hình vẽ. Lúc đầu hệ cân bằng, bàn nhận đ- ợc
gia tốc
a

theo ph- ơng ngang nh- hình vẽ. Tính gia tốc
của M đối với mặt đất, biết hệ số ma sát tr- ợt giữa M và sàn là

.
Gii:
Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào bàn nh- hình vẽ. Trong hệ quy
chiếu oxy:
Ph- ơng trình chuyển động của vật M

0
MaFFT
msqt

Hay:
)1(
01
MaNMaT

,
trong đó:

0
a là gia tốc của M đối với bàn
a là gia tốc của bàn đối với đất.
Ph- ơng trình chuyển động của vật m:








)3(cossin
)2(
02
2
2
maTmgF
g
a
mg
ma

P
F
tg
qt
qt



Từ (3) suy ra:


sinma
cos
mg


0
maT (4)
Từ (1) và (4) suy ra:

)5(
cossin
1
0
M
m
mgmaNMa
a

Từ (2) suy ra:
A
B
M


m
g
M
T
l
y
x
H
'
M
T
Nguyn Anh Vn. - 7 -

)6(
1
1
sin
22
2
22
ga

a
g
a
g
a
tg
tg










)7(
1
1
1
1
cos
22
2
22
ga
g
g
atg

Và )8(
1
MgN
Thế (6), (7), (8) vào (5) ta rút ra:

M
m
gamMgMa
a



22
0


Gia tốc của M đối với đất:
aaa
M

0

a
M
m
gamMgMa
aaa
M




22
0



M
a
M
m
mgMggam



22

Câu12:
Một thanh đồng chất có khối l-ợng m có thể quay tự do xung quanh một

trục nằm ngang đi qua một đầu của thanh. Nâng thanh để nó có ph-ơng thẳng
đứng rồi thả nhẹ thì thanh đổ xuống và quay quanh trục. Cho momen quán tính
của thanh đồng chất có khối l-ợng m, chiều dài L đối với một trục đi qua một đầu
của thanh và vuông góc với thanh là I = mL
2
/3. Tại thời điểm khi thanh có
ph-ơng ngang, hy tìm:
1) Tốc độ góc và gia tốc góc của thanh.
2) Các thành phần lực theo ph-ơng ngang và theo ph-ơng thẳng đứng mà
trục quay tác dụng lên thanh.
Gii:
1) Theo định luật bảo toàn cơ năng:
2
2
1
2

I
L
mg . Thay
2
3
1
mLI ta thu đ-ợc tốc độ góc của thanh:
L
g3


.
Các lực tác dụng lên thanh gồm trọng lực P và lực N mà lực mà trục

quay tác dụng lên thanh. Mômen của lực N đối
với trục quay bằng 0 nên định luật II Niutơn
cho chuyển động quay của thanh quanh trục O
có dạng:

IM
P
. Thay
2
3
1
mLI và
2
L
mgM
P
ta đ-ợc
gia tốc góc của thanh:
L
g
2
3


.
2) Theo định II Niutơn cho chuyển động tịnh
tiến:
P

N

N
x

N
y

O

Nguyn Anh Vn. - 8 -
amNP




(1)
Chiếu ph-ơng trình (1) lên ph-ơng ngang:
2
2
L
mmamaN
nxx


Thay giá trị tốc độ góc tìm đ-ợc ở phần 1 vào ta tìm đ-ợc thành phần
nằm ngang của lực mà trục quay tác dụng lên thanh:
3 /2
x
N mg

.
Chiếu ph-ơng trình (1) lên ph-ơng thẳng đứng:

2
L
mmamaNP
tyy


Thay giá trị gia tốc góc tìm đ-ợc ở phần 1 vào ta tìm đ-ợc thành phần
thẳng đứng của lực mà trục quay tác dụng lên thanh:

/4
y
N mg

.
Cõu 13: Cho c h nh hỡnh v:
t 1 cú khi lng m
1
, vt 2 cú khi lng m
2
= 6 m
1
= 6 kg,
ban u hc ging yờn v hai vt cỏch mt t mt n
l h = 40cm. Th cho hai vt bt u chuyn ng. Khi lng
rũng rc, cỏc dõy ni v ma sỏt u khụng ỏng k. Xem si dõy
khụng co, gión trong quỏ trỡnh chuyn ng. Ly g = 10m/s
2

.
a, Tớnh gia tc ca mi vt trong quỏ trỡnh chuyn ng.
b, Tớnh giỏ tr cc i m vt 1 t c trong quỏ trỡnh chuyn ng.
c, Trong khi 2 vt ang chuyn ng ngi ta cho giỏ chuyn ng
hng thng ng lờn trờn vi gia tc a = 2 m/s
2
.
Tớnh lc cng dõy khi m
2
ang chuyn ng.
Gii:
a. PTL II newtn cho mi vt:

t 1:
1 1 11
p T ma



(1)

t 2:
2 2 22
p T ma



(2)

Chiu (1) v (2) lờn hng chuyn ng ca mi vt ta c:

(1)
1 1 11
T p ma
(3)
(2)
2 2 22
p T ma
(4)

h v ta thy khi vt 2 i c quóng ng S
Thỡ vt 1 i c 2S =>
12
2
aa
v T
2
= 2T
1
thay vo (3),(4) ng thi kh T ta c:
21
2
12
( 2)
4
m mg
a
mm

