Bài tập giới hạn dãy số, hàm số

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

1
Giới hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dy số
(
)
n
u
có giới hạn 0, kí hiệu
(
)
n
lim u 0
=
(hay
n
lim u 0
=
), nếu với mọi số dơng nhỏ bao
nhiêu tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dơng đó.
b. Tính chất:
( ) ( )
n
1 1
lim 0; lim 0 0 ; lim q 0 | q | 1
n
n

= = > = <

c. Định lí: Cho hai dy số
( )
n n
n n n
n
| u | v
u , v : lim u 0
lim v 0



=

=


(1)
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dy số
(
)
n
u
có giới hạn là số thực L, kí hiệu
n
lim u L
=

, nếu
(
)
n
lim u L 0
=

(
)
n n
lim u L lim u L 0
= =

b. Các định lí:
Cho (u
n
) mà u
n
= c, n :
n
lim u c
=

limu
n
= L
n
3
3
n

lim | u | | L |
lim u L
=




=



Nếu
n n
lim u L,lim v M
= =
thì:
( ) ( )
n
n n n n n
n
u
L
lim u v L M; lim u .v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0)
v M
= = = =



( )
n n n

n
n n
v u w , n
lim u L
lim v lim w L L




=

= =



(2)
Dy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dy (v
n
) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

n
2 n 1
n 1 1 1 1 1
1 q
S u u q u q u q u . ;
1 q

= + + + + =



n
2 n 1
1
1 1 1 1 n 1
u
1 q
S u u q u q u q limS lim u . ;
1 q 1 q


= + + + + + = = =


3. Dãy số có giới hạn vô cực
a. Dy số có giới hạn
+

Ta nói rằng dy (u
n
) có giới hạn +, kí hiệu limu
n
= +, nếu với mỗi số dơng tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dơng đó.
Kết quả:

3
lim n ; lim n ;lim n
= + = + = +

b. Dy số có giới hạn -
Ta nói rằng dy (u
n
) có giới hạn là - , kí hiệu limu
n
= -, nếu với mọi số âm tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc nhân
n
lim u

n
lim v

(
)
n n
lim u .v


n
lim u

n
lim v

(
)
n n
lim u .v


+

+

+



+

+
+

+






+

+






+






+






+

Quy tắc chia
n

lim u L 0
=
có dấu
n n
lim v 0, v 0
=
có dấu
n
n
u
lim
v

+ +
+

+






+

+

II. Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
Cho
(
)
0
x a; b

và f là hàm số xác định trên tập
(
)
{
}
0
a;b \ x
. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu
(
)
0
x x
lim f x L

=
, khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm

0
x
), nếu với mọi dy số
(
)
n
x
trong tập
(
)
{
}
0
a;b \ x
mà
n 0
lim x x
=
, ta
đều có
(
)
n
lim f x L
=

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

2
b. Giới hạn vô cực

(
)
0
x x
lim f x

= +
nếu mọi dy
(
)
n
x
trong tập
(
)
{
}
0
a;b \ x
mà
n 0
lim x x
=
thì
(
)
n
lim f x
= +

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
(
)
a;
+
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến
+, kí hiệu
(
)
x
lim f x L
+
=
, nếu với mọi dy số
(
)
n
x
trong khoảng
(
)
a;
+
mà
n
lim x
= +
, ta đều có
(

)
n
lim f x L
=

3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử
(
)
0
x x
lim f x L

=
và
(
)
(
)
0
x x
lim g x M L, M

=

. Khi đó:

(
)
(

)
0
x x
lim f x g x L M

=



(
)
(
)
0
x x
lim f x .g x L.M

=




(
)
(
)
0
x x
lim k.f x k.L k

=





(
)
( )
( )
0
x x
f x
L
lim M 0
g x M

=

b. Định lí 2: Giả sử
(
)
0
x x
lim f x L

=
. Khi đó:

(

)
0
x x
lim | f x | | L |

= ;

( )
0
3
3
x x
lim f x L

=
;
Nếu
(
)
f x 0

với mọi
{
}
0
x J \ x

, trong đó J là một khoảng nào đó chứa
0
x

thì
L 0

và
( )
0
x x
lim f x L

=
.
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{
}
0
J \ x
. Khi đó:
{
}
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )

0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L




=

= =



4. Giới hạn một bên
a. Định nghĩa:
Giả sử hàm f xác định trên khoảng
(
)
0 0
x ;b , x


. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến
x
0

, kí hiệu:
(
)
0
x x
lim f x L
+

=
, nếu với mọi dy số
(
)
n
x
trong khoảng
(
)
0
x ;b
mà
n 0
lim x x
=
, ta đều có
(
)
n
lim f x L
=
.

