HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC

THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–

Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á

á
p
p
.
. Trang 1
V
V
É
É
C
C
T
T
Ơ
Ơ


T
T
R
R
O
O
N
N
G
G


K

K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.


…
…




Q

Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó

Ó
C
C


T
T
R
R
O
O
N
N
G
G


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G

G
I
I
A
A
N
N
.
.




…
…


§
§
1
1
.
.


V
V
É
É
C

C
T
T
Ơ
Ơ


T
T
R
R
O
O
N
N
G
G


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
I
I
A
A
N
N
.
.


1) ĐỊNH NGHĨA & CÁC QUY TẮC:
 Véctơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng. Véctơ
AB

có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
 Quy tắc ba điểm:
AB BC AC
 
  

 Quy tắc hiệu hai véctơ cùng điểm đầu:
AC AB BC
 
  

 Quy tắc đường chéo hình bình hành ABCD:
AB AD AC

 
  







 Quy tắc đường chéo hình hộp ABCD.ABCD:
' '
AB AD AA AC
  
   







2) ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉCTƠ:
 Định nghĩa: Trong không gian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song
với một mặt phẳng. (Giá của một véctơ là đường thẳng chứa véctơ đó).
 Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng: Trong không gian cho
a

,
b


,
c

, trong đó
a

và
b

không cùng
phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ
a

,
b

,
c

đồng phẳng là có duy nhất cặp số m, n sao cho
c ma nb
 
  
.
 Biểu diễn một véctơ qua ba véctơ trong không gian: Trong không gian
cho
a

,
b


,
c

không đồng phẳng. Khi đó với mọi véctơ
d

ta luôn tìm
được bộ ba số m, n, p duy nhất sao cho
d ma nb pc
  
   
.







3) CÁC DẠNG TOÁN:

1
Vd
Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi G là trọng tâm ABD. Chứng minh A, G, C thẳng hàng.
Giải: Để chứng minh A, G, C thẳng hàng, ta chứng minh
'
AG k AC

 

. Thật vậy: G là trọng tâm ABD
 A,
 
1
'
3
AG AA AB AD
  
   
. Theo quy tắc hình hộp, ta có:
' '
AB AD AA AC
  
   

1
'
3
AG AC

 
.Vậy A, G, C thẳng hàng.

2
Vd
Hình hộp ABCD.ABCD có M, N, P, Q thứ tự là trung điểm AB, AA, BC, CD. Chứng minh:
a) Ba véctơ
' ', , '
A C MN AD
  

đồng phẳng.
b) Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
8
8
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1

1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N

N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 2
Giải:
a) Cách 1:
' '
A C

có giá AC // AC mà AC  (ACD)  AC//
(ACD);
MN

có giá MN // AB // DC mà DC  (ACD)  MN //
(ACD);
'
AD

có giá là AD  (ACD).
Vậy:
' ', , '
A C MN AD
  
có giá song song hoặc trùng mặt phẳng (ACD)

nên chúng đồng phẳng.
Cách 2: Ta có
'
AD

=
AC

+
'
CD

, mà
AC

=
' '
A C

;
'
CD

=
'
BA

=
2
MN



'
AD

=
' '
A C

+ 2
MN

(
' '
A C

và
MN

không cùng phương)

' ', , '
A C MN AD
  
đồng phẳng.
b) Ta có:
'
AD

=

' '
A C

+ 2
MN

, với
'
AD

=
MQ

và
' '
A C

=
AC

= 2
MP


'
AD

=
' '
A C


+ 2
MN



MQ

= 2
MP

+ 2
MN


MQ

,
MP

,
MN

đồng phẳng  Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
B
B
À
À
I
I

T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Cho hình hộp ABCD.ABCD. Chứng minh:
a)
AB

+
' '
B C

+
'
DD

=
'
AC

; b)
BD


–
'
D D

–
' '
B D

=
'
BB

; c)
AC

+
'
BA

+
DB

+
'
C D

=
0


 Hướng dẫn:
b)
BD

+
'
DD

+
' '
D B

=
'
BB

; c)
AC

+
'
CD

+
' '
D B

+
'

B A

=
AA

=
0


2) Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh
rằng:
SA

+
SC

=
SB

+
SD

.
 Hướng dẫn:
SA

+
SC

=

SB

+
SD

= 2
SO


3) Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh :
a)
MN

=
1
2


AD BC

 
b)
MN

=
1
2


AC BD


 

 Hướng dẫn:
M trung điểm AB  O:
2
OM OA OB
 
  
, N trung điểm CD  O:
2
ON OC OD
 
  
 a)
MN

=
1
2


AD BC

 
và b)
MN

=
1

2


AC BD

 




4) Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho:
a)
AE

=
AB

+
AC

+
AD

; b)
AF

=
AB

+

AC

–
AD


 Hướng dẫn:
a)
AB

+
AC

+
AD

=
AK AD

 
=
AE

như hình vẽ.

b)
AB

–
AD


+
AC

=
DB

+
AC

=
'
AB

+
AC

=
AF






5) Cho hình tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ABC. Chứng minh rằng:
DA

+
DB


+
DC

= 3
DG


 Hướng dẫn:
DA DG GA
DB DG GB
DC DG GC

 


 


 


  
  
  

DA

+
DB


+
DC

= 3
DG

(vì G là trọng tâm ABC).



THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A

N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ

V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à

à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3
6) Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và
P là điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng:
a)
IA

+
IB

+
IC

+
ID


=
0

; b)
PI

=
1
4


PA PB PC PD
  
   

 Hướng dẫn:
a) M, N trung điểm AC, BD  I:
2 , 2
IM IA IC IN IB ID
   
     
, I trung điểm MN 
IA

+
IB

+
IC


+
ID

=
0

;
b) M, N, I trung điểm AC, BD, MN  P:


2 , 2 , 4 2
PM PA PC PN PB PD PI PM PN
     
        

PI

=
1
4


PA PB PC PD
  
   

7) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có
'
AA


=
a

,
AB

=
b

,
AC

=
c

. Hãy biểu thị các véctơ
'
B C

,
'
BC

qua các véctơ
a

,
b


,
c

.
 Hướng dẫn:


' ' '
B C B A AC AA AB AC a b c
         
        

' '
BC AC AB a c b
    
     






8) Cho ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
MS

= –2
MA


và trên đoạn BC lấy N sao cho

NB

= –
1
2
NC

. Chứng minh ba véctơ ,
MN

,
SC

đồng phẳng.
 Hướng dẫn:
2 2 2 2 (1)
2 2 2 2 (2)
(3)
MN MA AN SM AN
AB AN NB AN NC
SC SM MN NC
   
   
  
    
    
   

Lấy (1) trừ (2) rồi thay vào (3)


3 2
SC MN AB
 
  

SC

,
MN

,
AB

đồng phẳng

9) Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF. Chứng
minh ba véctơ
AC

,
KI

,
FG

đồng phẳng.
 Hướng dẫn: Ta có:
AD DC AC
 
  


FG DC AC
 
  
với K, I
trung điểm HA, HB 
2
AB I

 
 2
FG KI AC
 
  

AC

,
KI

,
FG

đồng phẳng.




10) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi G và G lần lượt là trọng tâm ABC và ABC, I là giao
điểm của hai đường thẳng AB và AB. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG song song với

nhau.
 Hướng dẫn:







THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N

1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V

U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n

n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 4
§
§
2
2
.
.


H
H
A
A
I
I

Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G


T
T
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G


V
V
U
U
Ô

Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.


1) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN:
 Trong không gian cho hai véctơ khác không
,
u v
 
. Lấy một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao
cho
,
AB u AC v
 
   
. Khi đó ta gọi góc


BAC




0 0
0 180
BAC 
là góc giữa hai véctơ
,
u v
 
trong
không gian, ký hiệu


,
u v
 
.
 Trong không gian cho hai véctơ khác không
,
u v
 
. Tích vô hướng của hai véctơ
,
u v
 
là một số, ký hiệu
.

u v
 
, được xác định bởi công thức


. . cos ,
u v u v u v

     
.

. 0
u v u v
  
   
.
2) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:
 Trong không gian véctơ khác không
a

được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó
song song hoặc trùng với đường thẳng d.
 Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a, b cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song với a, b. Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá
0
90
.

 
 

1 2
1 2 1 2
1 2
| . |
cos , cos ,
| |.| |
u u
d d u u
u u
 
 
 
 
với
1 2
,
u u
 
là hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng
1 2
,
d d
.
3) HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:
 Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc nhau nếu góc giữa chúng bằng
0
90
. Ký hiệu a  b.
 Hai đường thẳng vuông góc nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
 Hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc

với đường thẳng kia.
4) CÁC DẠNG TOÁN:

1
Vd
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a
2
. Tính góc giữa hai đường
thẳng AB và SC.
Giải:
Ta có
 
 
| . |
cos , cos ,
| |.| |
AB SC
AB SC AB SC
AB SC
 
 
 
 

2
| ( ) | 1
| . . |
.
AB SA AC
AB SA AB AC

a a a

  
  
   

ABC vuông cân tại A vì
2 2 2 2 2 2
2
AB AC a a a BC
    
nên
. 0
AB AC

 
.
SAB là  đều nên
2
0
. . .cos( , ) . .cos120
2
a
AB SA AB SA AB SA a a
   
   

Vậy
 
 

 

0
1
cos , cos , , 60
2
AB SC AB SC AB SC   
 
.

2
Vd
Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc nhau.
Giải:
P là trung điểm AB  O, ta có
2
OP OA OB
 
  
;
Q là trung điểm DC  O, ta có
2
OQ OC OD
 
  
.
Do đó



2
OQ OP OC OD OA OB
    
     

2
PQ AC BD
  
  




2 . . . 0
PQ AB AC BD AB AC AB BD AB
    
        
.

.
PQ AB
 
= 0 
PQ AB

 
 PQ  AB.

a 2
A

B
C
S
Q
P
B
C
D
A
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N

1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V

U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n

n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.

.


1) Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng
. . . 0
ABCD AC DB AD BC
  
     
.
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và AC  BD thì AD  BC.
 Hướng dẫn:
a) Ta có






. ; . ; .
AB CD AB AD AC AC DB AC AB AD AD BC AD AC AB
     
         
    

. . . 0
ABCD AC DB AD BC
   
     

b)
. 0, . 0 . 0
AB CD AC DB AD BC AD BC AD BC
       
       
.
2) Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng
khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC, CA. Chứng minh rằng:
a) AB  CC; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
 Hướng dẫn:
a)


. . . . 0
AB CC AB AC AC AB AC AB AC
  
    
        
Vì ABC và
ABC là hai tam giác đều bằnh nhau nên có tích vô hướng bằnh nhau.
Vậy
AB CC AB CC
 
  
 
.
b) MN//AB//PQ và MN = PQ = ½ AB  MNPQ là hình bình hành.
Mặt khác AB  CC mà MN//AB còn MQ//CC  MN  MQ  MNPQ
là hình chữ nhật.
3) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và




ASB BSC CSA
  .
Chứng minh rằng SA  BC, SB  AC, SC  AB.
 Hướng dẫn:
Ta có ASB = BSC = CSA;


. . . . 0
SA BC SA SC SB SA SC SA SB SA BC
      
        
.
4) Trong không gian cho hình vuông ABCD và ABCD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng
khác nhau, lần lượt có tâm O và O. Chứng minh rằng AB  OO và tứ giác CDDC là hình chữ nhật.
 Hướng dẫn:


. . . . 0
AB OO AB AO AO AB AO AB AO
  
    
        
. Vì ABO = ABO, do đó AB OO.
Tứ giác CDDC là hình bình hành có CC  AB nên CC  CD do đó CDDC là hình chữ nhật.
5) Cho S là diện tích ABC. Chứng minh rằng
 
2

2 2
1
. .
2
S AB AC AB AC
 
   
.
 Hướng dẫn:
Ta có
   
2
2 2
2
. 1
cos cos , 1 cos . .
.
| |.| |
AB AC
A AB AC A AB AC AB AC
AB AC
AB AC
     
 
     
 

Ta có
2
1 1

. .sin . . 1 cos
2 2
S A B AC A AB AC A
  
. Do đó
 
2
2 2
1
. .
2
S AB AC AB AC
 
   

6) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và


0
60
BAC BAD  . Chứng minh rằng:
a) AB  CD; b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD thì MN  AB, MN  CD.
 Hướng dẫn:
a) BAC = BAD do đó


. . . . 0
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
    
        

 AB  CD.
b) M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD 
2
MN AD BC AD AC AB
    
     



2 .
MN AB AD AC AB AB
   
     

2
2 2 2
1 1
. . 0
2 2
AB AD AB AC AB AB AB AB
     
    
 MN  AB.
Tương tự




2 .MN CD AD AC AB AD AC

    
      

2 2
. . 0
AD AC AB AD AB AC
   
     
 MN  CD.
P
N
M
Q
A
B
C
C'
N
M
B
D
C
A
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô

N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U

A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C

.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 6
7) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

a) Tính độ dài đoạn MN theo a.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC.
c) Chứng minh rằng MN  AB.
 Hướng dẫn:
a) ACB = ADB  CM = MD =
3
2
a
 MCD cân tại M và MN  CD
 MN =
2 2
2 2
3 2
4 4 2
a a a
MC NC    .
b)
 
 
| . | 1 | ( ). |
cos , cos ,
2 .
| |.| |
MN BC AC BD BC
MN BC MN BC
MN BC
MN BC

  
    

 
 
=
0 0
2
| . .cos60 . .cos60 | 2
2
2
AC BC BD BC
a

 



0
, 45
MN BC 

Hoặc MI//BC 

2 2 2
2
cos
2 . 2
MI MN IN
NMI
MI MN
 
  




0
, 45
MN BC 

c) CDB = CDA  AN = BN  ANB cân  NM  AB.
8) Cho hình chóp S.ABC có

0
120
ASB  ,

0
60
BSC  ,

0
90
CSA  và có SA = SB = SC = a.
a) Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA.
b) Chứng minh ABC vuông tại C.
c) Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh SH  HC.
 Hướng dẫn:
a)

0
90
CSA 

SAC vuông cân tại S  AC = a
2
. Ta có

0
60
BSC 

BSC đều  BC = a. Ta có

0
120
ASB 
, H là trung điểm AB  AH =
3
3
2
a
AB a
  .
b) Vì
2 2 2 2 3 2
2 3
CA CB a a a AB
    
ABC vuông tại C.
c) ABC vuông tại C  CH = ½ AB =
3
2
a

và SH =
2
2
3
4 2
a a
a
 
do đó
2 2
2 2 2 2
3
4 4
a a
SH CH a SC
     SHC vuông tại H  SH  HC.




I
N
M
B
D
C
A
H
A
C

B
S
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1

–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G

G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P

h
h
á
á
p
p
.
. Trang 7
§
§
3
3
.
.


Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G


T
T

H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C

V
V
Ớ
Ớ
I
I


M
M
Ặ
Ặ
T
T


P
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
.
.

1) ĐỊNH NGHĨA:
 Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
( ) ( ),
d mp P a P d a
    





2) ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG:
 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường
thẳng d vuông góc với mp(P).
,
, ( ) ( )
, caét nhau
d a d b
a b mp P d mp P
a b
 


  





3) TÍNH CHẤT:

 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
(Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn
thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó).
 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông
góc với một mặt phẳng cho trước.




4) LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC:
 Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này cũng vuông góc với
đường thẳng kia.
 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau.
b
a
P

 Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này cũng vuông góc mặt
phẳng kia.
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
d
Q
P

 Cho một đường thẳng song song một mặt phẳng. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thì cũng
vuông góc với đường thẳng kia.
 Cho một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng. Nếu một đường thẳng vuông góc với cả hai thì
đường thẳng và mặt phẳng đó song song nhau.
d
a

P

b
P
a
d
d
a
P
P
A
B
O
I
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I

I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ

Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 8
5) PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC & ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC:
 Cho đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P). Phép chiếu song
song theo phương của d lên mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu
vuông góc lên mặt phẳng (P).

 Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông
góc với (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện
cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a
của a trên (P). ( ), ( ),
a P b P b a b a


    

b
b
a'
a'
a
a
P
P

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên phặt phẳng.
φ
b
a'
a
P

6) CÁC DẠNG TOÁN:

1
Vd
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại B và SA  (ABC).
a) Chứng minh BC  (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh AH  SC.
Giải:
a) SA  (ABC)  SABC; ABC vuông tại B  ABBC  BC  (SAB).
b) Ta có AH(SAB), BC  (SAB)  BC  AH mà AH  SB  AH 
(SBC)  AH  SC.


2
Vd
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a
2
và SA  (ABCD). Gọi
M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên SB và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng:
a) (AMN). b) (ABCD).
Giải:
a) BC  AB, BC  SA  BC  (SAB)  BC  AM mà AM  SB 
AM  (SBC)  AM  SC (1).
Ta có CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  CD  AN mà AN 
SD  AN  (SCD)  AN  SC (2).
Từ (1) và (2)  SC  (AMN) hay góc giữa chúng bằng
0
90

b) SAC vuông cân tại A vì SA = AC = a
2
. Mặt khác AC là hình
chiếu của SC lên (ABCD) nên góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là

0
45
SCA  .

A
C
B
S
H
A
D
B
C
S
M
N
a'
a
d
P
B'
A'
A
B
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G

G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N

N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:

L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
B
B
À
À

I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Cho tứ diện ABCD có hai mặt là hai tam giác cân ABC và BCD chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung
điểm cạnh BC. Gọi AH là đường cao ADI. Chứng minh:
a) BC  (ADI); b) AH  (BCD).
 Hướng dẫn:
a) Ta có ABC và BCD cân, có I trung điểm nên AI  BC và DI  BC 
BC  (ADI).
b) Ta có AH  (ADI) mà BC  (ADI)  BC  AH mặt khác AH  DI 
AH  (BCD).




2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao của AC và
BD. Chứng minh:
a) SO  (ABCD); b) AC  (SBD) và BD  (SAC).
 Hướng dẫn:

a) SAC, SBD cân tại S có O là trung điểm  SO  AC, SO  BD
 SO  (ABCD).
b) Ta có AC  SO, AC  BD (đường chéo hình thoi)  AC  (SBD).
Tương tự  BD  (SAC).




3) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ
O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm ABC; b)
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   .
 Hướng dẫn:
a) OA  OB, OA  OC  OA  (OBC)  OA  BC.
Ta có OH  (ABC)  OH  BC;  BC  (OAH)  BC  AH.
Tương tự ta chứng minh được AC  BH  H là trực tâm ABC.
b) AOA vuông tại O có OH là đường cao 
2 2 2
1 1 1
OH OA OA
 


Vì BOC vuông tại O có OA là đường cao 
2 2 2
1 1 1
OA OB OC

 


Vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
  

4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA  (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt
lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho
SI SK
SB SD
 . Chứng minh:
a) BD vuông góc với SC; b) IK vuông góc với (SAC).
 Hướng dẫn:
a) SBD có
SI SK
SB SD

 IK//BD.
Ta có SA  (ABCD)  SA  BD; BD  AC (hình thoi)
 BD  (SAC)  BD  SC.
b) IK//BD  IK  (SAC).



I
B
D

C
A
H
O
D
C
A
B
S
B
C
A
D
S
I
K
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G

G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H

H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 10
5) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt (ABC) và ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ
AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho
SM SN
SB SC

. Chứng minh rằng :
a) BC  (SAB), AM  (SBC); b) SB  AN.
 Hướng dẫn:

a) SBC có
SM SN
SB SC
  MN//BC.
Ta có SA  (ABC)  SA  BC, BC  AB  BC  (SAB).
Ta có MN  (SAB), BC  (SAB)  BC  AM mà AM  SB
 AM  (SBC);
b) Ta có BC  (SAB)  BC  SB.
MN//BC  MN  SB.
Với SB  AM, SB  MN  SB  (AMN)  SB  AN.
6) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt phẳng (ABC) và ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là
trực tâm của ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy; b) SC  mp(BHK); c) HK  mp(SBC).
 Hướng dẫn:
a) AH  BC tại I mà SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAI)  BC 
SI  SI là đường cao SBC  K  SI  AH, SK, BC đồng quy tại I.
b) BH  AC (vì H là trực tâm ABC), BH  SA (vì SA  (ABC)) 
BH  (SAC)  BH  SC, BK  SC (vì K là trực tâm SBC)
 SC  mp(BHK)
c) SC  mp(BHK)  SC  HK, BC  (SAI)
 BC  HK  HK  mp(SBC)