= 4 (m/s
2
) v a
1
= 8 (m/s
2
)
b. Khi vt 2 chm t thỡ vt 1 i c n ng l S
1
= 2h = 0,8m. Khi ú vt 1 t c
võn tc
1 11
2 12,8
v as (m/s)
v thc hin chuyn ng nộm ng vi vn tc ban u v
1
. Quóng ng vt 1 i
c n khi t cao cc i l: S
1max
= v
1
2
/2g = 0,64 m
y cao cc i cn tỡm l: h
max
= S
1
+ S
1max
= 1,44m

h

m
2

m
1
 Nguyn Anh Vn. - 9 -
c. Xét trong h quy chiu gn vi giá  m
2
. Các vt chu thêm lc quán tính
F ma




,
2 2 2 22
p T ma ma


 
t
2
2 222
12/
hd hd hd
p p ma mg g ms
 
 

ng t câu a suy ra
,
21
2
12
( 2)
4,8
4
hd
mm
ag
mm



(m/s
2
)
,2,
1 111
9,6 / ( ) 21,6
hd
a ms T mg a N
  
Câu 14 :
t vt khi lng m c gn vào u mt lò xo có  cng k và chiu dài t nhiên
0
 nh
hình v. Vt có th trt không ma sát trên mt thanh ngang. Cho thanh ngang quay quanh

t trc thng ng i qua u còn li ca lò xo
i vn tc

không i.
a. Tính chiu dài ca lò xo.
b. a vt ra khi v trí cân bng mi mt
n x
0
ri buông nh. Chng t vt dao ng
u hòa và lp biu thc li .
Gii:
a. Tính chiu dài ca lò xo.
- Chn O là h qui chiu (qui chiu không quán tính). Trong h qui chiu này m  v trí cân
ng nên :

0
f

+
qt
f

=
0

(1)
i :
0
f


là lc àn hi f
0
= k(
0
 
cb
)


qt
f

là lc quán tính
qt
f

= - m
ht
a

vi
a
ht
=
cb
 .
2


Chiu phng trình (1) lên trc hng tâm, ta c : f

0
- f
qt
= 0

k(
0
 
cb
) - m.
cb
 .
2

= 0 (2)

k.
cb
 - k.
0
 - m.
cb
 .
2

= 0


cb
 =

2
0

m
k
k



b. Ti v trí bt k có li  x so vi v trí cân bng mi (nh hình v)
- Theo nh lut 2 Newtn ta có :
f

+
qt
f

= m
a

(3)
- Chiu phng trình (3) lên trc hng tâm, ta có :
f - ma
ht
= ma
k(
0
  ) - m.

.

2

= mx
//
(4)
Tr phng trình (4) cho phng trình (2) v theo v ta c :
k(
0
  ) - m.

.
2

- k(
0
 
cb
) + m.
cb
 .
2

= mx
//

k

- m.

.

2

-k
cb
 - m.
cb
 .
2

= mx
//

k(

-
cb
 ) - m
2

(

-
cb
 ) = mx
//

Trong ó : x = (

-
cb

 )
x(k - m
2

) = mx
//

x
//
-







2

m
k
x = 0 (*)
Phng trình (*) có nghim tng quát :
 Nguyn Anh Vn. - 10 -
x = Asin(

t +

)
i tn s góc :


=
2


m
k

y m dao ng u hòa vi tn s góc

=
2


m
k


Theo u kin ban u : + t = 0, x = x
0

+ t = 0, v = 0
Gi s x
0
> 0 ta có : A = x
0
;

=
2



Biu thc li  có dng : x = x
0
sin


















2
.
2


t
m

k

Câu 15 : t vt có khi lng m có th trt không ma sát trên mt
cái nêm ABC ; AB =

,
C
ˆ
= 90
0
,
B
ˆ
=

. Nêm ban u ng yên,
có khi lng M và có th trt không ma sát trên mt sàn nm ngang.
( nh hình v )
Cho vt m trt tnh A ca nêm không vn tc u.
a. Thit lp biu thc tính gia tc a ca vt i vi nêm và gia tc
a
0
ca nêm i vi sàn.
b. Ly h ta  xOy gn vi sàn, ban u trùng vi BCA. Tính hoành  ca vt m và
a nh C khi vt trt ti nh B. Quo ca vt là ng gì ? Cho m = 0,1 (kg), M =
2m,

= 30
0
,


= 1 (m), g = 10 (m/s
2
).
Gii :
a. Tính gia tc a ca vt i vi nêm và gia tc a
0
ca nêm i vi sàn.
- Chn h tc ta  xOy nh hình v
- ng lng ca h bng 0

