HÌNH HỌC 12 KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h

h
á
á
p
p
.
. Trang 1
…
…




H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C

K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N


T
T
Ổ
Ổ
N
N
G

G


H
H
Ợ
Ợ
P
P




…
…


§
§
0
0
.
.


Ô
Ô
N
N

T
T
Ậ
Ậ
P
P


K
K
I
I
Ế
Ế
N
N


T
T
H
H
Ứ
Ứ
C
C


L

L
Ớ
Ớ
P
P


1
1
1
1
.
.


A. QUAN HỆ SONG SONG:
I> ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG:
1) Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt phẳng gọi
là song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
/ /( ) ( )a P a P
   

a
(P)

2) Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d không
nằm trên mp(P) và song song

với đường thẳng a nằm trên
mp(P) thì đường thẳng d song
song với mp(P)
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P
a P









d
a
(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo
giao tuyến song song với a.
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P

a Q d a
P Q d


 


 


d
a
(Q)
(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của
chúng song song với đường
thẳng đó.
( ) ( )
( ) / / / /
( ) / /
P Q d
P a d a
Q a
 








a
d
Q
P

II> HAI MẶT PHẲNG SONG SONG:
1) Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không
có điểm nào chung.
( ) / /( ) ( ) ( )P Q P Q
   

Q
P

2) Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song
với nhau.
, ( )
( ) / /( )
/ /( ), / /( )
a b P

a b I P Q
a Q b Q



  




I
b
a
Q
P

ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với
mặt phẳng kia.
( ) / /( )
/ /( )
( )
P Q
a Q
a P







a
Q
P

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao tuyến của
chúng song song.
( )/ /( )
( ) ( ) / /
( ) ( )
P Q
R P a a b
R Q b


  


 


b
a
R
Q
P

5
5

THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N

N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 2
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC:
I> ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:
1) Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là
vuông góc với một mặt phẳng
nếu nó vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trên mặt phẳng
đó.
( ) , ( )
a mp P a c c P
    

P
c
a

2) Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông

góc với hai đường thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng d vuông
góc với mp(P).
,
, ( ) ( )
, caét nhau
d a d b
a b mp P d mp P
a b
 


  




d
a
b
P

ĐL2: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông
góc với mp(P) và đường thẳng b
nằm trong (P). Khi đó, điều kiện
cần và đủ để b vuông góc với a
là b vuông góc với hình chiếu a
của a trên (P).

( ), ( )
'
a mp P b mp P
b a b a
 
  

a'
a
b
P

II> HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC:
1) Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
0
90
.
2) Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với
nhau.
( )
( ) ( )
( )
a mp P
mp Q mp P
a mp Q



 




Q
P
a

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm
trong (P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt phẳng (Q).
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q d a Q
a P a d



   


 



d
Q
P
a

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) vuông góc với nhau và
A là một điểm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua điểm A
và vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
( ) ( )
( )
( )
( )
P Q
A P
a P
A a
a Q





 








A
Q
P
a

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
 


  





a
R
Q
P

THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô

N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h

h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3
III> KHOẢNG CÁCH:
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng ,
đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến
đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cáchgiữa hai điểm M và H, trong đó H
là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a (
hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và

mp(P) song song với a là khoảng cách từ một
điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
d(a;b) = AB
B
A
b
a

IV> GÓC:
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa
hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và
lần lượt cùng phương với a và b.

b'
b
a'
a

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với
mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a của
nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì
ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là
0
90
.
P
a'
a

3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
b
a
Q
P

P
Q
a
b

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa
giác (H) trong mp(P) và S là diện tích hình chiếu
(H) của (H) trên mp(P) thì
' cos
S S


, trong đó

là góc giữa hai mặt
phẳng (P),(P).

C
B
A
S

THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H

H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:

L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 4
§
§
1
1

.
.


K
K
H
H
Ố
Ố
I
I


Đ
Đ
A
A


D
D
I
I
Ệ
Ệ
N
N
.
.

I> KHỐI ĐA DIỆN:
1) Hình đa diện: Là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thoả mãn 2 tính chất:
 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có
một cạnh chung.
 Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
2) Khối đa diện: Là phần không gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
3) Định nghĩa khối đa diện lồi: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ của (H) luôn thuộc (H).
 Công thức Ơle: Khối đa diện lồi (H) có Đ đỉnh, C cạnh, M mặt thì Đ – C + M = 2.




1
Vd
S.ABC có Đ = 4, C = 6, M = 4 thỏa 4 – 6 + 4 = 2.
4) Hình lăng trụ và hình hộp:

 Hình lăng trụ ABCDE.ABCDE có (ABCDE) và (ABCDE) là hai mặt phẳng song song gọi là hai
đáy; AA// = BB// = CC// = DD// = EE gọi là các cạnh bên; các mặt bên (ABBA), (BCCB),
(CDDC), (DEED), (EAAE) là những hình bình hành.
 Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, 6 mặt của hình hộp là hình bình hành.
5) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương:

 Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, các mặt bên là những hình chữ nhật
vuông góc với mặt đáy.
 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều, có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.
Các lăng trụ đó gọi là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều …

 Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ
nhật.
 Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là hình
lập phương.
6) Hình chóp và chóp cụt:
 Hình chóp I.EFGH có đỉnh là I, mặt phẳng (EFGH) là mặt đáy, IE, IF,
IG, IH là các cạnh bên, mặt bên là các tam giác IEF, IFG, IGH,
IHE. Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, … thì gọi là hình
chóp tam giác, hình chóp tứ giác, …
 Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc thì chân đường
cao OH của tứ diện là trực tâm của ABC và
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
  
7) Hình chóp đều:
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H

Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L

L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều …
 Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp
trùng với tâm của đáy.
 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt

đáy các góc bằng nhau.
II> KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU:
1) Khối đa diện đều: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thoả hai tính chất sau:
 Các mặt là những đa giác đều có cùng số cạnh;
 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng số cạnh.
 Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh, ký hiệu {n; p}.
Có 5 loại khối đa diện đều, đó là loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5}

Loại{3; 3}-Tứ
diện đều

loại {4; 3}- Hình
lập phương

loại {3; 4}- Bát
diện đều

loại {5; 3}-Thập
nhị diên đều

loại {3; 5}-Nhị
thập diên đều.
2) Tứ diện đều: Là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy hay 4 mặt là 4 tam giác đều bằng
nhau.
III> THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:
1) Thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h


(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
2) Thể tích khối chóp cụt:


1
' '
3
V B B BB h
  
(B, B là diện tích 2 đáy, h là chiều cao)
3) Thể tích khối lăng trụ:
.
V B h

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
4) Tỷ số thể tích tứ diện:
Cho khối tứ diện SABC và A, B, C là các điểm tùy ý lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC ta có:
' ' '
' ' '
SABC
SA B C
V
SA SB SC
V SA SB SC


B
B
À

À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


A. KHỐI CHÓP:
1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện đều ABCD.
 Hướng dẫn:
Diện tích tam giác đều BCD có cạnh bằng a là
2
3
4
BCD
a
S 
Diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là:
2
4 3
BCD
S S a 

Tam giác đều BCD cạnh a thì đường cao
3
2
a
BN  . H là trọng tâm
BCD 
2 3
3 3
a
BH BN 
H là chân đường cao của tứ diện đều nên
2
2 2 2
6
3 3
a a
AH AB BH a     . Thể tích khối tứ diện
ABCD:
3
1 2
.
3 12
BCD
a
V S AH 
2) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng
3
2
a
.Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.

THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G

G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P

h
h
á
á
p
p
.
. Trang 6
 Hướng dẫn:
2
3 3
4
a
S 
,
3
6
32
a
V 

3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng
a
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
 Hướng dẫn: Diện tích đáy :
2

3
16
a
S 
; Đường cao:
2
2
3 33
36 6
a a
h a  
; Thể tích
3
11
96
a
V 

4) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh a và các cạnh bên tạo với đáy một góc
0
60
. Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
Diện tích ABC:
2
3
4
a
S  và đường cao

3
2
a
AM 
H là trọng tâm ABC 
2 3
3 3
a
AH AM 

H là chân đường cao của hình chóp tam giác đều S.ABC nên

0
60
SAH 
và

0
3
.tan tan60
3
a
SH AH SAH a
  
. Thể tích khối
chóp:
3
1 3
.
3 12

ABC
a
V S SH 
5) Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
3
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
1 3
.
3 4
ABC
V S SH
 

6) Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
, cạnh bên bằng
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
30
. Tính
thể tích của khối chóp S.ABC.

 Hướng dẫn:
2 3
1 1 9 3 3 3
. . .
3 3 16 2 32
ABC
a a a
V S SH  
7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA  (ABC). Tính thể tích của
khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
2 3
1 1 3 3
. . .2
3 3 4 6
ABC
a a
V S SA a  

8) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA  (ABC),

0
60
ASC  . Tính thể tích
của khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
0
3
.cot60
3

a
SA a  ,
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 4 3 12
ABC
a a a
V S SA  
9) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a, SA vuông góc với mặt đáy,
góc giữa cạnh bên SB với mặt đáy bằng
0
60
. Tính thể tích của khối chóp.
 Hướng dẫn:

ABC vuông cân tại B nên
0
2
.sin 45
2
a
AB BC AC  
Diện tích ABC:
2
1
.
2 4
ABC
a

S AB BC 
Ta có SA  (ABC) 

0
60
SBA 

0
2 3 6
.sin 60 .
2 2 4
a a
SA AB  

Thể tích khối chóp
2 3
1 1 6 6
. . .
3 3 4 4 48
ABC
a a a
V S SA  
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H

H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N

N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 7

10) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Biết SA = AB = BC =
2
a
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
3
2
1 1 2
. . . 2
3 3 3
ABC
a
V S SA a a  
11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC). Góc giữa SB với mặt đáy
bằng
0
30
. Biết AC = 2a, BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 2 6
ABC
a a
V S SA a  

12) Cho hình chóp S.ABC có SA



mp ABC

và SA = 3a tam giác ABC có AB = BC = 2a,

0
120
ABC  .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
2 3
1 1
. . 3.3 3
3 3
ABC
V S SA a a a  

13) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a, BC = 2a. SA  (ABC) và
SA =
2
a
. Gọi M, N lần lượt trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng (CMN) chia hình chóp thành hai
khối đa diện, tính thể tích của hai khối đa diện đó.
 Hướng dẫn:

Thể tích khối chóp S.ABC:
3
2
.
1 2
. 2

3 3
S ABC
a
V a a 

Ta có:
.
.
1 1 1
. .
2 2 4
S MNC
S ABC
V SM SN
V SA SB
  

3
.
.
2
4 12
S ABC
S MNC
V
a
V   .
Thể tích khối chóp C.ABNM:
3
. . .

2
4
C ABNM S ABC S MNC
a
V V V  

14) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a và SA =
3
2
a
. Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm BC  BC  AM và BC  SM  BC  (SAM) và
3
2
a
MA MS 
. SAM là tam giác đều cạnh bằng
3
2
a
, kẻ đường cao
SH, ta có SH  AM, SH  BC  SH  (ABC) và
3
4
a
SH 
. Thể tích

khối chóp:
2 3
1 1 3 3 3
. . .
3 3 4 4 16
ABC
a a a
V S SH  

15) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
 Hướng dẫn:
ABC vuông tại A vì
2 2 2
BC AB AC
  và AD  (ABC) nên ta có AB,
AC, AD đôi một vuông góc nhau. Gọi H là trực tâm của BCD và DI là
đường cao của BCD.
Ta có AB  AC, AB  AD  AB  (ACD)  AB  DC.
Với BH  DC  DC  (ABH)  DC  AH (1).
Ta có BC  DI, BC  AD  BC  (ADI)  BC  AH (2)
Từ (1) và (2)  AH  (BCD)
Vì BC  (ADI)  BC  AI. Vậy
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N

H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A

N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.

. Trang 8
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AH AD AI AD AB AC
    

6 34
17
AH 

16) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c. Hai điểm M,
N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho
1 1
,
3 3
AM AB BN BC
 
. Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện
SABC thành 2 khối đa diện (H) và (H) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C. Hãy tính thể tích của
(H) và (H).
 Hướng dẫn:

Thể tích khối chóp B.SAC:
.
6
B SAC
abc
V 

Ta có:

.
.
2 1 2
. .
3 3 9
B SMN
B SAC
V
BM BN
V BA BC
  

.
. ( ')
2
9 27
B SAC
B SMN H
V
abc
V V
  
.
( ) . .
7
6 27 54
H B SAC B SMN
abc abc abc
V V V    

17) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
, 3,
AB a AC a  mặt bên SBC là tam
giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:

ABC vuông tại A nên
2 2
2
BC AB AC a
  
SBC là tam giác đều có cạnh 2a nên đường cao
3
SH a

.
Ta có (SBC)  (ABC) và SH  BC  SH  (ABC)  SH là đường
cao của hình chóp.
Diện tích ABC:
2
3
2
a
S  . Thể tích khối chóp:
2 3
1 1 3
. . . 3
3 3 2 2
ABC

a a
V S SH a  

18) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA

(ABC), biết AB = a, BC =
3
a
, SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài của cạnh
BI theo a.
 Hướng dẫn:

Diện tích ABC:
2
1 3
.
2 2
a
S AB BC 

Thể tích khối chóp S.ABC:
3
1 3
.
3 2
ABC
a
V S SA 
ABC vuông tại B nên
2 2

2
AC AB BC a
   . SAC vuông tại A
nên
2 2
13
SC SA AC a  
Ta có SA  (ABC)  SA  BC với AB  BC  BC  (SAB)  BC 
SB  SBC vuông tại B có I trung điểm SC 
13
2 2
SC a
BI  
19) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ
các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC =
3
a
, SA = 2a.
Tính thể tích khối chóp S.ADE. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (ABC).
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H

H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.

