Đề cương ôn thi cao học môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðẠI HỌC HUẾ


ðỀ CƯƠNG THI TUYỂN CAO HỌC
Môn: ðẠI SỐ
Chuyên ngành: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

I. Yêu cầu: ðảm bảo bao quát toàn bộ ñề cương, gồm kiến thức cơ bản, khả năng
v
ận dụng và tổng hợp. ðề thi ñảm bảo tính khoa học, chính xác, chặt chẽ, phù hợp với
trình ñộ chung của thí sinh và có tính phân loại tốt.
II. N
ội dung
Ph
ần A: ðại số tuyến tính
1. Không gian véc tơ: ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở; không gian con,
không gian th
ương; hạng của một hệ véc tơ; tọa ñộ của véc tơ ñối với cơ sở;
2. Ánh xạ tuyến tính: ảnh và hạt nhân; ñơn cấu, toàn cấu, ñẳng cấu; ñịnh lý về ñồng
c
ấu; hạng của ánh xạ tuyến tính.
3. Ma trận-ðịnh thức: các phép toán trên ma trận, các phép biến ñổi sơ cấp, ma trận
ngh
ịch ñảo; vành các ma trận, nhóm tuyến tính tổng quát; ánh xạ ña tuyến tính thay phiên,
ñịnh thức của ma trận và ánh xạ tuyến tính; hạng của ma trận.
4. Hệ phương trình tuyến tính: hệ phương trình Cramer, công thức Cramer; hệ thuần
nh
ất, hệ tổng quát, phương pháp khử Gauss; ñịnh lý Kronecker-Capelli.

Phần B: ðại số tuyến tính (tiếp theo)
1. Véc t
ơ riêng, giá trị riêng; ma trận chéo hóa ñược.
2. Dạng toàn phương và song tuyến tính: phân loại dạng toàn phương thực; ñịnh lý
v
ề chỉ số quán tính.
3. Không gian véc tơ Euclid: cơ sở trực chuẩn; biến ñổi trực giao, nhóm các ma trận
trực giao; chéo hóa các phép biến ñổi ñối xứng.
Ph
ần C: Nhóm
1. Nhóm: nhóm con, nhóm con sinh b
ởi 1 tập; nhóm xyclic.
2. Nhóm con chu
ẩn tắc, nhóm thương.
3. ðồng cấu nhóm: ảnh và hạt nhân; ñịnh lý phân tích ñồng cấu.
4. Nhóm h
ữu hạn: ñịnh lý Lagrange và các hệ quả.
5. Nhóm ñối xứng và nhóm thay phiên.
Ph
ần D: Vành, vành ña thức và trường
1. Vành, vành con, i
ñêan: vành con và iñêan sinh bởi 1 tập; ñặc số của vành; iñêan
nguyên tố và cực ñại; vành thương.
2.
ðồng cấu vành: ảnh và hạt nhân; ñịnh lí phân tích ñồng cấu.
3. Miền nguyên Gauss, miền nguyên chính, miền nguyên Euclid: ước chung lớn
nhất; phần tử bất khả quy và nhân tử hóa.
4. Tr
ường và trường các thương của miền nguyên.
5. Vành ña thức 1 biến: cấu trúc của vành ña thức; nhúng vành vào vành ña thức

m
ột biến siêu việt; phép chia Euclid trong vành ña thức; nghiệm của ña thức; vành ña
thức trên một trường.
6.
ða thức bất khả quy: nhân tử hóa trong vành ña thức 1 ẩn; các tiểu chuẩn bất khả
quy và nhân tử hóa trong các vành ña thức trên vành các số nguyên, trên trường số hữu tỉ,
th
ực và phức.


III. Bài tập: Ứng với các nội dung nêu trên.
IV. Tài li
ệu tham khảo chính
1. Tr
ần Văn Hạo, Hoàng Kỳ (1980), Bài tập ñại số, Nxb KH&KT, Hà Nội.
2. Hoàng
ðức Nguyên, Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh, Lê ðình ðịnh (1998), ðại
số tuyến tính, Phần bài tập, Nxb KH&KT, Hà Nội.
3. Ngô Thúc Lanh (1985),
ðại số, tập 1, 2 & 3, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Hoàng Xuân Sính (1970), ðại số ñại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
5. Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), ðại số tuyến tính, Nxb ðHQG Hà Nội.
6. Nguy
ễn Hữu Việt Hưng (1998), ðại số ñại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
7. Lê Thanh Hà (2000), ða thức và nhân tử hóa, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
8. Lê Tu
ấn Hoa, ðại số tuyến tính qua bài tập và ví dụ.
V. Ghi chú: ðề thi ứng với ñề cương này gồm:
Câu 1: thu
ộc kiến thức Phần A: 2,5 ñiểm

Câu 2: thuộc kiến thức Phần B: 2,5 ñiểm
Câu 3: thuộc kiến thức Phần C: 2,5 ñiểm
Câu 4: thu
ộc kiến thức Phần D: 2,5 ñiểm.