Vt i xung sang phi thi
nêm phi sang trái

giá tri s gia tc ca nêm là a
0
< 0.
+ Vt m chu tác dng ca 2 lc : trng lc m g

, phn lc
N

a nêm vuông góc vi AB ( nh hình v bên )
+ Gia tc ca vt i vi sàn :
1
a

=
a


+
0
a


+ Phng trình chuyn ng ca vt :
Theo phng AB : mgsin

= m(a + a
0
.cos

) (1)
Theo phng vông góc vi AB : N - mgcos

= m a
0
sin

(2)
+ Phng trình chuyn ng ca nêm chu thành phn nm ngang
a -
N

:
Chn trc Ox trùng vi hng chuyn ng ca nêm
- N sin

= M a
0

(3)
 (2) và (3) ta có :



sin)
sin
.(cos
M
N
mmgN 

N + m.sin

M
N

sin
= mgcos



N(M + m.sin
2

) = M mgcos



N =



2
sin
.
cos
m
M
mgM


Th vào phng trình (3) ta c :
 Nguyn Anh Vn. - 11 -
a
0
= -
M
mM
mgM










2

sin.
cos
.sin
= -
)sin(2
2sin.
2


mM
mg


Th vào phng trình (1) ta c :
mgsin

= m(a + (-
)sin(2
2sin.
2


mM
mg

).cos

)

mgsin


= m.a -
)sin(2
.2sin.
2
2


mM
socgm



a = gsin

+
)sin(2
cos.2sin
2



mM
mg


=
)sin(2
cos.2sinsin2sin2
2

3


mM
mgmgMg




a =
)sin(2
cos.sin2)cos1(sin2sin2
2
22


mM
mgmgMg




a =


2
sin
sin.)(
m
M

gmM




b. Ly h ta  xOy gn vi sàn, O trùng vi nh C. Tính hoành  ca vt m
và ca nh C khi vt trt ti nh B. Quo ca vt là ng gì ?
Cho m = 0,1 kg, M = 2m,

= 30
0
,

= 1 m, g = 10 m/s
2
.
Thay s ta tính c :
a
0
= -
)sin(2
2sin.
2


mM
mg


= -

)30sin.1,02,0(2
60sin.10.1,0
02
0


= - 1,92 m/s
2
.
a =


2
sin
sin.)(
m
M
gmM


=
02
0
30sin.1,02,0
30sin.10).1,02,0(



a =
3

20
m/s
2
.
Ta nhn thy rng :
0
a

có hng cnh ,
a

có hng cnh song song vi
AB nên :

1
a

=
a

+
0
a

cng có hng cnh hp vi phng ngang mt góc


( nh hình v )
Ta có : a
2

1
= a
2
+ a
2
0
- 2.a.a
0
.cos


=
02
2
30cos).92,1.(
3
20
.2)92,1(
3
20















a
1
= 5,1 m/s
2
.
t khác :
1
sinsin
aa




sin

=
1
sin
a
a

=
1,5
30sin.
3
20

0
= 0,6536



= 40,8
0
Quo vt m là ng thng AD nghiêng góc 40,8
0
so vi
phng ngang.
 Nguyn Anh Vn. - 12 -
Xét tam giác ACD vi AC = 0,5 m ta có : tan

=
OD
AC


x
1
= OD =

tan
AC
=
0
8,40tan
5,0
= 0,58 (m)

y hoành  ca vt m là 0,58 (m)
Trong thi gian vt i xung thì nêm trt sang trái và khi B trùng vi D thì C
 v trí C
/
vi hoành  : x
2
= - ( CB - OD ) = - ( AB.cos

- OD)
= - ( 1.cos30
0
- 0,58) = - 0,29 (m)
Câu 16: Mt qu bóng bowling hình cu, ng cht có bán
kính R, khi lng m, c ném theo phng ngang dc
theo rãnh chy nm ngang  trng thái ban u không quay.
a. Tính n ng bóng chuyn ng dc theo rãnh
trc khi nó bt u ln không trt. Gi s bóng không b
y lên.
Cho bit :
n tc ném là
0
v

có phng ngang.
 s ma sát gia bóng và rãnh là k.
Gia tc trng trng là g.
b. Áp dng bng s : v
0
= 4 (m/s) ; k = 0,2 ; g = 10 (m/s
2

)
Gii:
a. Tính n ng bóng chuyn ng dc theo rãnh trc khi nó bt u ln
không trt. Gi s bóng không b ny lên.

i : + A là v trí ném
+ B là v trí chm ng rãnh chy
+ C là v trí bóng ln không trt
Chn v trí B làm gc, chiu dng trùng vi Ox
c thi gian lúc bóng chm rãnh (t
0
= 0 )
Ta có :
- Phng trình ng lc hc cho gia tc thng a :

amfNP





(1)
Chiu phng trình (1) lên 0x :
- f = ma

a = -
m
f
(2)
Chiu phng tình (1) lên 0y :

N = mg (3)
i : f là lc ma sát trt : f = k.N
- Phng trình ng lc hc cho gia tc gc

:
M = I.

(4)
M là mômen ca f i vi trc quay 0 :
M = f.R (5)
I là mômen quán tính ca bóng :
I =
2
5
2
mR (6)
Thay (5) vào (4) ta c :
f.R = I.