.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9

SA  (ABC)  SA  BC với AB  BC  BC  (SAB)  BC  AD;

AD là đường cao  AD  SB nên AD  (SBC)  AD  SC và AD 
DE (*)
ABC vuông tại A nên
2 2
2
AC AB BC a
   . SAB vuông tại A có
2 2 2 2
1 1 1 5
4
AD AS AB a
   
2 5
5
a
AD  . SAC vuông cân tại A nên
đường cao
2
AE a
 . ADE vuông tại D nên
2 2
30
5
a
DE AE AD  
. Diện tích
2
1 6
.
2 5

ADE
a
S AD DE 

Ta có SC  AD, SC  AE  SC  (ADE) và SE = AE =
2
a
là đường cao của hình chóp S.ADE.
Thể tích của khối chóp S.ADE:
3
1 12
.
3 15
ADE
a
V S SE 
Kẻ EH // SA cắt AC tại H  EH  (ABC) và
1
2
EH SA
 = a. Vậy d(E,(ABC)) = EH = a.
20) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC cân tại A, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC).Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Biết
3 , , 3
SA a AB a BC a
  
. Chứng minh đường
thẳng AG vuông góc với đường thẳng BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a.
 Hướng dẫn:

SAB = SAC  SB = SC. Gọi M trung điểm BC  SM  BC
SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAM)  BC  AG hay AG  BC.
SAM kẻ GH // SA cắt AM tại H  GH  (ABC) và
1
3
GH MG
SA MS
 

 GH = a. ABM vuông tại M nên
2 2
2
a
AM AB BM
  

Diện tích ABC:
2
1 3
.
2 4
ABC
a
S BC AM  .
Thể tích khối chóp G.ABC:
3
1 3
.
3 12
ABC

a
V S GH 

21) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
. Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD theo a.
 Hướng dẫn:

Diện tích hình vuông ABCD:
2
S a


Gọi M trung điểm CD  SM  CD và OM  CD 

0
60
SMO 
là góc giữa mặt bên và mặt đáy.
SO  (ABCD) 

0
3
.tan .tan60
2 2
a a
SO OM SMO  
Thể tích khối chóp S.ABCD:

3
1 3
.
3 6
ABCD
a
V S SO 
22) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng a. Tính thể tích của hình chóp
S.ABCD.
 Hướng dẫn:
2 3
1 1 14 14
. . .
3 3 4 4 48
ABCD
a a a
V S SO  
23) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
45
. Hãy
xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì

N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I

A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p

p
.
. Trang 10
 Hướng dẫn: Tâm là O = AC  BD, Thể tích
3
3
4 2 2
3 2 3
a a
V


 
 
 
 
 

24) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
( )
SA ABCD

, SA =
2
a
, AB = 2a, AD = 5a,

0
30
BAD  . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.

 Hướng dẫn:
3
5
6
a
V 
25) Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam giác đều. Qua
A
dựng
mặt phẳng
( )
P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
( )
P
và hình chóp.
 Hướng dẫn: Để dựng thiết diện, ta kẻ
' .
AC SC

Gọi
' .
I AC SO
 

Kẻ
' '
B D
//
.
BD
Ta có
2
' ' '
1 1 2 3 3
' '. ' . . .
2 2 3 2 6
AD C B
a a
S B D AC BD  

26) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( ),
ABCD SA a

. Đáy
ABCD
là hình bình
hành có


0
, 2 , 60
AB b BC b ABC  
. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
,
BC SD
.
Chứng minh
( )
MN SAB

và tính thể tích của khối tứ diện
AMNC
theo a, b.
 Hướng dẫn:
Gọi H là trung điểm của AD. Khi đó
/ /
( ) / /( )
/ /
HM AB
MNH SAB
HN AS





/ /( )
MN SAB



Có
,
NH AD H AD
 
. Khi đó
1
2 2
a
NH SA
 

Mặt khác dễ thấy
ABM

đều cạnh b. Do M là trung điểm BC
nên
2
3
4
MAC ABM
b
S S 

Vậy thể tích
2 2
1 1 3 3
. . . .
3 3 4 2 24

AMCN AMC
b a ab
V S NH   .
27) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA= a
2
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối
chóp SAIC theo a.
c) Xác định và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
 Hướng dẫn:
a) ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích
2
3
4
ABC
a
S 
.
Vì SA  (ABC)  SA là chiều cao hình chóp 
3
1 6
.
3 12
SABC ABC
a
V S SA  .
b) Xét hai mặt phẳng (SAI) và (SBC). Mặt (SBC) có BC  AI (I trung điểm
BC), BC  SA (SA  (BAC)

 BC  (SAI)  (SBC)  (SAI).
c) SAI vuông tại A, kẻ AK  SI 
2 2 2 2
1 1 1 11 66
6 11
a
AK
AK SA AI a
    

Vì AK  SI, AK  BC (BC  (SAI)) AK  (SBC)  AK là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
28) Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = a và đáy ABC có cạnh bằng 2a
6
. Gọi M, N
là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích khối chóp SAMN.
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ

Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L

ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11

Ta có
2
1 1 1 3 3
2 4 4 2
AMN

AMN ABC
ABC
S
AM AN MN
S S a
AC AB BC S
       

3
1 3
.
3 2
SAMN AMN
a
V S SO 




29) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc
0
60
. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song BD, cắt SB tại E, cắt SD tại F.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
 Hướng dẫn:
a) ABCD là hình vuông, cạnh a thì BD =
2
a
. Gọi SO là đường cao

hình chóp đều S.ABCD 

0
2 6
.tan( ) tan60
2 2
a a
SO OD SDO  

 Thể tích
3
2
1 1 6 6
. .
3 3 2 6
SABCD ABCD
a a
V S SO a  
b) Trong mặt phẳng (SAC), ta có SO cắt AM tại I. Qua I(SBD) kẻ
EF // BD. Ta có BD  AC và BD  SO  BD  (SAC)  BD  AM
mà EF//BD  EF  AM.
SAC có I là trọng tâm nên
2 2 2 2
3 3 3
SI a
EF BD
SO
   

SAC là tam giác đều cạnh bằng

2
a
vì

0
60
SCO   AM
6
2
a

Diện tích tứ giác AEMF là
2
1 3
.
2 3
a
S EF AM 

Ta có EF  (SAC)  EF  SM, mặt khác AM  SM  SM  (AEMF)  SM là đường cao của hình
chóp S.AEMF và
1 2
2 2
a
SM SC  . Thể tích chóp S.AEMF là
3
6
18
a
V  .

30) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân AB = BC = a, SA = a và SA  (ABC). Gọi
B là trung điểm của SB, C là chân đường cao hạ từ A của SAC.
a) Tính thể tích của khối chóp SABC.
b) Chứng minh rằng SC  (ABC).
c) Tính thể tích của khối chóp SABC.
 Hướng dẫn:
a)
2
1
2
ABC
S a
 , SA  (ABC) 
3
1
.
3 6
SABC ABC
a
V S SA 
b) SAB có AB = SA = a  vuông cân tại A, B trung điểm SB  AB 
SB (1). Ta có BC  AB (ABC vuông cân tại B), BC  SA  BC  (SAB)
 BC  AB (2). Từ (1) và (2)  AB  (SBC)  AB  SC. Với giả thiết
AC  SC  SC  (ABC).
c) SAC vuông tại A có SA = a, AC =
2
a
 SC =
3
a

Ta có
1
2
SB
SB


;
2
2 2
. 1
3
SC SC SC SA
SC SC SC
 
  
. Vậy
3
' 1 1
. .
6 6 36
SAB C
SAB C SABC
SABC
V
SA SB SC a
V V
V SA SB SC
 

 

    
M
N
A
C
B
S
B'
A
B
C
S
C'
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ

C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
B. KHỐI LĂNG TRỤ, HỘP:
1) Tính thể tích của khối lăng trụ đều đáy là tam giác cạnh a, góc giữa đường chéo mặt bên và đáy là
0
30
.
 Hướng dẫn:
3

4
a
V 

2) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AACC) tạo với đáy một góc bằng
0
45
. Tính
thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC.
 Hướng dẫn:
ABC là tam giác đều, cạnh a nên diện tích
2
3
4
ABC
a
S  . Gọi
H trung điểm AB  AH  (ABC)  AH  AC. Kẻ AI  AC
 AC  (AIH)  AC  IH 

0
' 45
A IH 
.
AIH vuông tại I có

0
60
IAH 


0
3
.sin 60
4
a
IH AH 

3
'
4
a
A H IH  . Thể tích khối lăng trụ:
3
3
. '
16
ABC
a
V S A H 
3) Cho hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các
điểm M, N sao cho
.
BM CN x
 
Xác định ví trí điểm M sao cho khoảng cách giữa hai dường thẳng

1
AC
và
MN
bằng
3
a
.
 Hướng dẫn:
Ta có








1 1 1
/ / / / , ,
MN BC MN A BC d MN AC d MN A BC
  

Gọi
1 1
H A B AB
  và
1
/ / ,
MK HA K A B


2
2
x
MK  .
Vì
1 1 1
A B AB MK A B
   và


1 1
CB ABB A CB MK
   .
Từ đó suy ra








1 1 1
, ,
MK A BC MK d MN A BC d MN AC
   
Nên
2 2
3 2 3 3

a x a a
MK x    
. Vậy M thỏa mãn
2
3
a
BM 

4) Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA. Tính thể
tích của khối tứ diện BMBC theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với BC.
 Hướng dẫn:
Gọi H là trung điểm của BC  AH  BC; AA // (BCCB)
 
 
3
,
2
a
d M BB C AH

  

2 3
' ' '
1 1 3
. .
2 2 3 12
BB C MBB C BB C
a a
S BB BC V AH S

 

    
Gọi I là tâm hình vuông BCCB.
Ta có BC  MI, BC  BI  BC  (MBI)  BC  MB.
5) Một hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo BC của
mặt bên BCCB tạo với mặt bên ACCA góc . Tính thể tích lăng trụ.
 Hướng dẫn:
AB  AC và AB  AA  AB  (ACCA) 

AC B



là góc tạo bởi cạnh
BC với mặt phẳng (ACCA). Ta có
2
1
2
ABC
S a
 ,
.cot cot
AC AB a
 

 
,
2 2 2 2 2 2
cot cot 1

AA AC A C a a a
 
   
     
. Thể tích
3 2
.
1
. cot 1
2
ABC A B C ABC
V S AA a

  

  

H
C
B1
C1
D
A1
D1
A
B
M
N
K
H

I
M
A
B
C
C'
B'
A'
α
A'
B'
C'
C
B
A
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ

C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
6) Một khối lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB = a, chân đường vuông góc
hạ từ B xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
c) Chứng minh mặt bên AACC là hình chữ nhật.
 Hướng dẫn:
a) Ta có BI  (ABC) có BI là hình chiếu của BB lên mp(ABC)



B BI

là góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ. Ta có
3
2
a
BI  ,
 
0
3
cos 30
2
BI
B BI B BI
BB
 
   

.
b) ABC đều, diện tích
2
3
4
ABC
a
S 
. Đường cao
0

1
.sin30
2
B I BB a
 
  . Thể tích lăng trụ
3
.
3
.
8
ABC A B C ABC
a
V S B I
  

  .
c) Ta có AC  BI, AC  BI  AC  (BBI)  AC  BB mà BB//AA  AC  AA  AACC là
hình chữ nhật.
7) Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB = AB = a và góc của
BC với mặt đáy bằng . Chứng minh rằng


ACB B CB

 và tính thể tích của khối lăng trụ.
 Hướng dẫn:
Ta có BB  (ABC) nên BC là hình chiếu của BC lên (ABC) 

B CB




và tan
BB
BC


 . Ta có tam giác ABC vuông tại B


tan
AB
ACB
BC

. Với BB = AB = a 


ACB B CB


.
Ta có

.cot cot
BC AB ACB a

 
. Diện tích

2
1 1
. cot
2 2
ABC
S AB BC a

  . Thể tích
3
.
1
. cot
2
ABC A B C ABC
V S BB a

  

  .
8) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A lên mp(ABC)
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh bên AA tạo với mặt đáy một góc
0
60
. Chứng
minh BCCB là hình chữ nhật và tính thể tích lăng trụ.
 Hướng dẫn:
Ta có BC  AI, BC  AG  BC  (AAI)  BC  AA
mà AA//BB  BC  BB  BCCB là hình chữ nhật.
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC  G
là trọng tâm ABC 

2 3 3
3 2 3
a a
AG   .
Ta có hình chiếu của A lên (ABC) là G nên AG  (ABC)


0
60
A AG



0
.tan60
A G AG a

 
. Diện tích  đều
2
3
4
ABC
a
S  . Thể tích lăng trụ
3
.
3
.
4

ABC A B C ABC
a
V S A G
  

 
.
9) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABBC.
b) Mặt phẳng đi qua AB và trọng tâm ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp
C.ABFE.
 Hướng dẫn:
I
B
C
A
A
C'
B'
α
α
A
C
B
B'
C'
A'
60
0
G

I
A
C
B
B'
C'
A'
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H

Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n

n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 14
a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, AB và G là trọng tâm ABC.
Thể tích
3
.
1 3
.
3 12
A BB C C ABA ABA
a
V V S CI
   
