CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH )

DATADA –ĐHNL Tp HCM 1

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1. Dùng ma trận phần phụ đại số
* Cho A
nxn
có D=det(A) và D
ij
là định thức con của D bỏ đi hàng i cột j
* Ma trận A
nxn
khả đảo Û det(A)≠0

T
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
A
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê

ê
ê
ë
é
=
-
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
1
)det(
1
với A
ij
=(-1)
i+j
D
ij


Ví dụ: Cho ma trận
ú
ú
ú
û
ù

ê
ê
ê
ë
é
-=
402
20
321
mA . Tính A
-1

Giải
* Tính
44
24
2
240
20
321
402
20
321
)det( +=

-
=

-=-= m
m

mmA

* Nếu m= -1 thì det(A)=0 không tồn tại A
-1

* Nếu m≠ -1 thì det(A) ≠0 Þ A
-1
tồn tại, nên ta tính các phần phụ đại số A
ij


ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+

-
++
+
-
+
-
+
+
+
+
-
+
-
=Þ
-¹
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-

+
+
=

ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+

-
+
=Þ
-=
-
=-=-=+=
-
=
=-=-==-=-=
=
-
==-=-=
-
=
-
-
)1(2
1

1
1
1
1
)1(4)1(2
1
)1(2
)1(2
3
1
2
1
2
)1(
244
22
6288
44
1
262
428
428
44
1
2
20
21
0
31
62

2
32
4
02
21
2
42
31
8
40
32
4
02
20
2
42
0
8
40
2
1
1
333231
232221
131211
mmm
m
m
mm
m

m
m
mm
A
mmm
m
m
mm
m
m
A
Am
m
Am
m
A
AAA
Am
m
A
m
A
T


DATADA –ĐHNL Tp HCM 2

2. Dùng phép biến đổi sơ cấp
Nếu det(A)≠0 ta tính A
-1

bằng các rút gọn ma trận [A
nxn
: I
n
] ® [ I
n
: A
-1
] với I là ma trận đơn vị.
Ví dụ Cho
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

=
1000
3100
1110
1231
A . Tính A
-1

Giải
* Vì A là ma trận tam giác trên nên det(A)=1≠0 Þ tồn tại A
-1

* Ta tìm A
-1
bằng rút gọn theo dòng ma trận [A:I] sao cho A thành I thì I thành A
-1

[A : I]=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-

ú
ú
ú

ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

-®
1000
0100
0010
0031
1000
3100
1110
4501
1000
0100
0010
0001
1000
3100
1110
1231
2311 hhh

ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

-

®
-®
+®
1000
0100
0110
0531
1000
3100
2010
11001
1000
0100
0010
0031
1000
3100
1110
4501
3511
322
hhh
hhh


ú
ú
ú

ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-

ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

®

+®
-®
+-®
1000
3100
2110
11531
1000
0100
0010
0001
1000
0100
0110
0531
1000
3100
2010
11001
41111
4222
4333
hhh
hhh
hhh
=[I : A
-1
]

ú

ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-

=Þ
-
1000
3100
2110
11531
1
A
Ta có thể rút gọn ma trận bằng cách nhân ma trận C
j
như sau:
Xét ma trận A=[a
ij
]. Để rút gọn cột j của ma trận A thành cột j của ma trận đơn vị ta dùng ma trận C
j

là ma trận đơn vị và ta thay cột j bằng cột j của A chia cho phần tử trụ là a
jj
¹0 trừ a
jj
, sau đó đổi dấu
các phần tử trên cột j khác vị trí hàng j, cột j:
jj
jjj
jj
kj
kjj
a
Cvàjkkhi
a
a
C
1
)()( =¹-=



cột j
¯

ú
ú
ú
ú
ú
ú

ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê

ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
=
-
1 0 000
0 0 000
0 0
1
000
0 0 100
0 0 010
0 0 001
1
3
2
1
jj
nj
jj
jn
jj

ij
j
ij
j
ij
j
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
C
MMMMMMMM
MMMMMMMM

DATADA –ĐHNL Tp HCM 3

Ví dụ Cho
ú
ú
ú
ú
û

ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

=
1000
3100
1110
1231
A . Tính A
-1

Giải
* Cột 1 của A là cột 1 của ma trận đơn vị, nên không cần rút gọn.
* Rút gọn cột 2, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë

é
-
=
1000
0100
0010
0031
2
C ta được:
C
2
[ A : I ] [ A
1
: I
1
]

ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë

é
-

®
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë

é
-
®
1000
0100
0010
0031
1000
3100
1110
4501
1000
0100
0010
0001
1000
3100
1110
1231
1000
0100
0010
0031

* Rút gọn cột 3, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận
ú
ú
ú
ú
û

ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=
1000
0100
0110
0501
3
C
ta được:
C
3
[ A
1
: I
1
] [ A
2
: I
2
]
ú
ú
ú

ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

®
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-

ú

ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
®
1000
0100
0110
0531
1000
3100
2010
11001
1000
0100
0010
0031
1000
3100
1110
4501
1000

0100
0110
0501

* Rút gọn cột 4, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
=
1000
3100
2010
11001
4
C ta được:
C
4
[ A
1

: I
1
] [ A
2
: I
2
]
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-

®
ú
ú
ú
ú
ú

û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

-
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
®
1000
3100
2110
11531

1000
0100
0010
0001
1000
0100
0110
0531
1000
3100
1010
4001
1000
3100
2010
11001



DATADA HNL Tp HCM 4

3. Dựng nh lý Haminton-Cayley
a) a thc c trng ca ma trn A
nxn
=[a
ij
] l:
)det()( AxIxf
-
=

ã Tng quỏt: Tớnh a thc c trng ca ma trn A l f(x) bng cụng thc Bocher nh sau:
ã t S
p
= tr(A
p
) vi tr(A
p
) = tng phn t trờn ng chộo chớnh ca A
p

ã Tớnh a
1
= -S
1
= -
ồ
=
n
k
kk
a
1

)(
2
1
2112
SSaa +-=
)(

3
1
321123
SSaSaa ++-=

) (
1
112211 nnnnn
SSaSaSa
n
a ++++-=


ã a thc c trng ca A: f(x)= x
n
+ a
1
x
n-1
+ a
2
x
n-2
+ + a
n-1
x + a
n

ã Trng hp riờng
Nu A

2x2
=
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
dc
ba
thỡ f(x) = bcadxdax
dxc
bax
-++-=
-
-
)(
2

ị f(x) = x
2
-tr(A)x + det(A)
Nu A
3x3
=
ỳ
ỳ
ỳ
ỷ
ự

ờ
ờ
ờ
ở
ộ
333
222
111
cba
cba
cba
thỡ
333
222
111
)(
cxba
cbxa
cbax
xf
-
-
-
=

)det()()(
33
22
33
11

22
11
23
Ax
cb
cb
ca
ca
ba
ba
xAtrxxf -
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+++-=ị
(3 nh thc cp 2 theo ng chộo A)
Vớ d Tớnh a thc c trng ca
ỳ
ỳ
ỳ
ỷ
ự
ờ
ờ
ờ

ở
ộ
-
=
543
301
012
A
* Tớnh S
p
:
ỳ
ỳ
ỳ
ỷ
ự
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
-
=
543
301
012
A ị S
1
= tr(A)=2+0+5= 7
A

2
=
ỳ
ỳ
ỳ
ỷ
ự
ờ
ờ
ờ
ở
ộ

371725
151111
323
ị S
2
=tr(A
2
)=3+11+37= 51
A
3
=
ỳ
ỳ
ỳ
ỷ
ự
ờ

ờ
ờ
ở
ộ

236123178
1084978
21155
ị S
3
=tr(A
3
)=-5+49+236= 280
* Tớnh h s a
i
: a
1
= -S
1
= -7 a
2
=
1)(
2
1
211
-=+- SSa
a
3
=

28)(
3
1
32112
=++- SSaSa

a thc c trng ca A l: f(x)= x
3
-7x
2
x +28
DATADA –ĐHNL Tp HCM 5

b) Định lý Cayley-Hamilton
Nếu f(x) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f(A)=0

Giả sử cho A khả đảo (det(A)≠0) có đa thức đặc trưng f(x)= x
n
+ a
1
x
n-1
+ a
2
x
n-2
+…+ a
n-1
x + a
n

thì
A
n
+ a
1
A
n-1
+ a
2
A
n-2
+…+ a
n-1
A + a
n
= O và a
n
=(-1)
n
det(A) ≠0, ta nhân 2 vế cho A
-1
được:
A
n-1
+ a
1
A
n-2
+ a
2

A
n-3
+…+ a
n-1
I + a
n
A
-1

= O Þ
) (
1
1
3
2
2
1
11
IaAaAaA
a
A
n
nnn
n
-

++++-=


Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của

ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

=
1000
3100
1110
1231
A

Giải

* det(A)=1≠0 nên tồn tại A
-1

* Tính đa thức đặc trưng của A: f(x)=
4
)1(
1000
3100

1110
1231
-=
-

-

x
x
x
x
x

Þ f(x) = x
4
-4x
3
+6x
2
-4x +1
* Tính A
-1
: )464(
231
IAAAA -+ =
-


ú
ú

ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-

=Þ
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
ú
ú
ú

ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

-
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

+
ú
ú
ú
ú
û

ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

-
-=Þ
-
-
1000
3100
2110
11531
1000
0100
0010
0001
4
1000
3100
1110
1231
6
1000
6100
5210
5161

4
1000
9100
12310
3391
1
1
A
A










DATADA –ĐHNL Tp HCM 6

4. Dùng ma trận khối
Giả sử ma trận E
n
x
n
khả đảo (det(E)≠0) với n³4, ta tìm ma trận nghịch đảo E
-1
như sau:
Đầu tiên ta chia E thành ma trận khối

ú
û
ù
ê
ë
é
=
DC
BA
E
với A
mxm
, D
kxk
; m+k=n và A khả đảo.
Tiếp theo, ta tìm E
-1
dưới dạng
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
NM
LK
E
1

trong đó K, N là ma trận vuông có cấp m, k
)(
)4(
)3(
)2(
)1(

1
I
INDMB
OLDKB
ONCMA
ILCKA
IO
OI
DC
BA
NM
LK
IEE
k
m
k
m
n
ï
ï
î
ï
ï

í
ì
=+
=+
=+
=+
Û
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
Û=Þ
-

(i) Nếu C=O thì hệ (I) cho:

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-=
=
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=+
=
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í

ì
=+
=+
=
=
-

-
-
-
1
11
1
1
1
DN
BDAL
OM
AK
IND
OLDBA
OM
AK
INDMB
OLDKB
OMA
IKA
k
k
m

(ii) Nếu B=O thì hệ (I) cho:
1111
;;;

==-== DNOLCADMAK

¯ nhân A
-1
và D
-1
hai bên B

ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û

ù
ê
ë
é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é

-
-
-

-
111
1
1
1
111
1
DCAD
OA
DC
OA
DO
BDAA

DO
BA

- nhân D
-1
và A
-1
hai bên C
Áp dụng:
Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác trên
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

=
1000
3100
1110
1231
E
* det(E)=1 Þ tồn tại E

-1

* Ta chia thành ma trận khối như sau:
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

=
1000
3100
1110
1231
E

ú
ú
ú
ú
û
ù
ê

ê
ê
ê
ë
é
-
-

=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=Þ
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=-
ú
û
ù
ê

ë
é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=Þ
ú
û
ù
ê
ë
é
==
ú
û
ù
ê
ë
é

=
ú
û
ù

ê
ë
é
=
-

-

1000
3100
2110
11531
21
115
10
31
10
31
10
31
11
12
10
31
1
111
1
1111
DO
BDAA

E
BDAvàDA
DvàOCBA

DATADA –ĐHNL Tp HCM 7

Ví dụ:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác dưới:
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=
1312
0113
0024
0001
E
* det(E)= -2 nên tồn tại E
-1

*

ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=
1312
0113
0024
0001
E
ú
û
ù
ê
ë
é

=-
ú
û
ù

ê
ë
é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=Þ
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
==
ú
û

ù
ê
ë
é
=

23
5,01
13
01
5,02
01
13
01
12
13
24
01
1111
CADvàDA
DvàCOBA


ú
ú
ú
ú
û
ù
ê

ê
ê
ê
ë
é

-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=Þ

-
-
1323
015,01
005,02
0001
111
1
1
DCAD
OA
E

(iii) Trường hợp tổng quát B và C khác O thì:
* Phân tích
ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
k
m
ICD
OI
DO

BCBDA
DC
BA
1
1
(tích 2 ma trận tam giác)
* Dùng kết quả:
1
1
1
1
1
.
-
-
-
-
-
ú
û
ù
ê
ë
é
-
ú
û
ù
ê
ë

é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
DO
BCBDA
ICD
OI
DC
BA
k
m


Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë

é
-
-
=
5422
3211
0010
3111
E
* Phân tích E=E
1
E
2
với E
1
, E
2
là 2 ma trận tam giác:

ú
û
ù
ê
ë
é
=-
ú
û
ù
ê

ë
é
=

10
5,05,0
;
00
5,05,0
11
CBDACD


ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=Þ
ú
ú
ú

ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
-
-
-
-
11
1
11
2
22
3

22
5
11
3
11
17
1
1
1
1
00
00
0010
12
5400
3200
0010
315,05,0
E
DO
BCBDA
E

ú
ú
ú
ú
û
ù
ê

ê
ê
ê
ë
é

=Þ
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
-
1000

015,05,0
0010
0001
1000
015,05,0
0010
0001
1
2
2
1
2
2
E
ICD
OI
E
*
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

-
-
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é

==

-
-
-
-

11
1
11
2
11
3
11
17
11
1
11
2
22
3
22
5
11
3
11
17
1
1
1
2
1

00
0101
0010
12
00
00
0010
12
.
1000
015,05,0
0010
0001
EEE