=
I
fR
(7)
Nguyn Anh Vn. - 13 -

Cõu 17: Cho cơ hệ nh- hình vẽ. Hệ số ma sát giữa M và m là

1

,
giữa M và sàn là
2

. Tìm độ lớn của lực
F

nằm ngang:
a. Đặt lên m để m tr-ợt trên M.
b. Đặt lên M để M tr- ợt khỏi m.
Giải:
a. Khi tác dụng lực
F

lên m.
Ph- ơng trình chuyển động của m tr- ợt trên M:
- Cỏc phng trỡnh ng hc :
Chuyn ng thng :
v = v
0
+ at = v
0
-
m
f
.t (8)
x = x
0

+ v
0
t +
2
1
a.t
2
= = x
0
+ v
0
t -
2
2
t
m
f
(9)
- Chuyn ng quay ( phng trỡnh vn tc gúc

)
t.
0

=
0

+
I
fR

.t (10)
* Trong giai n búng chuyn ng va ln va trt, cỏc phng trỡnh (8) v
(10) hon ton c lp vi nhau. Khi búng bt u ln khụng trt thỡ cỏc i lng v
v

liờn h vi nhau bng cụng thc :
v =

.R (11)
* Thay (8) v (10) vo phng trỡnh (11) ta c :
v
0
-
m
f
.t
/
=
0

.R +
I
fR
2
.t
/

* Ti thi m t = 0 thỡ
0

= 0, gii phng trỡnh trờn ta c :
t
/
=
I
fR
m
f
v
2
0

(12)
* Ti thi m t = t
/
búng chuyn ng ln khụng trt, thay (12)
vo (9) vi x
0
= 0 ta c :
x =









I

R
m
f
v
2
2
0
1
-
2
2
0
2

I
fR
m
f
v
m
f
(13)
Thay f = kmg ; I =
2
5
2
mR vo (13) ta c : x =
gk
v
49
12
2
0

n ng búng chuyn ng dc theo rónh trc khi nú bt u ln khụng
trt : x =
gk
v

49
12
2
0

b. p dng bng s : v
0
= 4 (m/s) ; k = 0,2 ; g = 10 (m/s
2
)
x =
gk
v
49
12
2
0
=
96,1
10.2,0.49
4.12
2

(m)
Nguyn Anh Vn. - 14 -

m
FF
a
PN

maFF
ms
ms
1
1
11
11








Ph- ơng trình chuyển động của M:





M
FF
a
gMmPPN
MaFF
msms
msms
21
2

21
221
'
)(
'








Để m tr- ợt trên M thì:

21
aa ; F
1
'
ms
= F
ms1
= mg
1

; F
2ms
=
2

(m+M)g.
hay:

M
gMmmg
m
mgF )(
211





g
M
m
MmF ))((
21



Với điều kiện: .0
11
mgFa


Vậy đáp số của bài toán này:

mgF
g
M
m
MmF
1
21



b. Khi tác dụng lực
F

lên M :
Ph- ơng trình chuyển động của m:






mgPN
maF
ms

11
11

g
m
N
m
F
a
ms
1
111
1



Ph-ơng trình chuyển động của vật M:






gMmPPNNN
MaFFF
msms
)(
2121
221

M
FFF
a
msms 21
2



Để M tr- ợt khỏi m thì:
12
aa (chú ý:






gmMF
mgFF
ms
msms
22
1'11


)
hay
g
M

FFF
msms
1
21
'




g
M
gMmmgF
1
21
)(





Cuối cùng: )1())((
21
gMmF


Điều kiện 0
2
a
hay )2()(
21

gMmmgF


Điều kiện (2) bao hàm trong điều kiện (1).
Nguyn Anh Vn. - 15 -
Do vậy kết quả bài toán :

gMmF ))((
21


.
Cõu 18: Một vật nhỏ đang nằm yên trên mặt phẳng nằm ngang nhẳn, lúc
0

t
vật đó
chịu tá dụng của một lực phụ thuộc thời gian tF


(

là hằng số). Lực hợp với mặt
nghang góc không đổi

.
a. Tính vận tốc của vật lúc rời mặt phẳng ngang.
b. Quảng đ- ờng vật đi đ- ợc trong khoảng thời gian đó.
Giải:
a. Xét các lực tác dụng vào vật:

amNpF





Chiếu lên 0x:

maF


cos
(1)
Chiếu lên 0y:
0sin



pFN

(2)




sin.sin tmgFpN

Vật rời khỏi mặt ngang khi :
0

N

Hay
0sin.




tmg
Thời gian để nó rời khỏi mặt phẳng ngang:

sin
0
mg
t

Từ (1):
maF


cos

Hay:
dt
dv

mt

cos.

m
t
vdtt
m
dv
dtt
m
dv
t
v




cos
.
2
1
.
cos

cos.
2
0
00
0

v


2
2
sin.
cos.
.
2
1 mg

a. Ph- ơng trình vận tốc :

2
.
cos
.
2
1
t
m
v

Quảng đ- ờng vật đi đ- ợc từ
0
0 t :






cos
sin
6
1
cos.
6
1cos
.
2
1
3
0
2
0
0

m
mA
S
m
t
dtt
m
dsS
t



S


cos
sin.
6
1
32
32

gm

.
Cõu 19: Cho cơ hệ nh- hình vẽ. Nêm có khối l- ợng M, góc giữa mặt nêm và ph- ơng
ngang là

. Cần phải kéo dây theo ph- ơng ngang một lực
F

là bao nhiêu để vật có
khối l- ợng m chuyển động lên trên theo
mặt nêm ? Tìm gia tốc của m và M đối với
mặt đất?
Nguyn Anh Vn. - 16 -
Bỏ qua mọi ma sát, khối l- ợng dây nối
và ròng rọc.
Giải:
Gọi gia tốc của nêm và vật đối với mặt đất lần
l- ợt là là
1
a

và
2
a

.
Ph- ơng trình động lực học cho m:

22
amNPF

chiếu lên ox:
)1(sincos
2x
maNF


chiếu lên oy:
)2(sinsin
2 y
mamgNF


Nêm chịu tác dụng của ,,
11
NP


hai lực
F

và
'
F

đè lên ròng rọc và lực nén
'N

có độ lớn
bằng N.
Ph- ơng trình chuyển động của M:

111
'' aMFFNNP







Chiếu lên ox:
)3(cossin
1
MaFFN


Gọi
21
a

là gia tốc của m đối với nêm M.
Theo công thức cộng gia tốc:

1212
aaa

(4)
Chiếu (4) lên 0x:

cos
2112
aaa
x

0y:

sin
212
aa
y

Từ đó suy ra:
)5(tan)(
122

aaa
xy

Từ (1), (2), (3) và(5) suy ra:

1
a

2
sin
cossin)cos1(
m
M
mgF



(6)

)sin(
cossin)cossin(
2
2
2


mMm
MmgMmF
a
x

)sin(
tancossin)()cos1(cos
2
2






mMm
mMmgmMF
a
y






Để m dịch chuyển lên trên nêm thì:

)(0
)(0
2
IIN
Ia
y

Giải (I):
0
2y
a


0cossin)()cos1(cos

mMmgmMF

)7(
)cos1(
sin)(





mM
mMmg
F
Giải (II):
Thay (6) vào (3) rút ra N và từ điều kiện N > 0 ta suy ra:

)8(
sin)cos1(
cos




Mg
F

Nguyn Anh Vn. - 17 -
Từ (7) và (8) ta suy ra để m leo lên đ- ợc mặt nêm M thì lực F phải thoả mãn điều
kiện





sin)cos1(
cos
)cos1(
sin)(




Mg
F
mM

mMmg

Lúc đó gia tốc của nêm đối với mặt đất là a
1
ở (6). Gia tốc của vật đối với mặt
đất sẽ là :

yx
aaa
2
2
2
2
2

.
Cõu 20: Khối lăng trụ tam giác có khối l- ợng m
1
, với góc

nh- hình vẽ có thể
tr- ợt theo đ- ờng thẳng đứng và tựa lên khối lập ph- ơng khối l- ợng m
2
còn khối lập
ph- ơng có thể tr- ợt trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua mọi ma sát.
a. Tính gia tốc giữa mỗi khối và áp lực giữa hai khối ?
b. Xác định

sao cho gia c vt 2 là lớn nhất. Tính giá trị gia tốc của mỗi khối
trong tr- ờng hợp đó ?

Giải:
a. Vật 1:
Các lực tác dụng vào m
1
: ,
1
P

phản lực
1
N

do bờ t- ờng tác dụng lên m
1
, phản lực
do m
2
tác dụng
N

.
Theo định luật II Newton:

1111
amNNP

Chiếu lên ox:
0cos
1
NN


Chiếu lên oy:

111
sin amNP

(1)
Vật 2: Có 3 lực tác dụng lên m
2
: ,
2
P

phản lực
2
N

do sàn tác dụng lên khối lập
ph- ơng, phản lực
'N

do m
1
tác dụng lên khối lập ph- ơng.
Theo định luật II Newton:

2221
' amNNP





chiếu lên ox:

22
cos amN

(do
NN

'
) (2)
Mặt khác khi m
2
dời đ- ợc một đoạn x thì m
1
dời đ- ợc một đoạn y và ta luôn
có:

tan
y
x

Hay:

tan
12
aa
Từ (1) và (2) suy ra:



22
11
22
111
tan
cos
sin
am
agm
amN
amgmN

(3)
Thay



tan
12
aa vào (3) ta suy ra:












g
mm
m
a
g
mm
m
a

2
21
1
2
2
21
1
1
tan
tan
tan

áp lực giữa m
1
và m
2
:



cos
22
am
N



costan
tan

2
21
21
mm
mm


b. Ta có :
Nguyn Anh Vn. - 18 -



v



g
m
m
m
g
mm
m
a




tan
tan

tan
tan
2
1
1
2
21
1
2




Do
212
1
2tan
tan
mmm
m




Dấu bằng xảy ra khi :
2
1
2
2
1

tantan
tan m
m
m
m







2
1
tan
m
m






2
1
arctan
m
m

Lúc đó :

g
m
m
a .
2
1
2
1
min2


2
.
.
11
1
2
1
21
1
1
g
g
mm
m
g
m
m
mm

m
a




Cõu 21: Mt vt cú khi lng m nm trờn mt bn nm ngang, gn vo u mt lũ
xo thng ng cú cng K. Ban u lũ xo khụng bin dng v chiu di l
0
. Bn
chuyn ng u theo phng ngang, lũ xo nghiờng gúc

so vi phng thng ng.
Tỡm h s ma sỏt

gia vt v bn.
p dng: K = 10 N/m, l
0
= 0,1 m,
0
60

, m = 0,5 kg.
ỏp s:
)cos1(
tancos).1(
0
0

KlP
Kl
,
0,2


.

Cõu 22: Hai vt cú khi lng ln lt l m = 16kg, M = 88kg, khụng gn vi nhau,
s ma sỏt tnh gia chỳng l 38,0


, cũn mt di M khụng cú ma sỏt. Hi
n ti thiu ca lc nm ngang
F

phi bng bao nhiờu gi m ng yờn i vi M.
ỏp s:


M
mMmg
F

min
.




Cõu 23: Trên một mặt nón tròn xoay với góc nghiêng

có thể quay quanh trục thẳng
đứng. Một vật có khối l- ợng m đặt trên mặt nón cách trục quay một khoảng R. Mặt
nón quay đều với vận tốc góc

. Tính giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát tr- ợt (

) giữa
vật và mặt nón để vật vẫn đứng yên trên mặt nón.
ỏp s:



sincos
cossin
2
2
min
Rg
Rg

với điều kiện

cot
R
g
.

ng dn:
Điều kiện để m đứng yên trên mặt nón:






NF
N
ms

0

Cõu 24: Hai vt A, B cú trng lng tng ng bng P
1
, P
2
c ni vi nhau bng lũ
xo thng ng v t trờn mt phng ngang cnh. Vt A dao ng theo phng
m
M

F
 Nguyn Anh Vn. - 19 -
thng ng quanh tâm O theo quy lut ktaz
A
sin , vi a, k = const > 0. B qua trng
ng ca lò xo, tìm áp lc ca vt B lên mt ngang. Tn s k phi tha mãn u kin
gì  vt B không b ny lên khi mt phng ngang.
Gii:
Áp dng nh lut II Newton ta có:
NPPMa
zc

21
(1)
trong ó z
c
là ta  khi tâm ca h, c xác nh theo công thc:
BAc
z
g
P
z
g
P
Mz
21
 vi z
B
= const.
o hàm hai ln biu thc này ta tìm c gia tc khi tâm:

kt
g
akP
Ma
zc
sin
2
1
 .
Thay biu thc này vào (1) ta c:
kt
g
akP
PPN sin
2
1
21

g
akP
PPN
2
1
21min

 vt B không b ny lên khi mt phng ngang, tn s k phi tha mãn u kin:
0
2
1
21min


g
akP
PPN hay


1
21
aP
PPg
k



Câu 25 :t vt A trng lng P c buc vào u mt si dây không giãn, không
trng lng, dây vt qua ròng rc cnh O ; u kia ca dây cun vào khi tr có
trng lng Q, bán kính R. Vt A có th trt trên mt phng ngang, h s ma sát gia
t A và mt phng ngang là f. Tìm gia tc vt A và gia tc tâm C ca khi tr khi h
chuyn ng, b qua khi lng ròng rc.
áp s :




.
3
2
;
3
3

g
PQ
PfQ
ag
PQ
fPQ
a
CA








u
P
Q
f
3
 thì vt s chuyn ng vi gia tc a
A.

u
P
Q
f
3
 thì vt A sng yên, khi tr chuyn ng vi gia tc a

C
= (2/3)g
.









Câu 26 : qun hai si dây mm không dãn vào vt khi tr tròn xoay ng cht mt
cách i xng qua mt phng trung bình song song vi hai áy. Khi tr khi lng m
t trên mt phng nghiêng góc

i vi mt phng nm ngang sao cho ng sinh
a nó vuông góc vi ng dc chính, ri buc hai u dây t do vào hai m c
nh. Hai si dây song song vi ng dc chính AB, h s ma sát trt gia mt tr
A
C
O
A
B
 Nguyn Anh Vn. - 20 -
và mt nghiêng là

. Khi tr trt xung không vn tc u. tìm quy lut chuyn
ng ca trc khi tr khi dây qun m ra cha ht và lc cng mi dây.
áp s :

 
 


cossin
6
1
cos2sin
3
2


mgT
ga





Câu 27 : Hai tr tròn xoay ng cht A và B có trng lng ln lt là P
1
và P
2
và bán
kính ln lt là R
1
và R
2
. Qun hai si dây mm vào hai u ca hai khi tr mt cách
i xng i vi mt phng trung bình song song vi áy ca hai khi tr. Khi tr A

quay quanh mt trc cnh trùng vi ng trc tâm ca các khi tr. Khi tr B ri
 do không vn tc u, làm dây qun nh ra và quay khi tr A. B qua ma sát và
các lc cn. Xác nh sc cng ca mi dây qun, vn tc góc ca hai khi tr,
phng trình chuyn ng ca khi tr B.
áp s :
 
21
21
232 PP
PP
T

 ;
 
t
PPR
gP
211
2
1
23
2



;
 
t
PPR
gP

212
1
2
23
2



;


2
21
21
23
t
PP
PPg
s







Câu 28 : Cho c h nh hình v, qu nng A có khi lng m, ròng rc B có khi
ng M có mo men quán tính là I i vi trc quay và các bán kính là R và 2R. khi
ng không áng k. Tìm gia tc ca qu nng sau khi c buông ri.
Gii :

Khi qu nng A i xung, ròng rc B quay làm dây trên qun vào ròng rc, B i lên.
Vì không có s trt nên :
23231213231213
2312
;2
aRaaaaaa
RaRa