   .
b) Ta có
2
2

3 3 13
, ,
2 6 12 12
a a a
CI GI KG a a    
2 2
1 3 3 1 3 3
. ,
2 6 12 2 2 4
KIG KIC
a a a a
S a S a    

2
3
6
KGC
a
S 

Gọi H là hình chiếu của C trên KG 
2
2 13
( , )
13
KGC
S
a
d C KG CH
KG

  
Diện tích
2
1 1 2 13 5 13
( )
2 2 3 12 12 3
A B FE
a
S A B EF KG a a a
 
 
 
    
 
 

Mặt phẳng ABFE có EF  (CGK)  (ABFE)  (CGK) nên CH  KG  CH  (ABFE).
Thể tích
2 3 3
1 5 13 2 5 5 3
3 12 3 54
13 18 3
A B FE
a a a a
V
 
   .
10) Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có mặt đáy là ABC vuông tại B và AB = a, BC = 2a, AA = 3a. Một
mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA lần lượt cắt các đoạn CC và BB tại M và N.
a) Tính thể tích khối chóp C.AAB.

b) Chứng minh rằng AN  AB.
c) Tính thể tích khối tứ diện AAMN.
d) Tính diện tích AMN.
 Hướng dẫn:
a)
2
1
.
2
ABC
S AB BC a
 
, đường cao AA = 3a nên thể
tích
3
. .
1
.
3
C A AB A ABC ABC
V V S AA a
 

  
.
b) Ta có AC  (AMN)  AC  AN. Mặt khác, ta có
BC  AB, BC  BB  BC  (ABBA)  BC  AN.
Do đó AN  (ABC)  AN  AB.
c) Do BB//AA và CC//AA nên
3

. . . . .A AMN M ANA M ABA C ABA A ABC
V V V V V a
    
    
.
d) Ta có
2 2
2 2 2
(3 ) 9
14
(3 ) (2 )
AA a a
A I
A C
a a a


  

 
và
2
.
.
3
1 14
.
3 3
A AMN
A AMN AMN AMN

V
a
V S A I S
A I



   

.


I
I
A
C
B
B'
C'
A'
A'
A
C
M
N
K
G
I
C
B

A
A'
B'
C'
E
F
THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng.
H
H
è
è
N
N
H
H


H
H


C
C


K
K
H
H
ễ

ễ
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ờ
ờ


H
H


n
n

h
h


P
P
h
h
ỏ
ỏ
p
p
.
. Trang 15
Đ
Đ
2
2
.
.


K
K
H
H


I
I

T
T
R
R
ề
ề
N
N


X
X
O
O
A
A
Y
Y
.
.


I> KHI TRềN XOAY:
1) Mt trũn xoay:
Cho mp(P) cha v ng cong (L). Khi quay (P) quanh mt gúc
0
360
thỡ mi im M (L) vch

ra mt ng trũn (C) tõm O, (C) nm trờn mt phng (Q) vuụng gúc vi v (L) s to nờn mt
hỡnh c gi l mt trũn xoay.

2) Mt nún, hỡnh nún v khi nún:
ng thng l ct ng thng ti O v khụng vuụng gúc . Mt trũn xoay sinh bi ng thng l
quay quanh gi l mt nún trũn xoay.
OIM vuụng ti I quay quanh cnh gúc vuụng OI to thnh hỡnh nún nh O, bỏn kớnh IM.
Hỡnh nún v phn bờn trong ca nú gi l khi nún.

3) Din tớch ca hỡnh nún v th tớch khi nún:

2
: :
1
: :
3
noựn
baựn kớnh ủaựy baựn kớnh ủaựy

ủửụứng sinh ủửụứng cao
xq
R R
S Rl V R h
l h

4) Mt tr, hỡnh tr v khi tr:
Khi mt trũn xoay sinh bi (L) l ng thng l song song vi trc , cỏch mt khong R thỡ c
gi l mt tr bỏn kớnh R, l l ng sinh.
(P) v (P) cựng vuụng gúc vi trc ta c giao tuyn l 2 ng trũn (C) v (C ).
Phn mt tr nm gia (P) v (P) cựng vi 2 ng trũn (C) v (C ) c gi l hỡnh tr.
Phn khụng gian gii hn bi hỡnh tr v hỡnh tr c gi l khi tr.

5) Din tớch hỡnh tr v th tớch khi tr:

2
: :
2
: :
Truù
baựn kớnh ủaựy baựn kớnh ủaựy

ủửụứngsinh ủửụứng cao
xq
R R
S Rl V R h
l h






6) Mt cu:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H

H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G

G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h

á
á
p
p
.
. Trang 16
 Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là
mặt cầu tâm O bán kính bằng R, ký hiệu S(O; R)

 Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; R) cùng các điểm nằm trong mặt cầu được gọi là khối cầu
S(O; R) hoặc hình cầu S(O; R).
7) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
 Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng , gọi H là hình chiếu của O lên  và d = OH.


 d < R thì  cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt
 d = R thì  tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm H, còn  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu
 d > R thì Δ không cắt mặt cầu
 Định lý: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:
 Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau là đường sinh của mặt nón.
 Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
8) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:
 Mặt cầu bán kính R có diện tích là:
2
4
s R


 Thể tích khối cầu là:
3

4
3
V R



9) Mặt cầu ngoại, nội tiếp hình chóp:

THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H

H
Ơ
Ơ
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à

n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 17
 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là
mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.
 Điều kiện để có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp được trong một
đường tròn. Tâm là giao điểm của trục đường tròn đáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình
chóp.
II> TĨM TẮC CƠNG THỨC DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY:
1. Hình trụ – Khối trụ:
2
:
2
:
:
:
trụ

bán kính đáy
với
đườngsinh
bán kính đáy
với
đường cao
xq
R
S Rl
l
R
V R h
h












2. Hình nón – Khối nón
2
:
:
:

1
:
3
nón
bán kính đáy
với
đườngsinh
bán kính đáy
với
đường cao
xq
R
S Rl
l
R
V R h
h












3.Hình nón cụt – Khối nón cụt:

2 2
( ')
1
( ' ')
3
, ':
:
:
nóncụt


bán kính 2 đáy
với đườngsinh
đường cao
xq
S R R l
V R R RR h
R R
l
h


 
  






4. Mặt cầu – Khối cầu:
2
3
4 :
4
:
3
cầu
với bán kính mặt cầu
với bán kính khối cầu
S R R
V R R






B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ

Ậ
P
P
.
.