Giả sử hàm f xác định trên khoảng
(
)
0 0
a; x , x


. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến
x
0
, kí hiệu:
(
)
0
x x
lim f x L


=
, nếu với mọi dy số
(
)
n
x
trong khoảng
(
)
0
a; x
mà

n 0
lim x x
=
, ta đều có
(
)
n
lim f x L
=
.
Các định nghĩa
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x
+ +

= + = = + =
đợc phát biểu tơng tự nh trên.
b. Định lí:

(
)

(
)
(
)
0
0 0
x x
x x x x
lim f x lim f x L lim f x L
+


= = =


( )
( )
0 0
x x x x
1
lim | f x | lim 0
f x

= +

=

5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
a. Quy tắc nhân

b. Quy tắc chia

(
)
0
x x
lim f x


(
)
0
x x
lim g x L 0

=
có dấu
(
)
(
)
0
x x
lim f x .g x

(
)
0
x x
lim f x L 0

=

có dấu
(
)
0
x x
lim g x 0

=

g(x) có dấu
(
)
( )
0
x x
f x
lim
g x



+

+
+


+ +
+

+






+






+





+

+






+

6. Các dạng vô định
Khi tìm
(
)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x
lim ,lim f x g x ,lim f x g x
g x



khi
0 0 0
x x ; x x ; x x ; x ;x
+

+
ta gặp các dạng
vô địn, kí hiệu
0
, , 0. ,
0



, lúc đó ta không dùng đợc các định lí về giới hạn cũng nh các quy tắc tìm giới hạn vô
cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đ biết gọi là phép khử các dạng vô định
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dy số.
Ví dụ 1: Tìm:
2
3
2
8n 3n
lim
n


Giải:
GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

3
2
3
3

3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
nn

= = =

Ví dụ 2: Tìm:
2
2
2n 3n 1
lim
n 2

+

Giải:
2
2
2
2
3 1
2
2n 3n 1 2
n n
lim lim 2
2
1
n 2

1
n


= = =

+
+

Ví dụ 3: Tìm:
(
)
2
lim n 1 n 1
+

Giải:
(
)
2
2
2
2n 2
lim n 1 n 1 lim lim 1
1 1
n 1 n 1
1 1
n
n

+ = = =
+ +
+ +
.
Dạng 2: Chứng minh
n
lim u 0
=

Phơng pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai dy số
( )
n n
n n n
n
| u | v
u , v : lim u 0
lim v 0



=

=


(1);
( )
n n n
n

n n
v u w , n
lim u L
lim v lim w L L



=

= =



(2)
Ví dụ: Chứng minh:
( )
n
1 cos n
lim 0
n

=

Giải:
Ta có:
( )
n
1 cos n
1
n n

và
1
lim 0
n
=
nên
( )
n
1 cos n
lim 0
n

=

Dạng 3: Chứng minh
n
lim u
tồn tại
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí
Dy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dy (v
n
) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn.
Ví dụ: Chứng minh dy số
(
)

n
u
cho bởi
( )
n
1
u
n n 1
=
+
có giới hạn.
Giải:
Ta có
( ) ( )
(
)
n 1
n
n n 1
u
1 n
. 1, n.
u n 1 n 2 1 n 2
+
+
= = <
+ + +
Do đó dy
(
)

n
u
giảm.
Ngoài ra,
( )
*
n
1
n : u 0,
n n 1
= >
+

nêu dy
(
)
n
u
bị chặn dới. Vậy dy
(
)
n
u
có giới hạn.
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phơng pháp giải: Sử dụng công thức:
1
u
S ,| q | 1
1 q

= <


Ví dụ: Tính tổng
2 n
1 1 1
S 1
2
2 2
= + + + + +

Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
1
u 1
=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1
2

= = =



Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3
2
2n 4n 3
lim
3n 1
+
+

Giải:
Cách 1:
GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

4
Ta có:
3
2 3
2
3
4 3
2
2n 4n 3
n n
lim lim

3 1
3n 1
n n
+
+
=
+
+

Lại có
2 3 2
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
nn n n

+ = < + =


và
( )
*
3
3 1
0 n
n
n
+ >

nên suy ra:

3
2 3
2
3
4 3
2
2n 4n 3
n n
lim lim
3 1
3n 1
n n
+
+
= =
+
+

Cách 2:
Ta có:
3
3
2 3
2 3
2
2
2
2
4 3
4 3

n 2
2
2n 4n 3
n n
n n
lim lim lim n.
1
1
3n 1
3
n 3
n
n


+
+


+

= =

+


+
+

Lại có
3
2 3 2 3
2
2 2
4 3 4 3
2 2
2 2n 4n 3
n n n n
lim n ; lim 0 lim lim n.
1 1
3 3n 1
3 3
n n

