Thể tích khối đa diện lớp 12

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH HỌC LỚP 12
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
A. Lí thuyết:
ƠN TẬP
HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A




B

 AB 2  AC 2  Pitago 
AH .BC  AB. AC
AB 2  BH .BC , AC 2  CH .CB
1
1
1


, AH 2  HB.HC
2
2
2

AH
AB
AC
BC
AM 

 BC



C

H M



2

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường
a) Định lí hàm số cosin

b2  c2  a 2
2bc
2
a  c2  b2
 b 2  a 2  c 2  2ac cos B  cos B 
2ac
2
a  b2  c2
 c 2  a 2  b 2  2ab cosC  cos C 

2ab
 a 2  b 2  c 2  2bc cos A  cos A 

A
c

b
a

B

C

b) Định lí hàm số sin
A
c

a
b
c


 2R
sin A sin B
sin C

b

B
R

(R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC)

C

a

c) Cơng thức tính diện tích của tam giác
A



c
B

b
a



C

p – nửa chu vi
r – bán kính đường trịn nội
tiếp




1

1
1
S ABC  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S ABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B
2
2
2
abc
S ABC 
, S ABC  p.r
4R

a b  c

S ABC  p p  a  p  b p  c , p 





2

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

1


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

d) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
A
K

N
M

B

 AM 2 
C

AB 2  AC 2 BC 2
BA2  BC 2 AC 2
.  BN 2 
.


2
4
2

4
CA2  CB 2 AB 2
2
 CK 

.
2
4

3/ Định lí Talet

 MN / / BC 

A
M

2

N

B

AM AN MN


k
AB AC BC

S
 AM 

2
 AMN  
 k
SABC  AB 
C

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vng

B

 SABC 

 Diện tích tam giác vng bằng ½ tích 2
cạnh góc vng.

b/ Diện tích tam giác đều
 Diện tích tam giác đều:
(cạnh)2
đều
. 3
S 
4
 Chiều cao tam giác đều:
(cạnh)
đều
. 3

h 
2

C

A

B

h
A

a
D

a
C

A

c/ Diện tích hình vng và hình chữ
nhật

1
AB.AC
2

B
O

C

2


S ABC  a 3


4



h  a 3


2



S HV  a 2




AC  BD  a 2




 Diện tích hình vng bằng cạnh bình

phương.
 Đường chéo hình vng bằng cạnh
nhân 2 .
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân
rộng.

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

2


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A

D

d/ Diện tích hình thang
S 

 Diện tích hình thang:
SHình Thang  1 .(đáy lớn + đáy bé) x
2
chiều cao

B

H

AD  BC  .AH
2

C

B

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vng góc

C  S H .Thoi 

A

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vng góc nhau bằng ½ tích hai đường
chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vng góc
nhau tại trung điểm của mỗi đường.

1
AC .BD
2

D

Lưu ý: Trong tính tốn diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản
dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích

đa giác.

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1/ Chứng minh đường thẳng d // mp ( ) với  d  ( ) 
 Chứng minh: d // d ' và d '  ( )
 Chứng minh: d  (  ) và    // ( )
 Chứng minh d và ( ) cùng vng góc với một đường thẳng hoặc cùng vng góc với
một mặt phẳng.
2/ Chứng minh mp ( ) // mp   
 Chứng minh mp( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp    .
 Chứng minh mp ( ) và mp    cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vng góc
với 1 đường thẳng.
3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
 Hai mp( ),    có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a , b thì

( )      Sx // a // b .
 a // mp( )

 ( )      b // a .
 a  mp   
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

3


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song
song với đường thẳng đó.
 Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song.
 Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …
4/ Chứng minh đường thẳng d  mp  
 Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp( ) .

 d // d '
 Chứng minh: 
 d  mp  
d '  mp  


 d  mp   

 Chứng minh: 
 d  mp  
mp    // mp  


 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng
    P 

vng góc với mặt phẳng thứ 3:      P 
 d  P

       d
 Có hai mặt phẳng vng góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc

với giao tuyến, cũng vng góc với mặt phẳng kia.
5/ Chứng minh đường thẳng d  d '
 Chứng minh d    và    d ' .
 Sử dụng định lý ba đường vng góc.
 Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằng 900 .
 Sử dụng hình học phẳng.
6/ Chứng minh mp    mp   
   d