1) Cho hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.
b) Tính thể tích khối nón.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.
 Hướng dẫn:
SA = l =
1025
là độ dài đường sinh của hình nón, SO = h là chiều cao hình
nón. Ta có
a)
xq
S
= .r.l = .25.
1025

b) V =
1
3
.
2
r
.h =

1
3
.625.20
c) Thiết diện là ΔSAB cân tại S, I là trung điểm của AB, OH  SI nên OH 
(SAB) do đó OH = 12cm. ΔSOI vng tại O có OH là đường cao nên
2 2 2
1 1 1
OH OI OS
 

2 2 2 2
1 1 1 1
12 20 15
OI
  
 OI = 15cm. ΔOAI có
2 2
AI OA OI
 
= 20cm  AB = 40cm. Ta có SI.OH = OS.OI  SI =
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H

H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.

.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 18
25cm. Vậy
SAB

S
=
1
2
SI.AB = 500
2
cm

2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ.
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng 3cm. Hãy tính diện tích
thiết diện được tạo nên.
 Hướng dẫn:
a)
xq
S
= 2.r.l = 2.5.7
2
cm

b) Thiết diện là hình chữ nhật ABBA với AA = BB = OO = 7cm, AB
= 2AI = 2
2 2
OA OI

= 2
2 2
5 3

= 8cm  S = 8.7 = 56

2
cm

3) Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết
diện là một tam giác đều cạnh 2a. tính diện tích xung quanh và thể tích
của hình nón đó.
 Hướng dẫn: Hình nón có bán kính r = a, đường sinh l = 2a, đường cao
h = a
3
. Ta có
xq
S
= .r.l = 2.
2
a
, V =
1
3
.
2
r
.h =
3
3
3
a


4) Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r
3

.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên từ hình trụ đã cho.
c) Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục
của hình trụ bằng
0
30
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
 Hướng dẫn:
a)
xq
S
= 2.r.l = 2
3

2
r
;
tp
S
= 2
3

2
r
+ 2
2
r
= 2(
3

+ 1)
2
r

b) V = 
2
r
.h = 
3
r
3

c) Gọi AA là đường sinh hình trụ AA // OO nên góc giữa đường thẳng AB
và trục của hình trụ là

'
ABA
=
0
30
, OO // (ABA) nên khoảng cách giữa
đường thẳng AB và trục của hình trụ là khoảng cách giữa đường thẳng AB với
mặt phẳng (ABA). Gọi H là trung điểm BA  OH  BA  OH  (ABA).
Ta có BA = AA.tan
0
30
= r nên ΔBAO là tam giác đều do đó OH =
3
2
r

5) Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO = r
3
. Một
hình nón có đỉnh là O có đáy là hình tròn (O; r). Gọi
1
S
là diện tích xung quanh của hình trụ và
2
S
là
diện tích xung quanh hình nón, hãy tính tỉ số
1
2
S
S
. Mặt xung quanh hình nón chia hình trụ thành hai
phần, hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
 Hướng dẫn:
1
S
= 2
3

2
r
; OM = l là đường sinh hình nón OM =
2 2
'
OO OM

 = 2r,
2
S
= r.2r = 2
2
r
. Vậy
1
2
S
S
=
3

Khối trụ và khối nón có cùng đáy và chiều cao nên thể tích khối trụ bằng 3 lần thể
tích khối nón do đó. Gọi
1
V
là thể tích khối nón
2
V
là thể tích phần còn lại khối trụ,
ta có
1
2
V
V
=
1
2

6) Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a
2
.
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy
hình nón một góc
0
60
. Tính diện tích ΔSBC.
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C

K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H

H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 19
ΔSAB vuông cân tại S có AB = a
2
 r =
2
2
a
, chiều cao h = SO =
2
2
a
, đường sinh l = SA = a. Ta có

xq
S
= rl =
2
2
2
a

,
ñaùy
S
= 
2
r
=
1
2

2
a
, V =
1
3

2
r
h =
3
2
12

a


Kẻ OH  BC  SH  BC 

SHO
=
0
60
 SH =
0
60
SO
=
6
3
a

 BH =
2 2
SB SH

=
3
3
a
. Tính diện tích ΔSBC là
SBC
S
= SH.BH =

2
2
3
a

7) Cho hình trụ có bán kính r, chiều cao bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là
các dây cung của 2 đường tròn đáy , còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính
diện tích hình vuông đó và côsin góc giữa hai mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
 Hướng dẫn:
Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của C và D trên mặt phẳng đáy chứa dây
cung AB nên CDDC là hình chữ nhật  AC = 2r
2 2 2
' '
BC AC AB
  ;
2 2 2
' '
BC BC CC
   2
2
AB
= 5
2
r
 AB =
10
2
r
.
Vậy diện tích hình vuông ABCD là

ABCD
S
=
2
5
2
r

Ta có BC =
6
2
r
và
' '
ABC D
S =
2
15
2
r
.
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt phẳng đáy, ta có cosα =
' '
ABC D
ABCD
S
S
=
3
5

8) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp S.ABCD
 Hướng dẫn:

S.ABCD hình chóp tứ giác đều  ABCD hình vuông tâm O có OA =
OB = OC = OD =
2
2
a
. Tam giác vuông cân SAC có cạnh góc vuông
bằng a nên SO =
2
2
a
vậy O cách đều các đỉnh hình chóp nên O và r
=
2
2
a
là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
9) Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác cho trước
 Hướng dẫn:
Tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với 3 cạnh của một
tam giác cho trước là trục của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

Thuận: S(O; r) tiếp xúc AB, AC, BC  OA = OC = OC = r . Gọi I
là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC)  I là tâm đường tròn nội
tiếp ΔABC và Δ là đường thẳng OI

Đảo: Gọi O Δ là trục đường tròn nội tiếp ΔABC  OA = OC =
OC = r  tồn tại S(O; r) tiếp xúc AB, AC, BC.


THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N

N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 20
10) Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và SA, SB, SC đôi một
vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
 Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm AB, ∆SAB vuông tại S nên IA = IB = IS. Gọi Δ là đường
thẳng đi qua I và vuông góc mặt phẳng (SAB)

mọi điểm nằm trên d thì
cách đều A, B, S. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng trung trực của SC tại
M cắt Δ ở O

OB = OA = OS = OC

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC. Ta có
2 2 2
2
4
a b c

r
 

, S =
2 2 2
( )
a b c

 
, V =
4
3

3
r
=
1
6
2 2 2
( )
a b c

 
2 2 2
a b c
 

Vì SC và IO cùng vuông góc (SAB) nên SC // IO nên xác định một mặt
phẳng. Gọi G = CI  SO, ta có
1

2
OI IG
SC GC
 

G là trọng tâm ∆ABC.
11) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS =
2
a
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
 Hướng dẫn:
Ta có trục Δ đi qua O và Δ  (ABCD) nên mọi điểm nằm trên
Δ cách đều A, B, C, D. Gọi M là trung điểm SA, mặt phẳng
trung trực của SA qua M cắt Δ tại I  IS = IA = IB = IC = ID
 I là tâm mặt cầu bán kính r = IS ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD. Ta có SA =
2 2
SO OA

