ĐỀ SỐ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài 150’)
Câu 1: Giải phương trình.
xx
x
1
36
= 3 + 2
2
xx
Câu 2:
Cho hệ phương trình:
x - 3y - 3 = 0
x
2
+ y
2
- 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy
tìm giá trị của biểu thức.
M = (x
1
- x
2
)
2
+ (y
1
-y
2
)
2
.
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB
và AC (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của
đường tròn (O) (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F,
đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số
EF
PQ
không
đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức.
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3
đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ
giác đó.
ĐỀ SỐ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150’)
Câu 1:
Cho biểu thức.
(x +
200620062006
22
)yy()x
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:
0
1
22
22
yx
yyxx
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005
đều là những số chính phương.
Câu 4: Cho hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T.
Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3
) tương
ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C
1
) và (C
2
) cắt (C
3
) tại P. PM
cắt đường tròn (C
1
) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C
1
) tại điểm thứ hai B.
PN cắt đường tròn (C
2
) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C
2
) tại điểm thứ hai
C.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Câu 5: Giải phương trình.
x
2
+ 3x + 1 = (x+3)
1
2
x
ĐỀ SỐ 3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THANH HOÁ
MÔN: TOÁN
***** Thời gian: 150 phút
Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
5 13 5 13 5
y
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức:
1 1 1 1
a b c a b c
. Chứng
minh rằng :
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:
1 1 1 1
n n n n n n
a b c a b c
Bài 3: Giải hệ phương trình:
2 2 1 9
1 1
x y
x y
Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn
nhất
Bài 5: Tìm m để phương trình (x
2
-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
,
x
3
, x
4
thoả mãn điều kiện
1 2 3 4
1 1 1 1
1
x x x x
Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2
y x
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7:
Giải phương trình nghiệm nguyên:
x
3
– y
3
– 2y
2
– 3y – 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và
Oy sao
cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M
nằm giữa O và B. Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt
đường thẳng OA tại I
1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được
2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm
quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có
0
90
A
, M là một điểm di động trên cạnh BC.
Gọi O và
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị
trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.
ĐỀ SỐ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Bài I
(2
đ
)
Rút gọn A
a
a
a
a
211
21
211
21
Với a =
4
3
Bài II
(6đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x
2
+ 4x = 19-3y
2
b) Giải hệ phương trình
x
3
=7x +3y
y
3
= 7y+3x
Bài III (3
đ
)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6
đ
)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lượt thứ tự là
trung điểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH’ BC. Gọi I
là giao điểm của MH’ và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V
(3
đ
)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc.
ĐỀ SỐ 9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
MÔN TOÁN -THỜI GIAN : 150 PHÚT
NGƯỜI RA ĐỀ : LÊ THỊ HƯƠNG – LÊ THỊ TÂM
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
23
1
12102
3
)2)(34(2
3)6(6
xxxxxxx
xxx
điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1
Câu 2
: (3 điểm) giải phương trình
48
2
x
= 4x - 3 +
35
2
x
Câu 3: (4 điểm)
Phân tích ra thừa số
A = x
3
y
3
+ z
3
- 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình
x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz = x (y - z)
2
+ z (x - y)
2
+ y( z-x)
2
(1)
t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4:
(3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức
=
2221616
2
10
2
10
)1()(
4
1
)(
2
1
yxyx
x
y
y
x
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm
đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B
chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Câu 6
: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo
AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N
lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC;
P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng
CD; OA. chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M,
N, P, Q nằm trên một (0).
ĐỀ SỐ 10
SỞ GD-ĐT THANH HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
LỚP 9
TrườngTHPT Bỉm Sơn
Bảng A
(
Đề đề nghị
)
Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian
phát đề)
Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A=
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
2
)(
1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phương trình: x
2
+ 4x + 5 = 2
32 x
2, Cho 1
a
2 và 1
b
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
33
2
)(
b
a
ba
Câu 3, (6 điểm)
1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm
của phương trình bậc hai: (m-2)x
2
-2(m-1)x +m = 0
Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh
huyền của tam giác là:
5
2
2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng (
) . Đường tròn
(o) tiếp xúc với đường thẳng (
) tại A. Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp
xúc với đường tròn (o) và tiếp xúc với đường thẳng (
) tại B.
Câu 4: (5 điểm)
Cho hai đường tròn (o
1
) và (o
2
) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến
chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o
1
) và (o
2
) tại C
và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (o
1
) và (o
2
)
tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN
tại P và Q . Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh
rằng:
1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân.