7) Cho hình chóp S.ABC có đáy là  đều cạnh bằng a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm ABC.
a) Chứng minh rằng SG  (ABC), tính SG.
b) Xét mặt phẳng () đi qua A và vuông góc SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để () cắt SC tại
1
C

nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng ().
 Hướng dẫn:
a) Gọi M trung điểm AB  SM  AB  SG là giao tuyến của các mặt
phẳng trung trực của cạnh AB, BC, AC của  đều ABC  SG  (ABC).
2 2 2 2 2
3
( )
3
a
SG SA AG b     SG =
2
2
3
a
b 
b) Để
1
C
nằm giữa S và C và A
1
C
 SC khi góc ASC là góc nhọn 
2 2 2 2 2
2
hay
AC SA SC a b
   .
SA
1
C

= SB
1
C
(c, g, c) mà A
1
C
 SC  B
1
C
 SC  SC  (AB
1
C
)
 thiết diện là AB
1
C
cân tại
1
C
.
1
C
M là trung tuyến đồng thời là đường cao
1
C
M  SC. Gọi góc SCM là góc   sin =
2
2
3
a

b
SG
SC b

 
1
C
M = CM.sin =
2
2
2 2
3
3
2 3
2
a a
b
a b a
b b


 
1
2 2 2
3
4
ABC
a b a
S
b



A
C
B
S
M
N
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N

1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U

U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n

h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
§
§
4
4
.
.


H
H
A
A
I
I

M
M
Ặ
Ặ
T
T


P
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
Ó
Ó
C
C
.
.


1) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:
 Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
đó.
 Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai
mặt phẳng đó bằng
0
0
.
 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: Trên giao tuyến của
hai mặt phẳng (P), (Q), ta chọn điểm I. Hai đường thẳng a, b
nằm trên hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với giao tuyến
tại I thì góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) chính là góc giữa
hai đường thẳng a, b.
 Diện tích hình chiếu của một đa giác: Hình H có diện tích S nằm trong mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông
góc của H trên mặt phẳng (Q) là H có diện tích S thì
.cos
S S



 với

là góc (P) và (Q).
2) HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC:
 Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nhau nếu góc giữa hai măt phẳng đó là góc vuông.
 Các định lý:
 Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng kia.
( )
( ) ( )
( )
a Q
Q P
a P


 




Hq: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào
vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q d a P
a Q a d




   


 


 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q d
P R d R
Q R
 


  





3) LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG:
B
C
A
E
D
D'
E'
A'
C'
B'
F
G
I
H
H'
I'
G'
F'
J'
K'
M'
L'
L
M
K
J

 Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, các mặt bên là những hình chữ nhật
vuông góc với mặt đáy.

 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều, có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.
Các lăng trụ đó gọi là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều …
 Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ
nhật.
 Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là
hình lập phương.
b
a
Q
P
φ
I
a
b
Q
P
R
Q
P
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N

H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L

L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
4) HÌNH CHÓP ĐỀU & CHÓP CỤT ĐỀU:
a) Hình chóp đều:
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các
cạnh bên bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp
tam giác đều, hình chóp tứ giác đều …

 Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân
bằng nhau.
 Hình chóp là chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác
đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.
 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác
đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt đáy các góc bằng
nhau.
b) Hình chóp cụt đều:

 Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiệt diện song
song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là
hình chóp cụt đều.
 Các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau.





5) CÁC DẠNG TOÁN:

1
Vd
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA  (ABC) và SA =
1
2
a.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
b) Tính diện tích SBC.
Giải:
a) SAB = SAC (c, g, c). Gọi H là trung điểm BC  SH  BC, AH  BC 


SHA
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
ABC đều cạnh a  AH =
3
2
a

 
0
3
tan 30
3
SA
SHA SHA
AH
    .
b) Ta có SA  (ABC) nên hình chiếu vuông góc của SBC lên (ABC) là
ABC. Do đó

2 2
1 3 2
. .
4 2
3
cos
SBC ABC
a a
S S
SHA

  

2
Vd
Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Tính diện tích thiết diện của hình lập
phương bị cắt bởi mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
Giải:
Gọi M là trung điểm BC. Ta có AM = MC =
5
2
a
nên M thuộc mặt
phẳng trung trực của AC. Gọi N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của
CD, DD, BB, AD, AB. Chứng minh tương tự các điểm trên đều
thuộc trung trực của AC. Vậy thiết diện là hình lục giác đều MNPRSQ
có cạnh bằng
2
2
a
.
Diện tích S của thiết diện là
2
2
2 3 3 3
6.
2 4 4
a a
S
 
 

 
 
 

P
B'
C'
D'
E'
A'
S
A
B
C
D
E
O
A
D
B
C
S
H
A
B
C
S
P
Q
R

S
N
M
A'
D'
B'
C'
C
B
D
A
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A

N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ

V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à

à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P

P
.
.