Huế, ngày 13 tháng 2 năm 2007
Trưởng Tiểu ban chỉnh sửa ðC

Hiệu trưởng




PGS. TS Lê Văn Hạp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðẠI HỌC HUẾ


ðỀ CƯƠNG THI TUYỂN CAO HỌC
Môn: GIẢI TÍCH
Chuyên ngành: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

I. Yêu cầu: ðảm bảo bao quát toàn bộ ñề cương, gồm kiến thức cơ bản, khả năng
v
ận dụng và tổng hợp. ðề thi ñảm bảo tính khoa học, chính xác, chặt chẽ, phù hợp với
trình ñộ chung của thí sinh và có tính phân loại tốt.
II. N

ội dung
Phần A: Phép tính vi phân và tích phân của hàm số
1. Tính liên t
ục và liên tục ñều của hàm nhiều biến số.
2. Tính khả vi và ñạo hàm riêng các cấp của hàm nhiều biến. Bổ ñề Schwarz. ðịnh
lý hàm ẩn. Cực trị.
3. Tích phân b
ội, tích phân ñường, tích phân mặt.
4. Tích phân Lebesgue. Các ñịnh lý chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân.
5. Chu
ỗi số.
6. Dãy hàm và chuỗi hàm: sự hội tụ, miền hội tụ. Chuỗi lũy thừa và các tính chất cơ
b
ản của nó.
Ph
ần B: Không gian metric
1. Khái ni
ệm và sự hội tụ.
2. Tôpô trong không gian metric: lân c
ận, tập mở, tập ñóng, ñiểm trong, ñiểm dính,
ñiểm tụ, ñiểm biên.
3. Không gian metric
ñầy ñủ. Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu ñóng thắt dần.
ðịnh lý Bair về phạm trù. Nguyên lý ánh xạ co và ứng dụng.
4. T
ập compact và không gian compact. Mối liên hệ giữa tính compact và tính hoàn
toàn bị chặn. ðịnh lý Heine - Borel.
5. Ánh xạ liên tục. Các tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact.
Ph
ần C: Không gian ñịnh chuẩn

1. Không gian
ñịnh chuẩn: ñịnh nghĩa và các tính chất cơ bản. Khảo sát một số
không gian c
ụ thể chẳng hạn C
[a,b]
, l
p
, 1 ≤ p ≤ ∞.
2. Toán tử tuyến tính liên tục. Không gian các toán tử tuyến tính liên tục. Không
gian liên hi
ệp. Toán tử liên hiệp.
3. Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm.
Ph
ần D: Không gian Hilbert
1. Không gian Hilbert:
ñịnh nghĩa và các tính chất cơ bản.
2. Hệ trực giao và hệ trực chuẩn.
3. Phép chi
ếu trực giao. ðịnh lý Riesz về biểu diễn phiếm hàm tuyến tính.
4. Hội tụ yếu.
5. Toán t
ử liên hiệp và toán tử tự liên hiệp.
III. Bài tập: Ứng với các nội dung nêu trên.
IV. Tài li
ệu tham khảo chính
1. Phan
ðức Chính (1978), Giải tích hàm, tập 1, Nxb ðH & THCN, Hà Nội.
2. Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
3. Nguy
ễn Xuân Liêm (2000), Bài tập Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

4. Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích, tập 1 & 2, Nxb ðHQG Hà nội.
5. Liasko và nhiều tác giả (1979), Giải tích toán học - Các ví dụ và bài toán, tập1 &
2, Nxb ðH & THCN, Hà Nội.
6. Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, Nxb ðHQG Hà Nội.
V. Ghi chú:
ðề thi ứng với ñề cương này gồm:
Câu 1: thuộc kiến thức Phần A: 4 ñiểm
Câu 2: thu
ộc kiến thức Phần B: 2 ñiểm
Câu 3: thuộc kiến thức Phần C: 2 ñiểm
Câu 4: thuộc kiến thức Phần D: 2 ñiểm.




Huế, ngày 13 tháng 02 năm 2007
Trưởng Tiểu ban chỉnh sửa ðC



Hiệu trưởng




PGS. TS Lê Văn Hạp