+ +

+
= + = < = =

+

+ +



Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số

Phơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1
lim x.sin
x




.
Giải:
Xét dy
(
)
n
x
mà
n
x 0, n

và
n
lim x 0
=
. Ta có:
( )
n n n
n
1

f x x sin | x |
x
=

Vì
(
)
n n
lim | x | 0 lim f x 0.
=

=
Do đó
x 0
1
lim x.sin 0
x


=


.
Ví dụ 2: Tính:
(
)
2
x
lim x x 1 x
+

+ +

Giải:
Ta có:
(
)
2 2
2
2 2
x x x x
2
1
1
x x 1 x x 1 1
x
lim x x 1 x lim lim lim
2
1 1
x x 1 x x x 1 x
1 1
x x
+ + + +
+
+ + +
+ + = = = =
+ + + + + +
+ + +

Ví dụ 3: Tính:
(

)
2
x
lim x 3x 1 x

+ + +

Giải:
Ta có:
(
)
2
2 2
x x x x
2
1 1
3 3
3x 1 3
x x
lim x 3x 1 x lim lim lim
2
3 1
x 3x 1 x x 3x 1
1 1
1
x x
x

+ +
+

+ + + = = = =
+ + + +
+ +


(Chú ý: khi
x

là ta xét x < 0, nên
2
x x
=
)
Dạng 7: Chứng minh
(
)
0
x x
lim f x 0

=
(Hoặc bằng L)
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{
}
0

J \ x
. Khi đó:
{
}
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L




=

= =

Ví dụ: Chứng minh:
2
4
x
x sin x
lim 0
1 x
+
=
+

Giải:
Ta luôn có:
( ) ( )
2 2 2 2
4 4 4 4
x sin x x x x
| f x | f x
1 x 1 x 1 x 1 x
=
+ + + +

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

5

2 2 2 2 2
2 2
4 4 4 4 4
x x x x x x x

4 4
1 1
x x x x x sin x
x x
lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0
1 1
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
1 1
x x
+ + + +
= = = =

= =

=
+ + + + +
+ +
.
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phơng pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3
2
x x 1
f x
2x 3 x 1

<

=




với
với
. Tìm
(
)
x 1
lim f x


Giải:
Ta có:
( )
( )
( )
(
)
( )
2
2
x 1 x 1
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1
+ +

= = =
(1)

( )
(
)
( )
3
x 1 x 1
lim f x lim x 1


= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
(
)
x 1
lim f x 1

=

Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi

khi

>


+
=



<

+

a. Tìm
(
)
x 2
lim f x


b. Tìm
(
)
x 1
lim f x


Giải:
a.

( )
x 2 x 2
1 1
lim f x lim
x 1 3

= =
+

b.
(
)
x 1
lim f x


Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
1 x 2 1 x 2
+ + +


= = = =


+ +
suy ra không tồn tại

(
)
x 1
lim f x


(Chú ý:
(
)
0
x x
lim f x

tồn tại khi và chỉ khi
(
)
(
)
0 0
x x x x
lim f x lim f x L
+

= =
thì
(
)
0
x x
lim f x L

=
)
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính
2
x
lim 4x 1



Giải:

2 2
2 2
x x x
1 1
lim 4x 1 lim x 4 lim | x | . 4
x x


= =



Vì
x
lim | x |

= +
và
2
2
x x
1
lim 4 2 0 lim 4x 1
x

= > = +

Dạng 10: Khử dạng vô định
Phơng pháp giải
1. Khi tìm giới hạn dạng
(
)
( )
0
x x
P x
lim
Q x

, với
(
)
(
)
0 0
x x x x

lim P x lim Q x 0

= =
:
Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
0
x x


Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
x 9x 14
lim
x 2

+


Giải:

(
)
(
)
( )
2
x 2 x 2 x 2
x 2 x 7

x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2


+
= = =


Ví dụ 2: Tìm:
x 0
4 x 2
lim
4x

+

Giải:

(
)
(
)
( ) ( ) ( )
x 0 x 0 x 0 x 0
4 x 2 4 x 2
4 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 16
4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2

+ + +
+ +
= = = =
+ + + + + +

Ví dụ 3: Tìm:
3
x 1
x 7 2
lim
x 1

+


GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

6
Giải:

(
)
( )
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

2
3 3
3
3
3
x 1 x 1 x 1
2 2
3 3
3 3
x 7 2 x 7 2. x 7 4
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x 1
x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4

+ + + + +
+ +
= =

+ + + + + + + +


( )
( )
x 1
2
3
3
1 1
lim

12
x 7 2. x 7 4

= =
+ + + +

Ví dụ 4: Tìm:
x 2
2x 5 3
lim
x 2 2

+
+

Giải:

(
)
(
)
(
)
( )( )( )
( )
(
)
( )
( )
(

)
x 2 x 2 x 2 x 2
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2
2x 5 3 4
lim lim lim lim
3
x 2 2 2x 5 3
x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3

+ + + + + + + + + +
+
= = = =
+ + +
+ + + + + + + +

Ví dụ 5: Tìm:
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1




Giải:

(
)
(

)
( )
( )
3
3 3
x 1 x 1 x 1
2 2
x 1 x 1
x 1 3x 2 1
x 3x 2 x 1 3x 2 1
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
3x 2 1 3 3 3
lim x x 1 lim x x 1 3
2 2
3x 2 1
x 1 3x 2 1





= =






= + + = + + = =

+
+



Ví dụ 6: Tìm:
4
3
x 1
x 2 1
lim
x 2 1

+
+

Giải:
Đặt
12 12
12
t x 2 x 2 t x t 2,khi x 1 t 1
đó thì
= + + = =
. Do đó:

(
)
(

)
( )( )
( )
( )
( )
2
3 2
4
4
2 2
3
x 1 t 1 t 1 t 1
t 1 t t 1
x 2 1 t 1 t t 1 3
lim lim lim lim
4
t 1
t 1 t 1 t 1 t 1 t 1
x 2 1

+ +
+ + +
= = = =

+ + + +
+

Ví dụ 7:
Tìm:
3

x 1
x 7 x 3
lim
x 1

+ +


Giải:


(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
3
3 3
x 1 x 1 x 1
3
2
x 1
3 3
2
x 1
3

3
x 7 2 x 3 2
x 7 x 3 x 7 2 x 3 2
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
x 7 2 x 3 4
lim
x 1 x 3 2
x 1 x 7 2. x 7 4
1 1 1 1 1
lim
12 4 6
x 3 2
x 7 2 x 7 4



+ +

+ + + +
= =





+ +
=

+ +

+ + + +






= = =

+ +
+ + + +


2. Khi tìm giới hạn dạng
(
)
( )
x
P x
lim
Q x

, ta lu ý:
Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
Sử dụng kết quả:

x
1
lim 0
x


=
( với
0
>
)
Ví dụ 1:
Tìm:
2
2
x
3x 4x 1
lim
2x x 1
+
+
+ +

Giải:


2
2
2
x x

2
4 1
3
3x 4x 1 3
x x
lim lim
1 1
2
2x x 1
2
x x
+ +
+
+
= =
+ +
+ +

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

7
Ví dụ 2:
Tìm:
2
x
x x 1 3x
lim
2 3x

+ +

Giải:

2
2
x x
1 1
1 3
x x 1 3x 1 3 4
x x
lim lim
2
2 3x 3 3
3
x

+ +
+ +
= = =



Ví dụ 3:
Tìm:
3
3 2
2
x
8x 3x 1 x

lim
4x x 2 3x

+ +
+ +

Giải:


3
3
3 2
3
3
2
x x
2
3 1
8 1
8x 3x 1 x 8 1
x x
lim lim 1
1 2 4 3
4x x 2 3x
4 3
x
x

+ +
+ +

= = =
+
+ +
+ +

C. Bài tập tự luận
1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
2
2
x 3
x 5x 6
lim
x 8x 15

+
+
2.
2
2
1
x
2
8x 1
lim
6x 5x 1


+
3.

3 2
2
x 3
x 4x 4x 3
lim
x 3x

+


4.
4 3 2
4 3 2
x 1
2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1

+ +
+
5.
3
4
x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3

+
+

6.
3 2
4 2
x 2
x 2x 4x 8
lim
x 8x 16

+
+

7.
3
5
x 1
x 2x 1
lim
x 2x 1



8.
(
)
(
)
(
)
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1

lim
x

+ + +
9.
(
)
(
)
(
)
(
)
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1
lim
x

+ + + +

2. Tìm các giới hạn hàm số sau:

1.
x 2
x 2
lim
3 x 7


+

2.
x 1
2x 7 3
lim
x 3 2

+
+

3.
2
x 0
1 x 1
lim
x

+

4.
2
x 2
x 7 3
lim
x 4

+

5.
3

x 2
4x 2
lim
x 2




6.
3
2
2
x 0
1 x 1
lim
x

+

7.
( )
3
2
3
2
x 1
x 2 x 1
lim
x 1

+


8.
3
x 0
x 1
lim
x 1




9.
x 2
x 2 x 7 5
lim
x 2

+ + +


10.
3 3
x 0
1 x 1 x
lim
x

+

11.
( )
2
2
x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2


+

12.
x 1
2x 2 3x 1
lim
x 1

+ +


13.
2 2
2
x 3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3

+ +
+

14.
x 0
x 9 x 16 7
lim
x

+ + +

15.
3
2
3
2
x 1
x 2 x x 1
lim
x 1

+ +


3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

1.

3
2

x 1
x 7 x 3
lim
x 3x 2

+ +
+

2.

3
x 0
2 1 x 8 x
lim
x

+
3.

3
x 0
1 x 1 x
lim
x

+

4.

3

2
x 2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2

+ +
+

5.

3
3 2
x 1
7 x 3 x
lim
x 1

+ +

6.

2
3
x 1
x 7 5 x
lim
x 1

+

7.
3
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x

+ +
8.
3
2
x 0
1 2x 1 3x
lim
x

+ +


4. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.