Đề số 11
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – BẢNG B
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Rút gọn A=
a
a
a
aa
1
1
1
1
22
1
22
1
2
2
với a > 0 và a 1
Bài 2: Phân tích đa thức B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1 thành nhân tử
Bài 3: Tìm m để phương trình
0
4
15
22
mxx
có hai nghiệm và nghiệm
này bằng bình phương nghiệm kia.
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
2122
112
mmyx
mymx
Bài 5: Giải phương trình
55
2
xx
Bài 6
: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm
của d với Ox, Oy. Xác định m để S
ABO
bằng 4.
Bài 7
: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đường
phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10
cm và 20 cm.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A,
BAC
= 60
0
, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D,
E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K. Chứng minh
rằng tứ giác IOCE nội tiếp.
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9.
ĐỀ SỐ 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HOÁ
Môn thi : Toán
( Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài I (3,0 điểm):
Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là
nghiệm dương của phương trình : 4x
2
+
2
x-
2
= 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phương trình : x
2
+ax+b = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
và phương
trình :x
2
+cx +d = 0 có hai nghiệm x
3
, x
4
.Chứng minh rằng :
2(x
1
+x
3
) (x
1
+x
4
) (x
2
+x
3
) (x
2
+x
4
) = 2(b-d)
2
- (a
2
-c
2
)(b-d)+(a+c)
2
(b+d)
2) Chứng minh rằng nếu phương trình :
ax
4
+bx
3
+cx
2
-2bx+4a=0 (a
0)
có hai nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
x
2
=1 thì 5a
2
=2b
2
+ac
Bài III
(5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA’,BB’,CC’ lần lượt là các
đường cao. H là trực tâm
1) Chứng minh rằng:
2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m
Bài IV
(4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD
.Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong
các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V
(2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :
x
2
+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y.
Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn
24
1
1
aaa
a
6
'''
HC
CH
HB
BH
HA
AH
m
H
A
AH
'
Đề số 13
Sở GD-ĐT Thanh Hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 -
2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Bài 1:
(2,0đ)
Tính giá trị biểu thức:
A=
322
1
322
1
Bài 2: (5,0đ)
Cho parabol(P): y=
4
1
x
2
a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P)
và có hoành độ lần lượt là 2 và - 4.
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện
tích lớn nhất
Bài 3:
(4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đường tròn (O;R). Trên
cung AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy
điểm E sao cho DE = DC.
a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với
1 điểm thứ ba cố định.
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính
độ dài ấy theo R.
Bài 4
: (4,0 đ)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Điểm A’
cách đều các điểm A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ
trùng với tam của đáy ABC
b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5
: (5,0 đ)
a.Giải phương trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2x
2
+7xy + 6y
2
= 60
Đề số 14
Sở gd & đt Thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
MÔN : TOÁN
NGA SƠN
Thời gian : 150 phút không kể thời
gian giao
Bài 1:
(6 điểm)
1- Giải phương trình : x
2
+ y
2
= 5
x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= 13
2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2
: (3 điểm)
Cho Phương trình : x
2
– 2 .(m - 1) x + m – 3 = 0
1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
Bài 3
: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d ê R.
Hãy chứng minh : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ 1
Bài 4
: (4 điểm)
Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB. AC = 2DB . DC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho hình chóp
S
ABC có SA SB, SA SC,
SB SC.
Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.
a)Tính thể tích hình chóp
S
ABC theo : a, k, x.
b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất
2x- 1
x
2
+ 2
Đề số 21
S
Ở GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
o0o
ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán
o0o
Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:
2
x x
2
x x
1
1 2 2 1
4
A
1
1 2 2 1
4
, với x <
0.
Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có 2 nghiệm đối
nhau:
x
4
– 4x
3
+ 3x
2
+ 8x – 10 = 0.
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
, biết rằng: x
2
+ y
2
– xy = 4.
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x
2
+ 13y
2
=
1820.
Câu 5: (3 điểm)
Cho ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O; R) có AB = AC = R
2
.
a) Tính BC theo R?
b) Cho M là điểm di động trên cung
AC
nhỏ. Gọi D là giao điểm của
AM và BC. Chứng minh rằng AM.AD là hằng số.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động trên
một đường cố định khi M di động trên cung
AC
nhỏ.