 Chứng minh 
 mp    mp    (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng
d    

vuông góc với mp kia)
 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 .
GĨC
1/ Góc giữa hai đường thẳng
 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương
với hai đường thẳng đó:
a'


 a // a '
a
 (a, b)  (a ', b ')  

b // b '

b'
2/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng mp  

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.



d ,     (d , d ')  




GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

b

d

d'

01649802923


4


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

(với d ' là hình chiếu vng góc của d lên mp ( ) ).
3/ Góc giữa hai mp   và mp   
 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u ,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vng góc với giao tuyến.
 
 
 ( );      ( a, b)  






u

a



b

4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
M

 Là độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng
d  M ,    MH
5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:



H

d

M

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

d'

M

6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
M

 Là độ dài đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng đó.
 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp  
chứa d ' và song song với d .
 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song   ,   
lần lượt chứa d và d ' .

HÌNH CHĨP ĐỀU

d

d'

1/ Định nghĩa.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

5


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với
đáy các góc bằng nhau.
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2/ Hai hình chóp đều thường gặp
a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC . Khi đó:

S

Đáy ABC là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
 

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO  SBO  SCO .
A

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .

O
2
1
AB 3
Tính chất: AO  AH , OH  AH , AH 
.
3
3
2
B
Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

C
H

S

b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S . ABCD .
Đáy ABCD là hình vng.
A
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
 
 
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO  SBO  SCO  SDO .
B

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .

D
H

O
C

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHĨP

1/ Hình chóp có một cạnh bên vng góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh
bên vng góc với đáy.
2/ Hình chóp có một mặt bên vng góc
với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của
tam giác chứa trong mặt bên vng góc
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

Ví dụ: Hình chóp S . ABC có cạnh bên
SA   ABC  thì chiều cao là SA .
Ví dụ: Hình chóp S . ABCD có mặt
bên  SAB  vng góc với mặt
đáy  ABCD  thì chiều cao của hình
chóp là chiều cao của SAB .
01649802923

6

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

với đáy.
3/ Hình chóp có hai mặt bên vng góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến
của hai mặt bên cùng vng góc với đáy.
4/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng
nối đỉnh và tâm của đáy.

Ví dụ: Hình chóp S . ABCD có hai mặt
bên  SAB  và  SAD  cùng vng
góc với mặt đáy  ABCD  thì chiều
cao là SA .
Ví dụ: Hình chóp tứ giác
đều S . ABCD có tâm mặt phẳng
đáy là giao điểm của hai đường
chéo hình vng ABCD thì có
đường cao là SO .

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
S

1
1/ Thể tích khối chóp: V  B.h
3

D

A
O

B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.

B

C

A

2/ Thể tích khối lăng trụ: V  B.h

B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao
cũng là cạnh bên.

C

A

B

A’

B

C’
B’

C

A’

C’
B’

S xq  ph ; Stp  S xq  2 Sday

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

7


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
c

a

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:
V  a.b.c

a

a

b

a

 Thể tích khối lập phương:

V  a3

S xq  ph ; Stp  S xq  2 Sday
S

4/ Tỉ số thể tích:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '

.
.
VS . ABC
SA SB SC

B’

A’
C’
A

B

C

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC
h
V  B  B ' BB '
3
Với B, B ', h là diện tích hai đáy và
chiều cao.





4 phương pháp thường dùng tính thể tích
 Tính diện tích bằng cơng thức.
+ Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,….
+ Sử dụng cơng thức tính thể tích.
 Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ
mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả
cần tìm.
 Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa
diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được
thể tích.
 Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.
B. Bài tập:
Vấn đề 1: Tính thể tích trực tiếp
- Xác định chiều cao
- Xác định diện tích đáy
Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

8


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vng cân tại A có
cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải:
Ta có
ABC vng cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA '  AB

AA ' B  AA '2  A ' B 2  AB 2  8a 2
 AA '  2a 2
Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2
Bài 2 : Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này
Giải:
C'
D'
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
A'
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a
ABCD là hình vng  AB 

