cac dang bai tap gioi han day so va ham so

GIỚI HẠN
A: Giới hạn dãy số:
Kiến thức cần nhớ:
Đònh lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn.
Đònh lý2: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat).
Một dãy số tăng và bò chặn trên thì có giới hạn.
Một dãy số giảm và bò chặn dưới thì có giới hạn.
Đònh lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn)
Cho ba dãy số (u
n
), (v
n
), (w
n
).
Nếu
*
Nn
∈∀
ta có
nnn
wuv
≤≤
và lim v
n
= lim w
n
= A thì lim u

n
= A.
Đònh lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).
Nếu hai dãy số
)(),(
nn
vu
có giới thì ta có:

),0(limlim
)0(lim
lim
lim
lim
lim.lim).lim(
limlim)lim(
*
Nnuuu
v
v
u
v
u
vuvu
vuvu
nnn
n
n
n
n

n
nnnn
nnnn
∈∀≥=
≠=
=
±=±

Đònh lý6: Nếu
thìq `1
<


0lim
=
n
q
Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với
1
<
q
là:
S=u
1
+u
2
+...+u
n
+...=
q

u
−
1
1

)1(
<
q
.
Số e:
71828,2
1
1lim
≈=






+
e
n
n
Đònh lý7: Nếu
),0(0lim
*
Nnuu
nn
∈∀≠=

thì
.
1
lim
∞=
n
u
Ngược lại, nếu
∞=
n
ulim
thì
.0
1
lim
=
n
u
B. Giới hạn của hàm số:

Kiến thức cần nhớ:
1/ Một số đònh lý về giới hạn của hàm số:
Đònh lý1: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số).
Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi
ax
→
thì:

[ ]
[ ]
)0)((,)(lim)(lim
)0lim(,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
)(lim).(lim)().(lim
)(lim)(lim)()(lim
≥=
≠=
=
±=±
→→
→
→
→
→
→→→
→→→
xfxfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
axax

ax
ax
ax
ax
axaxax
axaxax
Đònh lý3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn)
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác đònh trên một khoảng K chứa điểm a (có
thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm x của khoảng đó
)()()( xhxfxg
≤≤
và nếu

,)(lim)(lim Lxhxg
axax
==
→→
thì
Lxf
ax
=
→
)(lim
Đònh lý4: Nếu khi
ax
→
, hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trò x đủ gần
a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì
0
≥

L
(hoặc
0
≤
L
).
Đònh lý5: Nếu
0lim
=
→
ax
(và
0)(
≠
xf
với mọi x đủ gần a) thì
∞=
→
)(
1
lim
xf
ax
Ngược lại, nếu
∞=
→
)(lim xf
ax
thì
0

)(
1
lim
=
→
xf
ax
2/ Giới hạn một bên :
Đònh nghóa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số f(x)
khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (x
n
) với x
n
> a (hoặc x
n
< a) sao cho
limx
n
= a thì limf(x
n
) = L.
Ta viết:
L
ax
=
+
→
lim
(hoặc
Lxf

ax
=
−
→
)(lim
).
Đònh lý: Điều kiện ắc có và đủ để
Lxf
ax
=
→
)(lim
là
)(lim),(lim xfxf
axax
−+
→→
đều
tồn tại và bằng L.

3/ Các dạng vô đònh:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần
tìm:
1/
)(
)(
lim
)(
0
xv

xu
x
xx
∞→
→
mà
0)(lim)(lim
)()(
00
==
∞→
→
∞→
→
xvxu
x
xx
x
xx
.
2/
)(
)(
lim
)(
0
xv
xu
x
xx

∞→
→
mà
∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
.
3/
[ ]
)().(lim
)(
0
xvxu
x
xx
∞→
→
mà
0)(lim
)(

0
=
∞→
→
xu
x
xx
và
∞=
∞→
→
)(lim
)(
0
xv
x
xx
.
4/
[ ]
)()(lim
)(
0
xvxu
x
xx
−
∞→
→
mà

+ ∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx

hoặc
− ∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
.
BÀI TẬP ÁP DỤNG

A. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:

2
12
lim/1
+
+
n
n

4
13
lim/2
2
2
+
+
n
n

23
15
lim/3
+
−
n
n

nnn
nn
−+
++
2
2
2
32
lim/4

1
32
lim/5
2
++
+
nn
nn

)3)(23(
)12)(1(
lim/6
++
−+
nn
nn

13
2
lim/7

2
2
++
+
nn
nn

13
2
lim/8
24
3
++
nn
n

)2)(1(
)3)(2(
lim/9
++
+
nn
nnn
Bài tập 2: Tính các giới hạn:

1
12
lim/1
2
2

+
−
n
n

2
52
lim/2
2
+−
+
nn
n

23
2
lim/3
2
3
−+
−
nn
nn

( )
nnn
+−
3 32
lim/4

23
12
lim/5
3
2
−
++
n
nn

( )
nnn
−−
3 23
2lim/6
Bài tập 3: Tính các giới hạn:

nn
n
32
1
lim/1
2
2
−
+

4
32
)1(

)2()1(
lim/2
−
++
nn
nn

(
)
1lim/3
22
+−+
nnn

3 32
3lim(/4 nnn
−+
)
2
1112
lim/5
2
3
−
+−
n
nn

42
1

lim/6
22
+−+ nn

B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:

)32(lim/1
2
+
→
x
x

)432(lim/2
3
2
+−
−→
xx
x

1
14
lim/3
2
2
1
+−
++

→
xx
xx
x


1
21
lim/4
3
+
+−
−→
x
xx
x

)2(lim/5
3
1
xx
x
++
−→

2
25
lim/6
2
5

+
−
→
x
x
x
Dạng
0
0

Bài tập 2: Tính các giới hạn:

1
23
lim/4
4
6
lim/1
23
3
1
2
2
2
+−−
+−
−
−+
→
→

xxx
xx
x
xx
x
x

8
4
lim/5
20
16
lim/2
3
2
2
2
2
4
+
−
−+
−
−→
→
x
x
xx
x
x

x

9
3
lim/6
3
34
lim/3
2
3
2
3
−
+
−
+−
−→
→
x
x
x
xx
x
x

Bài tập 3: Tính các giới hạn:

x
x
x

xx
x
x
x
x
x
2
121
lim/7
4
23
lim/4
2
121
lim/1
0
2
2
0
−+
−
−−
−+
→
→
→

2
24
lim/8

33
223
lim/5
39
4
lim/2
3
2
1
0
−
−
+
+−+
−+
→
−→
→
x
x
x
xx
x
x
x
x
x

25
32

lim/9
34
472
lim/6
32
372
lim/3
2
3
5
3
1
1
−
+−
+−
−++
+−
−+
→
→
→
x
x
xx
xx
x
x
x
x

x
Bài tập 4: Tính các giới hạn:

33
276
lim/7
22
2
lim/4
1
1
lim/1
23
24
3
2
2
2
3
1
+++
−−
−+−
−
−
−
−→
→
→
xxx

xx
xx
x
x
x
x
x
x

33
3 2
0
1
2
23
1
232
11
lim/8
45
32
lim/5
43
42
lim/2
+−+
−−
+−
−+
−−

++−
→
→
−→
xx
x
xx
xx
xx
xxx
x
x
x

314
2
lim/9
23
2423
lim/6
11
lim/3
2
2
2
1
2
0
−+
+−

+−
−−−−
++−+
→
→
→
x
xx
xx
xxx
x
xxx
x
x
x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:

x
x
xx
xx
xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
x

x
x
−−
+−
++
++
++
−+
−
+−
−−
→
−→
→
→
→
51
53
lim/5
62
23
lim/4
)1)(1(
lim/3
3
34
lim/2
11
lim/1
4

2
2
2
23
2
3
2
3
3
0

23
1
lim/10
3
11
lim/9
2
321
lim/8
1
12
lim/7
23
1
lim/6
2
3
1
3

0
4
2
2
3
1
2
3
1
−+
+
−−
−
−+
−
+−+−
−+
−
−→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x

xxx
x
x
x
x
x
x
x
• Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:


3
51
lim/3
11
lim/2
23
7118
lim/1
3
3
3
0
2
3
2
−
+−+
−−+

+−
+−+
→
→
→
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x

2
122
lim/6
2
66
lim/5
1
39
lim/4
2
1
2
3
2
3

1
−−
−−+
−+
++−
−
++−
−→
−→
→
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
x
x

Dạng
∞
∞
Bài tập 7: Tính các giới hạn:

3
2
2
3
25

2
3
2
)43(
)41)(12)(2(
lim/5
53
132
lim/4
1
12
lim/3
2
1
lim/2
32
1
lim/1
+
−+−
+−
++
+
++
−
++−
+
+
∞→
∞→

∞→
+∞→
−∞→
x
xxx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

12
32
lim/10
13
14
lim/9
1
32
lim/8
53
734

lim/7
16
83
lim/6
3
2
2
3 3
2
2
3
4
2
+−
+
−
+
+−
++
+−
−+
+−
−+
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
xx
x

x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x

ĐS:
27
8
/5
3
2
/4
/3
/2
2
1
/1
−
∞+
∞
−

0/10
3
2
/9
1/8
/7
0/6
±
±
∞
Bài tập 8: Tính các giới hạn:

xx
xxx
x
−++
++++
∞→
214
4132
lim/1
2
2

1
12419
lim/2
22
−

++−++
∞→
x
xxxx
x

ĐS:



−
5
1
/1




−
1
1
/2

Dạng
∞−∞

Bài tập 9: Tính các giới hạn:








−
−
−
−+
−−−−
−+
→
∞←
∞→
+∞→
3
1
2
2
3 23
1
3
1
1
lim/4
)(lim/3
)34412(lim/2
)(lim/1
x
x
xxx

xxx
xxx
x
x
x
x







+−
+
+−
++−+−
+−
−+
→
−∞→
+∞→
∞→
65
1
23
1
lim/8
)11(lim/7
)1(lim/6

)3(lim/5
22
2
22
2
3 32
xxxx
xxxx
xx
xxx
x
x
x
x
ĐS:
1/4
2
1
/3
0
/2
3
1
/1
−



∞−

2/8
1/7
0/6
1/5
−
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết :
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x

Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:

2
0
0
0
0
2
4cos1
lim/4
sin
2cos1
lim/3

11
2sin
lim/2
2
5sin
lim/1
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−+
→
→
→
→

2
0
0
2

2
0
3
0
6cos1
lim/8
2
3
lim/7
3
sin
lim/6
sin
lim/5
x
x
x
xtg
x
x
x
xtgx
x
x
x
x
−
−
→
→

→
→

x
x
x
xx
xtg
x
x
x
x
x
x
x
cos21
3
sin
lim/12
sin
cossin1
lim/11
cos12
lim/10
5cos1
3cos1
lim/9
3
2
2

0
2
0
0
−






−
−+
+−
−
−
→
→
→
→
π
π
ĐS:
25
9
/9
2
1
/5
2

5
/1

8
2
/10
9
1
/6
4/2

1/11
2
3
/7
2/3

3
1
/12
18/8
4/4
------------------------------------ Hết ----------------------------------------
HÀM SỐ LIÊN TỤC

Kiến thức cần nhớ:
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi
là liên tục tại điểm
∈

0
x
(a; b) nếu:
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
.
Nếu tại điểm x
o
hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại x
o
và
điểm x
o
được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).
Theo đònh nghóa trên hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm
∈
0
x
(a; b) nếu và chỉ nếu
)(lim xf
o
xx
−
→
và

)(lim
0
xf
xx
+
→
tồn tại và
)()(lim)(lim
0
00
xfxfxf
xxxx
==
+−
→→
2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
a. Đònh nghóa:
Hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó,
nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.
Hàm số f(x) xác đònh trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu
nó là liên tục trên khoảng (a; b) và
),()(lim afxf
ax
=
+
→

)()(lim bfxf
ax
=

−
→
.
Lưu ý: Đồ thò của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên
khoảng đó.
b. Một số đònh lý về tính liên tục:
Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục
tại một điểm là liên tục tại điểm đó.
Đònh lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên
tập xá đònh của nó.
Đònh lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trò lớn
nhất, giá trò nhỏ nhất và mọi giá trò trung gian giữa giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất
trên đoạn đó.
Hệ quả. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít
nhất một điểm c
∈
(a; b) sao cho f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).
MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:

.
23
452
/
.345/
2

2
23
+−
+−
=
−+−=
xx
xx
yb
xxxya

.
2
2sincot
/
.5cos/
xtg
xgx
yd
xtgxyc
+
=
+=
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:

Bài tập 1: Cho hàm số: