MỘT số BÀI tập ôn THI cđ đh HSG môn TOÁN

MT S BI TP ÔN THI CĐ ĐH HSG MÔN TON
Đ 1
Câu 1:
a) Giải phương trình:
10 10x x
= + +
,với
x R∈

b) Giải hệ phương trình:
3 2 2 3
2 2
2 8 0
4 1 0
x xy x y y
x y y

+ + + =


+ − − =


,với
,x y R∈
Câu 2:
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
( 3; 1)A − −
, đường phân giác trong
góc A có phương trình
2 0x y− + =

, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2 ; 1) và diện tích
tam giác ABC gấp hai lần diện tích tam giác IBC.Viết phương trình cạnh BC.
b) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, biết các góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức:
1
cot cot cot
2
A C B
+ =
. Chứng minh rằng:
AG CG
⊥
Câu 3:
Cho dãy số(u
n
) xác định như sau :
1
3
1
3
2
1 2
,
3 3
n n
u
u u n N
∗
+

=





= − ∀ ∈



a) Chứng minh rằng :
1 2,
n
u n
∗
− < < ∀ ∈Ν

b) Chứng minh rằng
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn . Tìm giới hạn đó .
Câu 4:
Cho các số thực:
0, 0, 0, 0a b c d> > > >
. Chứng minh rằng:
a)
3 3 3 3
2 2 2 2
a b c d
a b c d
b c d a

+ + + ≥ + + +
b)
4 4 4 4 3 3 3 3
2 2 2 2
a b c d a b c d
b c d a b c d a
+ + + ≥ + + +
Câu 5:
Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C) . Gọi M là điểm thuộc ( C) sao cho tiếp tuyến của ( C) tại
M tạo với đường thẳng ( d) :
2y x
= − +
một góc
ϕ
với
1
cos
10
=
ϕ
. Tìm tọa độ M .

Đ 2
Câu 1:
a) Giải phương trình:
( )
2 2
6 1 2 1 2 3x x x x x
+ + = + + +
,với
x R∈
b) Giải hệ phương trình:
3 2
2 5 2
(15 2 ) 6 (4 9) 2 3 0
x x y
x x y y

+ = −


− − − + + =


,với
,x y R∈
Câu 2:
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, các cạnh AB và BC lần lượt
nằm trên các đường thẳng
1
( ): 2 1 0d x y− + =
và

2
( ) : 0d x y
− =
. Tìm toạ độ các đỉnh A và C
biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
5 2
.
b) Cho tam giác đều ABC, gọi D là điểm đối xứng của điểm C qua AB, vẽ đường tròn tâm D
qua A và B. Gọi M là điểm bất kỳ trên đường tròn đó.
Chứng minh rằng:
2 2 2
MA MB MC
+ =
Câu 3:
Cho số thực
( )
0;1a
∈
, xét dãy số
( )
n
u
với :
1
2
1
1 2013
,
2014 2014
n n n

u a
u u u n
∗
+
=



= + ∀ ∈Ν


a) Chứng minh rằng :
0 1,
n
u n
∗
< < ∀ ∈Ν
b) Chứng minh rằng
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu 4:
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn:
1 1 1
1
2 2 2a b c
+ + ≥
+ + +
Chứng minh rằng:

abc 1≤

Câu 5:
Cho phương trình:
( )
2
3
21 4 3 3 2 7
4
x x x m x x+ − − + = + + −
, với m là tham số
Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực.

Đáp án đ 1
Câu Đáp án
1
Đk:
0x
≥
Đặt
10 , 10u x u
= + ≥
Ta có:
10
10
x u
u x

= +



= +



( ) ( ) ( )
0 1 0x u x u x u x u− − − = ⇔ − + + =
1 0( )
x u
u x VL
=

⇔

+ + =

2
10
21 41
10
2
21 100 0
x
x u x x x
x x
≥

+
= ⇔ = − ⇔ ⇔ =


− + =

Vậy phương trình có một nghiệm:
21 41
2
x
+
=
,
( ) ( )
( )
2 2
1 2 0x y x xy y
⇔ + − + =
( )
( )
2
2 2
2
2 3
2 0
1 3
0
0 4
2 4
x y
x y
x xy y
x y y
= −