3a
2

9a 2
Suy ra B = SABCD =
4

B'
4a

5a
C

D
A

B

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
Bài 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh
diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
A'
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
 ABC đều nên
B'
AB 3
AI 
 2 3 & AI  BC

2

 A ' I  BC (dl 3 )
2S
1
S A ' BC  BC. A ' I  A ' I  A ' BC  4
2
BC
.
AA '  ( ABC )  AA '  AI

a = 4 và biết
C'

A

C
I
B

A ' AI  AA '  A ' I 2  AI 2  2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3
Bài 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .
Giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
a2 3
và SABCD = 2SABD =
2
Theo đề bài BD' = AC = 2

a 3
a 3
2

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

9


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
2

2

DD ' B  DD '  BD '  BD  a 2
a3 6
Vậy V = SABCD.DD' =
2
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
AC = a , góc ABC= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng
trụ.
Giải:
ABC  AB  AC.tan 60o  a 3 .
A'
C'

Ta có:

AB  AC ; AB  AA '  AB  ( AA 'C ' C )
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC ' A = 30 o

AC ' B  AC ' 

AB
 3a
t an30o

B'

A

V =B.h = SABC.AA'

AA 'C '  AA '  AC '2  A 'C '2  2a 2
a2 3
là nửa tam giác đều nên S ABC 
ABC
2
3
Vậy V = a 6

o
30

C

a
o
60
B

Bài : Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a và đường chéo
BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt
bên của lăng trụ
Giải :
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: DD '  ( ABCD )  DD '  BD và BD là
hình chiếu của BD' trên ABCD .
B'
C'

A'
D'
Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD '  300

BDD '  DD '  BD.tan300 

a 6
3

a3 6
4a 2 6
Vậy V = SABCD.DD' =
S = 4SADD'A' =
3

3

C
D

o
30

B

A
a

Bài 6:(ĐH YTB-2001) Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng
trụ.
Giải :
ABC đều  AI  BC mà AA'  ( ABC ) nên A'I  BC (đl 3  ).

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A ' IA = 30o

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

10


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

2x 3
 x 3 .Ta có
2
2 AI 2 x 3
A' AI : A' I  AI : cos 30 0 

 2x
3
3

Giả sử BI = x  AI 

C'

A'

B'

3
x
3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2
A’A = AI.tan 300 = x 3.

30o

A

Do đó V ABC.A’B’C’ = 8 3

C
x

B

I

Bài 7:(CĐ CN-1999) Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt
phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Giải :
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
D'
C'
ABCD là hình vng nên OC  BD
A'
B'
CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl 3  ).

Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC ' = 60o
D
Ta có V = B.h = SABCD.CC'
C
2
ABCD là hình vng nên SABCD = a
O
60 0

A

a 6
OCC ' vuông nên CC' = OC.tan60o =
2
3
a 6
Vậy V =
2

B

a

Bài 8:(ĐH QG-2000) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng
(A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60 o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể
tích khối hộp chữ nhật
Giải :
Ta có AA'  ( ABCD )  AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) .

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A 'CA  30o
D'
A'
BC  AB  BC  A'B (đl 3  ) .
C'
B'

o
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A ' BA  60
2a

A ' AC  AC = AA'.cot30o = 2a 3

2a 3
3
4a 6
ABC  BC  AC 2  AB 2 
3
3
16a 2
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
A ' AB  AB = AA'.cot60o =

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

D

A
o
60

o
30

C

B

01649802923

11


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài 9:(ĐH HÀNG HẢI-2000) Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam
giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .
Giải :
1) Ta có A ' O  ( ABC )  OA là hình chiếu của AA' trên (ABC)

A'
C'
Vậy góc[ AA ',( ABC )]  OAA '  60o
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
AO  BC tại trung điểm H của BC nên BC  A ' H (đl 3
)
B'
 BC  ( AA ' H )  BC  AA ' mà AA'//BB' nên
BC  BB ' .
60 o
Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
A