1) Trong mặt phẳng () cho ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với () tại A. Chứng minh
rằng:
a)

ABD
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC);
b) (ABD)  (BCD);
c) HK//BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) qua A và vuông góc BD.
 Hướng dẫn:
a) AD  (ABC)  AD  BC mà AB  BC  BC  (ABD)  BC  BD.
Ta có AB  BC, DB  BC 

ABD
là góc giữa hai mặt (ABC) và (DBC).
b) Vì BC  (ABD)  (ABD)  (BCD).
c) Ta có BD = (ABD)  (BCD)
(P) qua A và vuông góc BD  HK  BD mà BC  BD  HK//BC.


2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh:
a) (ABCD)  (SBD); b) SBD là tam giác vuông.
 Hướng dẫn:
a) Ta có AC  BD (hình thoi), AC  SO (SAC có SA = SC)
 AC  (SBD)  (ABCD)  (SBD);
b) Theo giả thiết SA = SC = AB = BC = AD = DC

 SAC = BAC = DAC  OS = OB = OD
 SO =
1
2
BD  SBD vuông tại S.

3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SH là đường cao. Chứng minh SA  BC và SB  AC.
 Hướng dẫn:
H là tâm của tam giác đều và SH  (ABC).
Ta có BC  AH, BC  SH  BC  (SAH)  BC  SA
Tương tự AC  BH, AC  SH  AC  (SBH)  AC  SB.





4) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm của hình
vuông ABCD.
a) Tính độ dài đoạn thẳng SO;
b) Gọi M là trung điểm đoạn SC. Chứng minh (MBD)  (SAC);
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt (MBD) và (ABCD).
 Hướng dẫn:
a) ABCD là hình vuông cạnh a  AO =
2
2
a

SO  (ABCD) 
2 2
2

2
a
SO SA AO  
b) SBC, SDC là các tam giác đều có M trung điểm SC
 SC  BM, SC  DM  SC  (MBD)  (ASC)  (MBD).
c) Ta có SO = OC =
2
2
a
mà SOC vuông tại O
 OM =
1
2
SC =
1
2
a. Ta có MB = MD  MO  BD mà CO  BD  góc giữa hai mặt (MBD) và
(ABCD) là

MOC
; SOC vuông cân tại O nên

0
45
MOC 
.
A
C
B
D

H
K
O
B
C
A
D
S
A
C
B
S
H
M
O
A
B
D
C
S
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G

G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N

N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:

L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 14
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a có

0
60

A 
, SC =
6
2
a
, SC(ABCD).
a) Chứng minh (SBD)  (SAC);
b) Trong SCA kẻ IK  SA tại K. Tính độ dài IK;
c) Chứng minh

0
90
BKD 
và suy ra (SAB)  (SAD).
 Hướng dẫn:
a) Ta có BD  AC, BD  SC  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC);
b) ABD có

0
60
A  và AB = AD  AC = 2AI = a
3

AIK và ASC đồng dạng 
2 2
. . 6. 3
2
2. 18
AI IK SC AI SC AI a a a
IK

AS SC AS
a
AC SC
     


c) ABC có

0
120
B 
, AB = BC  BD = 2BI = a. Mặt khác KI =
2
a

 BKD vuông tại K 

0
90
BKD 
 (SAB)  (SAD).
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a,
SA  (ABCD) và SA =a
2
. Gọi I là trung điểm SC.
a) Chứng minh AI  (SCD);
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
 Hướng dẫn:
a) AB = BC = a  AC = a
2

= SA  SAC cân tại A  AI  SC.
Ta có AD = 2a, AB = BC = a  CD = a
2

Vì
2 2 2 2 2 2
2 2 4
AC CD a a a AD
    
 ACD vuông tại C
 CD  AC mà SA  CD  CD  (SAC)  CD  AI  AI  (SCD).
b) Qua phép chiếu vuông góc, hình chiếu của SDC lên (SAB) là SAB.
Với
2
2
2
SAB
a
S  ,
2
1 1
. 2.2 2
2 2
SDC
S CD SC a a a   ,
0
1
.cos cos 60
2
SAB SDC

S S
  
     .
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có
SA  (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh (SAD)  (SCD), (SAC)  (SBC);
b) Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính tan

.
c) Gọi () là mặt phẳng chứa SD và ()  (SAC). Hãy xác định () và tính diện tích thiết diện của hình
chóp S.ABCD với ().
 Hướng dẫn:
a) CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  (SCD)  (SAD);
AC = a
2
, BC = a
2

2 2 2 2
4
AC BC a AB
  
 BC  AC
Mà BC  SA  BC  (SAC)  (SBC)  (SAC).
b) Vì AC  BC và SC  BC 

SCA



là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABCD). Ta có tan

=
2
2
2
SA a
AC
a
 
c) Gọi I là trung điểm của AB  ADCI là hình vuông  DI  AC
 DI  (SAC). Vậy () chứa SD và ()  (SAC) nên đó là mặt (SDI).
Thiết diện của () với hình hình chóp là SDI.
SDI có SD = SI = DI  SH  DI, và SH =
3 6
2 2
DI a


Diện tich thiết diện
2
1 1 6 3
. 2
2 2 2 2
SDI
a a
S SH DI a   .
I

A
B
D
C
S
K
I
B
C
A
D
S
φ
H
I
D
C
A
B
S
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G

G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N

N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:

L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 15
§
§
5
5

.
.


K
K
H
H
O
O
Ả
Ả
N
N
G
G


C
C
Á
Á
C
C
H
H
.
.

