Đề thi cao học môn Đại số

ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2
Môn: ðại số
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (3,0 ñiểm)
Cho V là một không gian vecto n – chiều trên trường K và
f : V V→
là một tự
ñồng cấu có tính chất
2
f f.=
Chứng minh rằng:
1)
2
V V
(Id f) (Id f),− = −
trong ñó
V
Id
là tự ñồng cấu ñồng nhất của V.

2)
V Imf Kerf.= ⊕


3) f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược.

Câu II (2,0 ñiểm)
Cho
f :
R

3

→
R
3
là một tự ñồng cấu có ma trận ñối với cơ sở chính tắc là
3 2 0
A 2 3 0 .
0 0 5
−
 
 
= −
 
 
 

1) Hãy xác ñịnh các giá trị riêng, các không gian con riêng của f.

2) Tự ñồng cấu f có phải là tự ñẳng cấu không? Vì sao?

Câu III (3,0 ñiểm)
1) Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G.
Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con
chuẩn tắc của G thì AB là nhóm con chuẩn tắc của G.

2) Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G, G = AB và
{
}
A B e .∩ =

Chứng minh rằng ab = ba với mọi
a A,b B∈ ∈
và mọi phần tử
g G∈
ñều biểu
diễn ñược duy nhất dưới dạng g = ab, với
a A,b B∈ ∈
.

3) Nhóm cộng các số nguyên

có biểu diễn ñược dưới dạng
{
}
A B, A B 0 ,= + ∩ =
với A, B là các nhóm con chuẩn tắc khác
{
}
0
của


không?

Câu IV (2,0 ñiểm)
Cho I là iñêan của vành các số nguyên
{
}
, I 0 ,≠

chứng minh rằng:
1) I là iñêan nguyên tố khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố.

2) Vành thương
I

là một trường khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số
nguyên tố.
Z
Z

Z
Z
Z