2
2a 3 a 3

AH 

3
3 2
3
AOA '  A 'O  AO t an60o  a
a3 3
Vậy V = SABC.A'O =
4

C

2) ABC đều nên AO 

a

O
H
B

Bài 10: (Bài 19-sgknc-28). Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC
vng tại A AC=b, góc ACB  600 . Đường thẳng BC' tạo
với mặt phẳng (AAC'C) một góc bằng 300 .
a/ Tính độ dài đoạn thẳng AC' .
b/ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
Giải :
a/ Do tam giác ABC vuông tại A cho nên
BA  AC  BA   AA'C'C   BA  AC ' . Vì thế AC' là
hình chiếu của BC' trên mặt phẳng (AA'C'C) suy ra góc
BC'A bằng 300 . Trong tam giác vng ABC ta có

AB  AC .tan 600  b 3 ,

BC  AB 2  AC 2  3b2  b 2  2b .
b/ Tính thể tích khối lăng trụ .
Trong tam giác vng ABC' ( vng tại A ) ta lại có AC '  AB cot 300  b 3. 3  3b .
BC'=2AB= 2b 3
2

2

Trong tam giác BCC' ta có : CC '   BC '   BC   12b2  4b2  2 2b . Vậy thể tích
khối lăng trụ là :
1
1
V  S ABC .CC '  AB. AC.CC '  b 3b.2 2b  b3 6 .
2
2
Bài 11: (Bài 20-sgknc-28) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều
cạnh a , điểm A' cách đều ba điểm A,B,C , cạnh AA' tạo với đáy một góc bằng 600
a/ Tính thể tích khối lăng trụ
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

12


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

b/ Chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật
c/ Tính tổng diện tích các mặt bên ( gọi là diện tích xung quanh )?
Giải : a/ Vì A' cách đều các điểm A,B,C cho nên hình chiếu vng góc H của A' trùng với
tâm đáy . Nhưng đáy lại là tam giác đều vì vậy H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp , trọng
2
3 a 3
tâm tam giác ABC : AH  a

.
3 2
3
Trong tam giác AHA' có A'H=AH
a 3
tan 600 
. 3 a.
3
Do đó
1
1
3
a3 3
VLT  S ABC . A ' H  AB. AC.sin 600. A ' H  a 2
a
2
2
2
4
b/ Chứng minh BCC'B' là hình chữ nhật
Ta có :

 BC  AH
 BC   AHA '  BC  AA'

BC  A ' H

 BC  BB '
Nhưng AA'//BB'//CC' cho nên :  
 BCC ' B ' là hình chữ nhật .
BC  CC '

c/ Tính diện tích xung quanh .
Ví AH=a cho nên tam giác AHA' là một nửa tam giác đều cạnh bằng 2a :
2 a 3 2a 3

AA'=2AH=2
. Vì thế diện tích hình chữ nhật BCC'B' bằng
3 2
3
BC.BB'=a.2a= 2a 2  S BCC ' B '  2a 2 (1). Mặt khác hai hình bình hành ABB'A' bằng ACC'A'
vì vậy S '  2 S  2 S ABB ' A '
2a
Trong tam giác vuồng A'BH ta có : A ' B  A ' A  A ' C 
. Trong tam giác cân ABA'
3
2

2

1
1

a 2 13
a 2 13
 2a   a 
Ta có : S ABA '  ABA ' I  a. 
 S ABB ' A '  2S ABA ' 
   
2
2
4 3
2 3
 3 2

a 2 13
2a a 2
Do đó : S xq  2.
 a.

2 3
3
3



a2 3
13  2 
3





13  2




Bài 12: (ĐHBK-89) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 600.
Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của
đáy. Cho BB’ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thể tích hình hộp
Giải:
a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD
* B’O  (ABCD) (gt)
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

13


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


* Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là  = B B O


* Tính  = B BO : Trong V BB’O tại O, ta có:

OB
OB
cos  =
=
BB
a


D'

C'
B'

A'

a

0

+  ABD đều cạnh a (vì A = 60 và AB = a)  DB = a
D
C
1
a
1
0
 OB = DB = . Suy ra: cos  =   = 60

60


O
2
2
2
A
a
B
b) * Đáy ABCD là tổng của 2  đều ABD và BDC
a2 3
a2 3
=
 S ABCD = 2.
4
2
a2 3 ’
’
* VABCD. ABC D = Bh = S ABCD .B O =
.B O
2
a 3
3a 3
* Tính B’O: B’O =
(vì  B’BO là nửa tam giác đều) ĐS:
2
4
Dạng 2: Thể tích khối chóp
Loại 1: Thể tích của khối tứ diện
Bài 13: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC
= 2a; hai mặp phảng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt

phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 600. Tính thể tích khối chop S. BCNM
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với phẳng (ABC) nên giao tuyến
SA  (ABC), do đó SA là đường cao.