=
3
2
a
và

cos
ASO
=

SO SM
SA SI

 SI =
.
SA SM
SO
=
3
4
a
Diện tích mặt cầu S = 4
2
r
2
9
4
a

, V =
4
3

3
r
=
3
9
16
a



12) Một hình trụ có bán kính R và chiều cao R
3
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ
bằng
0
30
. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
 Hướng dẫn:
a)
xq
S
= 2R.R
3
= 2
3

3
R
;
tp
S
=
xq
S
+ 2

y
đá
S
= 2
3

3
R
+ 2
2
R
= 2(
3
+ 1)
2
R

b) V = 
2
R
.R
3
= 3
3
R

c) Gọi O, O là hai tâm của hai đường tròn đáy, AA là đường sinh hình trụ nên
có AA// OO và

'

BAA
=
0
30
là góc giữa AB và trục của hình trụ. ΔAAB vuông
tại A nên AB = AA.tan
0
30
= R
3
.
1
3
= R. ΔAOB có AO = OB = AB =
R nên là tam giác đều. Gọi OH là đường cao nên OH  (AAB).
Vì OO // (AAB)  OH là khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ, OH =
3
2
R

13) Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA  (ABC). Biết SA = a, AB =
3
a
,
AC = 2a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì

Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I

I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á

p
p
.
. Trang 21
ABC vuông tại A 
2 2
4 3 7
BC a a a
  
Gọi M trung điểm BC 
7
2 2
BC a
AM  

Từ M dựng đường thẳng d  (ABC)  mọi điểm thuộc d cách đều A, B, C.
Gọi N trung điểm SA, từ N dựng mặt phẳng trung trực của SA cắt d tại O
 OA = OS. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
AMON là hình chữ nhật  đường chéo
2 2
2
OA AM AN a
   = R bán
kính mặt cầu. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC:
2 2
4 8
S R a
 
  .
14) Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a, AB = AC =

a
3
. Tính thể tích của khối chóp. Tìm tâm và tính thể tích khối cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
2 3
.
1 1 3
. . .
3 3 2 2
S ABC ABC
a a
V S SA a
  
,
3
3
3
( )
4 4 7 7 7
3 3 2 6
O
a a
V R

 
 
  
 
 
 

15) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 4cm, SB = SC =
5cm. Tính thể tích của khối chóp. Tìm tâm, tính thể tích khối cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
3
.
1 1 9
. . .4 6
3 3 2
S ABC ABC
V S SA cm
  
;
3
3 3
( )
4 4 34 17 34
3 3 2 3
O
V R cm
 
 
  
 
 
 

16) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
45

. Hãy
xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
 Hướng dẫn: Tâm là O = AC  BD, Thể tích
3
3
4 2 2
3 2 3
a a
V


 
 
 
 
 

17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh BC =
3
a
, SA = a, SA  mp(ABCD), SB hợp
với mặt đáy một góc
0
45
. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
 Hướng dẫn:
Ta có SA  (ABCD) 

0
45

SBA   AB = SA = a. ABCD là
hình chữ nhật 
2 2
2
AC AB BC a
   . SAC vuông tại A
nên
2 2
5
SC SA AC a
   .
Gọi O = AC  BD và I trung điểm SC  OI // SA và OI 
(ABCD). Vì OA = OB = OC = OD  IA = IB = IC = ID.
SAC vuông tại A  IA = IC = IS =
1
2
SC
. Vậy I là tâm mặt
vầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính
1 5
2 2
a
R SC 
.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
3
3
4 5 5
3 6
a

V R


 
18) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc
với đáy. Góc giữa SC và (SAB) bằng
0
30
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Xác định tâm và tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
 Hướng dẫn:
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là I, bán kính R =
1
2
SC a


Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
2
1 1 2
. . 2
3 3 3
ABCD
a
V S SA a a  
Diện tích mặt cầu
2 2
4 4
S R a

 
 


THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N

N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 22
19) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (BCD). Tính diện tích
xung quanh và thể tích khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD chiều cao AH.
 Hướng dẫn:
Tam giác đều BCD cạnh a thì đường cao
3
2
a
BN 
H là trọng tâm BCD 
2 3
3 3
a
BH BN 

H là chân đường cao của tứ diện đều nên
2
2 2 2
6

3 3
a a
AH AB BH a    
Diện tích xung quanh hình trụ:
2
3 6 2 2
2 . . 2 . .
3 3 3
a a a
S BH AH

 
  
Thể tích khối trụ:
2 3
2
6 6
. . . .
3 3 9
a a a
V BH AH

 
  
20) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng a và đường cao h =
2
a
. Hãy tính diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
 Hướng dẫn:

Tam giác đều ABC cạnh a thì đường cao
3
2
a
BN 
H là trọng tâm ABC 
2 3
3 3
a
BH BN 

SH là đường cao hình chóp, SH = h =
2
a

2
2 2 2
21
2
3 3
a a
SB SH HB a    
Mặt phẳng trung trực của SB qua trung điểm M của SB cắt SH tại O,
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Tứ giác HOMB nội tiếp (vì tổng hai góc đối = 2v)  SM.SB = SO.SH

2 2
. 7 7 2
2 12
6 2

SM SB SB a a
SO
SH SH
a
    = R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
2
2
7 2
4
3
a
S R


 

THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H

Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L

L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 23
C
C
Á
Á
C

C


Đ
Đ
Ề
Ề


T
T
H
H
I
I


T
T
Ố
Ố
T
T


N
N
G
G
H

H
I
I
Ệ
Ệ
P
P


T
T
H
H
P
P
T
T
.
.


1) (Đề thi TN.THPT năm 2006) (2 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SB =
3
a
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
 Hướng dẫn:
Ta có SA  (ABCD)  SA  AB  SAB vuông tại A.

Theo Pitago:
2 2
2
SA SB AB a
  

Diện tích hình vuông ABCD:
2
ABCD
S a


Thể tích hình chóp S.ABCD:
3
1 2
.
3 3
ABCD
a
V S SA  (đvtt)
Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD
Gọi I là trung điểm SC  IC = IS
Gọi O = AC  BD  O trung điểm BD và AC.
SAC có OI là đường trung bình  OI // SA  OI  (ABCD)  đường thẳng OI là trung trực của BD
và AC  IB =ID = IA = IC = IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
2) (Đề thi TN.THPT năm 2007) (1,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn:
Diện tích ABC:

2
1
.
2 2
ABC
a
S AB BC  .
Thể tích hình chóp S.ABC:
3
1
.
3 6
ABC
a
V S SA  (đvtt)
3) (Đề thi TN.THPT năm 2007 – Lần 2) (1,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 Hướng dẫn:
ABCD là hình vuông cạnh bằng a nên đường chéo AC =
2
a
, do đó SA = AC =
2
a

