Bài tập về ma trận định thức

1

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2

Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do
một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù
hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt

BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC
Bài 1
Tính các định thức cấp 2:
1) D =
37
25
= 5.3 – 7.2 = 15 – 14 = 1
2) D =
58
23
= 3.5 – 8.2 = 15 – 16 = -1
3) D =
1nn
n1n


= (n+1)(n-1) – n
2
= n
2
- 1 - n
2

= -1
4) D =


cossin
sincos
= cos
2


+sin
2


= 1
Bài 2:
Tính các định thức cấp 3:
1) D =
341
235
312
= 18+2+60-9-16-15 = 40

2

2) D =
243
352
123
= 30+18+8-15-36-8 = -3

3) D =
571
823
534



= 40-24-105+10+224-45=100

4) D =
325
214
423



=-9-20-32+20+12+24= -5

5) D =
631
321
111
= 12 + 3 + 3 – 2 – 9 – 6 = 1

6)
a b
b c
c a
a b c

D b c a
c a b

3 3 3 3 3 3
3
acb bac cba c a b abc c a b
         


7) D =
0e0
dcb
0a0
= 0

3

8)

a x x a x
D x b x x b
x x c x x



3 3 2 2 2 3 2
2
abc x x bx ax cx abc x x a b c
          

9)
a x x x a x x
D x b x x x b x
x x c x x x
 
  














 
 
3 3 2 2 2
2 3 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3
a x b x c x x x x b x x a x x c x
ab ax bx x c x x x bx x x a x x c x
abc abx acx ax bcx bx cx x x x bx x x a x x c x
abc abx acx bcx

           
            
               
   


 
3 2 1
1 1
1 1
10)
1 1
1 1
2 2 2 2 2
1 1
1 1
0
1 1
1 1
2 2
c c c
a b c a b c b c
b c a b c a c a
D
c a b c a b a b
b c c a a b c a a b
a b c
b c
c a
a b c

a b
c a a b
 
 
 

 
    
 
   
 
    
    






4

Bài 3
Tính các định thức:
1)
3
3 1
31 32 33 34
2 3 4 1
4 2 3 2
( 1)

3 1 4 3
h
D a M b M c M d M
a b c d



      
 

  
  

*
31
M =
341
232
143



= -27 -8 -8 + 3 +24 + 24 = 8
*
32
M =
343
234
142
= 18 + 24 + 16 – 9 – 16 – 48 = -15

*
33
M =
313
224
132



= -12 – 18 – 4 + 6 +4 +36 = 12
*
34
M =
413
324
432



= -16 -27 – 16 + 24 + 6 +48 = 19
Vậy: D = 8a+15b+12c-19d

2)
 
2 1
2
21 22 23 24
5 2 1
4 4 3
1

2 3 2
4 5 4
c
a
b
D a M b M c M d M
c
d



      
 


  
  

*
12
M =
454
232
344



= -48 – 32 – 30 + 36 + 40 + 32 = -2
5

*
22
M =
454
232
125



= -60 -16 – 10 + 12 + 50 +16 = -8
*
32
M =
454
344
125



= -80 – 24 – 20 + 16 + 75 + 32 = -1
*
42
M =
232
344
125



= -40 -12 – 12 + 8 + 45 + 16 = 5

Vậy: D = - (-2a + 8b – c - 5d) = 2a - 8b + c + 5d

3)
 
4
4 1
44
3 0 5
3 0
0 0 2
( 1) 0 0
1 2 3
1 2
0 0 0
h
a
a
b
D d M d b abcd
c
c
d

     
  
  



4)

4
4 1
41
1 0 2
0 2
2 0 0
( 1) 0 0
3 4 5
4 5
0 0 0
h
a
a
b
D d M d b abcd
c
c
d

     
  
  






6

Bài 4
Tính các định thức sau:
1)
1( 1) 2
1( 1) 3
1( 1) 4
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 2 0 0
1 ( 2) ( 2) ( 2) 8
1 1 1 1 0 0 2 0
1 1 1 1 0 0 0 2
h h
h h
h h
D
 
 
 
 
         
 
 
     
     


2)

 
1 2 1( 1) 3

1( 1) 4
0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0
1 1 1 3
c c h h
h h
D
  
 
  


    

     
         
          


3)

 
1 2
1 3 1( 2) 3
1( 1) 4

2 5 1 2 1 5 2 2 1 5 2 2
3 7 1 4 1 7 3 4 0 2 1 6
3 9 2 7 2 9 3 7 0 1 1 3
4 6 1 2 1 6 4 2 0 1 2 0
2 1 6 2 1
1 1 1 3 1 1
1 2 0 1 2
3 12 6 12 3
h h
c c h h
h h
D

  
 
  
    
  
  
  
 
    
 
     
         
          


7

4)
 
 
 
   
1 3 2
1 2 3
4 1
1 4 4
3 3 5 8 1 0 0 2 1 0 0 2
3 2 4 6 3 2 4 6 0 2 4 12
2 5 7 5 2 5 7 5 0 5 7 9
4 3 5 6 4 3 5 6 0 3 5 14
2 4 12 1 2 6 1 2
1 5 7 9 1 2 5 7 9 5 7
3 5 14 3 5 14 3 5
2 98 54 150 126 45 140 2 9
h h
h h
h h
h h
D
 


 
   
    

     

    
 
            
 
           
         
         
18


5)
3 1
3 2
3( 1) 4
3 9 3 6 1 4 0 4
5 8 2 7 1 3 1 5
4 5 3 2 4 5 3 2
7 8 4 5 3 3 1 3
h h
h h
h h
D


 

  

     
     

     
     


1 2
1( 4) 3
1( 3) 4
1 4 0 4
7 1 9 7 1
0 7 1 9
1 21 3 18 21 3
0 21 3 18
15 1 15 15 1
0 15 1 15
315 270 189 405 126 315 18
h h
h h
h h

 
 
 

     
  
    
  
      
     
     

8

6)

1( 1) 3
1 4
1 5
1( 2) 2
1( 1) 3
1 0 1 1 2 1 0 1 1 2
1 1 2 1
0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
2 0 1 1
11 2 1 0 1 0 2 0 1 1
0 2 1 4
1 0 1 0 2 0 0 2 1 4
1 2 0 3
1 1 1 1 1 0 1 2 0 3
1 1 2 1
2 3 1 2 3
0 2 3 1
1 2 1 4 2 1

0 2 1 4
1 2 4 1 2
0 1 2 4
8 1
h h
h h
h h
h h
h h
D
 


 
 
 

 

  

 


   
 
   

 


 
     
     
     
     
2 4 1 16 24 1    


7)
1 3
1( 4) 4
1( 19) 5
2
0 0 5 0 0 1 3 18 6 2
0 2 0 2 0 0 2 0 2 0
1 3 18 6 2 0 0 5 0 0
4 17 9 15 2 4 17 9 15 2
19 20 24 3 5 19 20 24 3 5
1 3 18 6 2
2 0 2 0
0 2 0 2 0
0 5 0 0
1
0 0 5 0 0
5 63 9 6
0 5 63 9 6
37 318 117 33
0 37 318 117 33
h h
h h

h h
h
D

 
 

 
 

 



   
 
 
  
  
    
    
     
     
  

 
2 1
22
2 2 0 2 2
( 1) 5 5 5 9 6 5 9

37 117 33 37 117
5 594 444 1404 330 5 36 180
M

 
       
 
  
          
 




9

8)
1( 1) 2
1( 1) 2 2( 1) 3 3 4
1 2 1 4 10 1 2 1 4 10
5 1 1 7
1 3 2 5 3 0 5 1 1 7
5 3 7 9
1
0 5 3 7 9 0 5 3 7 9
0 2 3 7
0 0 2 3 7 0 0 2 3 7
0 0 3 15
0 0 0 3 15 0 0 0 3 15
5 1 1 7 5 1 1 7

0 2 6 16 0 2 6 16
0 2 3 7 0 0 3 9
0 0 3 15 0 0 3 15
h h
h h h h h h
D
 
    
 


  
 
 
     
     
               
            
5 1 1 7
0 2 6 16
0 0 3 9
0 0 0 6
5 2 ( 3) 6 180

 
      
  


9)

1( 1) 2
1( 1) 3 1 2
1( 1) 4
1( 7) 2
1(2) 4
7 3 2 6 7 3 2 6 1 12 2 3
8 9 4 9 1 12 2 3 7 3 2 6
7 2 7 3 0 5 5 3 0 5 5 3
5 3 3 4 2 6 1 2 2 6 1 2
1 12 2 3
87 12 15
0 87 12 15
1 5 5 3
0 5 5 3
0 30 5 4
h h
h h h h
h h
h h
h h
D
 
  
 
 


 
 
    

      

 
 
     
 

          
          
     
     
 
29 4 5 29 4
3 5 5 3 5 5
30 5 4 30 5 4 30 5
3 580 360 125 750 435 80 3 ( 50) 150
  
     
  
           

10

BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KRAMER

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer:
1)
1 3
1 2 3
2 3

2 1
4 2 7
5 5
x x
x x x
x x
  


  


 


Ta có:
* D =
150
241
102
= 8 + 5 – 20 = -7
* Dx
1
=
155
247
101
= - 4 + 35 – 20 + 10 = 21
* Dx
2

=
150
271
112 
= 14 + 5 – 20 +1 = 0
* Dx
3
=
550
741
102 
= 40 – 5 -70 = -35
Vì D

0 nên hệ có nghiệm duy nhất:
11
















5
7
35
D
Dx
x
0
7
0
D
Dx
x
3
7
21
D
Dx
x
3
3
2
2
1
1


2)









1x2x3
13x5x4
6x3xx
31
32
321

Ta có:
* D =
203
540
311



= - 8 +15 – 36 = -29
* Dx
1
=
201
5413
316




= - 48 +5 -12 + 26 = -29
* Dx
2
=
213
5130
361

 = 26 – 90 + 117 +5 = 58
* Dx
3
=
103
1340
611


= 4 + 39 – 72 = -29
Vì D

0 nên hệ có nghiệm duy nhất:
12




















1
29
29
D
Dx
x
2
29
58
D
Dx
x
1
29
29
D
Dx
x

3
3
2
2
1
1


3)
1 2 3
2 3 4
1 3
1 2 4
4 2
2 3 5 8
2 5
2 3 0
x x x
x x x
x x
x x x
  


   


 



  


Ta có:
1( 2) 3
1( 1) 4
1 4 1 0 1 4 1 0
2 3 5 2 3
0 2 3 5 0 2 3 5
1 8 1 0 8 1
2 0 1 0 0 8 1 0
6 1 3 6 1
1 2 0 3 0 6 1 3
6 40 30 72 76
h h
h h
D
 
 
 
  
   
     
 
  
   
     

 
 

 
1
h1 3 h2
1 3
h1 1 h3
2 4 1 0 1 4 2 0 1 4 2 0
8 2 3 5 3 2 8 5 0 10 14 5
5 0 1 0 1 0 5 0 0 4 3 0
0 2 0 3 0 2 0 3 0 2 0 3
10 14 5 10 14
1 4 3 0 4 3
2 0 3 2 0
90 30 168 228
c c
x
D
 

 
  
        
  
  
     
    
    
  
     

 
 
2
h1 2 h3
h1 1 h4
1 2 1 0 1 2 1 0
8 3 5 8 3
0 8 3 5 0 8 3 5
1 1 1 0 1 1
2 5 1 0 0 1 1 0
2 1 3 2 1
1 0 0 3 0 2 1 3
24 5 10 9 0
x
D
 
 
 
    
     
   

  
  
    

13

 
 

3
h1 2 h3
h1 1 h4
1 4 2 0 1 4 2 0
2 8 5 2 8
0 2 8 5 0 2 8 5
1 8 1 0 8 1
2 0 5 0 0 8 1 0
6 2 3 6 2
1 2 0 3 0 6 2 3
6 80 30 192 76
x
D
 
 
  
   
     

    
    
     

 
 
4
h1 2 h3
h1 1 h4
1 4 1 2 1 4 1 2
2 3 8 2 3

0 2 3 8 0 2 3 8
1 8 1 1 8 1
2 0 1 5 0 8 1 1
6 1 2 6 1
1 2 0 0 0 6 1 2
4 18 64 48 2 48 76
x
D
 
 
 
  
   
     
 
  
  
       

Vì D

0 nên hệ có nghiệm duy nhất:

1
1
2
2
3
3
4

4
228
3
76
0
0
76
(3,0,1,1)
76
1
76
76
1
76
Dx
x
D
Dx
x
D
hay
Dx
x
D
Dx
x
D

  




  



  



  



4)
1 3 4
1 2 4
2 3 4
2 4
3 2
2 0
2 5 2 5
3 4
x x x
x x x
x x x
x x
  



  


  


 


Ta có:

1( 2) 2
1 0 3 1 1 0 3 1
1 6 3
2 1 0 1 0 1 6 3
1 2 5 2
0 2 5 2 0 2 5 2
3 0 1
0 3 0 1 0 3 0 1
5 36 – 45 12 2
h h
D
 
 
 
   
    
 

 

     

14

 
 
1
h1 h2
h1 2 h3
1 4
h1 h4
2 0 3 1 1 0 3 2 1 0 3 2
0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 3 2
5 2 5 2 2 2 5 5 0 2 1 1
4 3 0 1 1 3 0 4 0 3 3 6
1 3 2
1 2 1 1 6 9 12 6 3 36 0
3 3 6
c c
x
D

 


  
     
  
 
  

 
           

2
1 2 3 1 1 2 3 1
4 6 3
2 0 0 1 0 4 6 3
1( 2) 2 1 5 5 2
0 5 5 2 0 5 5 2
4 0 1
0 4 0 1 0 4 0 1
20 48 – 60 30 2
x
D h h
 
 
  
     
 

 
     


3
1( 2) 2
1 0 2 1 1 0 2 1
1 4 3
2 1 0 1 0 1 4 3
1 2 5 2

0 2 5 2 0 2 5 2
3 4 1
0 3 4 1 0 3 4 1
5 – 24 – 24 45 8 –8 2
h h
x
D
 
  
    
   

 
   


4
1( 2) 2
1 0 3 2 1 0 3 2
1 6 4
2 1 0 0 0 1 6 4
1 2 5 5
0 2 5 5 0 2 5 5
3 0 4
0 3 0 4 0 3 0 4
20 90 60 48 2
h h
x
D
 

 
 
  
    
 
    

Vì D

0 nên hệ có nghiệm duy nhất:


















1
2

2
D
Dx
x
1
2
2
D
Dx
x
1
2
2
D
Dx
x
0
2
0
D
Dx
x
4
4
3
3
2
2
1
1

15