3 2
4 3 2
x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3

+
+ +
2.

2
2
x
x x 1
lim
2x x 1
+
+
+ +

3.

( ) ( )
( )( )
2 3
3 2
x
2x 3 4x 7
lim
3x 1 10x 9
+
+
+ +

4.

( ) ( )
( )
20 30
50
x
2x 3 3x 2
lim
2x 1

+
+
5.

2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2

+ +
+ +

6.

x
5x 3 1 x
lim
1 x

+


5. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

1.

2 2
x
lim x x 1 x x 1


+ + +


2.

( )
2
x
lim 2x 5 4x 4x 1
+




3.

x

lim x x x
+

+



4.

2
x
lim x. x 1 x
+

+

5.

2
x
lim x 4x 9 2x


+ +

6.

2 4 4
x
lim x 3x 5 3x 2

+


7.
3
3 2
x
lim x 2 x 1
+

+ +

8.
3
2 3
x
lim x 4x 5 8x 1
+

+



D. Bài tập trắc nghiệm
Dãy số có giới hạn 0
GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

8

1. Dy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.
1
n
b.
1
n
c.
2n 1
n
+
d.
cos n
n

2. Dy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
n
5
3



b.
n
1
3

c.
n
5
3




d.
n
4
3





3. Dy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
( )
n
0,909
b.
( )
n
1,012

c.
( )
n

1,013
d.
( )
n
1,901


4. Dy số nào sau đây không có giới hạn?
a.
( )
n
0,99
b.
( )
n
1

c.
( )
n
0,99

d.
( )
n
0,89


5. Gọi
( )

n
1
L lim
n 4

=
+
. Khi đó L bằng
a.
1
5

b.
1
4

c. 1 d. 0
6. Dy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.
1
2n
b.
1
n
c.
n
4
3

d.
( )
n
1
n


Dãy số có giới giạn hữu hạn
7. Cho
n
1 4n
u
5n

=
. Khi đó u
n
bằng
a.
3
5
b.
3
5

c.
4
5
d.

4
5


8. Cho
n n
n
n
2 5
u
5
+
=
. Khi đó limu
n
bằng
a. 0 b. 1 c.
2
5
d.
7
5

9. Gọi
cos 2n
L lim 9
n
=
thì L bằng số nào sau đây?
a. 0 b.

3
c. 3 d. 9
10. Tổng của cấp số nhân vô hạn
( )
n 1
n
1
1 1 1
, , , , ,
2 4 8 2
+


là
a. 1 b.
1
3
c.
1
3

d.
2
3


11. Tổng của cấp số nhân vô hạn
( )
n 1
n

1
1 1 1
, , , , ,
3 9 27 3
+


là
a.
1
4
b.
1
2
c.
3
4
d. 4
12. Tổng của cấp số nhân vô hạn
( )
n 1
n 1
1
1 1 1
, , , , ,
2 6 18 2.3
+

là
a.
8
3
b.
3
4
c.
2
3
d.
3
8

13. Tổng của cấp số nhân vô hạn:
( )
n 1
n 1
1
1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
+



là
a.
2
3

b.
2
3
c.
3
2
d. 2
Dãy số có giới hạn vô cực
14. Kết quả
(
)
3
L lim 5n 3n
=
là
a.

b. 4 c. 6 d.
+

15. Biết
(
)
2
L lim 3n 5n 3
= +
thì L bằng
a.

b. 3 c. 5 d.
+

16.
(
)
3 2
lim 3n 2n 5
+
bằng
a.

b. 6 c. 3 d.
+

GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi

9
17.
2
3
lim
4n 2n 1
−
− +
b»ng
a.
−∞
b.
3

4
−
c. – 1 d. 0
18.
4
2
lim
5n 2n 1
− +
b»ng
a.
2
5
b.
1
2
c. 0 d.
+∞

19.
3
4
3n 2n 1
lim
4n 2n 1
− +
+ +
b»ng
a. 0 b.
+∞

c.
3
4
d.
2
7

20.
4
4
2n 2n 2
lim
4n 2n 5
− +
+ +
b
ằ
ng
a. 0 b.
+∞
c.
1
2
d.
3
11

21.
2 4
4

5n 3n
lim
4n 2n 1
−
+ +
b»ng
a.
3
4
−
b. 0 c.
5
4
d.
3
4

22.
3
2
2n 3n
lim
4n 2n 1
+
+ +
b»ng
a.
3
4
b.