Các phng trình chuyn ng :








RTRTI
MgTTMa
Tmgma
21
1223
113
2


Gii các phng trình trên ta c :


2
13
R
I
Mm
gMm
a



u M = m thì không có chuyn ng khi buông A ra.
Câu 29 : Trong hình v bên , thanh mãnh ng cht AB chiu dài d, khi lng M
m trên a ED quay quanh trc thng ng vi tc  góc không i. Trc ca Ab
trùng vi phng ca bán kính a, trng vt P có khi lng m c treo bng mt
n ch vt qua ròng rc ri buc vào u A ca thanh, phng thng ng ca si

B
A
mg
A

T
2
T
1
B

Mg
 Nguyn Anh Vn. - 21 -
ch trùng vi trc quay ca a, h s ma sát gia thanh và a bng

. Hãy xác nh
khong cách gn nht và xa nht ca thanh n trc quay.
Gii :
*Trng hp 1 : Thanh  trng thái cân bng và có xu hng trt ra phía ngoài :
ltms
FFP



 vi P = T.







2
2
d
rMMgmg

vi r = OA.
2
22
max

dg
M
mg
r 




* Trng hp 2: Thanh trt vào và n v trí cân bng:
Mg
d
rMmg









2
2

2
22
min
dg
M
mg

r 




* u kin  hin tng xy ra là;


Md
Mgmg
hayr




2
0
max1max

Giá tr

u A sát trc là:


 
Mm
Md
Mgmg
hayr







2
0
2min

Câu 30: kéo con ln A khi lng M, bán kính R ngi ta dùng vt nng B có khi
ng m và b trí c h nh hình v, b qua khi lng ca ròng rc và si dây, h s
ma sát trt gia con ln và mt phng ngang là 25,0


. Hi con ln có th ln
không trt vi gia tc tnh tin ln nht là bao nhiêu.
Gii:
Ta có các phng trình chuyn ng:








RFI
FTMa
Tmgma
ms

ms


Khi vt ln không trt: Ra



Gii các phng trình trên ta c:
mM
Mmg
F
mM
mg
a
ms
23
2
23
2





u kin ln không trt:
 






12
3 M
mMgF
ms

Khi lng m ln nht  có s ln không trt vi gia tc ln nht:
 
2
maxmax
/5,2
12
3
smga
M
m 






Câu 31: Cho c h nh hình v bên, hình trc ng cht khi lng M, bán kính R,
t nng khi lng m. B qua khi lng ròng rc và si dây. Tìm gia tc ca khi
tâm hình tr và gia tc vt nng trong hai trng hp:
a. Hình tr ln không trt.
O
A B
F
ms

T

 Nguyn Anh Vn. - 22 -
F
ms
T

b. Hình tr ln có trt vi h s ma sát trt

.
Gii:
a. Hình tr ln không trt:
Trng vt m chuyn ng xung di làm cho lc cng T to ra momen làm quay hình
tr. Lc ma sát to ra momen cn s quay do lc T gây ra. Gi gia tc ca vt nng là
a
1
, gia tc ca trc hình tr là a. Ta có hình tr ln không trt nên gia tc tng i
a mi m trên vành trc là:
aaaRa
M
2
1



Ta có các phng trình chuyn ng:











RFTR
R
a
MR
FTMa
Tmgam
ms
ms
2
2
1
2

gii ra ta tìm c:
mM
Mmg
T
mM
Mmg
F
mM
mg
a
mM

mg
a
ms
83
3
;
83
;
83
8
;
83
4
1









u kin :
m
M
m
NF
ms
8

3




b. Hình tr ln có trt:
 trt xy ra khi lc ma sát gim làm cho chuyn ng quay quanh C nhanh
n chuyn ng tnh tin :
Khi ó :
MM
aaaaRa 
1


 










MgRTR
R
a
MR
MgTMa

Tmgaam
M
M


2
2
1

gii ra ta c :













mM
Mgmgmg
a
mM
Mgmgmg
a
M

3
242
3
4



gia tc ca vt nng m :
m
M
Mgmg
aaa
M
3
3
1





u kin :
m
M
m
aa
M
8
3





Câu 32 : Mt khi trng cht khi lng m, bán kính R nm yên trên mt phng
ngang, h s ma sát trt và h s ma sát ln gia khi tr và mt phng ln lt là


và k. Kéo trng tâm ca trc khi tr mt lc
F

hp vi phng ngang mt góc

.
a. Xác nh F  khi tr ln không trt.
 Nguyn Anh Vn. - 23 -
b. Xác nh góc

 khi tr ln u, ln không trt  trng thái gii hn vi
c F nh nht, lc ó bng bao nhiêu.
Gii :
Ta có các phng trình chuyn ng :













sin
2
1
cos
2
FmgN
kNRF
R
a
mR
FFma
ms
ms

gii h này ta c :



























mg
R
k
F
R
k
F
m
mg
R
k
R
k
F
a
ms

3
2
sin
2
cos
3
1
sincos
3
2



a. u kin ln không trt :
NFa
ms

 ;0
y u kin  khi tr ln không trt :



sin
2
3cos
2
3
sincos




















R
k
mg
R
k
F
kR
kmg








R
k
3
2


b. Trng hp khi tr ln u :a = 0.

