Đề thi Cao học ĐHSPHN đợt 2

ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2
Môn: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (4,0 ñiểm)
1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
1
2010 cosx
dx, ( 0).
x x 1
∞
α
+
α >
+
∫

2) Chứng minh rằng nếu chuỗi lỹu thừa
n
n
n 0
a x
∞
=
∑
hội tụ tại một ñiểm x = α
( 0)α ≠ thì nó sẽ hội tụ tuyệt ñối tại mọi ñiểm x
0
thoả mãn
0
x .< α

3) Xác ñịnh cận lấy tích phân khi tính tích phân bội
f(x, y,z)dxdydz
Ω
∫∫∫
trong ñó
Ω là miền giới hạn bởi các mặt x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0 với thứ tự
cho trong hai trường hợp sau: dx dy f(x, y,z)dz
∫ ∫ ∫
và dz dx f(x, y,z)dy.
∫ ∫ ∫


Câu II (3,0 ñiểm)
Cho Q là tập các số hữu tỉ. Xét sự khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của
hàm số sau trên ñoạn [0; e] và tính các tích phân tương ứng (nếu có):
x 1, khi x A [0;e]
f(x) .
xln x, khi x B [0;e]\ A
+ ∈ = ∩

=

∈ =




Câu III (3,0 ñiểm)
Cho

[ ]
C a;b là không gian các hàm liên tục trên ñoạn
[ ]
a;b với chuẩn
[ ]
[ ]
t a;b
x max x(t) , x C a;b .
∈
= ∈
Với
[ ]
(t) C a;b ,α ∈ toán tử A xác ñịnh trên
[ ]
C a;b bởi công thức
[ ]
b
a
Ax(s) (s).x(t)dt, x(t) C a;b , a s b.= α ∈ ≤ ≤
∫

Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tìm chuẩn của A.

Q
www.VNMATH.com
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2
Môn: ðại số
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (3,0 ñiểm)

Cho V là một không gian vecto n – chiều trên trường K và f :V V→ là một tự
ñồng cấu có tính chất
2
f f.= Chứng minh rằng:
1)
2
V V
(Id f) (Id f),− = − trong ñó
V
Id là tự ñồng cấu ñồng nhất của V.

2) V Imf Kerf.= ⊕

3) f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược.

Câu II (2,0 ñiểm)
Cho f :R
3
→ R
3
là một tự ñồng cấu có ma trận ñối với cơ sở chính tắc là
3 2 0
A 2 3 0 .
0 0 5
−
 
 
= −
 
 

 

1) Hãy xác ñịnh các giá trị riêng, các không gian con riêng của f.

2) Tự ñồng cấu f có phải là tự ñẳng cấu không? Vì sao?

Câu III (3,0 ñiểm)
1) Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G.
Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con
chuẩn tắc của G thì AB là nhóm con chuẩn tắc của G.

2) Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G, G = AB và
{
}
A B e .∩ =
Chứng minh rằng ab = ba với mọi a A,b B∈ ∈ và mọi phần tử g G∈ ñều biểu
diễn ñược duy nhất dưới dạng g = ab, với a A,b B∈ ∈ .

3) Nhóm cộng các số nguyên

có biểu diễn ñược dưới dạng
{
}
A B, A B 0 ,= + ∩ =
với A, B là các nhóm con chuẩn tắc khác
{
}
0 của

không?

Câu IV (2,0 ñiểm)
Cho I là iñêan của vành các số nguyên
{
}
, I 0 ,≠ chứng minh rằng:
1) I là iñêan nguyên tố khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố.

2
) Vành thương
I


là một trường khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số
nguyên tố.
Z
Z

Z
Z
Z
www.VNMATH.com