Ta có : SBA = 600 và SBA là ½ tam giác đều nên SA =
4a 3
 2a 3
2
1
3a 2
SMNCB  ( MN  BC ).BM 
2
2
2
1 3a
=> V (SMNCB) =
2a 3 = a 3 3
3 2
Bài 14: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, BA = 3a, BC

= 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Giải :
Gọi H là hình chiếu của S xuống BC.
Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC)
Ta có SH = a 3 ( Cạnh đối diện với góc 30)

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

14


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

1
1 1
Thể tích khối (SABC) = S ABC .SH  ( 3a.4a).a 3  2a 3 3
3
3 2
Ta có : Tam giác SAC vng tại S
vì SA = a 21 ; SC = 2a; AC = 5a.
Diện tích (SAC) = a 2 21
1
1
Ta thấy VSABC  S ABC .SH  d ( B,( SAC )).S SAC
3
3
3V
3.2a3 3 6a
=> d(B,(SAC)) = SABC = 2

SSAC
a 21
7
Chú ý : Có thể dựa vào điều sau để tính khoảng cách ( Chỉ áp dụng trong tứ diện và hình

chóp tam giác)
1
1
1
1
VSABC  d ( S ,( ABC )).S ABC  d ( A,( SBC )).S SBC  d ( B,( ASC )).S ASC  d (C ,( SAB)).S SAB
3
3
3
3
Bài 15: (DB -A-2007) Cho hình chóp S.ABC góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60. Tam giác ABC Và SBC đều cạnh a. tính thể tích , khoảng cách từ B đến (SAC).
Giải :
Gọi M là trung điểm của BC khi đó BC  (SAM)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) chính là góc SMA=60
Ta cũng => được (SAM)  (ABC)=AM
Ta dựng được SH  AM => SH  (ABC)
1
Vậy VSABC  SH .S ABC
3
3
1
a2 3
S ABC  AB. AC.sin 60 
; SH  a
2
4
4
2
1

a 3
=> VSABC  SH .S ABC =
(dvtt)
3
16
+) khoảng cách từ B đến (SAC).
1
1
VSABC  S ABC .SH  d ( B,( SAC )).S SAC
3
3
3VSABC
=> d(B,(SAC)) =
SSAC

a 3
2
Tính S SAC khi biết ba cạnh ( ba cạnh chua rõ dàng)
Cách tổng qt Tính S SAC :
Ta có SMA là tam giác đều nên SA=SM=

SA2  SC 2  AC 2
3

2SA.SC
4
13
=> Sin ASC  1  cos 2 ASC 
4
Cos ASC=

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

15


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

2

1
a 39
Vậy S SAC = SA.SA.sin ASC 
2
16
3a 13
3V
=> d(B,(SAC)) = SABC =
SSAC
13
a
Bài 16:(NPK-41) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a, BC= , SA= a 3 ; góc
2
SAB=SAC=30. Tính thể tích của hình chóp S.ABC
Giải :
Theo định lí cosin ta có :

SB 2  SA2  AB 2  2SA. AB.cos SAB

 SB  a
Tương tự ta có : SC=a
Gọi M,N là trung điểm của SA,BC khi đó
MB  SA; MC  SA (vì là đường cao trong tam giác cân,
bằng nhau)
=> SA  ( BMC )
1
1
1
1
=> VS . ABC  VS .MBC  VA. MBC = MA.SMBC  SM .S MBC  ( MA  SM ).SMBC  SA.S MBC
3
3
3
3
Hơn nữa tam giac MBC cân tai M
a 3
MN 2  AN 2  AM 2  AB 2  BN 2  AM 2 
4
=>
2
1
1
a
VS . ABC  SA. MN .BC 
3
2
16

Loại 2 : Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
Bài 17 : Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng
vng góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Giải :
A
Ta có
a_
( ABC )  ( SBC )
 AC  ( SBC )

B
C
/
 ( ASC )  ( SBC )

1
1 a2 3
a3 3
Do đó V  S SBC . AC 
a
3
3 4
12

/

\
S

Bài 18 :(CĐ-KTKT-2001) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B

với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2)Tính thể tích hình chóp .
Giải : 1) SA  ( ABC )  SA  AB & SA  AC
mà BC  AB  BC  SB ( đl 3  ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vng.
2) Ta có SA  ( ABC )  AB là hình chiếu của SB trên (ABC).
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

16


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB  60o .