sin
cos
k
R
kmg
F


 F cc tiu thì mu phi cc i, mu cc i khi góc

tha :
 
2
1
22
min
;
kR
kmg
F

R
k
tg




* Trng hp tr ln không trt  trng thái gii hn :



sin
2
3cos
2
3

















R
k
mg
R
k
F
NF
ms

 F cc tiu thì mu phi cc i, mu cc i khi góc

tha :
2
min
2
31
2
3
;
2
3

















R
k
mg
R
k
F
R
k
tg




Câu 33 : Mt qu cu c ng cht khi lng m, bán kính R ang nm yên trên mt
phng nm ngang thì c truyn cho vn tc tnh tin ban u là v
0
, song song vi
F
ms
F


 Nguyn Anh Vn. - 24 -
t phng nm ngang. Xác nh vn tc tâm qu cu khi nó bt u ln không trt và
công ca lc ma sát.
Gii :
Ta có các phng trình chuyn ng :
dt
d
I
dt
dv
mR
RF
dt
d
I
F
dt
dv
m
ms
ms














Tích phân hai v vi u kin u : .0;0
00


vvt Ta c :

ImRvmRv 
0

Khi qu cu bt u ln không trt :

Rv

.
y :
0
0
7
5
v
R
I
mR
mRv
v 



Công ca lc ma sát trt :
 
72
1
2
1
2
1
2
0
222
00
mv
ImvmvWWWA
qc










Câu 34 : t qu cu rng ng cht khi lng m, bán kính R c ném ra vi vn
c u bng v
0

, sao cho nó va ln va trt trên mt phng nm ngang. H s ma sát
trt là

. Hãy xác nh :
a. Xác nh momen quán tính ca qu cu.
b. Thi gian trong ó chuyn ng ca qu cu xy ra có trt và quãng ng
qu cu i c trong thi gian ó.
c. Công ca lc ma sát tác dng lên qu cu.
áp s :
.
5
;
25
8
;
5
2
;
3
2
2
0
2
00
2
mv
A
g
v
S

g
v
tmRI
c



Câu 35 : Mt qu cu c ng cht khi lng m, bán kính R ang quay quanh trc
i qua tâm ca nó vi vn tc góc
0

thì c t xung mt phng nm ngang không
n tc tnh tin u. Tính vn tc khi tâm ca qu cu khi nó bt u ln không trt
và công ca lc ma sát.
áp s :
7
;
7
2
2
0
2
0


mR
ARv  .
Câu 36 : Mt hình trng cht khi lng m, bán kính R ang quay quanh trc i
qua tâm ca nó vi vn tc góc
0


thì c t xung mt phng nm ngang không
n tc tnh tin u. H s ma sát gia hình tr và mt phng ngang là

.
a. Thi gian trong ó chuyn ng ca hình tr xy ra có trt và quãng ng i
c trong thi gian ó.
b. Công ca lc ma sát tác dng lên khi tr.
áp s :
.
6
;
18
;
3
2
0
22
0
2
0





mR
A
g
R

S
g
R
t
c
 .
Câu 37 : Mt hình trc bán kính R ang quay vi tc  góc
0

thì c t không
n tc tnh tin ban u lên mt phng nghiêng góc

so vi mt phng ngang và bt
u ln lên.
a. Tìm thi gian hình tr ln n m cao nht.
 Nguyn Anh Vn. - 25 -
b. Bit m cao nht nói trên có  cao là h. Hãy xác nh h s ma sát trt gia
tr và mt phng nghiêng.
c. Tính thi gian  tr tr li v trí ban u và vn tc tnh tin ca tr ti v trí
ó.
Gii :
a. * Giai n 1 : Tri lên, lc ma sát trt làm chm s quay, mt khác to ra s
chuyn ng tnh tin, có hng lên trên.
Ta có các phng trình chuyn ng :




sin
sin

mg
dt
d
R
I
dt
dv
mR
RF
dt
d
I
mgF
dt
dv
m
ms
ms











Tích phân hai v vi u kin u : .;00

00

 vt Ta c :
 
tgRv ).sin(
2
1
0


Sau thi gian t
1
qu cu bt u ln không trt, khi ó :
11

Rv  .
Ta có :



sin2
3
).sin(
2
1
2
1
10
1
1101

g
vR
t
tgvRv




* Giai n 2 : Tr tip tc i lên, ln không trt cho n lúc dng li, lc ma sát là
c ma sát ngh hng lên.
 



Ra
RFI
mgFma
ms
ms






2
2
sin



sin
3
2
2
ga 
Thi gian tip tc cho n m cao nht :

sin2
3
1
2
1
2
g
v
a
v
t 
Thi gian khi tri len n m cao nht là :
.
sin2
0
21


g
R
ttt 
b. Tính h s ma sát trt:
10

1
1
1
1
3
sin2
vR
gv
t
v
a







g
vRv
h
a
vh
S
4
3
2sin
101
1
1

2
11
1





ng t:
g
v
h
4
3
2
1
2

i
0
121
4

R
gh
vhhh 
Th vào biu thc ca a
1
:
ghR

hg
a
12
sin8
2
0
2
2
1





t khác ta có phng trình ca ng ca tr trong giai n 1: