Đề thi HSG lớp 12 môn Toán năm học 2010-2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
CAO BẰNG




ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề)
ðỀ BÀI
( ðề gồm 01 trang)

Câu I (5 ñiểm): Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
+
có ñồ thị (H)
a)

Chứng minh rằng ñường thẳng
y x m
= − +
luôn cắt ñồ thị
(H)
tại hai ñiểm phân biệt

A, B
. Tìm
m
ñể khoảng cách
AB
ngắn nhất.
b)

Tìm
t
ñể phương trình
2sin 1
sin 2
u
t
u
+
=
+
(
ẩn là u
) có nghiệm trên
[
]
0;
π
.
Câu II
(4 ñiểm):

a)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2 2 (2 )(2 )
y x x x x
= − + + − − +

b)

Cho tam giác
ABC
có các góc
A,B,C
thỏa mãn
5
cos 2 3 cos 2 3 cos 2 0
2
A B C
+ + + =
. Xác
ñịnh các góc
A,B,C.

Câu III
(3 ñiểm):
Cho hệ phương trình
2 2
1 ( 1) 1
1
x y k x y

xy x y


+ − − + − =

+ = +



( k là tham số)

a)

Giải hệ phương trình khi
k=0

b)

Tìm
k
ñể hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu IV
(2 ñiểm)
: Cho hình chóp
S.ABCD
có ñáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
M, N
lần lượt là trung

ñiểm của các cạnh
SA, SD
. Mặt phẳng
( )
α
chứa
MN
cắt các cạnh
SB, SC
lần lượt tại
Q, P.
ðặt
SQ
x
SB
=
, tìm
x
ñể
.
.
3
8
S MNPQ
S ABCD
V
V
=
.
Câu V

(4 ñiểm):

Cho lăng trụ tam giác
ABC.A’B’C’
có ñộ dài cạnh bên bằng
2a
, ñáy
ABC
là tam giác
vuông tại
A
,
AB=a
,
3
AC a
=
và hình chiếu vuông góc của ñỉnh
A’
trên mặt phẳng
(ABC)
là trung
ñiểm của cạnh
BC
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
A’.ABC
và tính
cosin

của góc giữa hai ñường thẳng
AA’
và
B’C’.

Câu VI
(2 ñiểm)
:

Cho dãy số
( )
n
u
xác ñịnh như sau:
1
2
1
1
, 1
2010
n
n n
u
u
u u n
+
=




= + ≥


. Tính
1 2
2 3 1
lim
n
n
n
u
u u
u u u
→+∞
+
 
+ + +
 
 
.

Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Họ tên, chữ kí của giám thị 1:

ð
ề chính thức