ABC vng cân nên BA = BC =
SABC =

a
2

1
a2
BA.BC 

2
4

S

a 6
2
2
1
1 a a 6 a3 6
Vậy V  S ABC .SA 

3
34 2
24
SAB  SA  AB.t an60o 

C

a

A
60o

B

Bài 19 :( A-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D;
AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Giải:
Vì (SBI)và (SCI)vng góc với (ABCD) nên
SI  ( ABCD ) .
Ta có IB  a 5; BC  a 5; IC  a 2;
Hạ IH  BC tính được IH 

3a 5
;
5

3a 15
.
5
 2a 2  a 2  3a 2 (E là trung điểm của AB).

Trong tam giác vuông SIH có SI = IH tan 600 

S ABCD  S AECD  S EBC

1
1 2 3a 15 3a3 15
V  S ABCD SI  3a

.
3
3
5
5
Bài 20 (D-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA



vng góc với đáy, BAD  1200 , M là trung điểm cạnh BC và SMA  450 . Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng
S
(SBC).
Giải:
Tam giác ABC là tam giác đều, tam giác SMA vuông cân tại A
A
a 3
 SA
2
1
3  a 3 a3
V=  a.a. 

3
2  2
4
AM 

D
B
M
C

Vì AD// BC nên
d(D, (SBC))= d(A, (SBC))=

I

1
1a 3
a 6
SM 
2
2
2 2
4

Bài 21 : ( ĐH-GTVT-2002) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a
và SA vng góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

17


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Giải:
1)Ta có SA  ( ABC ) và CD  AD  CD  SD ( đl 3
 ).(1)

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o .
SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3

1
3

1
3

S
H

60 o

A

B

a

D

C

3

Vậy V  S ABCD .SA  a 2a 3 

a 3
3

2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH  AH  ( SCD)

Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

1
1
1
1
1
4
 2
 2 2 2
2
2
AH
SA AD 3a a 3a
a 3
Vậy AH =
2

SAD 

Bài 22: (A-2012) Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của S trên
(ABC) là H thuộc AB sao cho HA=2HB, góc giữa SC và (ABC) bằng 60, Tính thể tích của
khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa SA và BC theo a.
Giải :
-

S ABC

1
a2 3

 AB. AC.sin 60 
2
4

- Ta có HC 2  BH 2  BC 2  2 BH .BC.cos60=
=> HC 

7a2
9

a 7
3

Do đó ta có SH  HC tan 60 

a 21
3

Tính khoảng cách:
Kẻ Ax//BC, HN  Ax khi đó BC//(SAN)

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

18


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

Bài 23( B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = a 2 , SA = a và SA  ( ABCD ) . Gọi M, Nlà trung điểm của AD, SC. Chứng minh
( SAC )  ( SMB) và VANIB  ?
Giải :
- ( SAC )  ( SMB) …......
- VANIB  ?
Gọi H là trung điểm của AC=>Nh là đường trung bình của
SA a
tam giác SAC ; NH=
 ; NH//SA=> NH  (ABCD)
2 2
=>
Ta có :

Bài 24: (NPK-44) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng
góc với đáy. (SBD) tạo với đáy một góc 60. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A lên
SB,SD. Mp( AMN) cắt SC tại P. Tính thể tích khối chóp S.AMPN.
Giải :
- Góc giữa hai (SBD) và (ABCD) chính la góc SOA=60.
a 6
- Tính được SA=
2
- Dễ dàng chứng minh được SP  ( AMNP) => SP là đường
đường cao của hình chóp S.AMPN
1
=> VS . AMPN  SP.S AMPN
3
- Trong tam giác vuông SAC ta có

SA2
3a 14
2
SA  SP.SC  SP 

14
SA2  AC 2
1
- Ta có S MAPN  2S AMP  2. AM .MP
2
SA. AB a 15
MP SP
3a 35
AM 

; lại có

(vì SBC  SPM )  MP 
SB
5
BC SB
35
3
3a 16
Vậy VS . AMPN 
(dvtt )
70
Loại 3 : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

19


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a Mặt bên SAB là
tam giác đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Giải :
S
1) Gọi H là trung điểm của AB.
SAB đều  SH  AB
D
mà ( SAB )  ( ABCD)  SH  ( ABCD )
A
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

a 3
2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =
2
3
1
a 3
suy ra V  S ABCD .SH 
3

6

H

B

a

C

Bài 26: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,
(ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD
Giải :
Gọi H là trung điểm của BC.
A
Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)
 AH  ( BCD) .
Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a 3

a

a 3
3
2a 3
BCD  BC = 2HD =
suy ra
3
1
11
a3 3

V = S BCD . AH  . BC.HD. AH 
3
32
9

B

& HD = AD.cot60o =

60

H

o

D

C

Bài 27: ( A-Dự Bị 2004) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B,
có BC = a. Mặt bên SAC vng góc với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một
góc 45 0.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
Giải :
a) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI  AB,


SJ  BC, theo giả thiết SIH  SJH  45o

Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là đường phân
giác của ABC ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.
a
1
a3
b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC .SH 
2
3
12
Bài 28: (DB-B-2010) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC vng cân tại A ; AB=AC=a ; (SBC)
Vng góc với (ABC) ; hai mặt bên còn lại hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích hình chóp
SABC.
S

H

A

45

C

I

J

B

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

20


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

Giải :
- Dễ cm được SH  (ABC)
- Kẻ IH  AB, HK  AC dễ dàng suy ra góc giữa hai
mặt bên và đáy.
1
VSABC  SH .S ABC
3
a2
- S ABC 
2
- Tam giác ABC vng cân=> Góc B và C bằng 45 => AIHK là hình vng =>HK=AK=KC
a
a 3
=> HK= => SH=tan60.HK=
2
2
3
a 3
=> V=
12
Bài 29 : (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAD là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vng góc với BP và thể tích khối tứ diện CMNP
Giải :
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH  AD
Vì (SAD)  (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra SH  BP (1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có  BP  CH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: BP   SHC 
(3)
Do HC // AN, MN // SC   SHC  / /  MAN 

(4)

Từ (3) và (4) suy ra: BP   MAN   AM  BP
Tính thể tích

=>
Cách 2 : tính thể tích
Thay vì dựng MK ta đi tính d(M,(CMNP))
Ta thấy SM  (ABCD)={B}
d ( M ,( ABCD)) MB 1
a 3
Khi đó

 mà d ( S ,( ABCD )) =SH=
d ( S ,( ABCD))
SB 2
2

a 3

4
Loại 4 : Hình chóp đều
=> d ( M ,( ABCD )) =

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

21


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

Bài 30: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh
rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích
chóp đều SABC
Giải:
Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
S
Ta có tam giác ABC đều nên
AO =

2
2a 3 a 3
AH 

3

3 2
3

11a 2
SAO  SO  SA  OA 
3
a 11
1
a3 11
.Vậy V  S ABC .SO 
 SO 
3
12
3
2

2

2

2a

C

A

a

O

H
B

Bài 31: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Giải:
Dựng SO  (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên
D
OA = OB = OC = OD  ABCD là hình thoi có đường trịn
O
gnoại tiếp nên ABCD là hình vng .Ta có SA2 + SB2 = AB2
a 2
+BC = AC nên  ASC vuông tại S  OS 
2
3
1
1 a 2 a 2

 V  S ABCD .SO  a 2
3
3
2
6
2

2

A

S

a

C

B

a3 2
Vậy V 
6
Bài 32:( ĐH-HV-2002) Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC
Giải:
a) Gọi O là tâm của ABC  DO  ( ABC )
D
1
V  S ABC .DO
M
3
a2 3
2
a 3
S ABC 
, OC  CI 
A
C
4

3
3
H
O
a 6
DOC vng có : DO  DC 2  OC 2 
I
3
a
2
3
B
1a 3 a 6 a 2
V 
.

3 4
3
12
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

22


HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

MH 

1
a 6
DO 
2
6

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
 VMABC  S ABC .MH 
.

3
3 4
6
24

Vậy V 

a3 2
24

Bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 600. Các mặt bên
hợp với đáy góc 600. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
Giải
Gọi I là chân đường cao kẻ từ S trong SAD.
Ta có: các mặt bên hợp với đáy góc 600, nên hình chiếu vng góc của S xuống mặt phẳng
đáy sẽ cách đều các cạnh đáy. Suy ra: SO là đường cao của hình chóp.


IO
S
 SOI vng  cos SIO 
SI
IO
 SI 
 2 IO (1)

B
cos
A
3

I
O
IO
OI
 AOI vuông  sin OAI 
 OA 
 2OI (2)
C
D

OA
sin
6
a 3
Từ (1) và (2): SI  OA 
(đường cao tam giác đều).

2
2

a 3
3

2
2
3SI 2
 SI 
2
2
2
 2   9a  3 a
h  SO  SI  OI  SI    

4
4
16 4
 2 
a2 3
S ABCD  BD. AC 
2
2
1 3a a 3 3a 3 3
V . .

(đvdt)
3 4
2

24
Loại 4: Các dạng hình chóp khác


Bài 33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB   .
Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a,  .
Giải:
s

Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vng (đáy của
hình chóp A.ABCD).
Ta có: SO là đường cao của hình chóp
OM  AB

A

D

M
O
B

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

C

01649802923

23

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 SM  AB (định lý ba đường vng góc)
a
 SM  AM .tan   tan 
2
 
Định lý pitago trong SOM  O  900  , cho ta:


2

2

a
a
 a
SO  SM  MO   tan      
tan 2   1 ,
2
2
 2
a

. cos2 với cos2  0.
2cos 
1

1
a
a 3 cos2
Thể tích hình chóp: V  .SO.S ABCD  .a 2 .
. cos2 
(đvdt).
3
3
2cos 
6cos 
Bài 34: Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, góc ASB= 60 0,góc CSB=90 0, góc CSA=1200
CMR tam giác ABC vng rồi tính thể tích chóp.
Bài giải
2

2

S

C

E

A

D

B

Gọi E,D lần lượt là AC,BC

 SAB đều AB=a,  SBC Vuông BC=a. 2
a 3
1
 SAC có AE=SA.sin600=
 AC=a 3 và SE=SAcos600= a.
2
2
2
2
2
2
  ABC có AC =BA +BC =3a vậy  ABC vng tại B
1
a2 2
Có SABC= .BA.BC=
2
2
1
a 3
 SBE có BE= AC=
2
2
2
2
2
SB =BE +SE =a2 nên BE  SE
AC  SE
Do đó SE chính là đường cao
1
2 3

V SABC= SE.SABC=
a
3
12
Bài: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vng tại A và B, điểm M trên SC sao cho
MC=2MS; AB=a; BC=2AD= 2a 3 . Tính thể tích khối chóp MABCD, Biết SA=SB=SD và
góc tạo bởi SC và đáy bằng 60.
Giải
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

01649802923

24


CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH 12 ƠN THI ĐH-CĐ

VẤN ĐỀ 2: TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH
PP:
Trong nhiều bài tốn, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp
khó khăn vì hai lí do:
+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao.
+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng khơng dễ dàng.
Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc
hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng
tính thể tích.

Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài tốn:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
S

.
.
.
VS . ABC
SA SB SC
H’
Chứng minh:
A’
B’
Kẻ A’H’ và AH cùng vng góc với mặt phẳng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng.
1
S
.A' H '
VS . A ' B ' C ' VA ' SB ' C ' 3 SB ' C '
Ta có:


1
VS . ABC
VA.SBC
SSBC . AH
3
1
SB '.SC '.sin  . A ' H '

SB '.SC '.SA '
2


  Ðpcm  .
1
SB.SC.SA
SB.SC.sin  . AH
2


Trong đó:   B ' SC '  BSC .
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN – THÀNH PHỐ SƠN LA:

H

C’
A

B

C

S

01649802923

M

25

C