5
7
c. 0 d.
+∞

23. Dy sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ
+∞
?
a.
2 3
n
u 3n n
= −
b.
2 3
n
u n 4n
= −
c.
2
n
u 4n 3n
= −
d.
3 4
n
u 3n n
= −

24. Dy sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ -

∞
?
a.
4 3
n
u n 3n
= −
b.
3 4
n
u 3n 2n
= −
c.
2
n
u 3n n
= −
d.
2 3
n
u n 4n
= − +

25.
2
4n 5 n 4
lim
2n 1
+ − +
−

b»ng
a. 0 b. 1 c. 2 d.
+∞

26. KÕt qu¶
(
)
lim n 10 n
+ −
lµ
a. +
∞
b. 10 c. 10 d. 0
27. KÕt qu¶
2
2
3 2n 4n
lim
4n 5n 3
− +
+ −
lµ
a. 0 b. 1 c.
3
4
d.
4
3
−

28. NÕu
n
lim u L
=
th×
n
lim u 9
+
b»ng
a. L + 9 b. L + 3 c.
L 9
+
d.
L 3
+

29. NÕu
n
lim u L
=
th×
3
n
1
lim
u 8
+
b»ng bao nhiªu?
a.
1

L 8
+
b.
1
L 8
+
c.
3
1
L 2
+
d.
3
1
L 8
+

30.
2n 3
lim
2n 5
+
+
b»ng
a.
5
7
b.
5
2

c. 1 d.
+∞

31.
4
4
10 n
lim
10 2n
+
b»ng bao nhiªu?
a.
+∞
b. 10000 c. 5000 d. 1
32.
2
1 2 3 n
lim
2n
+ + + +
b»ng bao nhiªu?
a. 0 b.
1
4
c.
1
2
d.
+∞

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

10
33.
3
3
n n
lim
6n 2
+
+
bằng
a.
1
6
b.
1
4
c.
3
2
6
d. 0
34.
(
)
2 2
lim n n 1 n 3
+
bằng bao nhiêu?

a. +

b. 4 c. 2 d. 1

35.
n sin 2n
lim
n 5
+
+
bằng số nào sau đây?
a.
2
5
b.
1
5
c. 0 d. 1
36. Dy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 3n

=
+
b.

2
1 2n
5n 3n

+
c.
2
2
1 2n
5n 3n

+
d.
2
n
2
n 2
u
5n 3n

=
+

37. Dy số nào sau đây có giới hạn là +

?
a.
2
n
2

n 2n
u
5n 5n

=
+
b.
2
1 2n
5n 5n
+
+
c.
2
n
1 n
u
5n 5
+
=
+
d.
2
n
3
n 2
u
5n 5n

=

+

38. Dy số nào sau đây có giới hạn +

?
a.
2
n
2
9n 7n
u
n n
+
=
+
b.
n
2007 2008n
u
n 1
+
=
+
c.
2
n
u 2008n 2007n
=
d.
2

n
u n 1
= +

39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
a.
2
3
2n 3
lim
2n 4


b.
2
2
2n 3
lim
2n 1


c.
2
3 2
2n 3
lim
2n 2n

+
d.

3
2
2n 3
lim
2n 1



40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
a.
2
3
2n 3
lim
2n 4


b.
3
2
2n 3n
lim
2n 1


c.
2 4
3 2
2n 3n
lim

2n n

+
d.
3
2
3 2n
lim
2n 1
+


41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là
+
?
a.
2
3
2n 3
lim
n 4
+
+
b.
2
2
2n 3n
lim
2n 1

c.
2 4
3 2
2n 3n
lim
2n n

+
d.
3
2
3 2n
lim
2n 1
+


42. Dy số nào sau đây có giới hạn bằng
1
5
?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 5n

=
+
b.
n
1 2n
u
5n 5

=
+
c.
2
n
1 2n
u
5n 5

=
+
d.
n
2
1 2n
u
5n 5n

=
+

43. Nếu

(
)
2 2
L lim n n 2 n 4

= +


thì L bằng
a.
+
b.
7 1

c.
7
2
d. 0
44. Gọi
(
)
2 2
L lim n n 2 n 4

= +


. Khi đó L bằng
a.
+

b. 6 c. 3 d. 2
45.
2
4n 1 n 2
lim
2n 3
+ +

bằng
a. 1 b.
3
2
c. 2 d.
+

46.
cos 2n
lim 9
3n
+
bằng
a.
+
b.
29
3
c. 9 d. 3
47.
(
)

2 2
lim n 2n n 2n
+
có kết quả là
a. 1 b. 2 c. 4 d.
+

50. Dy số nào sau đây có giới hạn
1
3

?
a.
2 3
n
3 2
n 3n
u
9n n 1

=
+
b.
2
n
2
2n n
u
3n 5
+

=
+
c.
4 3
n
3 2
n 2n 1
u
3n 2n 1
+
=
+
d.
2
n
3
n 2n 5
u
3n 4n 2
+
=
+

Giới hạn của hàm số
GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi

11
51.
(
)

2
x 1
lim x x 7
→−
− +
b»ng
a. 5 b. 7 c. 9 d.
+∞

52.
(
)
2
x 2
lim 3x 3x 8
→−
− −
b»ng
a.
2
−
b. 5 c. 9 d. 10
53.
2
x 1
x 3x 2
lim
x 1
→
− +