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1
mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a
(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai
điểm O và H, trong đó H là hình chiếu của điểm O
trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P)).
d(O, a) = OH; d(O, (P)) = OH.
a
H
O
H
O
P

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song
song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a
đến mp(P).
d(a, (P)) = OH.
a
H
O
P

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là
khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
d((P), (Q)) = OH.
H
O
Q

P

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là
độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d(a, b) = AB.
B
A
b
a


Vd
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng:
a) SB và AD; b) BD và SC.
Giải:
a) Ta có SA = AB = a  SAB vuông cân tại A. Gọi H là trung
điểm SB  AH =
2
2
a
.
Ta có AD SA, AD  AB  AD  (SAD)  AD  AH
Với SB  AH  AH là đường vuông góc chung của SB và AD.
Vậy
 
2
,
2
a

d SB AD AH 
b) SAC vuông tại A, gọi AI là đường cao 
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 6
2 3
a
AI
AI AS AC a a
     
.
Từ tâm O của hình vuông kẻ OK  SC. Ta có BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  BD  OK.
Vậy OK là đường vuông góc chung của BD và SC.
Vì OK//AI  OK =
1
2
AI 
 
1 6
,
2 6
a
d BD SC OK AI   .
O
H
A
D
B
C
S
K

I
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1

–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h

h
á
á
p
p
.
. Trang 16
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S đến
mặt đáy (ABC).
 Hướng dẫn:
Khoảng cách từ S đến mặt đáy (ABC) là đường cao SH của hình chóp tam giác
đều S.ABC.

ABC đều  đường cao AM =
3 3
2
a

H là tâm của  đều  AH =
2
3
3
AM a

Vậy SH =
2 2 2 2
4 3
SA AH a a a
   

2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều đó.
 Hướng dẫn:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có AB  CN, AB  DN  AB  (DNC)  AB  MN
DMC cân tại M  MN  DC. Vậy MN là đường vuông góc chung của AB
và CD; MNC vuông tại N có
2 2
2 2
3 2
4 4 2
a a a
MN MC NC    
Vậy khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều là

2
2
a

3) Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường
vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.
 Hướng dẫn:
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Qua K kẻ đường thẳng d
song song AB và lấy A, B sao cho K là trung điểm AB và KA = IA.
Vì AA // BB // IK mà IK là đường vuông góc chung của AB và CD nên
BB  BC và AA  AD.
BBC = AAD là hai tam giác vuông có BB = AA, BC = AD
 BC = AD.
Chứng minh tương tự ta có AC = BD


4) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng
0
30
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt (ABC) thuộc đường thẳng BC.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy;
b) Chứng minh rằng AA  BC và tính khoảng cách giữa chúng;
c) Tính góc giữa đường thẳng BC và AC;
d) Tính góc giữa mặt (ABBA) với (ABC).
 Hướng dẫn:
a) AH(ABC) 

0
30
AA H


 là góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
Khoảng cách giữa hai mặt đáy chính là AH =
0
.sin30
AA

= a/2
b)
3
2
a
A H


, ABC đều  AH  BC mà BC AH
 BC  (AAH)  BC  AA. Kẻ HK  AA  KH là đường
vuông góc chung của AA với BC  HK = AH.sin
0
30
=
3
4
a

c)

AC H

là góc giữa đường thẳng BC và AC;


0
45
AC H


d)

AIH
là góc giữa mặt (ABBA) với (ABC), với HI  AB và

2 3
tan
3
AIH 

H
M
N
A
C
B
S
N
M
A
C
B
D
d

K
I
A
C
D
B
A'
B'
A'
C'
B'
B
C
A
H
I
K
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N

H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 17
Ô
Ô
N
N


T

T
Ậ
Ậ
P
P


C
C
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


&
&


K
K
I
I
Ể

Ể
M
M


T
T
R
R
A
A
.
.


1) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA = a và SA  (ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông;
b) Mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B, C, D. Chứng minh
BD//BD, AB  SB và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AD.
c) Chứng minh AC  BD và tính diện tích tứ giác ABCD.
 Hướng dẫn:
a) SA  (ABCD)  SA  BC, SA  CD, SA  AB, SA  AD 
SAB, SAD vuông cân tại A.
BC  AB, BC  SA  BC  (SAB)  BC  SB  SBC
vuông tại B.
CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  CD  SD  SCD
vuông tại D.
b) SC  (ABCD)  BC  SC, DC  SC;
SBC = SDC (c, c, c) 



CSB CSD
  SBC = SDC
(g,c,g)  SB = SD. Với SB = SD  BD//BD.
Ta có BC  (SAB)  BC  AB; SC  (ABCD)  SC  AB
 AB  (SBC)  AB  SB.
Ta có AD  (SAB)  AD  AB và SB  AB  AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng
SB và AD. Tam giác SAB vuông tại A có SA = AB = a  AB =
2
2
a
hay
 
2
,
2
a
d SB AD 
c) Ta có BD  AC tại O  BD  (SAC)  BD  (SAC)  BD  AC tại O với O = SO  AC.
SAB, SAD có AB  SB, AD  SD  B, D là trung điểm SB, SD  BD =
1 2
2 2
a
BD  .
Tam giác SAC vuông tại A có AC là đường cao 
2 2 2 2
1 1 1 3 6
2 3
a
AC