+ =


⇔ ⇔


 
− + =
− + =

 ÷

 

Thế (3) vào (2) ta được :
2
1
5 4 1 0 1
5
y y y y− − = ⇔ = ∨ = −
1 2
1 2;
5 5
y x y x= ⇒ = − = − ⇒ =
( )
0
4
0
x

y
=

⇔

=

không thoả phương trình ( 2 )
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm :
( )
2 1
2;1 , ;
5 5
 
− −
 ÷
 
2
Gọi M là giao điểm của phân giác trong góc A và đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
(M khác A) . H là hình chiếu của I trên AM
( ): 3 0IH AM IH x y⊥ ⇒ + − =
Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình
2 0
1 5
;
3 0
2 2
x y
H

x y
− + =

 
⇒

 ÷
+ − =
 

H là trung điểm AM nên tọa độ điểm M là M(4 ; 6)⇒
(2;5)IM =
uuur
BC IM⊥
nên BC có phương trình
: 2 5 0BC x y m+ + =
2 ( , ) 2. ( , )
ABC IBC
S S d A BC d I BC= ⇔ =
29
| 11 | 2 |9 |
7
3
m
m m
m
= −


⇔ − + = + ⇔


= −


Vậy có 2 đường thẳng BC cần tìm là
7
2 5 29 0;2 5 0
3
x y x y+ − = + − =
Ta có:
2 2 2
cot
4
b c a
A
s
+ −
=
;
2 2 2
cot
4
a c b
B
s
+ −
=
;
2 2 2
cot

4
b a c
C
s
+ −
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1
cot cot cot 5
2 4 4 2 4
b c a a b c c a b
A C B b a c
s s s
+ − + − + −
+ = ⇔ + = ⇔ = +
2 2 2
2 2
1
4 4

9 9 2 4
b c a
AG AA
 
+
= = −
 ÷
 
2 2 2

2 2
1
4 4
C
9 9 2 4
a b c
G CC
 
+
= = −
 ÷
 
G
B
A
C
A1
C1
Suy ra
2 2
2 2 2 2 2
4
9 4
a c
AG CG b b AB
 
+
+ = + = =
 ÷
 

.
Suy ra
AG CG
⊥
.
Câu 3
Với:
( )
1
3
1: 1
2
n u
= = ⇒
đúng với n=1
Giả sử :
1 2
k
u− < <
với
1,k k∀ ≥ ∈Ν
Ta có :
( )
( )
3 2
1 1
1 8 1
2 2 2 4 0 2
3 3 3
k k k k k k

u u u u u u
+ +
− = − = − + + < ⇒ <

( )
3
1 1
1
1 1 0 1
3
k k k
u u u
+ +
+ = + > ⇒ > −

1
1 2
k
u
+
⇒ − < <
. Vậy :
1 2,
n
u n
∗
− < < ∀ ∈Ν
( ) ( )
2
1

1
, 1 2 0
3
n n n n
n u u u u
∗
+
∀ ∈Ν − = + − <
1
,
n n
u u n
∗
+
⇒ < ∀ ∈Ν
hay
( )
n
u
là dãy giảm (2)
Từ (1) ,(2) suy ra
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn.
Gọi
a
là giới hạn của
( )
n

u
,
1 2a
− ≤ <
Ta có
3
1 2
1
3 3
a a a
= − ⇔ =
. Vậy
lim 1
n
u
= −
Câu 4
3 3 3 3
2 2 2 2
2 , 2 , 2 , 2
a b c d
ab a bc b cd c da d
b c d a
+ ≥ + ≥ + ≥ + ≥
Suy ra:
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
a b c d
a b c d a b c d ab bc cd da

b c d a
+ + + ≥ + + + + + + + − + + +
Mà
2 2 2 2
a b c d ab bc cd da+ + + ≥ + + +
nên bài toán được CM.
4 3 4 3 4 3 4 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
, , ,
a a b b c c d d
a b c d
b b c c d d a a
+ ≥ + ≥ + ≥ + ≥
Suy ra:
( )
4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
a b c d a b c d a b c d
a b c d
b c d a b c d a b c d a
 