−
b»ng
a.
1
−
b. 1 c. 2 d.
+∞

54.
3 2
x 1
3x x 2
lim
x 2
→−
− +
−
b»ng
a. 5 b. 1 c.
5
3
d.
5
3
−

55.
4 5
4 6
x 1

3x 2x
lim
5x 3x 1
→
−
+ +
b»ng
a.
1
9
b.
3
5
c.
2
5
−
d.
2
3
−

56.
2 5
4
x 1
3x x
lim
x x 5
→−

−
+ +
b»ng
a.
4
5
b.
4
7
c.
2
5
d.
2
7

57.
2 3
2
x 2
x x
lim
x x 3
→−
−
− +
b»ng
a.
4
9

−
b.
12
5
c.
4
3
d.
+∞

58.
4 5
4 5
x 1
x 2x
lim
2x 3x 2
→
−
+ +
b»ng
a.
1
12
−
b.
1
7
−
c.

2
7
−
d.
−∞

59.
3
2
x 2
x x
lim
x x 1
→−
+
− +
b»ng
a.
10
7
−
b.
10
3
−
c.
6
7
d.
−∞

60.
3
x 1
lim 4x 2x 3
→−
− −
b»ng
a. 5 b. 3 c. 1 d.
5
−

61.
3
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2
→−
+
+ −
b»ng
a. 0 b. 1 c.
3
1
4 2
−
−

d.
2
3
−

62.
4 3 2
4
x
2x x 2x 3
lim
x 2x
→+∞
+ − −
−
b»ng
a.
2
−
b.
1
−
c. 1 d. 2
63.
4
4
x
3x 2x 3
lim
5x 3x 1

→+∞
− +
+ +
b»ng
a. 0 b.
4
9
c.
3
5
d.
+∞

64.
4 5
4
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
→+∞
−
+ +
b»ng
a.
2
5
−
b.
3

5
c.
−∞
d.
+∞

65.
4 5
4 6
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
→+∞
−
+ +
b»ng
a.
−∞
b.
3
5
c.
2
5
−
d. 0
GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi

12

66.
4 5
5 4
x
3x 4x 2
lim
9x 5x 4
→+∞
+ +
+ +
b»ng
a. 0 b.
1
3
c.
5
3
d.
2
3

67.
4 2
2
x 2
x 4x 3
lim
7x 9x 1
→−
− +

+ −
b»ng
a.
1
15
b.
1
3
c.
35
9
d.
+∞

68.
4 2
2
x 1
x 4x 3x
lim
x 16x 1
→−
− +
+ −
b»ng
a.
1
8
b.
3

8
c.
3
8
d.
+∞

Giíi h¹n mét bªn
69.
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
+
→
−
−
b»ng
a.
1
2
b.
1
6
c. 0 d.
+∞

70.
3
2

x 1
1 x
lim
3x x
−
→
−
+
b»ng
a. 1 b. 0 c.
1
3
d.
+∞

71.
x 1
x 2
lim
x 1
−
→
+
−
b»ng
a.
1
2
−
b.

1
2
c.
−∞
d.
+∞

72.
2
x 1
x 1
lim
x 1
+
→
+
−
lµ
a.
+∞
b. 2 c. 1 d.
−∞

73.
3
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2x

−
→−
− +
+
b»ng
a.
+∞
b.
1
8
c.
9
8
−
d.
−∞

74.
x 0
2x x
lim
5x x
+
→
+
−
lµ
a.
+∞
b.

2
5
c.
1
−
d.
−∞

75.
2
3 2
x 1
x 4x 3
lim
x x
+
→−
+ +
+
lµ
a.
1
−
b. 0 c. 1 d.
+∞

76. Cho hµm sè:
( )
2
x 3x 1 x 2

f x
5x 3 x 2

− + <
=

− ≥

víi
víi
. Khi ®ã
(
)
x 2
lim f x
−
→
b»ng:
a. 11 b. 7 c.
1
−
d.
13
−

77. Cho hµm sè
( )
3
3
2x 2x x 1

f x
x 3x x 1
víi
víi

− ≥

=

− <


. Khi ®ã
(
)
x 1
lim f x
−
→
b»ng
a. – 4 b. –3 c. –2 d. 2
78. Cho hµm sè
( )
2
2 x 3
x 1
x 1
y f x
1
khi x 1

8
khi

− +
≠


−
= =


=


. Khi ®ã
(
)
x 1
lim f x
−
→
b»ng
a.
1
8
b.
1
8
−
c. 0 d.