Đề số 22
SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức
aa
a
aaaa
A
2
:
1
a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
1
1
1
1
yx
B
Bài 3 : Cho phương trình
2
1
)1(
4
2
xm
x
(m là tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với
m
R
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
21
, xx
thoả mãn biểu thức
2
212
2
1
xxxx
đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này
Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10
điểm; tổng số điểm đạt được là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao
nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Bài 5 : Giải phương trình
5168143 xxxx
Bài 6 : Cho parabol(P) : y=
2
4
1
x
và đường thẳng (d) : y= mx – 2m – 1
a) tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định
)(PA
Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
1820137
22
yx
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác
Chứng minh rằng
CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên
4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC
bất kì . tìm quỹ tích các điểm O
1
đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P
ĐỀ SỐ 23
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.
BÀI I (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0 và x
2
+ bx + 17 = 0. Biết rằng
hai phương trình có nghiệm chung và
.nhÊtnhába
Tìm a và b.
BÀI II (2 điểm)
Giải phương trình:
2055
2
xxxxx
.
BÀI III (2,5 điểm)
1/ Giải hệ phương trình:
4477
33
1
yxyx
yx
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x
3
+ y
3
+ 6xy = 21.
BÀI IV (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O. M là điểm
chính giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M
’
là điểm đối xứng với
M qua O. Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác
ABC cắt đường thẳng AM
’
lần lượt tại E và F .
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn.
2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
BÀI V (2 điểm)
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện:
11
8
3
0
b
;
a
và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b .
2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ;
Oz .
Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chứng minh Ot vuông
góc với mặt phẳng (P).
Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh:
……….
Đề số 24
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
Trường THPT Hoằng Hoá 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm)
Rút gọn biểu thức :
P =
20052001
1
139
1
95
1
51
1
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
S =
2
22
2
22
2
22
1
)1)(1(
1
)1)(1(
1
)1)(1(
z
yx
z
y
xz
y
x
zy
x
Bài 3 ( 2 điểm)
Giải phương trình :
6
2
3
13
2
5
3
2
22
x
x
x
x
x
x
Bài 4 (2 điểm)
Giải hệ phương trình :
1
)(3
33
yx
yxyx
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
4524428183
22
xxxx
= – x
2
+ 6x -5
Bài 6 (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y =
2
4
1
x
và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên
(P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương
ứng có hoành độ x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)
Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho
1
2
2
4
yx
x
là số nguyên
dương.
ĐỀ SỐ 26
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - MÔN TOÁN: THỜI GIAN:
150PHÚT
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
225353
42410175175
A
Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử
24x
3
- 26x
2
+ 9x - 1
Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình:
x
2
- 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:
myx
yx
2
32
Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:
có nghiệm (x;y) thoả x
2
+ y
2
= 1
Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2
a) Vẽ đồ thị (d
2
) (tức khi m = 2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất.
Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả
3
2
5112
23
x
xxx
y
Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a b.
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D. Trên b về hai phía của I lấy
2 điểm B, C
Thoả mãn IA.ID = IB.IC.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn
b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác
định điểm E trên FD sao cho AE FI. Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N
trên AB thoả AM = MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lượt tại A
1
D
1
CM cắt DN, BP lần lượt tại B
1
C
1
Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1
có diện tích
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là
30m
3
. 2 đáy là 2 đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn
tâm (O), C di động trên đường tròn (O). S thuộc đường tròn tâm (O').
a) Xác định C để diện tích ABC là lớn nhất
b) Khi ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp
S
ABC.
Đề số 28
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HÓA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
TRƯỜNG THPT BC LÊ VIẾT TẠO
****************************
Bài 1
:
a) Chứng minh rằng:
333
3
3
9
4
9
2
9
1
12
b) Tính giá trị biểu thức
132
235
xxxxE
với
21x
Bài 2: Cho
ba
,
c
a
,
cb
chứng minh rằng
132
1
myx
ymx
ba
ba
ac
ac
cb
cb
bcac
ba
abcb
ac
caba
cb
))(())(())((
222222
Bài 3: Cho phương trình:
0122
2
mmxx
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình
phương nghiệm kia.
Bài 4: Giải phương trình:
558 xx
Bài 5: Chứng minh nếu
2a
thì hệ sau vô nghiệm:
1
2
22
5
yx
ayx
Bài 6: Cho Parabol (P)
2
4
1
xy
và đường thẳng (d):
2
2
1
xy
. Gọi A
và B là giao điểm của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện
tích
MAB lớn nhất.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
4444
248 tzyx
Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng
trung tuyến AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh:
2
2
AC
AB
NC
NB
Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo lớn nhất có
giá trị bé nhất là bao nhiêu.
Bài 10
: Cho đường tròn ( 0; R) với 2 đường kính AB và MN. Tiếp tuyến
với (0) tại A cắt BM và BN tại M
1
, N
1
. Gọi P là trung điểm của AM
1
, Q là
trung điểm của AN
1
. Đường kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đường
tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đường kính MN thay đổi.
ĐÊ SỐ 30
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Thời gian: 150 phút
Bài 1:
(4 điểm) Cho biểu thức
6xx
x9
x3
2x
x2
3x
:
9x
x3x
1P
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2:
(5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3;
4); C(2;4)
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c. Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không
?
Bài 3:
(4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau
a)
01x4x
5
x
4
x
5
2
2
b)
7yx
4y1x
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ
đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần
lượt tại D và E.
a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng
hàng
b. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương
ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB,
HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN
Bài 5:
(2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy1
2
y1
1
x1
1
22
với x 1, y 1
ĐỀ SỐ 31
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9
Trường THPT Quảng Xương 1
MÔN: MÔN TOÁN - BẢNG A -
NĂM HỌC 2005 -
2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
1> cho
x
x
xx
x
x
xx
P
1
1
1
1
a> Rút gọn P
b> Tìm giá trị lớn nhất của
P
1
2>> Tìm trên đường thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn:
y
2
- 3y
x
+ 2x =0
Bài 2: (5 điểm)
1> Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
+ mx + n =0. Tìm m, n thoã
mãn hệ
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
2> Giải phương trình:
4
)11(
2
2
x
x
x
Bài 3: (5 điểm)
1> Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là
tiếp điểm của AB và CD với đường tròn (O).
a> CMR:
CF
DF
AE
BE
b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc
(ABC) tại A. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng
minh tứ giác BCHK nội tiếp
Bầi 4:
(5 điểm)
1> Tìm
Ra
để phương trình ẩn x sau:
074)
2
11
4(2
22
axax
có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:
3
)(
4
2
2
2
2
222
22
x
y
y
x
yx
yx
với x, y khác 0
Đề số 32
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài1 (5điểm)
a. Rút gọn
P=
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
b. Giải phương trình:
333
511 xxx
Bài2 (5điểm)
a. Giải hệ phương trình
14
14
14
yzx
xzy
zyx
b. Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
c
b
a
c
b
c
a
b
a
c
b
a
1694
Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:
x
2
+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B
sao cho tia CB
AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau
tại I. Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O.
a. Chứng minh
ABH đồng dạng với
MKO
b. Chứng minh
3
333
333
IBIHIA
IMIKIO
=
4
2
ĐỀ SỐ 33
NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút.
Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III
Bài 1
:
1) (2đ) Rút gọn biểu thức:
3
243
3
243
3
1
627
3
1
3
1
627
3
1
aaaaaaaaA
.
2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
33
42231
1
A
.
Bài 2:
1) (2đ) Giải phương trình:
xxxyzxyxzyx
2222
2116495
.
2) (2đ) Giải hệ phương trình sau:
12
10
22
x
yx
22
yyx
.
Bài 3:
1) (2đ) Giải phương trình:
0121122
224
xxx
2) (2đ) Lập phương trình đường thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ
thị của hàm số
xxxxy
22
(C).
Bài 4:
1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của
c
b
a
T
111
với a, b, c N và T < 1.
2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đường cao BM. Chứng
minh rằng
12
2
BC
AB
MC
AM
.
Bài 5:
Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD. Tìm tập hợp các điểm M
nằm trong tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng
tổng diện tích các tam giác AEB và CED trong các trường hợp:
1) (2đ) AB và CD song song.
2) (2đ) AB và CD không song song.
HẾT.
ĐỀ SỐ 35
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN - THANG ĐIỂM: 20
Bài 1: (6đ)
1. (2đ) Rút gọn biểu thức A =
322
32
322
32
2. (4đ) Tính giá trị của tổng
B =
222222
100
1
99
1
1
3
1
2
1
1.
2
1
1
1
1
Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dương đôi một khác nhau thoả mãn:
3
x
+ 3
y
+ 3
z
= 6831
Bài 3:
(4đ).
1. (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số:
y =
xx 63
2. (2đ) Cho các số dương a, b, c biết
1
111
c
c
b
b
a
a
Chứng minh rằng: abc
8
1
Bài 4: (2đ) Giải phương trình:
x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7
Bài 5:
(6 đ).