Diện tích hình vuông ABCD:
2
ABCD
S a


Thể tích hình chóp S.ABCD:
3
1 2
.
3 3
ABCD
a
V S SA  (đvtt)
4) (Đề thi TN.THPT năm 2008) (2 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh
bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh SA  BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
 Hướng dẫn:
ABC là tam giác đều và SBC là tam giác cân, có I là trung điểm BC
 AI  BC và SI  BC
 BC  (SAI)  BC  SA hay SA  BC.
Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
ABC là tam giác đều, cạnh a nên đường cao
3
2
a
AI 
. Gọi H là trọng
tâm ABC  H là chân đường cao của hình chóp S.ABC
Ta có:
2 3
3 3
a
AH AI  và

2
2 2 2
33
4
3 3
a a
SH SA AH a    
ABC là tam giác đều, cạnh a nên diện tích
2
3
4
ABC
a
S 
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


H
H
Ọ
Ọ
C

C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 24
Tính thể tích khối chóp S.ABC:
3
1 11
.
3 12
ABC
a
V S SH 

Ta có:
3
.
. . .
.
1 1 1 11
. .
2 2 2 24
B ASI
B ASI B ASC S ABC
B ASC
V
BA BS BI BI a
V V V
V BA BS BC BC
      
hay
3
.
11
24
S ABI
a
V  (đvtt)
5) (Đề thi TN.THPT năm 2008 – Lần 2) (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại
B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a. BC = a
3
và SA = 3a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
 Hướng dẫn:
ABC vuông tại B, diện tích:
2
1 3
.
2 2
ABC
a
S AB BC 

Thể tích khối chóp S.ABC:
3
1 3
.
3 2
ABC
a
V S SA  (đvtt)
Ta có SA  (ABC)  SA  BC; ABC vuông tại B  AB  BC
 BC  (SAB)  BC  SB  SBC vuông tại B.
Vì I trung điểm SC nên
1
2
BI SC
 , SAC vuông tại A, ABC vuông tại
B 
2 2 2 2 2
13
SC SA AC SA AB BC a     

. Do đó
13
2
a
BI 

6) (Đề thi TN.THPT năm 2009) (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết

0
120
ABC 
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
 Hướng dẫn:
Ta có SA  (ABC)  SA  AB và SA  AC có SB = AC  SAB =
SAC  AB = AC  ABC cân tại A. Gọi I là trung điểm BC, ta có: AI
 BC 

0
3
.tan tan30
2 6
a a
AI BI ABI   . SBC là tam giác đều
cạnh a nên đường cao
3
2
a
SI 
. Áp dụng Pitago cho SAI:

6
3
a
SA 

Diện tích ABC:
2
1 1 3 3
. .
2 2 6 12
ABC
a a
S BC AI a  
Thể tích ABC:
3
1 2
.
3 36
ABC
a
V S SA 
(đvtt)
7) (Đề thi TN.THPT năm 2010) (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên SA vuông góc mặt đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy bằng
0
60
. Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD theo a.
8) (Đề thi TN.THPT GDTX năm 2010) (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật tâm
O; SA = SB = SC = SD. Biết AB = 3a, BC = 4a,


0
45
SAO 
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
9) (Đề thi TN.THPT năm 2011) (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và D với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy
một góc
0
45
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
 Hướng dẫn:
Diện tích đáy
2
1
( ) 2
2
ABCD
S AB CD AD a
  

SA  (ABCD) 

0
45
ACS  là góc tạo bởi cạnh bên SC với mặt
đáy.
SAC có

0

45
ACS   Đường cao SA = AC =
2
a
.
Thể tích
3
1 2 2
.
3 3
SABCD ABCD
a
V S SA  .
45
0
A
D
C
B
S
THPT Tân Bình – Bình Dương.
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H

H
H
Ọ
Ọ
C
C


K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


G
G
I
I
A
A
N
N
.

.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 25
C
C

Á
Á
C
C


Đ
Đ
Ề
Ề


T
T
H
H
I
I


Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I


H
H

Ọ
Ọ
C
C


–
–


C
C
A
A
O
O


Đ
Đ
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
.
.

10) (Đề thi Đại học năm 2006 – Khối D) (1điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a, SA = 2a và SA  (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB
và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
 Hướng dẫn:
ABC là tam giác đều cạnh a  diện tích
2
3
4
ABC
a
S 
Thể tích khối chóp S.ABC:
3
1 3
.
3 6
ABC
a
V S SA 

Hai tam giác vuông SAB = SAC  hai đường cao AM = AN và SM = SN
 MN // BC . Với
2 2
5
SB SA AB a
   ,
2 2
4 4 5
5
5

SA a a
SM
SB
a
  
2
.
.
25
. .
16
S ABC
S AMN
V SA SB SC SB
V SA SM SN SM
 
  
 
 

3
.
.
16.
8 3
25 75
S ABC
S AMN
V
a

V  
Vậy thể tích khối chóp A.BCNM:
3 3 3
. . .
3 8 3 3 3
6 75 50
A BCNM S ABC S AMN
a a a
V V V    
11) (Đề thi Đại học năm 2006 – Khối B) (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
với AB = a, AD =
2
a
, SA = a và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh (SAC)  (SMB), Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
 Hướng dẫn:
AC =
3
a

1 3
3 3
a
AI AC 

2 2
1 3
AI a
 . Ta có
2 2 2 2 2

1 1 1 2 3
AB AM a a a
   

2 2 2
1 1 1
AI AB AM
   AI là đường cao của
tam giác vuông ABM  BM  AC. Ta có SA
 (ABCD)  SA  BM  BM  (SAC) 
(SBM)  (SAC). Gọi H = AC  BD  H
trung điểm AC  NH // SA  NH  (ABCD)

1
2 2
a
NH SA
 
là đường cao hình chóp N.ABI. Với
2 2
2 2
6
3
AB AB a
BI
BM
AB AM
  

. Diện tích

ABI:
2
1 1 3 6 2
. . .
2 2 3 3 6
ABI
a a a
S AI BI  
. Thể tích khối tứ diện ANIB:
3
1 2
.
3 36
ABI
a
V S NH 

12) (Đề thi Đại học năm 2006 – Khối A) (1điểm) Cho hình lăng trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O,
bán kính đáy bằng chiếu cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O lấy
điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích khối tứ diện OOAB.
 Hướng dẫn:
Kẻ đường sinh AA và các đường kính AE, AD. Kẻ BH  AD tại H, vì
mặt phẳng chứa đường tròn tâm O vuông góc với mặt phẳng (AADE)
 BH  (AADE)  BH là đường cao của hình chóp B.OOA.
Ta có AA  AB  AAB vuông 
' 3
A B a


ABD vuông tại B 

2
'
BD AD A B a
  

Ta có BO = OD = BD = a  BDO là tam giác đều 
3
2
a
BH 
Diện tích OOA:
2
'
2
OO A
a
S  . Thể tích khối tứ diện OOAB:
3
'
1 3
.
3 12
OO A
a
V S BH 