+∞

GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi

13
79. Cho hµm sè:
( )
2
x 1
x 1
f x
1 x
2x 2 x 1
víi
víi

+
<

=
−


− ≥

. Khi ®ã
(
)
x 1
lim f x

−
→
b»ng
a. –1 b. 0 c. 1 d.
+∞

80. Cho hµm sè
( )
2
2x
x 1
1 x
f x
3x 1 x 1
víi
víi

<

−
=


+ ≥

. Khi ®ã
(
)
x 1
lim f x

+
→
b»ng
a.
−∞
b. 2 c. 4 d.
+∞




Mét vµi quy t¨c t×m giíi h¹n v« cùc (d¹ng v« ®Þnh)
81. Cho
2
2
x 1
2x 3x 1
L lim
1 x
→
− +
=
−
. Khi ®ã
a.
1
L
2
=
b.

1
L
4
=
c.
1
L
4
= −
d.
1
2
−

82. Cho
2
2
x 2
x 4
L lim
2x 3x 2
→−
−
=
+ −
. Khi ®ã
a.
4
L
5

=
b.
4
L
5
= −
c.
1
L
2
=
d.
1
L
2
= −

83.
2
x 2
x 3x 2
lim
2x 4
→
− +
−
b»ng
a.
+∞
b.

3
2
c.
1
2
d.
1
2
−

84.
2
x 2
x 12x 35
lim
x 5
→
− +
−
b»ng
a.
+∞
b. 5 c.
2
5
d.
2
5
−

85.
2
x 5
x 12x 35
lim
5x 25
→
− +
−
b»ng
a.
+∞
b.
1
5
c.
2
5
d.
2
5
−

86.
2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2

→−∞
+ +
+ − +
b»ng
a.
2
3
b.
2
3
−
c.
1
2
d.
1
2
−

87.
(
)
x
lim x 1 x 3
→+∞
+ − −
b»ng
a.
+∞
b. 2 c. 0 d.

−∞

88.
(
)
2
x
lim x x 5 x
→+∞
+ −
b»ng
a.
5
b.
5
2
c.
5
2
d.
+∞

89.
(
)
2
x
lim x x 2 x
→+∞
+ −

b»ng
a.
+∞
b. 2 c. 1 d. 0
90.
4
t 1
t 1
lim
t 1
→
−
−
b»ng
a.
+∞
b. 4 c. 1 d.
−∞

91.
4 4
t a
t a
lim
t a
→
−
−
b»ng
a.

2
4a
b.
3
3a
c.
3
4a
d.
+∞

92.
4
3
y 1
y 1
lim
y 1
→
−
−
b»ng
a.
+∞
b. 0 c.
3
4
d.
4
3

GV: Hong Trng Nam - Trng THPT Cũ Nũi

14
93.
2 5
4
x
3x x
lim
x 6x 5
+

+ +
bằng
a.
+
b. 3 c. 1 d.


94.
2
x
4x 1 x 5
lim
2x 7
+
+ +

bằng

a. 0 b. 1 c. 2 d.
+

95.
2
x 0
x 1 x x 1
lim
x

+ + +
bằng
a. 0 b. 1 c.
1
2

d.


96.
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2

+
+
bằng

a.

b. 1 c.
2
3
d.
2
3


97.
2
x 5
x 2x 15
lim
2x 10

+
+
bằng
a. 8 b. 4 c.
1
2
d.
+

98.
2
x 5
x 2x 15

lim
2x 10



bằng
a. 4 b. 1 c. 4 d.
+

99.
2
x 5
x 9x 20
lim
2x 10


+
bằng
a.
5
2

b. 2 c.
3
2

d.
+

100.
4 5
4
x
3x 2x
lim
5x x 4


+ +
bằng
a.
2
5

b.
3
5
c.

d.
+

101.
3
2
x 1
x 1
lim
x x

+
+
bằng
a. 3 b. 1 c. 0 d. 1
102.
( )
3
x
x
lim x 5
x 1
+
+

bằng
a. 0 b. 1 c. 2 d.
+

103.
2
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1

+

bằng

a.
2
3

b.
1
3

c. 0 d.
1
3

104.
3
2
x
2x x
lim
x 2
+

+
bằng
a.

b. 1 c. 2 d.
+

105.
(

)
x
lim x 5 x 7
+
+
bằng
a.
+
b. 4 c. 0 d.


106.
2
x 3
3x 7x
lim
2x 3


+
bằng
a.
3
2
b. 2 c. 6 d.
+

107.
2
x 1

2 x 3
lim
1 x

+

bằng
a.
1
4
b.
1
6
c.
1
8
d.
1
8


108. Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để đợc một khẳng định đúng.
Cột trái
Cột phải
GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi

15
1.
2
x 3

x 2x 15
lim
2x 10
→
+ −
+
b»ng

a)
7
2
−

2.
2
x 5
x 3x 10
lim
2x 10
→
+ −
+
b»ng b) 0
3.
2
x 5
x 2x 15
lim
3x 15
→

− −
−
b»ng

c)
3
2

4.
2
x 5
x 3x 10
lim
2x 10
→−
+ −
+
b»ng
d)
8
3


e)
7
2