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là
đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
(khác BC) của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh
rằng.
a. (2đ) HPQ ~ ABC
b. (2đ) KP // AB, KQ // AC.
c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp được
ĐỀ SỐ 36
SỞ GD & ĐT THANH HO
Á
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
LỚP 9
TRUỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI MÔN : TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT
Câu1:(4đ)
1.Đơn giản các biểu thức sau:
249225 A
1
22
5
56
a
aaa
B
;
1
a
.
2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi
zxyx
a
5
và
zyxyz
zx
2
1625
2
Câu2:(4đ)
Giải các phương trình sau:
1.
29612
22
xxxx
2.
256
27
21
3
xx
với
21
x
Câu3: (4đ)
Cho họ đường thẳng (D
m
) có phương trình :
1
1
1
2
2
2
m
m
m
x
m
m
m
y
1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (D
m
).
2.Tìm m để đường thẳng của họ (D
m
) cắt Parabol (P) : y = x
2
tại hai
điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy.
Câu4:
(4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ
trên đường tròn đó . Gọi A
/
,B
/
,C
/
lần lượt là hình chiếu của M trên các đường
thẳng BC , CA , AB .
1.Chứng minh các tứ giác BC
/
A
/
M và CA
/
MB
/
nội tiếp.
2.Chứng minh 3 điểm A
/
, B
/
, C
/
thẳng hàng.
3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M
1
M. Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần
lượt là hình chiếu của M
1
lên các đường thẳng BC , CA , AB . Tìm vị
trí của điểm M
1
trên đường tròn tâm O để đường thẳng A
1
B
1
C
1
vuông
góc với đường thẳng A
/
B
/
C
/
.
Câu5:
(4đ)
Chứng minh rằng:
1.
01
258
xxxx
với mọi số thực x.
2.
1
1
1
11
2
n
n
n
với mọi số tự nhiên
1
n
./.
ĐỀ SỐ 38
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN TOÁN
( Thời gian: 150 phút)
Câu 1:
a.(1 đ) Rút gọn biểu thức
A =
52104
+
52104
b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức
B =
x
x
211
21
+
x
x
211
21
với x =
4
3
Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x
2
- mx + m - 1 = 0
Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức
)1(2
32
21
2
2
2
1
21
xxxx
xx
C
Với x
1
,
x
2
là các nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 3:
a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x
2
+3x(4
x1
-9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:
z
xy
+
x
yz
+
y
zx
=3
Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn
(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z
Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27
Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN. Các đường thẳng
BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’.
Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A
a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp.
b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của
BPQ cắt nhau tại trung
điểm của bán kính OA.
ĐỀ SỐ 40
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Đề đề xuất
Thời gian150’
Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:
a\ Rút gọn biểu thức P
b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9
1
x
1
4
1
1
1
3
23453434
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
Bài 2:(4đ) Cho parabol (P):
2
2
1
xy
, điểm I(0;2) và điểm M(m;0)
0
m
a\ Vẽ (P)
b\ Gọi d là đường thẳng đi qua I và m. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn
cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B
c\ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục Ox. Chứng minh rằng
tam giác IHK vuông.
d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4
0
m
Bài 3:(4đ) Cho phương trình: (m-1)x
2
-2(m-2)x+m+1=0
a. Giải và biện luận theo thámố m
b. Khi phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,
x
2
độc lập với tham số m
Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp
điểm của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Kẻ BB
1
AO
, AA
1
BO
Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng.
Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
y
2
=-2(x
6
-x
3
y-32)
ĐỀ SỐ 44
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán Thời gian:
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ
Hà Quang Hiểu
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
A =
96
164
2
2
22
xx
x
xx
a) Rút gọn A
b) Tìm
x
nguyên để A nguyên
Bài 2: (4điểm) Cho phương trình:
0112
2
mxmx
(1)
a) Tìm
m
để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
b) Giả sử
21
, xx
là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất
của
1
2
2
2
1
xx
Bài 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
7
111
yx
Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phương trình
3
1
2
2
y
x
y
x
3
1
y
x
y
x
Bài 5:
(4 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm tam giác; M
là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a) Tìm vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi E,F lần lượt là 2 điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng
minh rằng E,H,F thẳng hàng.
Bài 6: (2 điểm) Cho
1;0a
Chứng minh rằng:
211
22
aaaa
dấu bằng xảy ra khi nào?
ĐỀ SỐ 51
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán. Bảng A
(Thời gian làm bài: 150 phút )
Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình x
4
+ 2mx
2
+ 4 =0
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
thỏa mãn x
1
4
+ x
2
4
+ x
3
4
+ x
4
4
= 32
Bài 2: (4 điểm)