+ + + ≥ + + + + + + + − + + +
 ÷
 
Do kết quả câu a):
3 3 3 3
2 2 2 2

a b c d
a b c d
b c d a
+ + + ≥ + + +
. Suy ra kết quả cần CM.
Câu 5

( )
2
2
1
y
x
′
=
+
Gọi
k
là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M

⇒
tiếp tuyến có vtcp
( )
1;u k
=
r
Đường thẳng d có vtcp
( )
1; 1v = −
r

.
1 1
cos
10 10
u v
u v
= ⇔ =
r r
r r
ϕ
2
1
1
10
1 . 2
k
k
−
⇔ =
+
2
2
2 5 2 0
1
2
k
k k
k
=



⇔ − + = ⇔

=

Hoành độ của điểm M là nghiệm của phương trình :
( )
2
2
2
1x
=
+
hoặc
( )
2
2 1
2
1x
=
+
0 2 1 3x x x x
⇔ = ∨ = − ∨ = ∨ = −
Vậy có 4 điểm thoả mãn yêu cầu đề bài là :
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
0;1 , 2;5 , 1;2 , 3;4M M M M
− −
Đáp án đ 2
Câu Đáp án

1

(5,0điểm)
( ) ( )
2 2
1 2 3 2 1 2 3 4 2 0x x x x x x⇔ + + − + + + + − =

(
)
(
)
2 2
2 3 2 1 2 3 2 0x x x x x⇔ + + − + + + − =

2
2
2 3 2 1
2 3 2
x x x
x x

+ + = −

⇔

+ + =


2
2

1
3 15
2 3 2 1
2
3
3 6 2 0
x
x x x x
x x

≥
+

+ + = − ⇔ ⇔ =


− − =


2 2
1 2
2 3 2 2 1 0
1 2
x
x x x x
x

= − +
+ + = ⇔ + − = ⇔


= − −


Điều kiện
3
6;
2
x y≤ ≥ −
[ ] [ ]
(2) 2(6 ) 3 6 2(2 3) 3 2 3x x y y⇔ − + − = + + +
Xét hàm số
2 2
( ) (2 3) '( ) 6 3 0f t t t f t t t R= + ⇒ = + > ∀ ∈
⇒ f(t) đồng biến trên R
Từ (2) Ta có
( 6 ) ( 2 3) 2 3f x f y y x− = + ⇔ = −
Ta có hệ phương trình :
3 2
1( 1)
2 2 0
1( 2)
2 3
5
2( )
2
x y
x x x
x y
y x
x y



= =


+ − − =
⇔ = − =


= −


= − =


Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
5
(1;1); 1,2 ; 2,
2
 
− −
 ÷
 
,
2
(5,0điểm)
Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình
2 1 0 1
(1;1)

0 1
x y x
B
x y y
− + = =
 
⇔ ⇒
 
− = =
 
· ·
3 1 2
cos sin 2 5
2
10 10 10
AC R
ABC ABC AC AB
R
= ⇒ = = ⇔ = = =
Gọi
1
(2 1; )A a a d− ∈

Ta có :
2 2 2 2
3
20 (2 2 ) (1 ) 20 ( 1) 4
1
a
AB a a a

a
=

= ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔

= −

H là hình chiếu của A trên BC thì H là trung điểm BC
Với a = 3 Ta có :
(5;3) : 8 0A AH x y⇒ + − =
Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình
8 0 4
(4;4) (7;7)
0 4
x y x
H C
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒ ⇒
 
− = =
 
Với a = -1 Ta có :
( 3; 1) : 4 0A AH x y− − ⇒ + + =
Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình
4 0 2
( 2; 2) ( 5; 5)
0 2
x y x

H C
x y y
+ + = = −
 
⇔ ⇒ − − ⇒ − −
 
− = = −
 
Vậy A(5 ; 3) ; C(7 ; 7) hoặc A(−3 ; -1) ; C(−5 ; −5)
Xét hệ trục toạ độ với gốc toạ độ O là trung điểm AB, trục hoành là đường thẳng nối
A, B có chiều dương hướng từ A sang B. C nằm trên trục Oy, chiều dương trục Oy
hướng từ O đến C
Giả sử tam giác ABC có cạnh bằng 2a. Khi đó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
,0 , ,0 , 0, 3 , 0, 3A a B a C a D a− −
Phương trình đường tròn tâm D và qua A,B là: (T ):
( )
2
2 2
3 4x y a a+ + =