AC SA AC a

    

.
Diện tích tứ giác
2
1 1 2 6 3
.
2 2 2 3 6
AB C D
a a a
S B D AC
  
  
  
2) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có

0
60
BAD  . Gọi O là giao điểm của AC và
BD. Đường thẳng SO  (ABCD) và SO =
3
4
a
. Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm BE.
a) Chứng minh mặt (SOF)  (SBC);
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt (SBC);
c) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD).
 Hướng dẫn:

I
F
E
O
I
F
E
O
A
B
D
C
S
C
A
D
B
H
K

a) BCD đều có DE  BC mà DE//OF  OF  BC và OF =
1 3
2 4
a
DE  .
Mặt khác SO  (ABCD)  SO  BC  BC  (SOF)  (SBC)  (SOF).
D'
B'
O'
O

B
C
A
D
S
C'
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


1

1
1
1


–
–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô

Ô
N
N
G
G


G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 18
b) SOF kẻ đường cao OH, ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 16 16 3
3 9 8
a
OH
OH OF SO a a
     
OH  SF và OH  BC  OH  (SBC) 
 
3
,( )
8
a
d O SBC OH 

Gọi I = OF  AD. Trong SIK kẻ đường cao IK, ta có IK  SF, IK  BC  IK  (SBC).
Vì AD//BC  AD//(SBC) 

   
3
,( ) ,( ) 2
4
a
d A SBC d I SBC IK OH   
c) Ta có AD  SO, AD  OI  AD  (SOI)  AD  SI  Góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAD) và
(ABCD) là góc

SIO
. Ta có
 
0
tan 3 60
SO
SIO SIO
OI
   
.
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, có

0
60
BAD 
và SA = SB = SD =
3
2
a
.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC;

b) Chứng minh mặt (SAC)  (ABCD);
c) Chứng minh SB  BC
d) Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan

.
 Hướng dẫn:
a) Gọi H là hình chiếu của S lên mặt (ABCD). Vì SA = SB = SD
 HA = HB = HD  H là trọng tâm  đều ABD.
3 2 2
2 2 2
3 5 15
4 3 12 6
a a a a
SH SA AH SH      
Ta có
3 3 2 3
2 6 3
a a a
CH    ,
2 2 2
2 2 2
5 4 7 7
12 3 4 2
a a a a
SC SH CH SC      
b) Ta có SH(SAC) mà SH  (ABCD)  (SAC)  (ABCD).
c) SBC có
2 2

2 2 2 2
3 7
4 4
a a
SB BC a SC
      SBC vuông tại B  SB  BC.
d) Ta có OH  BD, SO  BD 

SOH


là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
15 6
tan . 5
6
3
SH a
OH
a

  
.
4) Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và



0 0
60 , 90
AOB AOC BOC  
.

a) Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OA  BC.
b) Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
c) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) vuông góc nhau.
 Hướng dẫn:
a) Ta có


0
60
AOB AOC 
và OA = OB = OC = a  AB = AC = a
 ABC = OBC (c,c,c) 


0
90
BAC BOC 
 ABC vuông
cân tại A. Gọi I là trung điểm BC  BC  OI và BC  AI (trung
tuyến trong  cân)  BC  (OAI)  BC  OA.
b) Ta có AI = OI (hai đường cao tương ứng của hai  bằng nhau)
OIA cân tại I. Gọi J là trung điểm OA  IJ  OA với IJ  BC (vì
BC  (OAI))  IJ là đường vuông góc chung của OA và BC.
Khoảng cách d(OA, BC) = IJ =
2 2
OI OJ
 =
2
2
2

2 2
a a
 
 

 
 
 
 
 
=
2
a

c) AOI có trung tuyến IJ =
2
a
=
1
2
OA
 AI  OI mà OI  BC  OI  (ABC)  (OBC)  (ABC).
φ
O
A
B
D
C
S
H

THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


1
1
1
1


–

–


Q
Q
U
U
A
A
N
N


H
H
Ệ
Ệ


V
V
U
U
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
Ó
Ó
C
C
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h

á
á
p
p
.
. Trang 19
5) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a,

0
120
ASB 
,

0
60
BSC 
,

0
90
CSA 
.
a) Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông;
b) Tính khoảng cách từ S đến (ABC);
c) Tính góc tạo bởi SC với mặt phẳng (ABC).
 Hướng dẫn:
a) SAC vuông tại S có SA = SC = a  AC = a
2
, SBC đều 
BC = a, SAB có


0
120
ASB   AB = a
3
.
Ta có
2 2 2 2 2 2
2 3
BC AC a a a AB
    
 ABC vuông tại C.
b) Kẻ SH  (ABC), do SA = SB = SC nên HA = HB = HC.
ABC vuông tại C  H là trung điểm AB.
Vậy khoảng cách từ S đến (ABC) là SH =
2
2 2 2
3
4 2
a a
SA AH a
   

c) Ta có SH  (ABC)  CH là hình chiếu của SC lên (ABC) 

SCH
là
góc tạo bởi SC với mặt phẳng (ABC) và
 
0

1
sin 30
2
SH
SCH SCH
SA
    .
6)



H
C
B
A
S