ĐỀ THI HSG LOP 9 nam hoc 2011-2012 ( HET TUAN 9 HK I)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011-
2012.
Đơn vị: Trường THCS Đông lĩnh
Đề bài:
Câu 1: ( 3điểm) Cho
x
x
x
x
xx
x
A
−
+
+
+
−
−
−+
=
1
1
4
32
43
10
a)Rút gọn A.
b) Chứng minh : A> -3.
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu 2: ( 3điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng :

acbcab
cba
111111
++≥++
b)Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
Chứng minh rằng :
31+≤+++++ acbcabcba
.
Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. M là một điểm tuỳ ý
trên đường chéo AC. Kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB và BC. Xác định
vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị
đó theo a.
Câu 4: ( 2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
zxyzxy
A
+
+
+
+
+
=
1
1

1
1
1
1
.
Trong đó x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện
3
222
≤++ zyx
.
Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao thuộc cạnh bên
bằng h, góc ở đáy bằng
α
. Chứng minh
αα
cos.sin4
2
h
S
ABC
=
∆
.
Câu 6: (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn các điều kiện sau:

xzyzxyzyx ++=++
222
và
2012201120112011

3=++ zyx
.
b)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình :
12
2
+=
x
y
Câu 7: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC các đường phân giác trong của các góc A,
B, C cắt các cạnh đối diện tại M, N, P . Chứng minh rằng :
SS
ABCMNP ∆∆
≤
4
1
.
Đáp án và hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi năm học 2011-2012
Đơn vị; Trường THCS Đông lĩnh.
Câ
u
Nội dung Điểm
1
a)ĐKXĐ:
1;0
≠≥
xx
.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )

( )( )
4
37
41
371
41
7103
41
4113210
+
−
=
+−
−−
=
+−
−+−
=
+−
++−−−−
=
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxx
A

1,5
b)
4
37
+
−
x
x
> -3
3
4
37
+
+
−
⇔
x
x
>0
4
14
+
⇔
x
>0 với mọi x vì
4
+
x
>0
0,5

c)
A =
4
37
+
−
x
x
=
4
19
3
+
+−
x
.A đạt giá trị lớn nhất khi
4
+
x
đạt giá trị nhỏ
nhất . Mà
0
4
7
04min)4(44
max
=⇔=⇒=⇔=+⇒≥+
xAxxx
1,0
2

a)Vì a,b,c là các số thực dương nên âp dụng BĐT Côsi ta có:
cabcab
cba
cabcab
cba
ac
ac
bc
cb
ab
ba
111111
111
2
111
2
211
;
211
;
211
++≥++⇒









++≥






++⇒≥+≥+≥+
Dấu bằng xảy ra khi a = b= c
1,5
b)Vì ba số dương a, b, c và thoả mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 ta có :
10)()()(
222222
=++≤++⇒≥−+−+− cbacabcabaccbba
(1)
1,5
Ta lại có:
( )
( ) ( )
( )
( )
333
22)()(
222

2222222222
≤++⇒=++=
+++++≤+++++=++
cbacba
cbacbacabcabcbacba

(2)
Cộng hai vế của (1) và (20 ta có:
31+≤+++++ acbcabcba
3
Ta có :
SS
AMEDEM
∆∆
=
(có chung cạnh đáy ME và đường cao tương ứng)
SS
CMFDMF
∆∆
=
(có chung cạnh đáy MF và đường cao tương ứng)
( )
M
a
BFBEBFMaxBEaBFViBEBFMaxBEMax
BFBEa
S
SSSSSS
DEÈ
BEÈAB CEMÈMDMFDMEDEÈ

⇒==⇔⇒=+⇔⇒
−=−=++=
∆
∆∆∆∆∆∆
⇒
2
.,.
.
2
1
2
là
trung điểm của AC và
2
2
2
8
3
42
1
a
a
aMax
S
DEÈ
=









−=
∆

0,25
0,25
0,5
1,0
0,5
4
Nếu a,b,c là ba số dương thì
( )
9)
111
( ≥++++
cba
cba
Áp dụng BĐT trên ta đặt a = 1+ xy; b = 1+ yz ; c = 1 + xz
( )
1
2
3
2
3
33
9
3

9
3
9
9)
1
1
1
1
1
1
)(3(
222
===⇔=⇒=
+
≥
+++
≥
+++
≥⇒
≥
+
+
+
+
+
+++⇒
zyxAMin
zyx
xzyzxy
A

zxyzxy
xzyzxy
0,5
0,5
1,0
5
Kẻ BE vuông góc với AC. Trong
vuôngBEC
∆
ta có:
α
α
sin
sinsin
h
BC
BC
h
BC
BE
C
=⇒===
Kẻ AH vuông góc với BC ta có: HB=HC=
α
sin22
1 h
BC
=
Trong tam giác vuông AHC có
0,5

0,5
1,0
0,5
AH = HC.tanC= HC.
αα
α
α
α
cos2cos
sin
.
sin2
tan
hh
==
Vậy
αααα
cos.sin4cos2
.
sin2
.
2
1
2
hhh
AHBC
S
ABC
===
∆

6
a)
Vì :

33333
0)()()(
2012201120112011
222222
===⇒===⇒
==⇒=−+−+−⇒++=++
zyxzyx
zyxxzzyyxxzyzxyzyx
0,5
0,5
b)Ta có
)1)(1(1212
22
+−=−=⇒+= yyyy
xx
Do x,y là các số tự nhiên nên
)1();1(
+−⇒
yy
là ước của 2
x
nm
yy 21;21 =+=−⇒
; trong đó m,n là các số tự
nhiên và giả sử m < n ta có 2
n

-2
m
= y+1 – y+1 = 2
2)12(2 =−⇒
−mnm
(1)
Nếu n – m > 1 suy ra 2
n-m
- 1 là số lẻ là ước của 2 ( Vô lý) suy ra :
3;3212)12(211
1
==⇒=⇒=⇒=−⇒=−⇒≤− yxnmmnmn
m
0,5
0,5
0,5
0,5
7 Giả sử đặt BC = a ; AB = c ; CA = b và S là ký hiệu diện tích
Kẻ BH vuông góc với AC ; PK vuông góc AC. Suy ra : PK song song với BH
.
ACAB
ANAP
ACBH
ANPK
AB
AP
BH
PK
S
S

ABC
APN
.
.
.
.
)1( ==⇒=⇒
Vì BN là tia phân giác góc B
ca
cb
AN
ca
c
b
AN
BCAB
AB
NCA N
AN
BC
AB
NC
AN
+
=⇒
+
=⇒
+
=
+

⇒=⇒
.
Chứng minh tưng tự :
cb
cb
AP
+
=
.
Do đó
( ) ( ) ( )
))((

)(

.
.
.
.
cacb
cb
cacb
cb
bca
cb
ccb
cb
ACAB
ANAP
S

S
S
S
ABC
APN
ABC
APN
++
=⇒
++
=
++
==⇒
Chứng minh tương tự ;
1,0
1,0
1,0
1,0
S
SS
S
SSSSS
S
S
S
S
ABC
ABCABC
MNP
CMNBPMAPNAB CM NP

ABC
CMN
ABC
BPM
abc
cba
cacbba
cba
caba
ba
bacb
ca
4
1
8
2
))()((
2
)(
))((

;
))((

=≤
+++
=⇒
++−=⇒
++
=

++
=⇒