Giả sử
( )
0 0
, ( )M x y T∈
Ta có:
( )
2
2 2

0 0
3 4 0x y a a+ + − =

( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
; ; 3MA x a y MB x a y MC x y a= + + = − + = + −
Vậy ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 3 2 3MA MB x a y x y a x y y a a+ = + + = + − + + + −
( )
2
2 2 2 2
0 0
3 4MC x y a a MC= + + + − =
Câu 3
(4 điểm)
CM :
( )
0 1, 1
n
u n
∗
< < ∀ ∈ Ν

( ) ( )
1
1: 0;1 1n u a= = ∈ ⇒
đúng với n=1
Giả sử
0 1
k
u< <
với
1,k k∀ ≥ ∈Ν
Ta có :
2 2
1 1
0 1 0
2014 2014
k k
u u
< < ⇒ < <

2013 2013
0 1 0
2014 2014
k k
u u
< < ⇒ < <
2
1 2013
0 1
2014 2014
k k

u u
⇒ < + <
1
0 1
k
u
+
⇒ < <
Vậy :
0 1,
n
u n
∗
< < ∀ ∈ Ν
Ta chứng minh:
( )
n
u
là dãy tăng
2
1
1 2013
,
2014 2014
n n n n n
n u u u u u
∗
+
∀ ∈Ν − = + −
( ) ( )

1
2013 0
2014
n n n n
u u u u
 
= − + − >
 
1
,
n n
u u n
∗
+
⇒ > ∀ ∈Ν
hay
( )
n
u
là dãy tăng.(2)
Từ (1) ,(2) suy ra
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn.Giả sử
( )
n
u
có giới hạn là
( )

, 1a o a
< ≤
Ta có :
2
1 2013
1
2014 2014
a a a a
= + ⇔ =
. Vậy
lim 1
n
u
=
Câu 4
( 3
điểm)
Ta có :
1 1 1 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2a b c a b c
≥ − − ⇒ ≥ − + −
+ + + + + +
( ) ( )
( )
2
2 1
2 2 2 2 2
b c bc
a b c b c

⇒ ≥ + ≥
+ + + + +
Tương tự ta có :
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
ac
b a c
≥
+ + +
,
( ) ( )
( )
2
2 3
2 2 2
ab
c a b
≥
+ + +
Từ (1),( 2),(3) suy ra :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
8
2 2 2 2 2 2
abc
a b c a b c
≥

+ + + + + +

1abc
⇒ ≤
Đẳng thức xảy ra
1a b c
⇔ = = =
Câu 5
(3 điểm)
Điều kiện:
3 7x− ≤ ≤
.Đặt
3 2 7t x x= + + −
với
[ ]
3,7x ∈ −
Ta có:
1 1 7 2 3
'
2 3 7 2 3 7
x x
t
x x x x
− − +
= − =
+ − + −
;
' 0 7 2 3 1y x x x= ⇔ − = + ⇔ = −
( 3) 2 10, (7) 10, ( 1) 5 2t t t− = = − =
suy ra:

10,5 2t
 
∈
 
Do
2
2
3 19
3 2 7 21 4 3
4 4
t
t x x x x x
−
= + + − ⇔ + − − + =
nên phương trình trở thành:
2 2
19 19
4 4
t t
mt m
t
− −
= ⇔ =
Xét hàm số
( )
2
19
4
t
f t

t
−
=
với
10,5 2t
 
∈
 
, ta có:

( ) ( )
2
2
19
' 0, 10,5 2
4
t
f t t f t
t
+
 
= > ∀ ∈ ⇒
 
đồng biến trên
10,5 2
 
 
Mặt khác
( )f t
liên tục trên

10,5 2
 
 
Phương trình có nghiệm thực
⇔
( ) ( )
9 10 31 2
10 5 2
40 40
f m f m≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Vậy, phương trình có nghiệm thực khi
9 10 31 2
40 40
m− ≤ ≤
.